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第 04 讲 分式的加减法
课程标准 学习目标
1.熟练掌握同分母的分式加减运算；
①通分、最简公分母 2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的
②分式的加减运算 加减法则；
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.
知识点01 最简公分母
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·天津南开·期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 分式的通分
分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改
变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大
的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
【即学即练2】
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）通分：
(1) ， ；
(2) ， ．
2．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ， ， ．
知识点03 同分母分式的加减
同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
【即学即练3】
1．（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）计算： ．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算：（1） ；
（2） ；
（3） ．
知识点04 异分母分式的加减
异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.
【即学即练4】
1．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
2．（24-25八年级上·广东广州·期末）计算： ．
题型01 同分母分式加减法
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）计算： ．
2．（24-25八年级上·广东湛江·期末）化简： 的结果为 ．
3．（2025·广东清远·一模）计算： ．
题型02 最简公分母例题：（24-25八年级上·贵州遵义·期末）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（ ）
A． 与 的最简公分母是
B． 与 的最简公分母是
C． 与 的最简公分母是
D． 与 的最简公分母是
2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）分式 ， ， 的最简公分母是 ．
3．（2025八年级下·全国·专题练习） 、 、 的公分母是 ．
题型03 通分
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）通分：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【变式训练】
1．（2025七年级下·全国·专题练习）求出下列各组分式的最简公分母．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（2025七年级下·全国·专题练习）通分：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）通分：
(1) ， ；
(2) ， ．
题型04 异分母分式加减法
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）化简： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算： ．
2．（24-25八年级上·吉林白城·期末）化简：
3．（24-25七年级上·上海松江·期末）计算： ．
题型05 整式与分式相加减
例题：（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算：
(1)
(2)
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算下列各式．
(1)(2)
3．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）下面是某同学计算 的解题过程：
解：
①
②
③
④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母
例题：（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）若 （其中 ， 为常数），则
， ．
【变式训练】
1．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）已知 ，求 ， ， 的值．
2．（22-23八年级上·云南昆明·阶段练习）阅读下列材料：
若 ，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
根据题意，得 ，解之得 ．
仿照以上解法，解答下题．
(1)已知 （其中M、N为常数）求M、N的值；
(2)若 对任意自然数n都成立，则 _________， _________．(3)计算： _________．
题型07 分式加减混合运算
例题：（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算：
(1)
(2)(3)
(4)
题型08 分式加减乘除混合运算
例题：（23-24八年级上·云南楚雄·期末）计算： ．
【变式训练】
1．（2024七年级上·上海·专题练习）化简： ．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）化简：
3．（2024八年级上·全国·专题练习）化简：
题型09 分式混合运算错解复原问题
例题：（24-25八年级下·全国·期末）下面是小赣同学化简 的过程，请认真阅读，并完
成相应的任务．
解：原式 第一步
第二步
第三步
．第四步
(1)①以上化简步骤中，变形的依据是分式的基本性质和 ；
②从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
(2)请直接写出该式子化简后的正确结果，请你从 ， ，1中选择一个合适的数代入求值．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应
任务：第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错
误的具体原因是_____．
②任务二：请写出完整的解答过程．
【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同
一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“ ”去掉括
号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是
“ ”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并解答问题：
解： ．
第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
第六步(1) 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
请写出正确的化简结果： ．
(2)先化简再求值： ，已知 ．
题型10 分式混合运算中的化简求值
例题：（24-25八年级上·青海果洛·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
2．（24-25八年级上·全国·假期作业）先化简，再求值 ，其中 与 、 构成
的三边长，且 为整数．
3．（24-25八年级上·山东聊城·期中）（1）化简求值： ，其中 ．
（2）先化简，再求值： ，其中 满足 ．
一、单选题
1．（2025·天津北辰·一模）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）规定 运算为： ，例如：
，则当 且 时， 的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．33．（2025·河北唐山·一模）试卷上一个正确的式子 被小明同学不小心滴上墨汁．
被墨汁遮住部分 处的代数式为（ ）
⋆
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·山东临沂·期末）下列关于分式的说法正确的是（ ）
A． 约分的结果是 B．分式 与 的最简公分母是
C． D．化简 的结果是
5．（24-25八年级上·河北唐山·期中）分式 与 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）计算： ．
7．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分式 与 的最简公分母是 ．
8．（2025·安徽阜阳·一模）已知 ，则代数式 的值为 ．
9．（24-25七年级下·全国·课后作业）若 恒成立，则 的值是 ．
10．（24-25八年级上·山东聊城·期末）对于代数式m，n，定义运算“ ”： ，例如：
，若 ，则 ．
三、解答题
11．（2025·河南郑州·模拟预测）计算：
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算：
(1) ；(2) ．
13．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
14．（23-24九年级上·四川南充·开学考试）先化简，再求值： ，在 ，2，1，
中选一个你最喜欢的数带入求值．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）已知 ．
(1)化简 ；
(2)当 ，求 的值．
16．（2025·江西九江·模拟预测）计算： ．下面是甲同学的部分计算过程：
解：原式
(1)甲同学解法的依据是________．（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)请写出完整的解答过程，并从0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
17．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的
形式，则称这个分式为“和谐分式”．
(1)给出下列分式： ； ； ； ．其中属于“和谐分式”的是_______（填序
① ② ③ ④
号）；
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)化简 ．若该式的值为整数，求x的整数值．
18．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称
是 的“ 差分式”．
例如： ，我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．
(2)分式 是分式 的“ 差分式”．（含 的代数式表示）；
若 的值为正整数， 为正整数，求 值．
