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第 03 讲 分式的加减法(10 类热点题型讲练)
1.熟练掌握同分母的分式加减运算；
2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.
知识点01 分式的通分
分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改
变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大
的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
知识点02 最简公分母
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分
母，这样的分母叫做最简公分母．
知识点03 同分母分式的加减
同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
知识点04 异分母分式的加减
异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01 平面向量基本定理
知识点02 平面向量的坐标表示
知识点03 平面向量的坐标运算
题型01 同分母分式加减法
【例题】（2023上·四川成都·九年级棕北中学西区实验学校校考开学考试）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：原式 ，
，
，
故答案为：
【点睛】此题考查了分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母分式加减法进行计算即可；
（2）根据同分母分式加减法进行计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ．【点睛】本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握同分母分式加减运算法则，准确计算．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；
（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：原式 ．
（2）解：原式 ．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题的关
键．
题型02 最简公分母
【例题】（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式 与 的最简公分母是______．
【答案】
【分析】先将分式的分母进行因式分解，然后根据最简公分母的定义即可得出结论．
【详解】∵ ，
∴分式 与 的最简公分母是 ．
故答案是 ．
【点睛】本题主要考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式 ， ， 的最简公分母是_______．
【答案】
【分析】根据最简公分母的定义即可解答．
【详解】解：分式 、 、 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了最简公分母，最简公分母的找法为：数字取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在
一个分母中出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式．2．（2023春·江苏·八年级校考周测） 的最简公分母是_________
【答案】
【分析】三个分式的分母均为多项式，故先将各个分母因式分解，然后再结合最简公分母的知识进行求解
即可．
【详解】解： 的最简公分母是 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分
母，这样的公分母叫做最简公分母．
题型03 通分
【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）通分：
(1) 与 ； (2) 与 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】先确定分式的最简公分母，再通分即可．
【详解】（1）解：∵ 与 的最简公分母是 ，
∴ = ， = ；
（2）解：∵ 与 的最简公分母是 ，
∴ = ， = ．
【点睛】本题考查的是分式的通分，解题的关键是确定最简公分母．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）通分：
(1) ， (2) ， ．
【答案】(1) 和
(2) 和【分析】（1）（2）最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有
字母的最高次幂的积．依此即可求解．
【详解】（1）∵两个分式分母分别为 ， 未知数系数的最小公倍数为 ，
∵a，b，c的最高次数为2，2，1，
∴最简公分母为 ，
将 ， 通分可得： 和 ；
（2） ，
∴最简公分母是 ，
，
．
【点睛】本题考查了通分，规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后
再去找各分母的最简公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的
最高次幂，各分母中不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
2．（2023秋·八年级课时练习）通分：
(1) 与 ； (2) ， ， ；
(3) ， ， ； (4) ， ．
【答案】(1) ，
(2) ， ，
(3) ， ，
(4) ，
【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
（4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解；
【详解】（1）解： ， ．（2）解： ，
，
．
（3）解： ，
，
．
（4）解： ，
【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
题型04 异分母分式加减法
【例题】（2023·内蒙古包头·统考二模）计算： _______．
【答案】2
【分析】根据分式的加减法则，即可解答．
【详解】解： ，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减法，分式的加减法法则是：同分母分式相加减，只把分子相加减，分母不
变；异分母分式相加减，先通分变为同分母分式，再按同分母分式相加减的法则运算，熟知上述法则是解
题的关键．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）计算 的结果是______．
【答案】 /
【分析】根据异分母分式减法运算法则计算即可．【详解】解：
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查异分母分式的减法运算．熟练掌握其运算法则是解题关键．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） _____________；
（2） ___________．
【答案】
【分析】（1）（2）根据异分母分式减法计算法则求解即可．
【详解】解：（1）
，
故答案为： ；
（2）
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，正确计算是解题的关键．
题型05 整式与分式相加减
【例题】（2023春·江苏·八年级期中）化简 的结果为_________．
【答案】
【分析】先通分，再根据同分母分式的加法法则计算即可
【详解】解：
故答案为：【点睛】本题考查了分式和整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算 的结果是_________．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．
【详解】解：原式 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 的结果是___________．
【答案】
【分析】先通分再化简即可．
【详解】
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，平方差公式；当分母不同时，要先通分化成同分母的分式，再相减，
最后结果能约分的要约分．
题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母
【例题】（2023春·全国·八年级专题练习）若 ，则 _________， _________．
【答案】 2 1
【分析】根据同分母分式的加减计算，再按对应项相同可得答案．
【详解】解：
∴A=2，B=1
故答案为：2，1．
【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是掌握分式加法的运算法则．
【变式训练】1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，则 _________________．
【答案】7
【分析】根据题意可进行通分，即 ，
然后问题可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
①+②得： ；
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 恒成立，则A-B=__________．
【答案】2
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】解：等式整理得 ，
∴
∴A-B＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求
解．
题型07 分式加减混合运算
【例题】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)1；
(2)
【分析】（1）根据同分母分式的加法法则求出即可；
（2）先把异分母的分式转化成同分母的分式，再根据同分母分式的减法法则求出即可．【详解】（1）解： ，= = =1；
（2）解： .
【点睛】本题考查了分式的加减法则，能灵活运用分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算
(1) ； (2) ； (3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】（1）分式 的分母相同，直接相减进行计算；
（2）分式 的公分母为 ，先通分，在进行计算；
（3）直接进行通分，在进行计算．
【详解】（1）解： ；
（2）解：
；
（3）解： ．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，找公分母，通分是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)
【答案】(1)
(2)(3)
(4)
【分析】（1）互为相反数，第二项的分母提取负号，化为同分母，直接根据同分母的分式加减法法则进
行计算：分母不变，分子相加减；
（2）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（3）把 看成是一项，为 ，再通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可；
（4）最简公分母为 ，通分，按同分母的分式加减法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；
（3）解：原式 ；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了平方差公式和完全平方公式，因式分解，分式的加减混合运算，熟练掌握分式的加减
混合运算法则及因式分解是解题的关键．
题型08 分式加减的实际应用
【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价
为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学
比原来少分摊车费______元．
【答案】
【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可．
【详解】解：实际每个同学比原来少分摊车费：
（元）．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在
静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，轮船往返两个港口一次共需______小时.
【答案】
【分析】分别求出顺流和逆流时的速度，利用路程、时间、速度之间的关系即可列式求解．
【详解】解： 轮船在静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，
顺流速度为 千米/时，逆流速度为 千米/时，
甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，
轮船往返两个港口一次共需时间为： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分式加减的应用，解题的关键是计算出轮船顺流和逆流时的速度，根据路程、时间、速
度之间的关系列出分式．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计
划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
【答案】
【分析】平均每天比原计划要多读的页数=新工作效率-原工作效率．
【详解】解：按原计划每天读 页，实际每天读 页，
故每天比原计划多读的页数是： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．
题型09 分式加减乘除混合运算
【例题】（2023·河南漯河·统考二模）化简： ．
【答案】
【分析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，然后约分即可．【详解】解：
【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
【答案】
【分析】根据分式混合运算法则及运算顺序直接求解即可得到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查分式混合运算，涉及到因式分解、通分、约分及运算顺序，熟记相关运算法则及运算顺
序是解决问题的关键．
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简： ．
【答案】
【分析】先计算括号内的，通分后利用同分母的分式运算法则求解，然后将除法变成乘法，约分即可得到
结果．
【详解】解： ．
【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握相关运算法则和运算顺序是解决问题的关键．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算；
（2）先计算括号内的部分，将除法转化为乘法，再约分计算．
【详解】（1）解：
；（2） ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
题型10 分式化简求值
【例题】（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式 ，
当 时，原式 ．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
【变式训练】
1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．
【答案】 ，
【分析】运用乘法公式，分式的性质对分式进行化简，再变形 得， ，代入计算即可求
解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式与分式混合运算的综合，方程的变形，代入求值等
知识是解题的关键．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
【答案】 ；
【分析】运用因式分解，约分等化简，后代入求值即可．
【详解】解：；
当 时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分等化简技能是解题的关键．
一、单选题
1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的加减，先通分最简公分母是 ，再根据分母不变，把分子相加减约分后
可得答案．
【详解】解：原式
，
故选：A．
2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简公分母，先因式分解取系数的最小公倍数，字母的最高次幂，1，3的最小公倍数
为3， 的最高次幂为1， 的最高次幂为1，则得出最简公分母．【详解】解：分式 ， ，即 ， 的分母中
1，3的最小公倍数为3， 的最高次幂为1， 的最高次幂为1，
所以 ， 的最简公分母为 ，
故选：D．
3．（23-24八年级上·陕西延安·期末）下列分式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据分式的混合运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的
混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算正确，符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：C．
4．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了
将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的
时间比原计划提前（ ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
【答案】B
【分析】本题考查列代数式的知识，根据工作时间 工作总量 工作效率，表示出原计划所用时间，以及
现在所用时间，利用原计划所用时间 现在所用时间，即可解题．
【详解】解：由题意得，原计划所用时间为： 天，
现在所用时间为： 天，工厂完成这个订单的时间比原计划提前 天，
故选：B．
5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．0.5 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的运算法则，进行计算，化简后，利用整体代入法求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴原式
；
故选C．
二、填空题
6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加法，熟练掌握异分母的加法法则是解题的关键．根据分式的加法法则进行计
算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为： ．
7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式 和 进行通分时，最简公分母是【答案】
【分析】本题考查了分式的通分；
先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．
【详解】解：∵ ， ，
∴最简公分母是 ，
故答案为： ．
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 ， ， 为常数，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，先通分，然后进行同分母分式加减运算．通过通分得到分子的对应项，
从而求得A、B的值，代入即可求出 的值．
【详解】
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
故答案为：1．
9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简 时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发
现得到的化简结果是 ，则整式M是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了分式的加减法，由题意列出算式，利用分式的加减法法则解答即可得出结论．
【详解】解：∵化简 得到的结果是 ，∴
，
∴ ．
故答案为： ．
10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1
的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第 次运算的结果 ．（用含字母 的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目中的程序可以分别计算出 、 和 ，得
到规律，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确题意，用代数式表示出 ．
【详解】∵ ，
∴ ，
……
∴ ．
故答案为： ．
三、解答题
11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：(1) 与 ；
(2) 与 ．
【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】本题考查了通分，解题的关键是找出两个分式分母的最小公倍数．
（1）找出两分母的最简公分母，通分即可；
（2）找出两分母的最简公分母，通分即可．
【详解】（1）解：最简公分母为 ，
； ．
（2）解：最简公分母为 ，
故 ； ．
12．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算：先算括号里面的减法运算，再乘除，然后约分．
（1）先进行同分母的加法运算，然后把分子因式分解后约分即可；
（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分子分母因式分解后约分即可．
【详解】（1）解：
；（2）解：
．
13．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）化简
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分式的基本性质变形后用同分母分式加法则计算即可；
（2）先计算括号内的加减法，再计算除法即可．
【详解】（1）
（2）【点睛】此题考查了分式的加减运算和四则混合运算，熟练掌握分式的运算法是解题的关键．
14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)2
(3)
(4)
【分析】（1）按照同分母分式的加减运算法则进行计算即可；
（2）先化为同分母分式，再计算即可；
（3）先通分化为同分母分式，再计算即可；
（4）先通分化为同分母分式，再计算即可；
【详解】（1）解：原式 ．
（2）原式 ．
（3）
．（4）
．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握分式的加减运算的运算法则是解本题的关键．
15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算即可；
（2）利用平方差公式将分式进行通分，按照整式的加减混合运算法则计算，最后再约分即可；
（3）利用平方差公式将分式进行通分，分母则按照十字相乘以及整式的加减乘除混合运算计算即可；
（4）先将分式进行约分，再按照整式的加减混合运算计算即可．
【详解】（1）解：故答案为： ．
（2）解：
故答案为： ．
（3）解：故答案为： ．
（4）解：
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键需要熟练掌握分式加减法则，平方差公式的运用．
16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算 的解题过程：
解：
……………………①
………………………②
………………………③
．……………………………④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
【答案】从第①步开始出错，正确的解题过程见详解
【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式的通分是解题的关键，在运算过程中还要注意符号的变
化，根据分式加减运算法则逐步进行运算即可得到答案．
【详解】解：从第①步开始出错．正确的解题过程如下：
解：
．17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值： ，请从 ，0或2
中选择你喜欢的一个数代入求值．
【答案】 ，1
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除
转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，排除使得分式无意义的值，然后代值计算，即可求解；
掌握分式化简的步骤，排除分式无意义的数值是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
且 ，
，
当 时，
原式 ．
18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算．先对括号里的加法运算进行通分，再把除法运算
转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式；再利用实数的混合运算计算出x的值，再把
x的值代入求解．
【详解】解：原式；
，
当 时，原式 ．
19．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如： ，则 是“美好分
式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
(2)将“美好分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断 的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③④；
(2) ；
(3)是美好分式，理由见解析．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
【详解】（1）解：①由 ，则①属于“美好分式”；②分式 分子的次数低于分母次
数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由
，则③属于“美好分式”；④ 则④
属于“美好分式”；
故答案为：①③④；（2）解： ．
（3）解： 的化简结果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴ 的化简结果是“美好分式”．
20．（23-24八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分
式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)应用：先化简 ，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？
【答案】(1)①③
(2)
(3) 时，该式的值为整数
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题
的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；（3）将原式化简为 ，再变形为 ，从而可得当 或 时，分式的值为整数，
进而可得 ， ， 或1，然后根据分式有意义时， ， ， ， ，即可解答．
【详解】（1）解：① ；
② ；
③ ；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：
．
（3）解：
，当 或 时，分式的值为整数，
，0， 或 ，
分式有意义时， ， ， ， ，
，
时，该式的值为整数．
