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第 03 讲 分式的加减法(10 类热点题型讲练)
1.熟练掌握同分母的分式加减运算；
2.会找最简公分母，能进行分式通分，理解并掌握异分母分式的加减法则；
3.能进行分式的混合运算及较复杂的分式化简求值.
知识点01 分式的通分
分式的通分：利用分式的性质，将分式的分母变成最小公倍数，分子根据分母扩大的倍数相应扩大，不改
变分式的值。
具体步骤：①通过短除法，求出分式分母的最小公倍数；②分母变为最小公倍数的值，确定原式分母扩大
的倍数;③分子对应扩大相同倍数.
知识点02 最简公分母
最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分
母，这样的分母叫做最简公分母．
知识点03 同分母分式的加减
同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为： ．
知识点04 异分母分式的加减
异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为： ．
注意：分式是分数的扩展，因此分式的运算法则与分数的运算法则类似.知识点01 平面向量基本定理
知识点02 平面向量的坐标表示
知识点03 平面向量的坐标运算
题型01 同分母分式加减法
【例题】（2023上·四川成都·九年级棕北中学西区实验学校校考开学考试）计算 的结果是 ．
【变式训练】
1．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
2．（2023上·八年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ．
题型02 最简公分母
【例题】（2023春·广东佛山·八年级佛山市惠景中学校考期中）分式 与 的最简公分母是______．
【变式训练】1．（2023春·浙江·七年级专题练习）分式 ， ， 的最简公分母是_______．
2．（2023春·江苏·八年级校考周测） 的最简公分母是_________
题型03 通分
【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）通分：
(1) 与 ； (2) 与 ．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）通分：
(1) ， (2) ， ．
2．（2023秋·八年级课时练习）通分：
(1) 与 ； (2) ， ， ；
(3) ， ， ； (4) ， ．
题型04 异分母分式加减法
【例题】（2023·内蒙古包头·统考二模）计算： _______．
【变式训练】
1．（2023·四川成都·统考二模）计算 的结果是______．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1） _____________；
（2） ___________．题型05 整式与分式相加减
【例题】（2023春·江苏·八年级期中）化简 的结果为_________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级期中）计算 的结果是_________．
2．（2023春·全国·八年级专题练习）计算 的结果是___________．
题型06 已知分式恒等式，确定分子或分母
【例题】（2023春·全国·八年级专题练习）若 ，则 _________， _________．
【变式训练】
1．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知 ，则 _________________．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）若 恒成立，则A-B=__________．
题型07 分式加减混合运算
【例题】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）计算
(1) ； (2) ； (3) ．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）计算：
(1) (2)
(3) (4)题型08 分式加减的实际应用
【例题】（2023春·浙江·七年级专题练习）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去研学，大巴车的租价
为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有x人，实际每个同学
比原来少分摊车费______元．
【变式训练】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）甲、乙两港口分别位于长江的上、下游，相距50千米，一艘轮船在
静水中的速度为a千米/时，水流的速度为b千米/时 ，轮船往返两个港口一次共需______小时.
2．（2023春·全国·八年级专题练习）学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计
划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读__________页．
题型09 分式加减乘除混合运算
【例题】（2023·河南漯河·统考二模）化简： ．
【变式训练】
1．（2023·湖北襄阳·统考二模）化简：
2．（2023·四川泸州·统考中考真题）化简： ．
3．（2023春·河北保定·八年级保定十三中校考阶段练习）计算：
(1) ； (2) ．
题型10 分式化简求值
【例题】（2023·湖南益阳·统考二模）先化简，再求值： ，其中 ．
【变式训练】1．（2023·山东菏泽·统考三模）先化简，再求值： 其中 满足方程 ．
2．（2023·辽宁锦州·统考一模）先化简，再求值： ，其中：
一、单选题
1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）计算 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
2．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·陕西延安·期末）下列分式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23八年级上·贵州黔南·期末）某工厂接到一个订单，生产x套防护服，原计划每天生产y套．为了
将这些防护服尽快投入使用，增加了人手，最后平均每天比原计划多生产了60套，则工厂完成这个订单的
时间比原计划提前（ ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
5．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）已知 ，计算 的值是（ ）
A．1 B． C．0.5 D．二、填空题
6．（2023八年级下·江苏·专题练习）计算： ．
7．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式 和 进行通分时，最简公分母是
8．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若 ， ， 为常数，则 的值为
．
9．（2024八年级下·全国·专题练习）小刚在化简 时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发
现得到的化简结果是 ，则整式M是 ．
10．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以2，再除以它与1
的和，多次重复进行这种运算的过程如下：
则第 次运算的结果 ．（用含字母 的式子表示）
三、解答题
11．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）通分：
(1) 与 ；
(2) 与 ．
12．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期中）化简：
(1) ；
(2) ．
13．（22-23八年级下·山东枣庄·阶段练习）化简
(1)
(2)14．（23-24八年级上·全国·课时练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
15．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
16．（2024九年级下·山东·专题练习）下面是某同学计算 的解题过程：
解：
……………………①
………………………②
………………………③．……………………………④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程．
17．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）先化简，再求值： ，请从 ，0或2
中选择你喜欢的一个数代入求值．
18．（22-23八年级下·辽宁本溪·阶段练习）先化简，再求值： ，其中
19．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如： ，则 是“美好分
式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
(2)将“美好分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断 的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
20．（23-24八年级上·河南信阳·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如： ，则 是“和谐分
式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)应用：先化简 ，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？
