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第 03 讲 分式的乘除法
课程标准 学习目标
①分式的乘除法 1.掌握分式的乘除运算法则；
②运用法则运算 2.能够进行分子、分母为多项式的分式乘除法运算.
知识点01 分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：
．
【即学即练1】
1．（24-25八年级上·北京通州·期中）计算：
【答案】【知识点】分式乘方、分式乘法
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘法计算，先计算乘方，再计算分式乘法即可得到答案．
【详解】解：
．
2．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： ．
【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查了分式的乘法，正确运用法则是关键．直接根据分式的乘法法则计算即可．
【详解】解： ．
3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： ．
【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查了分式的乘法，提公因式法，因式分解，关键是掌握分式的乘法、提公因式法、因式分
解的运用．先把分式的分子 和分母 因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式 ．
知识点02 分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为： ．
【即学即练2】
1．（24-25八年级上·北京·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．【答案】(1)
(2)
【知识点】分式除法、分式乘法
【分析】（1）根据分式的乘法计算即可；
（2）根据分式的除法法则计算即可．
本题考查了分式的乘法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式除法、分式乘法
【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
（1）把分子、分母分解因式约分即可；
（2）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算；
（3）把除法转化为乘法，再按乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式 ；（3）解：原式 ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】 ，-2
【知识点】分式化简求值、分式乘除混合运算
【分析】先根据分式的乘除混合运算法则化简，再代值计算.
【详解】解：原式
；
当 时，原式 .
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的乘除混合运算法则、准确计算是解题关键.
知识点03 分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为： 为正整数， ．
【即学即练3】
1．（24-25八年级上·北京丰台·期末）计算： ．
【答案】
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式： （ ， 为正整数）是解题的关键．
【详解】解：原式
．
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：
．【答案】
【知识点】分式乘方、分式除法
【分析】本题考查分式的除法与乘方，熟练掌握分式的除法与乘方运算法则是解题的关键．
（1）先运用分式除法法则将除法转化成乘法，然后约分即可求解；
（2）根据分式乘方法则计算即可．
【详解】解：
；
．
故答案为： ； ．
题型01 分式的乘法运算
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘法【分析】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是掌握分式乘法法则以及因式分解的方法．
（1）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，约去分子分母的公因式，从而得到最简结果；
（2）根据分式乘法法则将分子分母分别相乘，对于能因式分解的式子先因式分解，再约去分子分母的公
因式，从而得到最简结果．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）化简： ．
【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查了分式的乘法，关键是掌握分式的乘法、因式分解相关运算方法．
先因式分解，再约分即可．
【详解】解：原式 ．
2．（24-25八年级上·全国·单元测试）化简：
【答案】
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查了分式的乘法运算，先对分式的分子分母因式分解，约分后再相乘即可求解，掌握分式
的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算．
(1)
(2) ．【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘法
【分析】本题考查分式的乘法．
（1）原式约分即可得到结果；
（2）原式变形后约分即可得到结果．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
题型02 分式的除法运算
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】分式除法
【分析】本题考查了分式的除法，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（ ）根据分式的除法法则进行计算即可；
（ ）根据分式的除法法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式．
【变式训练】
1．（2024·广东惠州·一模）计算： ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的除法运算．把原式中的除法转化为乘法，将分子分母经过分解因式、约分把结果
化为最简即可．
【详解】解：原式
．
2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则，进行计算即可．
【详解】解：
．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)【知识点】分式除法
【分析】本题考查了分式的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母约分化简即可．
【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
．
题型03 分式乘除混合运算
例题：（24-25八年级上·全国·假期作业）计算：
．
【答案】
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算．利用分式的除法和乘法法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
(1) ．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键掌握分式运算的法则．
（1）根据平方差公式和完全平方公式把分子、分母因式分解，把除法转化成乘法，然后约分，即可得出
答案．
（2）原式先把除法变为乘法，约分即可得到结果．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除混合运算．
（1）先把除法运算化为乘法运算，再进行计算，约分，即可求解；
（2）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解；
（3）先把除法运算化为乘法运算，再进行约分即可求解．
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；（3）解： ．
3．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)2
(2)
(3)
(4)
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】此题了考查分式的乘除运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（2）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（3）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可；
（4）将分子与分母分解因式，分式除法化为分式乘法，再约去分子分母中的公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；（3）解：
；
（4）解：
．
题型04 分式的乘方运算
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
（1） ；（2） ；（3） ．
【答案】
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘方，解题的关键是掌握分式的乘方的运算法则．
（1）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（2）根据分式的乘方法则直接计算即可；
（3）根据分式的乘方法则直接计算即可．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2） ，
故答案为： ；
（3） ，故答案为： ．
【变式训练】
1．（2024八年级上·全国·专题练习）计算：
（1） ．
（2） ．
【答案】
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式利用分式的分子分母分别平方即可得到结果；
（2）原式利用分式的分子分母分别求立方即可得到结果．
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 ．
故答案为： ； ．
2．（2023八年级下·河南驻马店·学业考试）计算： ．
【答案】
【知识点】分式除法、分式乘方
【分析】本题考查分式的乘除，先算乘方再算除法即可．
【详解】原式 ，
故答案为： ．
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）当 ， 时， .
【答案】
【知识点】分式乘法、分式除法、分式乘方
【分析】先计算分式的乘方，再计算分式的乘除，然后代值计算即得答案.【详解】解：
；
当 ， 时，原式 ；
故答案为： .
【点睛】本题考查了分式的乘方和乘除运算，熟练掌握分式的乘除运算法则是解题关键.
题型05 含乘方的分式乘除混合运算
例题：（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）计算： ．
【答案】
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的分数乘除法混合计算，先计算乘方，再把除法变成乘法，最后根据分式
乘法计算法则求解即可．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（22-23九年级上·山东济南·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可．
【详解】解：．
2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，关键是掌握运算法则．
(1) 分子的积作积的分子，分母的积作积的分母再约分即可；
(2)先算乘方，再把除法变为乘法同时进行因式分解，约分即可得到答案．
(3) 先把除法运算转化成乘法运算，把分子分母分解因式再进行分式乘法运算即可．
【详解】（1）解： ，
（2）解：
；
（3）解：．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【知识点】运用平方差公式进行运算、分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的运算，掌握分式的运算法则，运算顺序是解题的关键．
（1）先把除法变成乘法，再利用分式的乘法法则计算；
（2）先算乘方，再算分式的乘法即可；
（3）先因式分解，把除法变乘法，再利用分式的乘法法则计算．
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：原式
．
（3）解：原式题型06 分式乘除混合运算中化简求值
例题：（23-24八年级下·广东汕尾·阶段练习）先化简，后求值： ，当 代入
求值．
【答案】 ，
【知识点】分式乘除混合运算、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的乘除混合运算法则化简，再把 代入进行分母有
理化，即可得到答案，熟知分式的混合计算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【变式训练】
1．（2023·湖北恩施·模拟预测）先化简，再求值： ，其中
【答案】 ，
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】将分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，约分计算，再将x值代入计算即可．
【详解】解：
,
当 时，原式 ．
【点睛】此题主要考查了分式的乘除法，正确化简分式是解题关键．
2．（23-24八年级上·全国·课后作业）先化简，再求值： ，其中 ，．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式乘除混合运算
【分析】先算乘方，然后计算乘除化简分式，最后代入数值计算解题．
【详解】解：
．
当 ， 时，
【点睛】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和运算法则是解题的关键．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ，
(2) ，
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】此题主要考查了分式的化简求值．
（1）首先运用完全平方公式和平方差公式将原式化简得 ，再整体代入求值即可；
（2）首先根据乘方的运算法则和分式的除法法则，将原式化简，再代值计算即可．
【详解】（1）解：原式
，
∵ ，∴原式 ；
（2）解：原式
，
当 时，原式 ．
一、单选题
1．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式乘方
【分析】本题考查分式的乘方，根据分式的乘方运算法则计算即可．
【详解】 ．
故选：B．
2．（2024·河北石家庄·一模）化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的除法运算，熟知运算法则是正确解决本题的关键．把除法转化成乘法再约分即可．
【详解】解：
故答案为：B．
3．（24-25八年级上·山东潍坊·期末）已知 ，则 表示的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键．
根据题意得： ，根据分式的乘法法则计算即可解答．
【详解】解：根据题意得： ，
即 表示的代数式是 ，
故选：A．
4．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段练习）下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式除法
【分析】本题考查分式的乘除法，熟知运算法则是正确解决本题的关键．
运用分式的乘除法运算法则逐选项进行判断即可得出正确答案．
【详解】解：A． ，此选项错误，不符合题意；
B． ，此选项错误，不符合题意；
C． ，此选项正确，符合题意；D． ，此选项错误，不符合题意；
故答案为：C．
5．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）某工厂要加工 个零件，甲队单独完成需 小时，乙队单独完成比甲
队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要( )小时．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式除法
【分析】本题考查了列代数式（分式），分式的除法运算的应用，解题的关键是熟悉工作总量、工作时间
和工作效率之间的关系．由工作总量“1”除以工作效率即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：
，
故选B．
二、填空题
6．（2025·湖北·模拟预测）化简： ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题考查的是分式的除法运算，把除法化为乘法运算，再约分即可．
【详解】解： ；
故答案为：
7．（24-25八年级上·北京房山·期末）计算： ．
【答案】【知识点】含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了含乘方的分式乘除混合运算，约分．先计算分式的乘方，再约分即可解答．
【详解】解：
，
故答案为： ．
8．（2025七年级下·全国·专题练习）有下列各式：① ；② ；③
；④ ．其中计算结果正确的是 （填序号）．
【答案】③
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查分式的乘除运算，根据分式的乘除运算法则依次计算各项并判断，即可解题．
【详解】解：① ，
故①计算结果错误；
② ，
故②计算结果错误；
③ ，
故③计算正确；
④ ，
故④计算结果错误．
故答案为：③．
9．（24-25八年级上·全国·期末）当 ， 时， ．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的乘除运算，首先根据分式的乘除运算法则进行计算，把分式化简可得原式，然后再把 ， 代入化简后的代数式计算即可．
【详解】解：
，
当 ， 时，
原式 ．
故答案为： ．
10．（2025八年级下·全国·专题练习）给定一列分式： ， ， ， ，…（其中 ，
），那么第n个分式是 ，这列分式中第n个分式除以第 个分式的商是 ．
【答案】 ；
【知识点】分式的规律性问题、分式除法
【分析】本题侧重考查知识分式的定义，掌握分式的化简是解题的关键．观察这组分式，可知分子为x的
奇次幂，分母为 乘以y的n次幂，据此得到第n个分式；用第二个分式除以第一个分式，第三个分
数除以第二个分式，…，你能发现规律不难得到相除所得的商相等，至此问题便可迎刃而解了．
【详解】解：观察这组分式，可知分子为x的奇次幂，分母为 乘以y的n次幂，
∴第n个分式为 ；
，
，
……
综上可知规律是：任意一个分式除以前面一个分式，商都为 ；
故这列分式中第n个分式除以第 个分式的商是 ．
故答案为： ； ．三、解答题
11．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】分式乘除混合运算、含乘方的分式乘除混合运算
【分析】此题考查了分式的混合运算．
（1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可；
（2）把分式的除法变为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
12．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)(2)
(3)
(4)
【知识点】分式乘除混合运算、分式除法
【分析】此题考查的是分式的乘除法，掌握其运算法则是解决此题的关键．
（1）（2）（3）（4）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：
．
（4）解：
．
13．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，小谷的作业本上有一道填空题，其中有一部分被墨水污染了，化简： 的结果为________．
若被污染的部分是一个关于 的一次两项式，将其记为 ，且该题化简的结果为 ，求整式 ．
【答案】
【知识点】分式除法
【分析】本题主要考查了分式的除法计算，根据题意可得 ，据此根据分式的除法计算
法则计算出该等式右边的结果即可得到答案．
【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
14．（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】含乘方的分式乘除混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查的是分式的乘除，乘方混合运算，化简求值，先计算乘方，再计算乘除得到化简的结果，
再把 代入计算即可．
【详解】解：
．
当 时，原式 ．
15．（2025八年级下·全国·专题练习）现给一定分式： ，…（其中x，y均不为0）．
(1)写出这列分式的第7个分式、第10个分式、第16个分式以及第27个分式．(2)求出这列分式的第2017个分式除以第2016个分式所得的商．并回答把任意一个分式除以前面的一个分
式．你发现什么规律？用语言表示出来．
【答案】(1) ， ， ，
(2) ；任意一个分式除以前面一个分式恒等于
【知识点】分式的规律性问题、分式除法
【分析】本题考查了分式的运算．解答此题需要知道分式的乘法与除法运算法则．也考查了从特殊到一般
的规律的探究．
（1）分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为奇数时，分式
的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，于是这列分式中的第n个分式为 ．
（2）根据分式除法法则进行计算．
【详解】（1）解：分子中x的次数是分式的序次的2倍加1，分母中y的次数与序次一致，分式的序次为
奇数时，分式的符合为正，分式的序次为偶数时，分式的符合为负，
于是第n个分式为： ．
这列分式中的第7个分式为： ，
第10个分式为： ，
第16个分式为： ，
第27个分式为： ．
（2）解：第2017个分式除以第2016个分式所得的商为： ．
规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于 ．
16．（24-25八年级上·河北沧州·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分
母的次数，称这样的分式为真分式，例如 ， 是真分式；如果分子的次数不低于分母的次数，
称这样的分式为假分式．例如，分式 ， 是假分式，一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的
和．例如：
．
(1)分式 是______分式（填“真”或“假”）；将假分式 化为一个整式与一个真分式的和的形
式为______；
(2)将假分式 化为一个整数与一个真分式的和；
(3)利用上述方法解决问题：若 是整数，且分式 的值为正整数，求 的值．
【答案】(1)真；
(2)
(3) 或
【知识点】分式乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
（1）根据材料中的方法即可判定 是真分式，根据题意，把分式 化为整式与真分式的和的形式
即可；
（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，即可求解；
（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为正整数即可得出 的
值．
【详解】（1）在 中，分子 的次数为 ，分母 的次数为 ， ，
是真分式；
；
故答案为；真； ；
（2） ；
（3） ；
分式 为正整数，为整数且 ，
或 ，
或 ，
即 的值为 或 ．
