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第 05 讲 分式方程(7 类热点题型讲练)
1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程；
2.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.
知识点01 分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
知识点02 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
知识点03 分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所
以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的
根．
知识点04 分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
题型01 分式方程的定义
【例题】（2023上·全国·八年级专题练习）下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．已知方程：
， ， ，
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·上海·八年级专题练习）已知方程：① ，② ，③ ，④
．这四个方程中，分式方程的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型02 解分式方程
【例题】（2023上·山东泰安·八年级统考期中）解方程：
(1) ； (2) ．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江佳木斯·八年级统考期末）解方程：
(1) ； (2) ．
2．（2023上·山东聊城·八年级校联考阶段练习）解方程：(1) (2)
题型03 已知分式方程的增根求参数
【例题】（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程 （m为常数）有增根，则增
根是_______．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程 有增根，则m的值是_____．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于 的分式方程 有增根，则 的值为
___________．
题型04 已知分式方程的无解求参数
【例题】（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程 无解，则a的值为
___．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于 的方程 有增根，
则增根是 ______．
②若关于 的方程 无解，则 的值为______．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程 无解，则m的值为______．
题型05 根据分式方程解的情况求值
【例题】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程 的解是正数．则m的
取值范围是________．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围是____________．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值是
_____．
题型06 列分式方程
【例题】（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙
两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧 吨煤，则根据题意列方程
为___________．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，
该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时
间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题
译为白话文是：把一份文件送到900里（1里 千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的
时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规
定的时间．设规定的时间为 天，则可列方程为______．
题型07 分式方程的实际应用
【例题】（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下
载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的
时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪
亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖
面积相同，平均亩产量去年比今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾㝓，为响应政府救援号召，
甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共㧪款100000元，乙公司共捐
款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱15000元， 种防疫物
资每箱12000元．若购买 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注： 、
两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
一、单选题
1．（23-24八年级上·天津红桥·期末）分式方程 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）下列关于x的方程中（1） ；（2） ；（3）
；（4） ；（5） ，其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（22-23八年级上·山东威海·期末）解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）若关于x的分式方程 有增根，则m的值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．（23-24九年级下·福建福州·开学考试）学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3千米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度提高到原来的1.2倍，少用3分钟跑完
全程，设小亮训练前的平均速度为x千米／时，那么 满足的分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（23-24九年级下·北京·阶段练习）方程 的解是 ．
7．（2023·山东菏泽·二模）若关于 的分式方程 无解，则 的值是 ．
8．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）关于x的分式方程 的解是非负数，则m的取值范
围是 ．
9．（2023·四川内江·二模）对于实数 ， ，定义运算“ ”如下： ，例如 ．若
，则 的值为 ．
10．（23-24九年级下·重庆渝北·阶段练习）若关于 的一元一次不等式组 有且仅有 个奇数
解，且关于 的分式方程 的解是整数，则满足条件的所有整数 的值之和为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1)
(2)
12．（22-23八年级上·甘肃平凉·期末）解下列分式方程
(1)
(2)13．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知关于x的分式方程 无解，求a的值．
14．（23-24八年级·全国·随堂练习）阅读下列材料：
方程 的解为 ，
方程 的解为x=2，
方程 的解为 ，
……
(1)根据上述规律，可知解为 的方程为_________；
(2)通过解分式方程说明你写的方程是正确的．
15．（2023·云南红河·一模）“母亲节”来临之际，某花店打算使用不超过 元的进货资金购进百合与
康乃馨两种鲜花共 束进行销售．百合与康乃馨的进货价格分别为每束 元、 元，百合每束的售价
是康乃馨每束售价的 倍，若消费者用 元购买百合的数量比用 元购买康乃馨的数量少 束．
(1)求百合与康乃馨两种鲜花的售价分别为每束多少元；
(2)花店为了让利给消费者，决定把百合的售价每束降低 元，康乃馨的售价每束降低 元．求花店应如何
进货才能获得最大利润．（假设购进的两种鲜花全部销售完）
16．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如果分式M与分式N的差为常数k，且k为正整数，则称M为
N的“差整分式”，常数k称为“差整值”．如分式 ， ， ，故M为
N的“差整分式”，“差整值” ．
(1)以下各组分式中，A为B的“差整分式”的是__________（填序号）；
① ， ， ② ， ， ③ ， ；(2)已知分式 ， ，C为D的“差整分式”，且“差整值” ，
①求G所代表的代数式；
②若x为正整数，且分式D的值为负整数，求x的值；
(3)已知分式 ， （其中m为常数），是否存在m使得P为Q的“差整分式”？若存在，
请求出m的值及其“差整值”；若不存在，请说明理由．
