文档内容
第 06 讲 分式方程
课程标准 学习目标
①分式的定义 1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程；
②分式方程要验根 2.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
③分式方程的应用 3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.
知识点01 分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于 的方程： ， ， ，
中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点02 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式
项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
【即学即练2】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
知识点03 分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所
以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的
根．
【即学即练3】
1．（24-25八年级下·上海·期中）若关于x的方程 有增根，则 值为 ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知分式方程 无解，那么常数 ．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）关于 的分式方程 的解为正实数，则 的取值范围是
．知识点04 分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【即学即练4】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工厂原计划用一定的时间生产某种零件4000个．现由于进行了技
术改造，每天比原计划增产了 ，结果提前10天完成任务．原计划日产多少个零件？
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题：
为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已
知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间
相等．
(1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料；
(2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不
超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？
题型01 分式方程的概念
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于 的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
题型02 解分式方程
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．3．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
题型03 已知分式方程的增根求参数
例题：（2025·甘肃天水·一模）关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ；
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的方程 有增根，则a的值是 ．
2．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）当 时，方程 会产生增根．
3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若分式方程 有增根，则它的增根是 ．
题型04 已知分式方程的无解求参数
例题：关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于 的方程 无解，则 的值为 ．
2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ．
3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的分式方程 ，若分式方程无解，则 的
值为 ．
题型05 根据分式方程解的情况求值例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于x的分式方程 的解为负数，则m的取
值范围是 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程 的解是个正数，那么m的取值范围是
．
2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 有整数解，则整数m的值
为 ．
3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知分式方程 ．
（1）若分式方程无解，则b的值为 ．
（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ．
题型06 列分式方程
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两人合作录入一份稿件．甲先单独录入了 ，余下部分由
乙单独用 才完成．已知甲需要用 录入的稿件由乙录入需要 ．若设甲单独录入这份稿件需 ，则
根据题意可列方程 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产 产品，如果每天比原计划多生产 ，可提前
2天完成．设原计划每天生产 产品，则可列方程为 ．
2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三
丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现
在有绫布和罗布长共3丈（ 丈 尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入 文，每尺绫布和每尺罗布
一共需要 文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 .
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了
满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9
万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为
题型07 分式方程的实际应用
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）甲、乙两组学生从学校出发，去距学校 的敬老院打扫卫生，
甲组学生步行出发 后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的 倍，结果两组学生
同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？
【变式训练】
1．（2025·云南昆明·模拟预测）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．
在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍，甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的
锰矿石所用时间少 天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
2．（24-25八年级下·四川内江·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总
票房达 亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场
最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了 、 两种哪吒玩偶．已知一
个B种哪吒玩偶是一个 种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进 、 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进 、 两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于
种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜
爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔
滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费
300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个
雪花形会徽徽章多花35元．
(1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？
(2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2
倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？
一、单选题
1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 等于
（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）我校秋季运动会，八年级120人要参加举旗表演，按原计划分组后，
又来了20人，比原计划多分一组，但每组人数比原计划少了2人，设原计划分 组，则可得方程（ ）
A． B． C． D．4．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）关于 的分式方程 有增根，则它的增根是（
）
A． B． C． 或 D．
5．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于
的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．9 B．6 C．2 D．
二、填空题
6．（24-25九年级下·四川成都·期中）方程 的解是
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式方程 去分母时，两边都乘 ．
8．（2024·山东泰安·一模）舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江
山图》为创作背景，以时间为主轴，以“青绿”为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，
展现中国古典艺术之美和优秀传统文化的时代气息．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局
部画面装裱前是一个长为3.4米、宽为2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬
的宽度相等．问：边衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ．
9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的方程 无解，则m的值为 ．
10．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）关于 的一元一次不等式组 有解且至多3个整数解且关
于 的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数 的和为
三、解答题
11．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4) ．
13．（2025·河北·模拟预测）下面是小倩同学解方程 的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解：方程两边同乘 ，得 ， 第一步
移项，得 ， 第二步
合并同类项，得 ， 第三步
系数化为1，得 ． 第四步
(1)以上解题过程中，第 步开始出现错误；
(2)写出该方程正确的解题过程．
14．（24-25八年级下·河南南阳·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批
航空、航海模型，已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多 元，用 元购买航空模型的
数量是用 元购买航海模型数量的 ，求航空模型和航海模型的单价．
15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于 的方程： ，若方程有增根，
求 的值．
16．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 无解，求参数a的值．
17．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值
为多少？
18．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题．
通过观察发现：方程 的解是 的解是 ．
(1)观察上述方程的解，可以猜想关于 的方程 的解是______；(2)把关于 的方程 变形为方程 的形式（ 是含 的代数式，c是含a的代数
式）是______，方程的解是______．
19．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两
个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．用
2000元购进 品种柑橘礼盒数与用2500元购进 品种柑橘礼盒数相同．
(1)求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为 元、 元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出
、 两种柑橘礼盒共 盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的 倍．总成
本不超过 元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户
在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
20．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征
第1个方程： 的解为
第2个方程： 的解为
第3个方程 的解为
解答下列问题：
(1)猜想，第5个方程，方程 的解为________．
(2)关于 的第 个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于 的分式方程：
