文档内容
第 05 讲 解题技巧专题：分式的混合运算和新定义型问题
目录
【考点一 分式的混合运算问题】............................................................................................................................1
【考点二 分式的混合运算先化简求值问题】........................................................................................................7
【考点三 分式的混合运算错解复原问题】..........................................................................................................11
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】..........................................................................................................16
【考点五 分式的混合运算新定义型问题】..........................................................................................................22
【考点六 分式的混合运算假分数问题】..............................................................................................................29
【考点七 分式的混合运算“倒数法”求值问题】..............................................................................................33
【考点一 分式的混合运算问题】
1．（24-25八年级上·北京·期中）计算：
(1)
(2)
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ．
3．（24-25八年级下·全国·单元测试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【考点二 分式的混合运算先化简求值问题】
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
7．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简，再求值： ，其中 ．
8．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）先化简： ，然后从 ，0，2中选取一个合
适的数作为 的值代入求值．
9．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）先化简： ，然后从1， ，2025中选
择一个合适的数代入求值．
10．（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）先化简，再求值： ，其中
11．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）先化简，再求值： ，请从 ， ，1，2
四个数中选择一个合适的数代入求值（说明取值理由）．【考点三 分式的混合运算错解复原问题】
12．（2025·甘肃临夏·一模）下面是小夏同学进行分式化简的过程：
化简： ．
解：原式 ………………第
一步
………………第二步
．………………第三步
(1)小夏同学的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
13．（2025·广东深圳·二模）在化简 的过程中，小深、小圳同学分别给出了如下的部
分运算过程：
小深：原式
……
小圳：原式
……
(1)小深解法的依据是______，小圳解法的依据是______；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
(2)试选一种解法，写出完整的解答过程．
14．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）下面是小亮同学对分式的化简过程，请认真阅读并完成相应的
问题．
…第一步
…第二步
…第三步…第四步
…第五步
问题解答：
(1)从第______步开始出现错误；
(2)请写出正确的化简过程．
15．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进
行“接力游戏”．
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式
乙同学：
丙同学：
丁同学： ．
规则如下：四位同学分别完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同
学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据上表的“接力游戏”回答问题：
(1)在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A．等式的基本性质B．不等式的基本性质C．分式的基本性质 D．乘法分配律
(2)在“接力游戏”中，该分式的化简结果______（ 填“正确”或“错误”），若化简结果错误，从
______同学开始出现错误，并写出该分式化简的正确解答过程．
16．（23-24八年级下·江苏南京·期中）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行
“接力游戏”，规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同
学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”完成两个任务：
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式乙同学：
丙同学：
丁同学： ．
(1)【任务一】
①在“接力游戏”中，丁同学是依据______进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质
D．乘法分配律
②在“接力游戏”中，从______同学开始出现错误．
(2)【任务二】
①该“接力游戏”正确的化简结果是______；
②从2， ，1这三个数中选取一个合适的数代入化简结果中求值．
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】
17．（24-25八年级上·江西南昌·期末）观察以下等式：
第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
第5个等式： ．
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式 （用含n的等式表示），并证明．
18．（2025·安徽六安·模拟预测）观察下列各个等式的规律：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
用上述等式反映的规律，解答下列问题．
(1)请直接写出第5个等式：________．
(2)猜想第 个等式（用含 的代数式表示），并证明其正确性．
19．（24-25九年级下·安徽淮南·开学考试）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
根据以上规律解答下面问题：
(1)直接写出第4个等式：__________；
(2)猜想出第 个等式（用含 的式子表示），并证明．
20．（2025·安徽蚌埠·一模）【观察思考】
观察下列等式：
第1个等式： ；第2个等式： ；
第3个等式： ；第4个等式： ；
【规律发现】
（1）第5个等式是 ；
（2）猜想第 n个等式是 (用含 n的代数式表示)；
【规律论证】
（3）请证明猜想的第 n个等式．
21．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）观察下列等式： ， ， ，将以
上三个等式两边分别相加得 ．
(1)猜想并写出： _______．
(2)直接写出下列各式的计算结果：
① _______；
② _______．
(3)探究并计算： ．
【考点五 分式的混合运算新定义型问题】
22．（24-25八年级下·河南新乡·期中）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即 ，则称
分式B是分式A的“关联分式”．
例如： 与
， ，
是 的“关联分式”．
(1)已知分式 ，则 __________ 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
(2)求分式 的“关联分式”；
(3)观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________．
23．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的
形式，则称这个分式为“和谐分式”．
(1)给出下列分式： ； ； ； ．其中属于“和谐分式”的是_______（填序
① ② ③ ④
号）；
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)化简 ．若该式的值为整数，求x的整数值．
24．（24-25八年级上·贵州铜仁·期中）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”，例如：
，则分式 与 互为“3阶分式”．
(1)分式 与 互为“________阶分式”；
(2)已知正数x，y满足 ，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
(3)若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b均为正数），求 的值．
25．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）定义：若分式 与分式 的差等于它们的积，即 ，
则称分式 是分式 的“分裂分式”．如 与 ，因为
，所以 是 的“分裂分式”．
(1)填空：分式 ___________分式 的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
(2)分式 是分式 的“分裂分式”．求整数 为何值时，分式 的值是正整数，并写出分式 的值．
(3)若关于 的分式 是关于 的分式 的“分裂分式”，求 的值．
26．（24-25八年级上·广东汕头·期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即 ，则
称分式N是分式M的“关联分式”．如 与 ，因为 ，
，
所以 是 的“关联分式”．
(1)请判断分式 与分式 是否为“关联分式”，并说明理由；
(2)小明在求分式 的“关联分式”时，用了以下方法：
设 的“关联分式”为N，则 ，
∴ ，∴ ．
请你仿照小明的方法求分式 的“关联分式”；(3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“关联分式”：__________；
②用发现的规律解决问题：若 是 的“关联分式”，求实数m，n的值．
【考点六 分式的混合运算假分数问题】
27．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的
次数，称这样的分式为真分式，例如：分式 ， 是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，
称这样的分式为假分式．例如： ．
(1)将假分式 化为一个整数与一个真分式的和；
(2)若x是整数，且假分式 的值为正整数，求x的值；
(3)若假分式 化为一个整式与一个真分式的和的形式为 ，A，B均为关于x的多项式，若
， ，求 的最小值．
28．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称
之为“假分式”，例如： ， 这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称
之为“真分式”，例如： ， 这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：
．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式 是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：
______+______．
(2)把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
29．（24-25八年级上·山东滨州·期末）阅读下列材料：
通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：
．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母
的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如： 这样的分式就是假分式；再如： 这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可
以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如： ；
再如： ．
解决下列问题：
(1)分式 是_______（填“真分式”或“假分式”）；
(2)如果分式 的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值．
(3)把分式 化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程．
【考点七 分式的混合运算“倒数法”求值问题】
30．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）阅读下面的解题过程：
已知： ，求 的值．
解：由 ，可知 ，
，即 ①
②，
故 的值为 ．
(1)第②步 运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示）
(2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知： ，求 的值；
(3)已知： ，求 的值．
31．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知 ，求
的值．
解：由 ，知 ，所以 ，即 ．
，
的值为7的倒数，即 ．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做
“倒数法”，
（二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知 ，求 的值．
（三）问题解决：
已知： ．求代数式 的值．
32．（24-25八年级上·山东烟台·期中）阅读下面的解题过程：
已知 ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即
所以：
所以 的值为
该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值；(3)拓展：已知 ， ， ，求 的值．
33．（23-24八年级上·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知 ，求 的值．
解：由 知 ，所以 ，即 ．
因此 ，所以 的值为 ．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 ，求 的值．
