文档内容
第 07 讲 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参数问题
目录
【考点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】..................................................................................................1
【考点二 整式与分式混合运算易错】....................................................................................................................3
【考点三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】..................................................................................5
【考点四 解分式方程不验根】................................................................................................................................9
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................12
【考点六 分式方程无解与增根混淆不清】..........................................................................................................17
【考点七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】.......................................19
【考点八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】......................................................................................22
【考点一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知分式 的值为0，则x的值是 ．
2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若分式 的值为零，则 的值是 ．
3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如果分式 的值为0，那么x的值为 ．
4．（24-25八年级上·江西上饶·期中）对于分式 当 时，分式有意义；当 时，
分式无意义；当 时，分式的值为 ．
5．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）若分式 的值为 ，则 ．
【考点二 整式与分式混合运算易错】
6．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．
7．（2025·陕西西安·模拟预测）化简 ．
8．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算： ．9．（2025·陕西榆林·二模）化简： ．
10．（2025·江苏南京·一模）计算： ．
【考点三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
11．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）先化简，再求值： ，其中从 、 、
中选一个合适的数作为 的值代入求值．
12．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）先化简 ，然后从 中选择一个适当
的整数作为x的值代入求值．
13．（24-25八年级上·山东济宁·期中）先化简： ，再从 ， ， ， 中选择
一个适合的数 代入求值．
14．（24-25七年级上·上海·阶段练习）先化简： ，再 ， ， ， 中选一个
你喜欢的 值代入求值．
15．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）先化简： ，并从 ， ， 中选一个
合适的数作为 的值代入求值．
【考点四 解分式方程不验根】
16．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）解分式方程：
(1)
(2)
17．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1)
(2)
18．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列分式方程：
(1) ；(2) ．
19．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）解方程．
(1) ；
(2) ．
20．（2025八年级下·全国·专题练习）解方程：
(1) ；
(2)
【考点五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
21．（24-25八年级下·全国·课后作业）若分式 的值为整数，求整数x的值．
22．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）阅读下列材料，解决问题：
在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将
分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式．
例如：将分式 拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加．
(1)请将 拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式．
(2)如果分式 的值是整数，求所有符合条件的整数x的值．
23．（2025八年级下·全国·专题练习）使分式 的值为整数的整数x的值有多少个？
请先阅读解题过程，回答有关问题．
因为 ，
又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除 ，当 时，因为 ，所以分母为零，分式无
意义．
所以 可取的值为 ， ，1，2，相应的x的值为 ，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个．
(1)本题的解题思路是 ；(2)运用这种解题思路，求出使分式 的值为整数的整数x的值．
24．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分
数”，而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母
的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数
时，我们称之为“真分式”．
如 这样的分式就是假分式： 这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带
分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如 ．
解决下列问题：
(1)分式 是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式 化为带分式；
(3)若分式 的值为整数，x为整数，求分式的值．
25．（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解答问题．
将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：因为分母是 ，可设 ，
则 ．
对于任意 的值上述等式都成立， 解得
．
这样，分式 就拆分成了整式 与分式 的和的形式．
(1)若将分式 拆分成 （ 为整数），则 ______， ______．
(2)将分式 拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
(3)已知分式 的值为负整数，直接写出满足条件的整数 的值．【考点六 分式方程无解与增根混淆不清】
26．（24-25八年级上·四川眉山·期末）若关于 的方程 无解，则k的值为 ．
27．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）已知关于x的方程 有增根，则m的值为 ．
28．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
29．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如果 是关于 的方程 的增根，那么 的值为
．
30．（24-25七年级上·上海·假期作业）若关于 的分式方程 无解，则 的值为
．
【考点七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
31．（2025·四川广安·二模）若关于 的方程 的解是非负数，则 的取值范围为______．
32．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程 的解是个正数，那么m的取值范围是
．
33．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）关于x的方程 的解为非负数，则m的取值范围
是 ．
34．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 有整数解，则整数m的值
为 ．
35．（2025·重庆·一模）若整数a使得关于x的不等式组 有正整数解，且关于y的分式方程
有正整数解，则所有满足条件的a的值之积为 ．
【考点八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】
36．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“雅中式”，这个常数称
为 关于 的“雅中值”．如分式 ， ，则 是的“雅中式”， 关于 的“雅中值”为 ．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出
关于 的“雅中值”．
(2)已知分式 ， ， 是 的“雅中式”，且 关于 的“雅中值”是 ， 为整数，
且 的值也为整数，求 所代表的代数式及所有符合条件的 的值．
37．（24-25八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与实践
问题情境
如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这
个分式为“优美分式”．如 ，
，则 和 都是“优美分式”．
初步验证
（1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）．
① ；② ；③ ；④ ．
（2）将 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
探究应用
（3）当 时，求 的最小值．
38．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）阅读理解题．
我们定义：如果两个分式 与 的差为常数，且这个常数为正数，则称 是 的“和谐式”，这个常数称
为 关于 的“和谐值”．
例：分式 ， ， ，则 是 的“和谐式”， 关于 的
“和谐值”为2．
(1)已知分式 ， ，判断 是否为 的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出
关于 的“和谐值”．
(2)已知分式 ， ， 是 的“和谐式”， 关于 的“和谐值”是1， 为整数，且
的值也为整数，
①求 所表示的代数式．
②求所有符合条件的 的值．(3)已知分式 ， ， 是 的“和谐式”，则 关于 的“和谐值”是______．（直接写
出答案即可）．
39．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则
称M与N互为“和整分式”，常数 称为“和整数值”．例如， ， ，
，则M与N互为“和整分式”，“和整数值” ．
(1)已知分式 ， ，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数
值”k；若不是，请说明理由；
(2)已知分式 ， ，C与D互为“和整分式”，且“和整数值” ．
①求P所代表的代数式；
②若分式D的值为正整数，求正整数x的值．
40．（24-25八年级上·北京·阶段练习）新定义：如果两个实数 使得关于x的分式方程 的解是
成立，那么我们就把实数 组成的数对 称为关于x的分式方程 的一个“关联数对”．
例如： ， 使得关于x的分式方程 的解是 成立，所以数对 就是
关于x的分式方程 的一个“关联数对”．
(1)判断下列数对是否为关于x的分式方程 的“关联数对”，若是，请在括号内打“ ” 若不是，
打“ ”．① （ ）；② （ ）．
(2)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，求 的值．
(3)若数对 是关于x的分式方程 的“关联数对”，且关于x的方程
有整数解，求整数 的值．
