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第 06 讲 分式方程
课程标准 学习目标
①分式的定义 1.理解分式方程的概念，并会熟练解分式方程；
②分式方程要验根 2.理解增根的概念，会检验分式方程的根；
③分式方程的应用 3.会用分式方程解决相关问题，并进行简单的应用.
知识点01 分式方程的概念
分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．
【即学即练1】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据
分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、 不含有分式，不是分式方程，不符合题意；
B、 分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
C、 分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意；
D、 分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意．
故选：D．
2．（24-25八年级下·上海·阶段练习）下列关于 的方程： ， ， ，
中，是分式方程的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的方程
叫做分式方程，根据定义逐项分析即可．
【详解】解：关于 的方程 中，分母不含未知数，不是分式方程；
关于 的方程 中，分母中含未知数，是分式方程；
关于 的方程 中，分母中含未知数，是分式方程；
关于 的方程 中，分母中含未知数，是分式方程；
故选：C．
知识点02 分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式
的最简公分母．
（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘
最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．
注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．
【即学即练2】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2) （增根），原方程无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）将分式方程化为整式方程得到 ，继而得到 ，解得 ，经检验
是原方程的解；
（2）将分式方程化为整式方程得到 ，继而得到 ，解得 ，当 时
，所以 是分式方程的增根，原方程无解．
【详解】（1）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（2）解：
，
解得 ，
当 时 ，
是分式方程的增根，原方程无解．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)原方程无解
(2)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键．
（1）运用取分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法求解即可；
（2）运用取分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验根的方法求解即可．
【详解】（1）解： 变形得， ，
去分母得， ，
移项、合并同类项得， ，
检验，当 时，原分式方程的分母为0，
∴原分式方程无解；
（2）解：
去分母得， ，
去括号得， ，
移项、合并同类项得， ，
系数化为1得， ，
检验，当 时，原分式方程有意义，
∴原分式方程的解为 ．
知识点03 分式方程的增根
增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所
以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的
根．
【即学即练3】
1．（24-25八年级下·上海·期中）若关于x的方程 有增根，则 值为 ．
【答案】【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为 ，熟记增
根特点是解题的关键．
先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可．
【详解】解： ，
，
，
∵关于 的分式方程 有增根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知分式方程 无解，那么常数 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的无解问题．根据题意分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，
或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，故此可以得到本题答案．
【详解】解： ，
去分母得： ，
∵当 时，分母为0，方程无解，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）关于 的分式方程 的解为正实数，则 的取值范围是
．
【答案】 且 ．
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根
据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解： ，
方程两边同乘 得， ，解得： ，
且 ，
且 ，
的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
知识点04 分式方程的应用
（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．
每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝ ，时间＝ 等．
（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤
检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答．
【即学即练4】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工厂原计划用一定的时间生产某种零件4000个．现由于进行了技
术改造，每天比原计划增产了 ，结果提前10天完成任务．原计划日产多少个零件？
【答案】原计划日产80个零件
【知识点】分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
设原计划日产x个零件，根据现由于进行了技术改造，每天比原计划增产了 ，结果提前10天完成任务．
列出分式方程，解方程即可．
【详解】解：设原计划日产x个零件，
依题意得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
答：原计划日产80个零件．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题：
为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已
知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间
相等．(1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料；
(2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不
超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？
【答案】(1)120千克，100千克
(2)480千克
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间
相等列方程求解即可；
（2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运 千克冰冻原料，
根据题意，得
解得 ，
经检验 是原方程的解．
．
答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料．
（2）解：设A组搬运m千克原料．
根据题意，得
解得 ．
答：A组至少搬运480千克原料．
题型01 分式方程的概念
例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列关于 的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的定义：分母中含有未知数的方程，即可得出答案．【详解】A、 是整式方程，不符合题意；
B、 是整式方程，不符合题意；
C、 是关于 的整式方程，不符合题意；
D、 是分式方程，符合题意；
故选：D．
【变式训练】
1．（2025·上海闵行·模拟预测）在下列方程中，分式方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．
根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意；
B、是整式方程，故此选项不符合题意；
C、是分式方程，故此选项符合题意；
D、不是分式方程，故此选项不符合题意；
故选：C
2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
3．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ ，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可．【详解】解： 是分式方程， 是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C．
②④⑤ ①⑥
题型02 解分式方程
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)原方程无解
(4)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键，
（1）两边同时乘 去分母变为整式方程，然后解整式方程，检验即可；
（2）两边同时乘 去分母，然后解整式方程，最后检验即可；
（3）两边同时乘 去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可；
（4）两边同时乘 去分母变为整式方程，然后解整式方程，最后检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解；
（2）解： ，去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解；
（3）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（4）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)无解
(3)无解
(4)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本方法，是解题的关键，
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（3）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（4）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解；
（2）解： ，
去分母得： ，
去括号得：
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（3）解： ，
去分母得： ，
去括号得：移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（4）解： ，
去分母得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解．
2．（24-25八年级下·全国·单元测试）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)无解
(2)
(3)
(4)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式
方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
（1）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
（2）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
（3）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．
（4）两边都乘以 化为整式方程求解，然后验根即可．【详解】（1）
两边都乘以 ，得
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的增根，原方程无解．
（2）
两边都乘以 ，得
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
（3）
两边都乘以 ，得
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
（4）
两边都乘以 ，得
解得
检验：当 时， ，
∴ 是原方程的解．
3．（24-25八年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；(4) ；
(5) ；
(6) ．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ．
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了；
（2）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了；
（3）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了；
（4）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了；
（5）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了；
（6）把分式方程化为整式方程，再求解并验根即可了．
【详解】（1）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（2）解：
解得 ，经检验 是原方程的解；
（3）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（4）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（5）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解；
（6）解：
解得 ，
经检验 是原方程的解．
题型03 已知分式方程的增根求参数
例题：（2025·甘肃天水·一模）关于x的分式方程 有增根，则m的值为 ；
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解
之就可得到字母参数的值．
【详解】解：根据题意得： ，
分式方程 有增根，
最简公分母 ，
解得， ，
将 代入 ，得 ，
故答案为：
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若关于x的方程 有增根，则a的值是 ．
【答案】
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．
可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程
即可求得相关字母的值．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母 为
0，得到 ，然后代入去分母后的整式方程算出a的值．
【详解】解：由分式方程的最简公分母是 ，
得分式方程的增根是 .
分式方程转化成整式方程为 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ．
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·福建泉州·阶段练习）当 时，方程 会产生增根．
【答案】
【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为 的根．
先把方程 化为整式方程得到 ，根据题意得到 ， ，代入
求出 ．
【详解】解：把方程 化为整式方程得 ，方程 有增根，
，
，
把 代入 得 ，
，
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）若分式方程 有增根，则它的增根是 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母
化分式方程为整式方程，让最简公分母 ，得到 或 ，然后代入整式方程算出a的
值，即可确定增根．
【详解】解：由 ，
去分母，得 ，
∵分式方程有增根，
∴ ，
∴ 或 ，
当 时，
，
解得 ；
当 时，
，
矛盾，a不存在．
故答案为： ．
题型04 已知分式方程的无解求参数
例题：关于 的分式方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或 或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分
式方程无解的两种情况即可求出 的值．【详解】解：
去分母得，
，
当增根为 或 时，
或
解得 或 ，
即 或 时，分式方程无解，
当 时，即 时，整式方程无解，分式方程无解，
综上可知，当 的值为 或 或 ．
故答案为： 或 或
【变式训练】
1．（23-24九年级上·云南楚雄·开学考试）如果关于 的方程 无解，则 的值为 ．
【答案】 或
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．
先求方程的解得到 ，再由方程无解可得 或 ，求出 即可．
【详解】解： ，
方程两边同时乘 ，得 ，
去括号得， ，
移项、合并同类项，得 ，
，
方程无解，
或 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 ．
2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）已知关于x的分式方程 无解，则k的值为 ．
【答案】3
【知识点】分式方程无解问题【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得 ，因为方程无解，即 ，
，即 ，求出 ，据此解答．
【详解】解： ，
去分母得： ，
解得， ，
因为方程无解，即 ，
解得， ，
即 ，
得： ．
故答案为：3．
3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于 的分式方程 ，若分式方程无解，则 的
值为 ．
【答案】 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关
键．
【详解】解： ，
∴ ，
整理得： ，
当 ，方程 无解，
∴ ，
∴原分式方程无解，
当 时， ，若分式方程无解，则 ，
∴ ，
综上， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
题型05 根据分式方程解的情况求值
例题：（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若关于x的分式方程 的解为负数，则m的取
值范围是 ．
【答案】 且【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方
程的解为负数确定出m的范围即可．
【详解】解：
原方程去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得：
∵关于x的分式方程 的解为负数，
∴ 且 ．
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·上海·阶段练习）关于x的方程 的解是个正数，那么m的取值范围是
．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，
可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零．
【详解】解：由原方程去分母，得 ，
解得 ，
关于x的方程 的解是正数，
，
解得 ，
又 ，
，
， ，
故m的取值范围为 且 ，
故答案为： 且 ．
2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 有整数解，则整数m的值为 ．
【答案】3，4，0
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值．
【详解】解：方程两边乘以 ，得： ，
整理得： ；
由于方程有解，则 ，即 ，
∴ ；
由于方程有整数解，则 ，
解得： 或 或 或 ，
当 时， ，此时方程无解；
综上，整数m的值为3，4，0．
3．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知分式方程 ．
（1）若分式方程无解，则b的值为 ．
（2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ．
【答案】 且
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题
【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键．
（1）先将分式方程化为整式方程，再求b．
（2）先表示分式方程的解，再求范围．
【详解】（1）
方程两边同乘 得： ．
∴ ．
方程无解，
，
．
∴ ．
∴ ．
故答案为： ．
（2）由（1）知： ．
∴ ．
方程的解是非负数．∴ ．
∴ ．
，
∴
．
∴ ．
∴ 且
故答案为： 且 ．
题型06 列分式方程
例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）甲，乙两人合作录入一份稿件．甲先单独录入了 ，余下部分由
乙单独用 才完成．已知甲需要用 录入的稿件由乙录入需要 ．若设甲单独录入这份稿件需 ，则
根据题意可列方程 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程和理解题意能力，关键设出甲需要多少小时完成这项工作，
然后表示出乙，根据工作量 工作效率 工作时间列方程求解．设甲单独完成需 小时，根据已知甲独做6
小时的工作量，由乙独做要用7.5小时，可求出乙完成这份稿件需要 小时，根据工作量 工作效率 工
作时间，可列方程求解．
【详解】解：设甲完成这份稿件需 小时，乙所需要的时间为 ，根据题意列方程得：
，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（24-25八年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产 产品，如果每天比原计划多生产 ，可提前
2天完成．设原计划每天生产 产品，则可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程【分析】本题考查分式方程的应用，先根据题意得到现在计划每天生产 产品，再根据提前2天
完成列分式方程即可．
【详解】解：设原计划每天生产 产品，则现在计划每天生产 产品，
根据题意，得 ，
故答案为： ．
2．（24-25八年级上·北京怀柔·期末）我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三
丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现
在有绫布和罗布长共3丈（ 丈 尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入 文，每尺绫布和每尺罗布
一共需要 文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布
有x尺，则罗布有 尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入 文；绫布和罗布各出售一
尺共收入 文列出方程即可．
【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有 尺，
由题意得： ，
故答案为：
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了
满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9
万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】 根据种植亩数 总产量 平均亩产量，结合改良后的种植面
积比原计划少 亩，即可列出关于的方程．
【详解】原计划种植亩数为 改良后种植亩数为 根据题意，得
故答案为： ．
题型07 分式方程的实际应用例题：（24-25八年级下·全国·单元测试）甲、乙两组学生从学校出发，去距学校 的敬老院打扫卫生，
甲组学生步行出发 后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的 倍，结果两组学生
同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？
【答案】 ；
【知识点】分式方程的行程问题
【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键．
设步行速度为 ，则自行车的速度为 ，由此列分式方程求解即可．
【详解】解：设步行速度为 ，则自行车的速度为 ，
∴ ，
解得， ，
检验，当 时，原分式方程有意义，
∴步行速度为 ，
∴ ，
∴自行车的速度为 ．
【变式训练】
1．（2025·云南昆明·模拟预测）新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．
在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，
已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍，甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的
锰矿石所用时间少 天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？
【答案】 吨、 吨
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的工程问题
【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开
采锰矿石的量为 吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的 倍”得甲队每天开采锰矿石的量为
吨，利用“甲队开采 吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少 天”列式，求解
即可．
【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为 吨，则甲队每天开采锰矿石的量为 吨，
根据题意，得： ，
解得： （吨），
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
（吨），
答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为 吨、 吨．
2．（24-25八年级下·四川内江·期中）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总
票房达 亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场
最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了 、 两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个 种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进 、 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进 、 两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于
种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】(1)购进 、 两种哪吒玩偶的单价分别是 元， 元
(2)最少要花3210元钱
【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容
是解题的关键．
（1）先设设购进 、 两种哪吒玩偶的单价分别是 元， 元，再依题意列出 ，进行计算，
即可作答．
（2）先设该玩具店购进 种哪吒玩偶 个，则该玩具店购进 种哪吒玩偶 个，根据 种哪吒玩偶
的数量不多于 种哪吒玩偶数量的2倍，得 ，解得 ，再设购进 、 两种哪吒玩偶所
需 元，得 ，运用一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：∵一个 种哪吒玩偶是一个 种玩偶价格的2倍，
∴设购进 、 两种哪吒玩偶的单价分别是 元， 元，
∵某玩具店决定各用300元购进了 、 两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个．
∴ ，
解得 ，
经检验： 是原分式方程的解，
则 （元）
∴购进 、 两种哪吒玩偶的单价分别是 元， 元，
（2）解：∵该玩具店决定再次购进 、 两种哪吒玩偶共80个，
∴设该玩具店购进 种哪吒玩偶 个，则该玩具店购进 种哪吒玩偶 个，
∵ 种哪吒玩偶的数量不多于 种哪吒玩偶数量的2倍，
∴ ，
解得 ，
设购进 、 两种哪吒玩偶所需 元，
∵ 、 两种哪吒玩偶的单价分别是 元， 元，
∴ ，
∵ ，
∴ 随着 的增大而减小，∵ ，且 为正整数，
∴当 时， 有最小值，且 ．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜
爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔
滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费
300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个
雪花形会徽徽章多花35元．
(1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？
(2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2
倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？
【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元
(2)20个
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要 元，根据“购买吉祥物“滨
滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一
半”，进行列式，解出 ，注意验根，即可作答．
（2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出 ，即可作答．
【详解】（1）解：设购买一个雪花形会徽徽章需 元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶 元．
根据题意得： ，
解得： ．
经检验 是原方程的解，
，
答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元；
（2）解：设购买雪花形会徽徽章 个．根据题意得，
解得，
答：最多购买雪花形会徽徽章20个．一、单选题
1．（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程，
故选：A．
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）若关于 的方程 的解与方程 的解相同，则 等于
（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查的是解分式方程，求出第二个分式方程的解，代入第一个方程求出a的值即可．
【详解】解：方程 ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
把 代入得： ，
即
去分母整理得： ，
解得： ，
经检验 是分式方程的解，
故选：B．
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）我校秋季运动会，八年级120人要参加举旗表演，按原计划分组后，
又来了20人，比原计划多分一组，但每组人数比原计划少了2人，设原计划分 组，则可得方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设原计划分 组，
根据题意列出方程即可求解．
【详解】解：设原计划分 组，
由题意得， ．
故选：D．
4．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）关于 的分式方程 有增根，则它的增根是（
）
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的增根，理解产生增根的原因是解题的关键．
先去分母，然后把分母为0的 值代入整式方程，可求 的值，则有增根，整式方程不成立，则没有增根．
【详解】解： ，
方程两边都乘以 去分母得：
，
∵关于 的分式方程 有增根，
∴ 或 ，
当 时， ，
解得 ，
∴当 时有增根 ，
当 时， 不成立，
∴分式方程只有一个增根 ，
故选择： ．
5．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于
的分式方程 有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为（ ）
A．9 B．6 C．2 D．
【答案】B
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，先解一元一次不等式组，根据不等式组的解
集为 ，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵原不等式组的解集为： ，
∴ ，
，
解得： ，
∵分式方程有非负整数解，
∴ ，y为整数且 ，
∴ ，且 ，
∴符合条件的所有整数a的值为： ，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：B．
二、填空题
6．（24-25九年级下·四川成都·期中）方程 的解是
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母，化为整式方程，再
解即可，注意验根．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
化简，得： ，
解得： ，
经检验， 是分式方程的解，故答案为： ．
7．（24-25八年级下·全国·课后作业）分式方程 去分母时，两边都乘 ．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程时方程两边乘最简公分母，这样分式方程化为了整式方程，
确定最简公分母是关键．
【详解】解：∵分式方程 可化为 ，
∴去分母时，方程两边应都乘以 ，
故答案为： ．
8．（2024·山东泰安·一模）舞蹈诗剧《只此青绿》以收藏于故宫博物院的北宋青绿山水巅峰之作《千里江
山图》为创作背景，以时间为主轴，以“青绿”为视觉主色调，通过舞蹈、绘画等艺术门类的跨界融合，
展现中国古典艺术之美和优秀传统文化的时代气息．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局
部画面装裱前是一个长为3.4米、宽为2.5米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是 ，且四周边衬
的宽度相等．问：边衬的宽度应是多少米? 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键．
设边衬的宽度为x米，用x的代数式表示装裱后整幅图画宽与长，再根据宽与长的比是9:14，列出方程即
可．
【详解】设边衬的宽度为x米，装裱后，整幅图画的宽为 米，长为 米，根据题意，得
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）若关于x的方程 无解，则m的值为 ．
【答案】 或22或
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了分式方程的解法，无解的意义，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，转换为整
式方程，解方程即可．
【详解】解： ，去分母，得 ，
整理，得 ，
当 时，原方程有增根，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
当 时， ，方程无解，也符合题意．
故答案为： 或22或 ．
10．（24-25九年级下·重庆长寿·期中）关于 的一元一次不等式组 有解且至多3个整数解且关
于 的分式方程 有整数解，那么符合条件的所有整数 的和为
【答案】13
【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，解不等式组得出 ，结合不等式组有解
且最多有3个整数解，求出 ，解分式方程得出 ，结合关于 的分式方程有整数解，得出
， ，即可得解．
【详解】解：解不等式组 得 ，
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
∴ ，
解得： ，
解关于 的分式方程 得 ，
∵关于 的分式方程有整数解，
∴ 或 或 或 或 或 ，
∵ ，
∴
∵ 为整数，且 ，∴ ， ，
那么符合条件的所有整数 的和为 ，
故答案为：13．
三、解答题
11．（23-24八年级上·湖南岳阳·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，熟知分式方程需检验是解题的关键．
（1）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解；
（2）先将分式方程化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】（1）解：
方程两边同乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时 ，
原分式方程的解是 ；
（2）解： ，
方程两边同时乘 ，得 ，
解得 ，
检验：当 时， ，
原分式方程无解．
12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）解方程：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．【答案】(1)
(2)原方程无解
(3)原方程无解
(4)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案；
（4）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得到答案．
【详解】（1）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解；
（2）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（3）解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，检验，当 时， ，
∴ 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（4）解：解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验，当 时， ，
∴ 是原方程的解．
13．（2025·河北·模拟预测）下面是小倩同学解方程 的过程，请认真阅读并解答相应问题．
解：方程两边同乘 ，得 ， 第一步
移项，得 ， 第二步
合并同类项，得 ， 第三步
系数化为1，得 ． 第四步
(1)以上解题过程中，第 步开始出现错误；
(2)写出该方程正确的解题过程．
【答案】(1)一
(2) ，见解析
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题主要考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）方程两边同乘 时，左边的项 没有乘以 ，故第一步开始出错；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘 时，左边的项 没有乘以 ，故第一步开始出错．
故答案为：一；
（2）解：方程两边同乘 ，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
检验： 时， ，
∴ 是该分式方程的解．14．（24-25八年级下·河南南阳·期中）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批
航空、航海模型，已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多 元，用 元购买航空模型的
数量是用 元购买航海模型数量的 ，求航空模型和航海模型的单价．
【答案】航空模型的单价为 元，航海模型的单价为 元
【知识点】分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，设航空模型的单价为 元，则航海模型的单价为 元，根据题
意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设航空模型的单价为 元，则航海模型的单价为 元，
由题意得， ，
解得
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：航空模型的单价为 元，航海模型的单价为 元．
15．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）已知关于 的方程： ，若方程有增根，
求 的值．
【答案】 或6
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的
值，代入整式方程中，进行求解即可．
【详解】解： ，
去分母，得： ，
整理得： ；
∵方程有增根，
∴ 或 ，
∴ 或 ；当 时， ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上： 或6．
16．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若关于x的分式方程 无解，求参数a的值．
【答案】a的值为
【知识点】分式方程无解问题
【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的
值．
【详解】解：方程两边同乘 ，得 ，
整理得： ，
当 时，方程 无解，从而分式方程无解，
解得： ；
当 时，方程 解为 ，
分式方程的增根为 或 ，
当 时，解得 ；
当 时，解得 ；
综上，分式方程无解时，a的值为 ．
17．（24-25八年级上·山东济南·期中）若关于x的分式方程 的解为正整数，则正数m的值
为多少？
【答案】正数 的值是 6 或 9
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为 是解题的关键．
先按照解分式方程的步骤求出 ，再根据 结合分式方程的解为正整数进行求解即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，合并同类项得： ，
系数化为 1 得： ，
，
∴ ，
，
，
∵分式方程有正整数解，
∴正数 的值是 6 或 9 ．
18．（24-25八年级下·全国·课后作业）阅读并完成下列问题．
通过观察发现：方程 的解是 的解是 ．
(1)观察上述方程的解，可以猜想关于 的方程 的解是______；
(2)把关于 的方程 变形为方程 的形式（ 是含 的代数式，c是含a的代数
式）是______，方程的解是______．
【答案】(1) ， ；
(2) ； ，
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查分式方程的解及解分式方程，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
（1）观察上述方程，猜想得到所求方程的解即可；
（2）已知方程变形后，利用转化的思想找出方程的解即可．
【详解】（1）解：观察上述方程的解，可以猜想关于 的方程 的解是 ，
故答案为： ；
（2）解：
，
；
或 ，，
故答案为： ； ， ．
19．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将 、 两
个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件 品种柑橘礼盒比 品种柑橘礼盒的售价少 元．用
2000元购进 品种柑橘礼盒数与用2500元购进 品种柑橘礼盒数相同．
(1)求 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？
(2)已知加工 、 两种柑橘礼盒每件的成本分别为 元、 元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出
、 两种柑橘礼盒共 盒，且 品种柑橘礼盒售出的数量不超过 品种柑橘礼盒数量的 倍．总成
本不超过 元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排 、 两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户
在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？
【答案】(1) 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元
(2)要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒595盒，售出 种柑橘礼盒405盒，最大收益为
34050元
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出正确的方程是解题的关键．
（1）设 种柑橘礼盒每件的售价为 元，则 种柑橘礼盒每件的售价为 元，根据题意列出分式方程，
即可求解；
（2）设售出 种柑橘礼盒 盒，则售出 种柑橘礼盒 盒，根据题意列出不等式组，得出
，设收益为 元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设 种柑橘礼盒每件的售价为 元，则 种柑橘礼盒每件的售价为 元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴ ，
∴ 、 两种柑橘礼盒每件的售价分别为80元，100元．
（2）解：设售出 种柑橘礼盒 盒，则售出 种柑橘礼盒 盒，
根据题意得： ，
解得： ，
设收益为 元，根据题意得： ，
∵ ，
∴ 随 的增大而减小，
∴当 时， 取得最大值，最大值为 （元），∴售出 种柑橘礼盒 （盒），
∴要使农户收益最大，销售方案为售出 种柑橘礼盒595盒，售出 种柑橘礼盒405盒，最大收益为34050
元．
20．（24-25八年级上·北京顺义·期中）观察下列方程及其解的特征
第1个方程： 的解为
第2个方程： 的解为
第3个方程 的解为
解答下列问题：
(1)猜想，第5个方程，方程 的解为________．
(2)关于 的第 个方程为________，它的解为________；
(3)利用上述规律解关于 的分式方程：
【答案】(1)
(2) ，
(3)
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】本题考查了解分式方程，数式规律问题，分式方程的解，根据题意找出规律是解题的关键．
（1）仿照题中规律，解答即可；
（2）仿照题中规律，解答即可；
（3）先把原方程两边同时乘2，进行变形为 ，利用得出的规律解答即可．
【详解】（1）解： ，即 ，
∴ ， ，
故答案为： ， ；
（2）解：可猜想第n个方程为： 的解为 ， ，
故答案为： ， ；（3）解：方程两边乘2得， ，
移项，得 ，
∴ 或 ，
解得： ， ，
经检验得， ， 是原方程的解．
