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第 06 讲 易错易混专题：分式与分式方程中常见的易错与含参
数问题(8 类热点题型讲练)
目录
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】..........................................................................................1
【易错二 整式与分式混合运算易错】............................................................................................................4
【易错三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】..........................................................................8
【易错四 解分式方程不验根】......................................................................................................................11
【易错五 求使分式值为整数时未知数的整数值】......................................................................................16
【易错六 分式方程无解与增根混淆不清】..................................................................................................19
【易错七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】...............................22
【易错八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】...............................................................................25
【易错一 分式值为0时求值，忽略分母不为0】
例题：（2024上·云南昭通·八年级统考期末）若分式 ，则x的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的值为0的条件，根据题意可得 ，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
解得： ，
故选：D．
【变式训练】
1．（2024上·广东云浮·八年级罗定中学校联考期末）分式 的值为0，则 的值为（ ）
A．2或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0得到，解之即可得到答案．
【详解】解：∵ 的值为0，
∴ ，
解得 ，
故选：D．
2．（2023上·内蒙古通辽·八年级统考期末）若分式 的值为零，则 的值是（ ）
A．2或 B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了分式值为零的条件，当分式的值为0时，分子为0，分母不为0，即可得出答案．
【详解】解：根据题意，得 ，且 ，
解得： 且 ，即
故选：C．
3．（23-24八年级上·云南昆明·阶段练习）若式子 的值等于0，则 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查分式的值为0，解题的关键是正确理解分式的值为0的条件，本题属于基础题型．根据
分式的值为0的条件即可求出答案．
【详解】解：由题意可知：
解得：
故答案为：2
4．（2023上·山东聊城·八年级校考阶段练习）①当 时，分式 有意义；②当 时，分
式 的值为0．
【答案】
【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式为零的条件，根据分式有意义分母不为零，分式为零分子为
零，分母不为零进行求解即可．
【详解】解：① 分式 有意义，
，即 ，② 分式 的值为0，
，
得 ，
故答案为：① ；② ．
5．（2023秋·八年级单元测试）已知分式 ．
(1)若分式无意义，求x；
(2)若分式值为0，求x；
(3)若分式的值为整数，求整数x的值．
【答案】(1) 或
(2)
(3) 或4或8
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得 ，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得 ，且 ，再解即可；
（3）分式值为整数，将分式变形为 ，再根据数的整除求解．
【详解】（1）解：∵分式无意义，
∴ ，
解得： 或 ；
（2）∵分式值为0，
∴ ，
解得： ；
（3）
∵分式的值为整数，∴ 或5或 或 ，
解得： 或8或2或 ，
∵ 且 ，
∴整数x的值为 或4或8．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式的值，关键是掌握各种情况下，分式所应具备的
条件．
【易错二 整式与分式混合运算易错】
例题：（2024上·陕西延安·八年级统考期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【变式训练】
1．（2024上·上海松江·七年级统考期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，首先将括号内的式子进行通分，然后将除法转化为乘法，约分化简
即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：．
2．（2023上·陕西西安·九年级校考阶段练习）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序，
先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式型．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
【详解】
．
3．（2023上·上海徐汇·八年级上海民办南模中学校考阶段练习）计算：
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算的法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用
同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【详解】原式4．（2022上·河北唐山·八年级校联考期末）计算：
(1) ； (2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解决本题的关键．
（1）先利用分式的性质把分母化为同分母，再进行同分母的减法运算，即可求解；
（2）先算括号里面加减法，再把除法统一成乘法，即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
5．（2023上·山东东营·八年级校考期中）计算题：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)(4)
【分析】本题考查分式混合运算，涉及分式加减乘除混合运算、通分、约分等知识，熟练掌握分式混合运
算的运算法则是解决问题的关键．
（1）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（2）先通分，利用同分母的分式加法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分，最后通过整式
乘法计算即可得到答案；
（3）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，再将除法转化为乘法，因式分解，约分即可得到答案；
（4）先通分，利用同分母的分式减法运算计算，因式分解，再将除法转化为乘法，约分，最后通分、利
用同分母的分式减法运算计算后约分即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：．
6．（2024·湖北孝感·一模）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先把括号内的分式通分，再把除法变成乘法，接着约分化简，最后代值
计算即可.
【详解】解：
，
当 时，原式= ．
【易错三 自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0】
例题：（2023秋·湖南长沙·九年级统考期末）先化简： ，然后从 、0、2、3中选择
一个合适的值代入求值．【答案】 ；当 时，原式
【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在 、0、2、3中选择一个使得原分式有意
义的值代入化简后的式子即可得到答案．
【详解】解：原式 ，
，
，
∴当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）先化简 ，再在1，2，3中选取一个适当
的数值作为 的值，代入求值．
【答案】 ，当 时，原式=
【分析】
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．先根据分式的混合运
算顺序和运算法则化简原式，再将使分式有意义的 的值代入计算可得．
【详解】
解：原式
，
或 或2时，分母为0，
，
则原式 ．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简 ，然后从 的范围内选
取一个你喜欢的整数作为 的值代入求值．
【答案】 ，当 时，原式 ；当 时，原式
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，然后计算分式除法化简，再根据分式有意义的条件选择符合题意的x的值代值计算即可．
【详解】解：
，
∵分式要有意义，
∴ ，
∴ 且 ，
∵ ，且x为整数，
∴当 时，原式 ；当 时，原式 ．
3．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）先化简 ，然后从 ，1， ，2中选一
个合适的数代入求值．
【答案】 ，2
【分析】
本题考查分式化简求值，涉及通分、因式分解、分式加减乘除混合运算、约分、分式有意义的条件等知识，
先将分式分子分母因式分解、再由分式加减乘除混合运算法则，利用通分、约分化简，再根据分式有意义
的条件取得 的值，代值求解即可得到答案，熟练掌握分式加减乘除混合运算法则，根据分式有意义的条
件取值是解决问题的关键．
【详解】
解：
，
分式分母不能为0，
，则原式 ．4．（2023·山东枣庄·校考一模）先化简： ，再从不等式组 的解
集中选一个合适的整数x的值代入求值．
【答案】 ；当 时，原式=4
【分析】先求出不等式组的解集，得到整数解，再对原代数式进行化简，确定合适的x的值代入求解即可．
【详解】解：
由①得： ，
由②得： ，
∴该不等式组的解集为： ，
∴整数解为 ，0，1，2，
=
=
=
= ；
∵ ，
∴
∴可取 ，
∴原式= ，
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和分式的化简求值，涉及到了分式的加减乘除混合运算，解题关
键是掌握解不等式的方法和分式的运算法则等知识．
【易错四 解分式方程不验根】
例题：（2024上·甘肃武威·八年级校联考期末）解下列分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)无解(2)
【分析】本题考查解分式方程．
（1）先求出最简公分母去分母，再去括号移项，合并同类项即可得到本题答案；
（2）先求出最简公分母去分母，再去括号移项，合并同类项即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵ ，
两边同时乘以 得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
即： ，
检验：把 代入 ，所以 不是原方程的解，所以原方程无解；
（2）解： ，
两边同时乘以最简公分母 得： ，
去括号整理得： ，
即： ，
移项得： ，
即： ，
检验：把 代入 ，所以 是方程的解．
【变式训练】
1．（2023上·山东济南·八年级统考期中）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查解分式方程，按照解分式方程的步骤解方程并检验即可．
【详解】（1）解： ，
，
解得： ，检验：当 时， ，
是原方程的根；
（2） ，
，
解得： ，
检验：当 时， ，
是原方程的增根，
原方程无解.
2．（2023上·全国·八年级课堂例题）解下列方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，注意结果要检验，
（1）先去分母，化为整式方程，再求解；
（2）先去分母方程两边乘 ，化为整式方程，再求解，结果要检验．
【详解】（1）解：原方程可化为 ，
去分母，得 ，
解得 ，
检验： 时， ，
故 是原方程的解；
（2）解：原方程可化为 ，
去分母方程两边乘 ，得 ，
去括号，得
解得
检验： 时， ，故原方程无解．
3．（2023上·江苏南京·八年级南京大学附属中学校考期末）解下列分式方程：
(1) ；
(2)
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解析：方程两边都乘 ，得 ，
去括号得：
移项合并同类项得：
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
（2）解：去分母，得 ，
去括号得：
移项合并同类项得： ，
经检验， 是分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
4．（2023上·山东泰安·八年级统考期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程：
（1）利用解分式方程的一般步骤即可求解；
（2）利用解分式方程的一般步骤即可求解；
熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．【详解】（1）解： ，
两边同时乘 ，得：
，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
∴原方程的解为 ．
（2）两边同时乘 得，
，
移项合并得： ，
解得： ，
经检验 是原方程的增根，
原方程无解．
5．（2024上·辽宁铁岭·八年级校考期末）解方程
(1)
(2)
(3)
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)原分式方程无解.
【分析】（ ）按照解分式方程的一般步骤解答即可求解；
（ ）按照解分式方程的一般步骤解答即可求解；
（ ）按照解分式方程的一般步骤解答即可求解；
本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键.
【详解】（1）解：方程可变为， ，
方程两边同时乘以 得，
，
解得 ，
检验：把 代入 得，
，
∴ 是原分式方程的解；（2）解：方程两边同时乘以 得，
，
整理得， ，
解得 ，
检验：把 代入 得，
，
∴ 是原分式方程的解；
（3）解：方程变形为， ，
方程两边同时乘以 得，
，
解得 ，
检验：把 代入 得，
，
∴ 是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解.
【易错五 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（23-24八年级上·河北邢台·期中）已知分式 ．
(1)当 为何值时，该分式无意义；
(2)当 为何整数值时，该分式的值为正整数．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据分母等于零，分式无意义可得 ，求出m的值即可，熟练掌握分式有无意义的条
件是解题的关键；
（2）根据题意分别令 或 ，求解即可，利用分母是分子的正约数求解是解题的关键．
【详解】（1）解： 该分式无意义，
，
解得 ，
即当 时，该分式无意义．
（2）解： 该分式的值为正整数，且 也为整数，
或 ，
解得 或 ，即当 或 时，该分式的值为正整数．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·安徽宣城·期中）当 为何整数时，
(1)分式 的值为正整数；
(2)分式 的值是整数．
【答案】(1)0
(2) 或 或 或
【分析】（1）若使该式的值为正整数，则 能够被 整除，所以 可以为 ， ， ；即 ，
， ；由 为整数得， 即可；
（2）分式 进行变形，化为 ，若要使 值为整数，则 的值一定是整数，则 一定是
的约数，从而求得 的值．
【详解】（1）解：若使该式的值为正整数，则 能够被 整除，
可以为 ， ， ，
， ， ，
为整数，
；
（2）解： ，
的值为整数，且 为整数；
为 的约数，
的值为 或 或 或 ；
的值为 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了分式的值，分式的加减，解决此题的关键是要熟练掌握分式的加减法法则．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如： ．
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：
， ：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如： ， ．
类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式 化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式 的值为整数，求 的整数值．
【答案】(1) （答案不唯一）
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式 是真分式，
故答案为： （答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=∵分式的值为整数，x为整数，
∴ 或 ，
解得 或 或 或 ，
∴当 或 或 或 时，分式 的值为整数．
【易错六 分式方程无解与增根混淆不清】
例题：（2023秋·山西朔州·八年级统考期末）若关于 的分式方程 无解，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】A
【分析】解分式方程，可得 ，根据题意可知分式方程的增根为 ，即有 ，求解即可
获得答案．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
合并同类项、系数化为1，得 ，
由题意可知，分式方程的增根为 ，
即有 ，解得 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为
是解题关键．
【变式训练】
1．（2023春·八年级课时练习）已知关于 的方程 有增根，则 的值是（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x−4＝0，据此求出x的值，
代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：原方程去分母，得： ，
∴ ，
由分式方程有增根，得到x−4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．
故选D．
【点睛】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；
（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于 的分式方程 无解，则 的值为 _____．
【答案】 或
【分析】根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数 的值．
【详解】解： ，
去分母得 ，
，
关于 的分式方程 无解，
①当 时，即 ，此时 无解；
②当 时，即 ，解 得 ，
此时分式方程无解，必须有 或 ，则 或 ，
当 时，方程无解；
当 时，解得 ；
综上所述， 的值为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查解分式方程及由分式方程无解求参数问题，熟练掌握分式方程的解法步骤以及无解情况
的分类讨论是解决问题的关键．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）若关于x的方程 无解，则a的值为
______．
【答案】 或 或
【分析】分增根无解和化简后的一元一次方程无解两种情况计算即可．
【详解】∵ ，∴ ，
整理，得 ，
当 时，方程无解，
解得 ；
∵ 的增根为 ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握分式方程无解的分类计算方法是解题的关键．
4．（2023春·八年级单元测试）已知关于x的分式方程 ．
(1)当 时，求这个分式方程的解．
(2)小明认为当 时，原分式方程无解，你认为小明的结论正确吗？请判断并说明理由．
【答案】(1) ；
(2)小明的结论正确，理由见解析．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤求解即可；
（2）按照解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
去分母，得 ，
当 时，得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根；
（2）解：小明的结论正确，理由如下：
去分母，得 ，
当 时， ，
解得 ，
经检验， 是原方程的增根，原方程无解，
∴小明的结论正确．
【点睛】此题考查了分式方程的求解，解题的关键是掌握分式方程的求解步骤与方法．
5．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的分式方程 .
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程无解，求a的值．
【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【详解】试题分析：（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
试题解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝
－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
点睛：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的
解使最简公分母等于0或整式方程无解．
【易错七 已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值】
例题：（2023上·内蒙古乌兰察布·八年级校联考期末）若关于x的分式方程 的解为正数，
则k的取值范固是 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了分式方程的解及分式方程有意义的条件、一元一次不等式组的求解，熟练掌握相
关计算方法是解决本题的关键．根据题意，将分式方程的解 用含 的表达式进行表示，进而令 ，再
因分式方程要有意义则 ，进而计算出 的取值范围即可．
【详解】解：方程两边同时乘以 ，
根据题意 且
∴
∴∴k的取值范围是 且 ．
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（2023上·河北张家口·八年级统考期末）若关于 的分式方程 的解为正数，则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．解分式方程得： ，再根据其解的情况求解即可，
注意分母不能为0的条件．掌握分式方程的解法是解题的关键．
【详解】解： ，
化为整式方程为 ，
解得： ．
∵该分式方程的解为正数，
∴ ，且 ，
∴ 且 ．
故答案为： 且 ．
2．（2024上·上海·八年级校考期末）若关于 的方程 的解为负数，则 的取值范围
是 ．
【答案】 且
【分析】本题考查了分式方程的解与解不等式，把 看作常数，根据分式方程的解法求出 的表达式，再
根据方程的解是负数列不等式组并求解即可，解题的关键是牢记分式有意义的条件，熟练掌握解方程的步
骤．
【详解】解： ，
，
，
，
，
∵分式方程的解为负数，
∴ ，解得： ，又∵ ，
∴ 且 ，解得： 且 ，
综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
3．（2023上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 的解为非负数，则
a的取值范围 ．
【答案】 且
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程方程求出分式方程的解为 ，再
根据分式方程的解为非负数以及方程不能有增根列出不等式组求解即可．
【详解】解：
去分母得： ，
去括号得： ，
移项得： ，
合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
∵关于x的分式方程 的解为非负数，
∴ ，
∴ 且 ，
故答案为： 且 ．
4．（2023上·湖南怀化·九年级校联考阶段练习）若关于y的分式方程 的解为正整数，则所
有满足条件的整数a的值之和是 ．
【答案】
【分析】此题考查了解分式方程，利用分式方程的解求参数，先解分式方程，用a表示方程的解，根据方
程的解是正整数的要求得出a的值，即可得到答案．
【详解】分式两边都乘以 ，得 ，
得 ，
∵该分式方程的解为正整数，∴ 的值为1或2或3，
∴所有满足条件的整数a的值为2或 或 ，
所有满足条件的整数a的值之和是 ，
故答案为： ．
【易错八 分式混合运算和分式方程中的新定义问题】
例题：（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分
式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如： ，则称分式
是“巧分式”， 为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题．
(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）；
① ；② ；③ ．
(2)若分式 （m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为 ，求m的值：
(3)若分式 的“巧整式”为 ．
①求整式A．
② 是“巧分式”吗？
【答案】(1)①③
(2)
(3)① ；② 是“巧分式”
【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定
义．
（1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论；
（2）根据“巧分式”的定义，得到关于 的方程，求解即可；
（3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论．
【详解】（1）解： ， 是整式，
①是“巧分式”；
， 不是整式，②不是“巧分式”；
， 是整式，
③是“巧分式”；
故答案为：①③；
（2）解： 分式 （m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为 ，
，
，
；
（3）解：① 分式 的“巧整式”为 ．
，
，即 ；
② ，
又 是整式，
是“巧分式”．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川广安·期末）定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n
阶分式”，例如： ，则分式 与 互为“3阶分式”．
(1)分式 与 互为“__________阶分式”；
(2)设正数x，y互为倒数，求证：分式 与 互为“2阶分式”；
(3)若分式 与 互为“1阶分式”（其中a，b为正数），求ab的值．
【答案】(1)5
(2)详见解析
(3)【分析】（1）根据提议，计算 与 的和即可；
（2）根据题意首先利用倒数关系，将x，y进行消元，然后通过分式的加法化简即可得解；
（3）根据1阶分式的要求对两者相加进行分式加法化简，通过通分化简即可得解．
本题主要考查了分式的加减，熟练掌握分式的通分约分运算知识是解决此类问题的关键．
【详解】（1） ，
分式 与 互为“5阶分式”；
（2）∵正数x，y互为倒数，
，
，
∴分式 与 互为“2阶分式”；
（3）∵分式 与 互为“1阶分式”，
，
去分母，得 ，
，
，
，
，
∵a，b为正数，
∴ ，
解得 ．2．（22-23八年级下·福建福州·开学考试）定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分
式”，如分式 ，则A是B的“最友好分式”．
(1)已知分式 ，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
(2)已知分式 ，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若 为定值，求m与n之间的数量关系．
【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析
(2)① ，②
【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，
（1）根据“最友好分式”的定义，计算 的值即可；
（2）①根据题意得 ，结合E是F的“最友好分式”可求得 ；②当 时，
化简得 ，设 ，可得 ，结合定值得
且 ，即可求得m和n之间的关系．
【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：
∵
∴C是D的“最友好分式”；
（2）①∵分式 ，且E是F的“最友好分式”，
∴ ，
解得 ；
②当 时， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，∵ 为定值，
∴ 且 ，
由 解得 ，
把 代入 ，得
∴ ．
3．（23-24八年级上·江西宜春·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和
的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如： ，则 是“美好分
式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
① ； ② ； ③ ； ④ ．
(2)将“美好分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断 的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【答案】(1)①③④；
(2) ；
(3)是美好分式，理由见解析．
【分析】
本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
【详解】（1）解：①由 ，则①属于“美好分式”；②分式 分子的次数低于分母次
数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由
，则③属于“美好分式”；④ 则④
属于“美好分式”；
故答案为：①③④；
（2）解： ．
（3）解： 的化简结果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴ 的化简结果是“美好分式”．
