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第 09 讲 章节复习专题：分式与分式方程
目录
【考点一 分式、最简分式、最简公分母】............................................................................................................5
【考点二 分式有无意义的条件】............................................................................................................................8
【考点三 判断分式变形是否正确】........................................................................................................................9
【考点四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】...........................................................................................11
【考点五 分式方程无解与增根】..........................................................................................................................13
【考点六 已知方程的根的情况求参数的取值范围】..........................................................................................15
【考点七 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】......................................................................................17
【考点八 求使分式值为整数时未知数的整数值】..............................................................................................19
【考点九 分式的混合运算】..................................................................................................................................21
【考点十 分式化简求值】......................................................................................................................................25
【考点十一 与分式有关的规律性问题】..............................................................................................................28
【考点十二 分式方程的定义】..............................................................................................................................32
【考点十三 解分式方程】......................................................................................................................................34
【考点十四 解分式方程错解复原问题】..............................................................................................................37
【考点十五 与分式方程有关的规律性问题】......................................................................................................41
【考点十六 列分式方程】......................................................................................................................................45
【考点十七 分式方程的实际应用】......................................................................................................................47
【考点十八 与分式及分式运算有关的新定义型问题】......................................................................................51
一．分式的定义
（1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式．
（2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0．
（3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括
号的作用．
（4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是 的形式，从本
质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简．
（5）分式是一种表达形式，如x+ +2是分式，如果形式都不是 的形式，那就不能算是分式了，如：
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，但如果用负指数次幂表示的某些代数式
如（a+b）﹣2，y﹣1，则为分式，因为y﹣1＝ 仅是一种数学上的规定，而非一种运算形式．
二．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
三．分式的值为零的条件
分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
四．分式的基本性质
（1）分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
（2）分式中的符号法则：
分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变．
【方法技巧】利用分式的基本性质可解决的问题
1．分式中的系数化整问题：当分子、分母的系数为分数或小数时，应用分数的性质将分式的分子、分母
中的系数化为整数．
2．解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值
不变，注意分子、分母是多项式时，分子、分母应为一个整体，改变符号是指改变分子、分母中各项的符
号．
3．处理分式中的恒等变形问题：分式的约分、通分都是利用分式的基本性质变形的．
（2）约分
（1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．
（2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定．
①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．
②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．
③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
（3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的
最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．
（3）通分
（1）通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫
做分式的通分．
（2）通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
（3）规律方法总结：通分时若各分式的分母还能分解因式，一定要分解因式，然后再去找各分母的最简
公分母，最简公分母的系数为各分母系数的最小公倍数，因式为各分母中相同因式的最高次幂，各分母中
不相同的因式都要作为最简公分母中的因式，要防止遗漏因式．
（4）最简分式
最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
和分数不能化简一样，叫最简分数．
（5）最简公分母（1）最简公分母的定义：
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
（2）一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高
次幂，所有不同字母都写在积里．
②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字
母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
六．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异
分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把
分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；
通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形
式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
七．分式的乘除法
（1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．
（2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
（3）分式的乘方法则：把分子、分母分别乘方．
（4）分式的乘、除、乘方混合运算．运算顺序应先把各个分式进行乘方运算，再进行分式的乘除运算，
即“先乘方，再乘除”．
（5）规律方法总结：
①分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约
分．
②整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．
③做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，
切不可打乱这个运算顺序．
八．分式的混合运算
（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，
有括号的先算括号里面的．
（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活
运算．
【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题
1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．
3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法
的运算律运算，会简化运算过程．
九．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果
要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，
代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．
当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为
十．分式方程的定义
分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．
十一．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生
增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
十二．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程时，一定要检验．
十三．换元法解分式方程
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对
象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而
简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．
十四．分式方程的增根
（1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或
是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
（2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许
未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整
式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好
是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根．（3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果
为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．
十五．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和
追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
十六．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位
等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作
时间等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
【考点一 分式、最简分式、最简公分母】
例题1：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）在 ， ， ， ， 中，分式有（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，即形如 ，其中 ， 都是整式，且 中含有字母，熟练掌握定义是解
题的关键．根据分式的定义判断即可．
【详解】解：在 ， ， ， ， 中，分式有 ， ，共 个，
故选：B．
例题2：（24-25八年级上·河北沧州·期末）下列分式中，为最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没
有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可．
【详解】解：A． ，故不是最简分式；B． ，是最简分式；
C． ，故不是最简分式；
D． ，故不是最简分式；
故选B．
例题3：（24-25八年级上·广东东莞·期末）分式 ， 的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的
最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可．
【详解】解：分式 ， 的最简公分母是 ．
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）在 ， ， ， ， ， 中，分式有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据
是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的
式子的个数即可．
【详解】解：在 ， ， ， ， ， 中，式子 ， ， 中都含有字母是分式，
共有3个分式．
故选：B．
2．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式
【分析】本题考查了最简分式，分式的分子和分母除 以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式，
据此逐个判断即可求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．【详解】解： 、分子分母含公因式 ，该分式不是最简分式，不合题意；
、 ，分子分母含公因式 ，该分式不是最简分式，不合题意；
、分子分母不含公因式，该分式是最简分式，符合题意；
、分子分母含公因数 ，该分式不是最简分式，不合题意；
故选： ．
3．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列式子： ， ， ， ， ， ，其中是分
式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】分式的判断
【分析】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，已知整式A和B，如果 中分母B
含有字母，那么 叫分式，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义进行判断即可．
【详解】解：根据分式的定义，其中是分式的是 ， ， ，共3个，
故选：B．
4．（24-25八年级上·云南昭通·期末）分式 与 的最简公分母是
【答案】
【知识点】最简公分母
【分析】本题主要考查最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解决本题的关键．观察两个分式
的分母，利用公因式即可求解．
【详解】解：∵ 的分母为 ，
的分母为 ，
∴两个分式的最简公分母为 ，
故答案为： ．
【考点二 分式有无意义的条件】
例题：（24-25八年级上·北京延庆·期末）分式 有意义，实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】分式有意义的条件
【分析】根据分式有意义，分母不为零列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；（3）分式的值为零 分子为零且分母不为零．
⇔
【详解】解：由题意得， ，解得： ，
⇔ ⇔
故选：A．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）当 为任意实数时，下列分式一定有意义的是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式有意义的条件
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．直接利用分式有意义的条件
分别分析得出答案．分式有意义的条件是分母不等于零．
【详解】解：A．当 时，即 为任意实数时，分式 有意义，故本选项符合题意；
B．当 时，即 时，分式 有意义，故本选项不合题意；
C．当 时，即 时，分式 有意义，故本选项不合题意；
D．当 时，即 时，分式 有意义，故本选项不合题意；
故选：A．
2．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）当 时，下列分式无意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件
【分析】此题考查了分式无意义．解题的关键是熟练掌握分式有意义的条件．分母为零，分式无意义；分
母不为零，分式有意义．
根据分母为0，分式无意义；分母不为零，分式有意义，逐一判断即得．
【详解】A、当 时，分式 有意义；
B、当 时， ，分式 有意义；
C、当 时，分式 有意义；D、当 时， ，分式 无意义．
故选：D．
3．（23-24八年级上·全国·单元测试）若 使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式无意义的条件
【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件，即分母等于0．
根据分式无意义的条件，对每个式子进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、由 ，得 ，故A不符合题意；
B、由 ，得 ，故B符合题意；
C、由 ，得 ，故C不符合题意；
D、由 ，得 ，故D不符合题意；
故选：B．
【考点三 判断分式变形是否正确】
例题：（24-25八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查了分式的基本性质．根据分式的基本性质，分式的分子与分母同时乘以或除以一个不为
0的整式，分式的值不变，然后进行逐项判断．
【详解】解：A、 原变形错误，故本选项不符合题意；
B、 原变形错误，故本选项不符合题意；
C、 原变形错误，故本选项不符合题意；
D、 原变形正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项进行判断即可．
【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；
B. 当 时， ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D
2．（24-25八年级上·天津滨海新·期末）下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解： ，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
无法约分，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】判断分式变形是否正确
【分析】本题考查分式的性质，根据分式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、 ，原选项不成立，不符合题意；
B、 ，原选项不成立，不符合题意；
C、 ，原选项成立，符合题意；
D、 ，原选项不成立，不符合题意；
故选C．
故选：D．
【考点四 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（24-25八年级上·北京朝阳·期末）如果把分式 中的 ， 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大9倍 B．扩大3倍
C．缩小3倍 D．不变
【答案】D
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将 都扩大3倍后化简是解题的关键．
根据已知条件将 都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论．
【详解】解：把分式 中 和 都扩大3倍，
即： ，
∴分式的值不变．
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·四川广元·期末）若分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（ ）A．扩大到原来的3倍 B．缩小到原来的
C．扩大到原来的9倍 D．不变
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分式 中的x、y分别用 替换，求出替换后的结果即
可得到答案．
【详解】解：把分式 中的x、y分别用 替换后得到的分式为 ，
∴分式 中，x、y都扩大为原来的3倍，则该分式的值扩大到原来的3倍，
故选：A．
2．（24-25八年级上·四川广安·期末）如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值
（ ）
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．缩小到原来的 D．缩小到原来的
【答案】A
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变
化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，即可解题．
【详解】解：如果将分式 中的x和y都扩大到原来的3倍，
则 ，
分式的值不变，
故选：A．
3．（24-25八年级上·湖北荆门·期末）如果分式 中的 、 都扩大到原来的3倍，那么分式的值
（ ）
A．不变 B．扩大到原来的2倍
C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍
【答案】C
【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化
【分析】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．根据分式的基本性质进行计算即可解
答．
【详解】
∴x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值扩大到原来的3倍．
故选：C
【考点五 分式方程无解与增根】
例题：（2025八年级下·全国·专题练习）若关于x的分式方程 无解，则实数 ．
【答案】0或3
【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题、解分式方程
【分析】本题考查分式方程的解．熟练掌握分式方程的解法，注意方程增根的情况是解题的关键．
分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于
0．
【详解】解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项合并同类项，得 ，
①当 无解时，m=0；
②当整式方程的解为分式方程的增根时，
， ，矛盾；
或 ， ，
∴ ．
故答案为：0或3．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知关于 的分式方程 有增根，则 ．
【答案】
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的增根．先将分式方程去分母转化为整式方程，然后根据分式方程有增根求出
x的值，再把x的值代入整式方程计算即可求出k的值．
【详解】解：去分母得， ，
∵分式方程有增根，
∴ ，则 ，
把 代入 得，
解得： ，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）关于x的分式方程 有增根，则m为 ．
【答案】4或0
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根
据分式方程的增根定义即可求解．
【详解】解： 关于x的分式方程 有增根，
∵
，
∴ ，
∴
解分式方程：
去分母得： ，
当 时， ，
当 时， ，
故m的值为4或0．
故答案为 4或0．
∶
3．（23-24八年级下·河南周口·期中）若关于 的方程： 有增根，则 ．
【答案】 或
【知识点】根据分式方程解的情况求值
【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程
有增根，可得到 ，然后代入整式方程，即可求解．
【详解】解∶方程两边同乘以 ，得 ，
整理得 ，
∵原方程有增根，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
∴a的值为 或 ，故答案为： 或 ．
【考点六 已知方程的根的情况求参数的取值范围】
例题：（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程 有正数解，则 的取值范围为
．
【答案】 且
【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
将分式方程 化为整式方程，解得 ，再利用原方程的解为正数，得到 且
，解不等式即可求出 的取值范围．
【详解】解： ，
去分母得， ，
解得： ，
分式方程有正数解，
且 ，
且 ，
且 且 ，
且 ．
故答案为： 且 ．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程 的解为负数，那么a的取值范
围是 ．
【答案】 且
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取
值范围，是解决问题的关键．
去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得．
【详解】两边都乘以最简公分母 ，
得 ，
解得 ，
∵方程的解为负数，∴ 且 ， ，
解得 且 ．
故答案为： 且 ．
2．（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于 的分式方程 有正整数解，则整数 为
．
【答案】0或3/3或0
【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义．
方程两边都乘以最简公分母 ，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整
数，求出k，然后进行检验即可．
【详解】解： ，
去分母得： ，
解得： ，
∵分式方程有正整数解，k是整数，
∴ 或 或 ，
解得 或1或3，
当 时， ，
解得 ，此时 ，符合题意；
当 时， ，
解得 ，此时 ，不合题意，舍去；
当 时，
解得 ，此时 ，符合题意；
所以 或3．
故答案为：0或3．
3．（24-25八年级上·河南商丘·期末）已知关于 的分式方程 的解是非负数．则 的取值范
围是 ．
【答案】 且
【知识点】求一元一次不等式的解集、解分式方程、根据分式方程解的情况求值
【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含 的式子表示方程的解，根据方程的解为
非负数，列不等式组是解题关键．先求出分式方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义，得到关于 的不等式组，进行求解即可．
【详解】解： ，
得： ，
∵方程的解为非负数，且 ，即 ，
，
且 ；
故答案为： 且
【考点七 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）已知分式 的值是非负数，那么x的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． D． 且
【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围、求不等式组的解集
【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据 的值是非负数得到
且 ，进而能求出x的取值范围．
【详解】解：∵ ，
∴ 且 ，
∴ 且 ．
故选：D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式 的值为正，则 的取值范围是( )
A． B． C． D． 且
【答案】D
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以
未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号
的方向．
根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可．
【详解】解：由题意得， ，且 ，
∵分式 的值为正，
∴ ，
∴ ，
∴ 且 ．
故选：D．
2．（23-24八年级上·山东菏泽·期中）若分式 的值为负数，则 的取值范围是 ．
【答案】 且
【知识点】分式有意义的条件、求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为
0得出 ，再根据分式的值为负数得出 ，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得： ，
，
分式 的值为负数， ，
，
，
的取值范围是 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】
3．（23-24八年级上·全国·课后作业）若分式 的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】求分式值为正（负）数时未知数的取值范围
【分析】根据平方的非负性、分式的值为正数可得 ， ，由此即可得．
【详解】∵分式 的值为正数， ，
∴ ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了分式的值为正数，正确列出不等式是解题关键．【考点八 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（2024七年级下·浙江·专题练习）对于非负整数 ，使得 是一个正整数，则 可取的个数有
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的化简变形，解题时要能熟练掌握并理解．依据题意，由 ，
再结合 为正整数， 为非负整数，进而可以得解．
【详解】解：由题意， ，且 为正整数， 为非负整数，
必为正整数．
为 的正因数，可能为 ， ， ， ，
为非负整数，
可能为 ， ， ．
又 为正整数，
或 或 均符合题意，共 种可能．
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·全国·课堂例题）若分式 的值是正整数，则 可取的整数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】A
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答
即可．
【详解】解：若分式 的值是正整数，且 为整数，
则 是6的约数， ．
∴ 或 或 或 ，
即 的值为8或5或4或3，共4个．
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 及 都是正整数，则所有满足条件的 的值的和是 ．【答案】
【知识点】求一元一次不等式的解集、求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了使分式值为整数时未知数的整数值，一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并
求解是解题关键．根据 为整数，且 的值也为正整数，列出不等式，求出 的取值范围，再枚举求出
符合题意的 的值，即可求解．
【详解】解：∵ 及 都是正整数，
∴ ，
即 ，
解得： ，
故当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故所有满足条件的 的值有： 、 、 ，
∴所有满足条件的 的值的和是 ．
故答案为： ．
3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）若分式 的值为整数，则整数x的值为 ．
【答案】 或 或 或
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值
【分析】本题考查了求使分式值为整数时未知数的整数值问题，将分式化为 ，分别代值计算，即
可求解；掌握这类典型问题的解法是解题的关键．
【详解】解：，
分式 的值为整数，且x是整数，
或
或 或 ，
解得： 或 或 或 ，
故答案： 或 或 或 ．
【考点九 分式的混合运算】
例题：（24-25八年级下·吉林长春·期中）计算： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，先通分，计算括号内，除法变乘法，进行约分化简即可．
【详解】解：原式
．
【变式训练】
1．（2025·江苏南京·一模）计算： ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查分式的混合运算，先将括号内分式通分，分子因式分解，变分式除法为乘法，最后约分
化简即可．
【详解】解：．
2．（24-25八年级下·重庆·期中）分式化简：
(1)
(2)
【答案】(1) ；
(2) ．
【知识点】分式加减乘除混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，平方差公式，完全平方公式等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）先算括号内的，再算分式的乘法即可；
（2）先算括号内的，再把除法变成乘法计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）计算(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式加减乘除混合运算、分式乘除混合运算
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
（1）先算乘方，再算乘除即可；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
5．（24-25八年级下·全国·课后作业）化简：
(1) ；
(2) ；
(3) ．【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】分式除法、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是按照分式的混合运算顺序先进行乘方运算，然后是乘
除运算，最后进行加减运算，有括号先算括号里面的．
（1）把除法变成乘法，再约分计算；
（2）先算括号里面的，再约分计算；
（3）先算括号里面的，再把除法变成乘法约分计算；
【详解】（1）解：
=
= ；
（2）
=
=
=
= ；
（3）
=
=
=
==
=
【考点十 分式化简求值】
例题：（2025·福建泉州·二模）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理数，先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简原式，再代
值求解即可．
【详解】解：
．
将 ， 代入可得，
原式 ．
【变式训练】
1．（24-25九年级下·广东中山·开学考试）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，1
【知识点】分式化简求值
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键．先对括号内通分作差，再结合乘法
公式约分化简，然后代入计算求值即可．
【详解】解：，
将 代入，原式 ．
2．（24-25九年级下·湖北十堰·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ， ．
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值及分母有理化，解题的关键是熟练掌握实数和分式的混合运算顺序和
运算法则．先把括号里面的进行通分，再算除法化简，最后代入求值即可．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
3．（24-25八年级下·重庆·期中）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
【知识点】分式化简求值
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，
最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：，
当 时，原式 ．
4．（2025·重庆·一模）先化简再求值： ，其中 是从 ，0，2中选取的一个
合适的数．
【答案】 ；0
【知识点】分式化简求值
【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同
分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再选取合适的值代入计算即可求
出值．
【详解】解：原式 ，
，
，
且 ，
当 时，原式 ，
【考点十一 与分式有关的规律性问题】
例题：（2024九年级下·安徽·专题练习）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ；；
按照以上规律，解决下列问题
(1)写出第6个等式： ；
(2)写出你猜想的第 个等式（用含 的式子表示），并验证其正确性．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【分析】此题考查了数字类规律探究，分式的加减运算；
（1）根据前5个等式规律写出第6个等式；
（2）根据前5个等式猜想出第 个等式并验证．
【详解】（1）解： 第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
第5个等式： ，
可得第6个等式为： ，
故答案为： ；
（2）由题意可猜想得，第 个等式为： ，
证明：
，
第 个等式为： ．
【变式训练】1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
根据以上规律，解决下列问题．
(1)直接写出第5个等式：________________；
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析
【知识点】分式乘方、异分母分式加减法
【分析】此题考查的是归纳总结能力，分式的运算法则等知识，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解
题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为 ，再利用分式的
减法和乘方运算进行计算，得到左边等于右边，即可得到验证．
【详解】（1）解：第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
则第5个等式为故答案为：
（2） ，证明如下：
∵左边 ，
右边 ，
∴左边=右边．
故原等式成立．
2．（24-25八年级上·全国·课后作业）观察下面一列分式： ， ， ， ，…（其中 ）．
(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；
(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．
【答案】(1)
(2) ，见解析
【知识点】分式的规律性问题
【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解
题．
（1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；
（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．
【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为 ．
（2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为 ．理由：
∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为
负，
∴第n（n为正整数）个分式为 ．
3．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）观察下列等式：
第1个等式： ，第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
……
按照以上规律，解答下列问题：
(1)写出第5个等式：___________________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
【答案】(1)
(2) ，证明见解析．
【知识点】分式的规律性问题、分式加减乘除混合运算
【分析】此题考查的是归纳总结能力，抓住题目中的相似点找到其中的规律是解题的关键．
（1）观察前几个式子，然后进行仿写，即可得到答案；
（2）对题目中给的等式进行比较、归纳，可以发现规律为，第n个等式，左边第一项的分母为 ，
分子是 ，第二项是 ，等式右边为 ．代入再进行验证正确性即可．
【详解】（1）解：第1个等式： ，
第2个等式： ，
第3个等式： ，
第4个等式： ，
则第5个等式为： ；
故答案为： ；
（2）解：根据题意，则：
第n个等式为： ；证明：等式左边
，
等式右边 ，
∴左边 右边．
【考点十二 分式方程的定义】
例题：（24-25八年级上·全国·单元测试）下列关于 的方程中，不是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程，
D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程．
故选：D．
【变式训练】
1．（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）下列式子中，是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式方程的定义
【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可．【详解】解：A． 是一元二次方程，故选项不符合题意；
B． 不是方程，故选项不符合题意；
C． 是分式方程，故选项符合题意；
D． 是一元一次方程，故选项不符合题意．
故选：C．
2．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列方程不是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程
叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可．
【详解】解：A.是分式方程，不符合题意；
B. 不是分式方程，符合题意；
C. 是分式方程，不符合题意；
D. 是分式方程，不符合题意．
故选：B．
3．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）下列关于 的方程① ，② ，③ ，④
中，是分式方程的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】分式方程的定义
【分析】本题考查分式方程定义，分母中还有未知数的等式叫分式方程，根据分式方程的定义逐项验证即
可得到答案，熟记分式方程的定义是解决问题的关键．
【详解】解：① ，③ ，④ 是整式方程；② 是分式方程；
故选：A．
【考点十三 解分式方程】
例题：（24-25八年级上·湖南郴州·阶段练习）解分式方程
(1) ；(2)
【答案】(1)
(2)无解
【知识点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程.
（1）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可；
（2）两边同乘以 得到整式方程，解方程并检验即可.
【详解】（1）
方程两边同乘以 得， ，
解得，
当 时， ，
∴ 是分式方程的解；
（2）
两边同乘以 得， ，
解得
当 时， ，
∴ 是增根，分式方程无解.
【变式训练】
1．（24-25八年级上·重庆·开学考试）解分式方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解；
(2)
【知识点】解分式方程【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根
（1）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤先去分母，再解整式方程求解即可．
【详解】（1）解：去分母得，
解得，
当 时， ，
所以原方程无解；
（2）解：去分母得，
解得，
当 时， ，
所以 是原方程的解；
2．（23-24八年级下·全国·期末）解分式方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)原方程无解
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求
解．解分式方程一定注意要验根．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
则 是增根，
∴原方程无解；
（2）解： ，方程两边同时乘以 得： ，整理得： ，
解得： ，
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
3．（23-24九年级上·全国·开学考试）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)无解
(2)
【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘 ，得出 ，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解： ，
方程两边同乘 得： ，
解得： ，
经检验， 是原方程的增根，
∴原方程无解；
（2）解：
去分母得， ，
解得： ，
经检验：当 是原方程的根，
∴原方程的解为 ．
4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)无解【知识点】解分式方程
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘 ，得出 ，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘 得出 ，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘 ，得
，
解这个方程，得 ，
经检验， 是原方程的根；
（2）解：方程两边都乘 ，得
．
解这个方程，得 ．
经检验 是增根，原方程无解．
【考点十四 解分式方程错解复原问题】
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·期末）下面是小云同学解分式方程的部分过程，请认真阅读并完成以下
各题：
解分式方程：
解： ……………………第
一步
……………………第
二步
………………………
第三步
……
(1)第二步的解题依据是______；
A．分式的性质 B．等式的性质 C．单项式乘以多项式法则
(2)以上解方程步骤中，第______步开始错误的，错误原因是______；
(3)请写出该分式方程的正确解答过程．
【答案】(1)B
(2)三；去括号时，括号前面是负号的，去括号后，括号内的第二项没有变号
(3)见解析【分析】本题主要考查了解分式方程．解题的关键是熟练掌握解分式方程的基本步骤，准确计算．
（1）根据去分母的基本原理进行解答即可；
（2）查找方程出错的步骤，分析其原因即可；
（3）按照正确的解法求出方程的解，写出正确的结果即可．
【详解】（1）解：第二步的解题依据是等式的基本性质，故B正确；
故选：B．
（2）解：以上解方程步骤中，第三步开始出现错误，这一步错误的原因是：括号前面是负号的，去括号
后，括号内的第二项没有变号．
（3）解： ，
整理得： ，
去分母得：
去括号得： ，
移项，合并同类项得： ，
系数化为1得： ，
检验：把 代入 得： ，
∴ 是原方程的解．
【变式训练】
1．（2024·宁夏银川·二模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：
解：去分母，得 …………第一步
去括号，得 …………第二步
移项、合并同类项，得 …………第三步
解得， …………第四步
则原分式方程的解为 …………第五步
(1)第一步的依据是________________________________；
(2)上面的解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是__________．
【答案】(1)等式的基本性质
(2)五，没有对分式方程的根进行检验【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）根据题意可知，第一步的依据是等式的性质；
（2）观察可知，分式方程的解为原方程的增根，即在第五步错误，没有对分式方程的解进行检验．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，第一步的依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质；
（2）解：观察可知，上面的解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是没有对分式方程的根
进行检验，
故答案为：五；没有对分式方程的根进行检验．
2．（23-24九年级下·江西宜春·期中）以下是小明同学解分式方程 的过程：
解： ……第一步，
……第二步，
……第三步，
， ……第四步，
经检验： ， 是原方程的解．
(1)以上解题过程中，第一步变形的依据是（ ）
A．不等式的基本性质 B．等式的基本性质 C．分式的基本性质
(2)从第＿＿＿＿步开始出现错误，这一步错误的原因是＿＿＿＿；
(3)请求出该方程的正确解．
【答案】(1)B
(2)一；去分母时，第二项没有乘以
(3)
【分析】（1）在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，
（2）第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以 ，
（3）根据解分式方程的方法，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法．
【详解】（1）解：在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，
故答案为：B，
（2）解：第一步开始出现错误，去分母时，第二项没有乘以 ，
故答案为：一；去分母时，第二项没有乘以 ，
（3）解：，
经检验： 是原方程的解，
故答案为： ．
3．（2024·广西南宁·三模）阅读下面解方程的过程，完成后面的问题：解方程 ．
解： ……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
……第五步
检验：当 时，
所以， 是原方程的根．
问题一：
①以上解题过程中，第一步是依据 进行变形的；
A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．分式的基本性质
②从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ；
问题二：该方程的正确解是 ；
问题三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项给其他同学提
一条建议．
【答案】问题一：①A；②二，去括号时第二项没有乘以2；问题二：该方程的正确解是 ；问题三：
除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：熟练掌握解分式方程的方法．
问题一：①在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质；
②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2；
问题二：根据解分式方程的方法解方程即可；
问题三：根据解分式方程时常见的错误解答即可．
【详解】解：问题一：
①在等式两边同时乘以 ，等式不变，依据是等式的基本性质，
故答案为：A；
②第二步开始出现错误，去括号时第二项没有乘以2；
故答案为：二；去括号时第二项没有乘以2
问题二：方程两边同乘 ，得： ，
去括号，得： ，
移项并合并同类项，得： ，
系数化为1，得： ；
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解．
故答案为：
问题三：
除纠正上述错误外，根据平时的学习经验，解分式方程时还需要注意的事项是分式方程注意要检验．
【考点十五 与分式方程有关的规律性问题】
例题：（2024八年级下·全国·专题练习）解方程：
① 的解 ．
② 的解 ．
③ 的解 ．
④ 的解 ．
……
(1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解；
(2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．
【答案】(1)第⑤个方程： 解为 第⑥个方程： 解为
(2)第 个方程： 解为 ．
【分析】本题主要考查了解分式方程：
（1）等号左边的分母都是 ，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子
是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是 ，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，
第一个式子的解是 ，第二个式子的解是 ，那么第5个式子的解是 第6个式子的解是 ．
（2）由（1）得第 个式子的等号左边的分母是 ，分子是 ，等号右边的被减数的分母是 ，分子
是 ，减数是1，结果是【详解】（1）解：① 的解 ．
② 的解 ．
③ 的解 ．
④ 的解
……
① ，② ，③ ，④
（1）第⑤个方程： 的解为
第⑥个方程： 的解为
（2）解：第 个方程： 的解为
方程两边都乘 得
解得
检验：当 时， ，
∴原方程的解为 ．
【变式训练】
1．先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
方程 的解为 ， ；
…
(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程 的两个解是 ．
(2)解方程： ，可以变形转化为 的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的
结论求解．
(3)方程 的解为 ．
【答案】(1) ，(2) ， ，过程见解析
(3) ，
【知识点】数字类规律探索、解分式方程
【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）先将原方程进行变形可得： ，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）利用换元法将原方程化为： ，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于 的方程 的两个解是 ， ，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，
或 ，
， ，
经检验： ， 是原方程的根；
（3）解：令 ，则原方程可化为： ，
，
， ，
或 ，
解得： ， ，经检验： ， 是原方程的根，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的
关键．
2．（23-24八年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程：
① 的解是 ；
② 的解是 ；
③ 的解是 ；
④ 的解是 ；
(1)请完成上面的填空；
(2)根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解 ；
(3)请你用一个含正整数 的式子表述上述规律，并写出它的解?
【答案】(1)
(2) 的解是 ；
(3) 的解是 ．
【知识点】分式的规律性问题、解分式方程
【分析】本题考查分式方程的解以及规律的探索，熟练掌握分式方程的解的求法并观察出方程的解与分子
的关系是解题的关键．
（1）由题意把方程两边都乘以 把分式方程化为整式方程，然后求解即可；
（2）由题意先观察①②③④中的方程及其解，根据前四个方程的规律可得第⑤个方程及其解；
（3）根据题干中各个方程的规律，可写出含正整数n的方程，求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
经检验， 为方程的解，
故答案为： ．（2）解：由题意得：⑤ 的解是 ；
故答案为： 的解是 ；
（3）解：由题意得：第 个式子及其解为： 的解是 ．
【考点十六 列分式方程】
例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期末）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载一道这样的
题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各
几何？”题目译文是：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均
能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有x尺，根据题
意可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺收入 罗布出售一尺共收入 文，据
此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
故选：B．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“七贯二百钱，
倩人去买几株椽，每株脚钱四文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人去代买一批椽，这批椽的价钱
为 文，如果每株椽的运费是 文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问
文能买多少株橡？设这批椽的数量为 株，则符合题意的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查了列分式方程，设这批椽的数量为 株，根据“这批椽的价钱为 文”、“每株椽的运费为 文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设这批椽的数量为 株，根据题意得， ，
故选A.
2．（24-25八年级上·云南昆明·期末）2024年11月6日8时许，今年首批大约300多只进城的红嘴鸥“先
遣部队”飞临翠湖公园，随后，陆续抵达昆明过冬的红嘴鸥将逐渐增多．为保护好这些远道而来的小精灵，
小红、小丽两名同学动手折纸红嘴鸥，准备周末到翠湖公园送给游客，并倡导大家“爱鸥护鸥，文明观
赏”．已知小红每小时比小丽多折6只红嘴鸥，小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等，
求小红、小丽每小时各折红嘴鸥多少只？如果设小丽每小时折 只红嘴鸥，那么列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的
分式方程．
根据“小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等”可以列出方程 ，本题得以解
决．
【详解】解：设小丽每小时折 只红嘴鸥，则小红每小时折 只红嘴鸥
又小红折90只红嘴鸥所用时间与小丽折60只所用时间相等
∴
故选：D
3．（24-25八年级上·广西贵港·期中）已知甲码头与乙码头相距36千米，一轮船往返于甲，乙两码头之间，
轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间比逆流而上所用时间少2小时，已知水流速度为3千米/时，求船
在静水中的速度，设船在静水中的速度为 千米/时，根据题意列方程为 ．
【答案】
【知识点】列分式方程
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程．根据等量关系：轮船由甲码头顺流而下到乙码头所用时间
比逆流而上所用时间少2小时，列方程即可．
【详解】解：依题意有： ，故答案为： ．
【考点十七 分式方程的实际应用】
例题：（24-25八年级上·河北石家庄·期中）生物实验课上要求：制作并观察洋葱鳞片叶肉内表皮细胞临时
装片，上周生物老师用20元购买了一部分洋葱，本周实验时发现洋葱不够用，由于天气原因，本周洋葱单
价上涨了20%，生物老师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱．
(1)求上周生物老师买的洋葱单价为每斤多少元？
(2)经调查发现，一个洋葱可供12名同学使用，两个洋葱正好1斤，本校参加生物实验的同学共2784人，
如果本周洋葱价格不变，那么生物老师至少应再买多少斤洋葱才能供给本校参加生物实验的同学所用？
【答案】(1)上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元/斤
(2)生物老师至少要再购买26斤洋葱
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的经济问题
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程与一元一次
不等式是解此题的关键．
（1）设上周生物老师购买洋葱的单价为x元/斤，则本周所买洋葱的单价为 元/斤，根据“生物老
师花了30元，但只比上周多买了10斤洋葱葱”列出分式方程，求解即可得出答案；
（2）设生物老师还需再购买洋葱m斤，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：设上周生物老师购买洋葱的单价为 元 斤，则本周所买洋葱的单价为 元 斤，
根据题意可列方程： ，
解得 ，
经检验： 是原方程的根且符合题意．
答：上周生物老师购买洋葱的单价为0.5元 斤；
（2）解：设生物老师还需再购买洋葱 斤，
则有 ，
解得 ，
答：生物老师至少要再购买26斤洋葱．
【变式训练】
1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）为庆祝我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”在
北京时间 年 月 日举行的联合国教科文组织保护非物质文化遗产政府间委员会第19届常会上通过
评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，市面上推出一款以蛇年为主题的窗花．某
喜庆店第一次用 元购进这款窗花，很快售完，又花 元第二次购进这款窗花．已知每个窗花第二次
购进的单价比第一次便宜 元，且第二次购进的数量是第一次的 倍．(1)求该店两次购进这款窗花各多少个？
(2)第二次购进这款窗花后仍按第一次的售价出售，若要便两次进的窗花销售完后的总利润不低于 元，
则每个窗花的售价至少为多少元？
【答案】(1)答：第一次购进窗花 个，则第二次购进窗花 个
(2)答：每个窗花的售价至少为 元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列
出方程，进行解答，即可．
（1）设第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，根据题意列出方程，
，解出 ，进行解答，即可；
（2）根据利润等于售价减去单价，根据题意，列出一元一次不等式，进行解答，即可．
【详解】（1）解：设第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，
∵某喜庆店第一次用 元购进这款窗花，很快售完，又花 元第二次购进这款窗花，第二次购进的数
量是第一次的 倍，
∴ ，
解得： ，
经检验， 是方程的解，
∴第一次购进窗花是数量为： 个，第一次购进窗花是数量为： 个，
答：第一次购进窗花 个，则第二次购进窗花 个．
（2）解：由（1）得，第一次购买窗花的单价为 元，则第二次购买窗花的单价为 元，
设每个窗花的售价为 元，
∵两次进的窗花销售完后的总利润不低于 元，
∴ ，
∴ ，
答：每个窗花的售价至少为 元．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）2024年11月11日，重庆“梁平柚”被列入第二批国家农产品地理标志，
是全国三大名柚之一，特点是浓烈蜜香、纯甜嫩脆，深受消费者的喜爱．某超市按大小把“梁平柚”分成
大果和小果出售．
(1)某公司为员工发福利，预计花费3050元购买大果和小果共400千克，此时大果售价为每千克8元，小果
售价为每千克7元．求购买大果和小果各多少千克？
(2)由于春节临近，超市下调柚子价格，现该公司一次性购买大果、小果若干，其中大果共花费1920元，
小果花费720元，已知购买大果的数量是小果的2倍，下调价格后大果比小果每千克贵1.5元．分别求大
果和小果价格下调后每千克的售价？【答案】(1)购买大果 千克，小果各 千克；
(2)小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元．
【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、分式方程和差倍分问题
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用．
（1）设购买大果 千克，小果各 千克，利用总价=单价 数量，结合花费3050元购买大果和小果共400
千克，列出关于 和 的二元一次方程组，解之即可得到结论；
（2）设小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元，利用数量=
总价 单价，结合购买大果的数量是小果的2倍，列出关于 的分式方程，据此求解即可得到结论．
【详解】（1）解：设购买大果 千克，小果各 千克，
由题意得 ，
解得 ，
答：购买大果 千克，小果各 千克；
（2）解：设小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元，
由题意得 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
，
解：小果价格下调后每千克的售价为 元，则大果价格下调后每千克的售价为 元．
3．（24-25八年级上·福建厦门·期末）为培养学生的动手实验能力，某校初二年级购进光学和电学两种实
验器材，花费分别是35000元和70000元，已知电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，并且
订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套．设购买光学器材的单价为x元．
(1)根据题意，用含x的式子填写下表：
数量
单价（元） 总费用（元）
（套）
光
x 35000
学
电
70000
学
(2)根据题意列出方程，求该校初二年级购买的两种实验器材的单价各为多少元？
(3)该校初二年级某班计划再订购这两种器材共10套来备用，其中电学器材订购数量不低于3套，且两种器
材总费用不超过1240元，这个班订购这两种器材有多少种方案？按照这些方案订购最低总费用为多少元？【答案】(1)见解析
(2)电学器材的订购单价是每套 元，光学器材的单价是每套100元
(3)1120元
【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的其它实际问题
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用：
（1）利用数量 总价 单价填表即可；
（2）利用订购的电学器材的数量比光学器材的数量多150套建立方程，求解即可；
（3）设电学器材的订购 套，则光学器材订购 套，建立不等式组 ，求
出 的情况，再分类讨论计算比较即可．
【详解】（1）解：光学器材的单价为x元，则购买数量为 ，
∵电学器材的订购单价是光学器材订购单价的1.4倍，
∴电学器材的单价为 元，则购买数量为 ，
则填表如下：
数量
单价（元） 总费用（元）
（套）
光
x 35000
学
电
70000
学
（2）解：由题意得， ，
整理得： ，
去分母得： ，
解得： ，
经检验： ，是原方程的解，且符合题意，
∴ ，
答：电学器材的订购单价是每套 元，光学器材的单价是每套100元；
（3）解：设电学器材的订购 套，则光学器材订购 套，
由题意得： ，解得： ，
∵ 为正整数，
∴ 可取 ，
∴有4种方案，
方案一：电学器材的订购3套，则光学器材订购7套，费用为 元；
方案二：电学器材的订购4套，则光学器材订购6套，费用为 元；
方案一：电学器材的订购5套，则光学器材订购5套，费用为 元；
方案二：电学器材的订购6套，则光学器材订购4套，费用为 元，
∵ ，
∴按照这些方案订购最低总费用为1120元．
【考点十八 与分式及分式运算有关的新定义型问题】
例题：（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的
和的形式，则称这个分式为“和谐分式”
如 ，
，
则 和 都是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：______（填序号）；
① ；② ；③ ；④ ．
(2)将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： ______．
(3)当x取什么整数时，“和谐分式” 的值为整数．
【答案】(1)①③④
(2)
(3) 或 或 或 或 或
【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算，
（1）根据同分母分式加法将各分式变形，即可判断；
（2）根据同分母分式加法将各分式变形；（3）根据（2）所求可得当x为整数时， 的值为整数，据此讨论求解即可．
【详解】（1）解：① ，② ；③ ，④
，
∴①③④的分式是“和谐分式”，
故答案为：①③④；
（2）解：
，
故答案为： ；
（3）解：∵ 的值为整数，
∴当x为整数时， 的值为整数
当 或 或 时，分式的值为整数，
∴ 或 或 或 或 或 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段练习）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相
同的解，则称这两个方程为“相似方程”；若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．
(1)判断方程 与 是否为“相似方程”，并说明理由；
(2)已知关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，求正整数m的值．
【答案】(1)是“相似方程”，理由见解析
(2) 或3
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解分式方程、方程的解
【分析】本题考查了新定义以及解一元一次方程和解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键，
（1）先分别算出方程 与 的解，再结合“相似方程”进行判断，即可作答．
（2）因为关于x，y的二元一次方程 和 是“相伴方程”，所以 ，整理得，结合x，y，m均为整数，则 ，因为m为正整数，据此即可作答．
【详解】（1）解：是“相似方程”，理由如下：
解得
解得
经检验， 是方程的解
∵若两个方程有相同的解，则称这两个方程为“相似方程”；
∴方程 与 是“相似方程”．
（2）解：
∵x，y，m均为整数
∴
∴
∵m为正整数
∴ 或3
2．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为整数的分式
的和的形式，则称这个分式为“美好分式”．如 ，则 是“美好
分式”．
(1)下列式子中，属于“美好分式”的是______（填序号）；
① ；② ；③ ；④
(2)将“美好分式” 化成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式为： ______+______；
(3)已知整数 使“美好分式” 的值为整数，则 的值为______．
【答案】(1)①③④(2) ，
(3) 或 或 或−2
【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值、整式与分式相加减
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，
（1）根据“美好分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据“美好分式”的定义，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为 ，从而可得当 或 时，分式的值为整数，即可求解．
【详解】（1）解：① ；
② 不是分式；
③ ；
④ ；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解：
故答案为： ， ．
（3）解：
当 或 时，分式的值为整数，
或 或 或−2
分式有意义时，
或 或 或−2时，该式的值为整数．
3．（23-24八年级下·全国·期中）阅读理解:
定义：若分式 和分式 满足 （ 为正整数），则称 是 的“ 差分式”．
例如： 我们称 是 的“ 差分式”，
解答下列问题：
(1)分式 是分式 的“ 差分式”．(2)分式 是分式 的“ 差分式”．
① （含 的代数式表示）；
②若 的值为正整数， 为正整数，求 的值．
(3)已知 ，分式 是 的“ 差分式”（其中 为正数），求 的值．
【答案】(1)
(2)① ；② 的值为 或
(3) 的值为
【知识点】新定义下的实数运算、完全平方公式分解因式、异分母分式加减法、解分式方程
【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，
（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“ 差分式”的计算方法可得 ，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得
，结合 ，由此即可求解．
【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：① ，
∴ ，
解得， ；
② ， 为正整数，
∴当 时，x=2，则 ；
当 时，x=1，则 ；
当 时，x=0，不符合题意，舍去；
当 时， ，不符合题意，舍去；
∴ 的值为 或 ；
（3）解： ，，且 ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，
∴ 的值为 ．
