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专题 2.7 函数图象与函数零点问题【八大题型】
【新高考专用】
1、函数图象与函数零点问题
从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图
象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.
函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出
现，有时候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数
等，此时难度偏大.
【知识点1 函数的图象问题】
1．作函数图象的一般方法
(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描
出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作
出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
2．函数图象识别的解题思路
(1)抓住函数的性质，定性分析：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从周期性，判断图象的循环往复；
④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
3．函数图象的应用的解题策略
(1)利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)
常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
(2)利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题
利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用
的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题.
【知识点2 函数的零点问题】
1．确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.
若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如
f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
2．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合
函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个
不同的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期
函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.
3．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两
个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确
画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【题型1 函数图象的画法与图象变换】
1 1
【例1】（23-24高一上·江西南昌·期中）要得到函数y=1+ 的图象，只需将函数y= 的图象（ ）
x−1 x
A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【变式1-1】（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数 向左、向下分别平移2个、3个单
y=|−x2+1|+2
位长度，所得图像为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·全国·模拟预测）设函数f (x)=|x−1|−2|x+1|．
(1)作出函数f (x)的图象；
(2)若f (x)的最大值为m，正实数a,b,c满足ab+2b2+3ac+6bc=m，求a+3b+3c的最小值．【变式1-3】（2024·广西南宁·一模）已知函数f(x)=2|x−1|−|x+1|，g(x)=|x−1|．
(1)在给出的坐标系中画出函数y=f (x)的图像；
(2)若关于x的不等式f (x)≤ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．
【题型2 函数图象的识别】
【例2】（2024·北京·模拟预测）已知函数y=f (x)的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（ ）
f (x)
A．x2f (x) B． C．xf (x) D．xf2(x)
x2
|x2−4|
【变式2-1】（2024·安徽合肥·三模）函数f (x)= 的图象大致是（ ）
xA． B．
C． D．
【变式2-2】（2024·山东·二模）如图所示，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→弧AB→BO
的路径运动一周，设点P到点O的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地刻画s与t之间的关系的是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-3】（2024·湖南·二模）已知函数f (x)的部分图象如图所示，则函数f (x)的解析式可能为（ ）2x2 2x2
A．f (x)=− B．f (x)=−
|x|−1 |x|+1
2x 2|x|
C．f (x)=− D．f (x)=−
|x|−1 x2−1
【题型3 函数图象的应用】
【例3】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数f (x)的图象如图所示，则关于x的不等式x⋅f (x−1)>0的解
集为（ ）
A．(−∞,−2)∪(2,+∞) B．(−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)
C．(0,1)∪(2,+∞) D．(−∞,−2)∪(0,1)∪(2,+∞)
【变式3-1】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知定义在R上的偶函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则
不等式x2f (x)>3f (x)的解集为（ ）
A． B．
(−√3,0)∪(√3,2) (−2,−√3)∪(0,√3)∪(2,+∞)
C． D．
(−∞,−2)∪(−√3，0)∪(√3，2) (−2,−√3)∪(√3,2)
2
【变式3-2】（2024·河南郑州·二模）若函数f (x)= 的部分图象如图所示，则f (5)=（ ）
ax2+bx+c1 2 1 1
A．− B．− C．− D．−
3 3 6 12
【变式3-3】（2024·河南商丘·三模）已知定义在R上的奇函数f (x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等
式x2f (x)>2f (x)的解集为（ ）
A． B．
(−√2,0)∪(√2,2) (−∞,−2)∪(2,+∞)
C． D．
(−∞,−2)∪(−√2，0)∪(√2，2) (−2,−√2)∪(0,√2)∪(2,+∞)
【题型4 函数零点所在区间的判断】
1
【例4】（2024·海南·模拟预测）函数f (x)= −ln x+2的零点所在的大致区间为（ ）
x
A．(1,e) B．(e,e2) C．(e2,e3) D．(e3,e4)
【变式4-1】（2024·陕西安康·模拟预测）函数f (x)=lnx+x2−2的零点所在区间是（ ）
A．( √2) B．(√2 ) C． D．
0, ,1 (1,√2) (√2,2)
2 2
【变式4-2】（2024·河北·模拟预测）已知函数f (x)=3x+x−6有一个零点x=x ，则x 属于下列哪个区间
0 0
（ ）
(1 ) ( 3) (3 ) ( 5)
A． ,1 B． 1, C． ,2 D． 2,
2 2 2 2
【变式4-3】（2024·海南·模拟预测）函数f (x)=2x−1+x−3的零点所在的区间是（ ）
A．(−1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
【题型5 求函数的零点或零点个数】
【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f(x)=lnx，则函数y=f(f(x))的零点为（ ）
A．1 B．0 C．e D．√e
【变式5-1】（2024·陕西西安·一模）函数f(x)=log x−log (x+20)的零点为（ ）
2 4
A．4 B．4或5 C．5 D．−4或5【变式5-2】（2024·福建漳州·模拟预测）已知函数f(x)=¿，则函数g(x)=f(f(x)−1)的零点个数为
（ ）
A．3 B．5 C．6 D．8
1
【变式5-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿（0γ
【题型7 根据函数零点个数求参数范围】
【例7】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数f (x)是定义在R上偶函数，当x≥0时，f(x)=¿，若函数
y=f (x)−m仅有4个零点，则实数m的取值范围是（ ）
( 5) ( 5) [ 5) ( 5)
A． 1, B． 0, C． 0, D． −∞,
4 4 4 4
【变式7-1】（2024·安徽合肥·二模）已知函数f (x)=¿，若关于x的方程f (x)−f (1−a)=0至少有两个不同
的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
(−∞,−4]∪[√2,+∞) [−1,1]C． D．
(−4,√2) [−4,√2]
【变式7-2】（2024·安徽合肥·三模）设 ，函数 ，若函数 恰有5个零点，则实数
a∈R f (x)=¿ y=f (f (x)) a
的取值范围为（ ）
A．(−2,2) B．(0,2) C．[−1,0) D．(−∞,−2)
【变式7-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f (1+x)=f (1−x)，已知当
x∈[0,1]时，f (x)=2x−a，若f (x)=m|x−1|恰有六个不相等的零点，则实数m的取值范围为（ ）
(1 1) [ 1 1] (1 1) [ 1 1]
A． , ∪ − ,− B． , ∪ − ,
6 4 2 6 8 4 2 6
(1 1) { 1} (1 1) { 1}
C． , ∪ − D． , ∪ −
6 4 6 8 4 6
【题型8 函数零点的大小与范围问题】
【例8】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知函数f(x)=¿，若方程f (x)=a有四个根x ,x ,x ,x ，且
1 2 3 4
，则下列说法错误的是（ ）
x 2
1 2 3 4
C．x x >4 D．01时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
(1,f(1)) y=f(x)
4．（2022·天津·高考真题）设a∈R，对任意实数x，用f (x)表示|x|−2,x2−ax+3a−5中的较小者．若
函数f (x)至少有3个零点，则a的取值范围为 .
5．（2023·天津·高考真题）设 ,函数 ,若 恰有两个零点，则 的取值
a∈R f (x)=ax2−2x−|x2−ax+1| f (x) a
范围为 ．
1
6．（2022·全国·高考真题）已知函数f(x)=ax− −(a+1)lnx．
x
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
ex
7．（2022·全国·高考真题）已知函数f (x)= −lnx+x−a．
x
(1)若f (x)≥0，求a的取值范围；
(2)证明：若f (x)有两个零点x ,x ，则x x <1．
1 2 1 2
8．（2022·全国·高考真题）已知函数f (x)=ln(1+x)+axe−x
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
a=1 y=f (x) (0,f (0))
(2)若f (x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．
