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专题突破练 15 空间位置关系、空间角的向量方法
1.(2021·江苏扬州一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC, PCD为正
三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
△
求证:(1)AP∥平面EBD;
(2)BE⊥PC.
2.(2021·江苏泰州模拟)在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=√6,E,F分别是AB,AD的中点,过直线EF的
平面α分别与侧棱PB,PD交于点M,N.
(1)求证:MN∥BD;
(2)若EF=2MN,求直线PA与平面α所成角的正弦值.3.(2021·湖南常德一模)如图,已知斜三棱柱ABC-ABC 的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所
1 1 1
在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC A 为正方形,平面ADC ⊥平面
1 1 1 1
ABC .
1 1 1
(1)求证:BO⊥平面ABCD;
1
(2)求二面角C-DC -A 的正弦值.
1 1
4.(2021·全国Ⅰ,理18)如图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形,PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,M为BC的中
点,且PB⊥AM.
(1)求BC;
(2)求二面角A-PM-B的正弦值.5.(2021·山东泰安一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2AD=2,PA⊥平面ABCD,E
为PD的中点.
(1)若PA=1,求证:AE⊥平面PCD;
(2)当直线PC与平面ACE所成的角最大时,求三棱锥E-ABC的体积.6.(2021·山东日照二模)如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.
(1)求证:AC⊥BD.
√3
(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为 .请
3
你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.专题突破练 15 空间位置关系、空间角的向量方法
1.证明: (1)连接AC交BD于点O,连接OE,
因为四边形ABCD为平行四边形,所以O为AC的中点.
又E为PC的中点,所以AP∥OE.
又AP 平面EBD,OE 平面EBD,所以AP∥平面EBD.
(2)因为△PCD为正三角形,E为PC的中点,所以PC⊥DE.
⊄ ⊂
因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,BD 平面ABCD,BD⊥CD,所以
BD⊥平面PCD.
⊂
又PC 平面PCD,所以PC⊥BD.
又BD∩DE=D,所以PC⊥平面BDE.
⊂
又BE 平面BDE,所以BE⊥PC.
2.(1)证明: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,
⊂
又EF 平面PBD,BD 平面PBD,所以EF∥平面PBD.
又EF 平面α,平面α∩平面PBD=MN,
⊄ ⊂
所以EF∥MN,所以MN∥BD.
⊂
1
(2)解: 因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF= BD.
2
又EF=2MN,所以BD=4MN.
1
由(1)知MN∥BD,所以PM= PB.
4
如图,以BD的中点O为坐标原点,建立空间直角坐标系,则A(1,-1,0),E(1,0,0),F(0,-
1,0),B(1,1,0),P(0,0,2),
所以⃗AP=(-1,1,2),⃗EF=(-1,-1,0),⃗PB=(1,1,-2),⃗EB=(0,1,0),所以⃗MB=
3
⃗PB=
(3
,
3
,-
3)
,所
4 4 4 2
以⃗EM=⃗EB−⃗MB= ( - 3 , 1 , 3) .
4 4 2
设平面α的法向量为n=(x,y,z),
{n·⃗EF=0, {
-x- y=0,
则 即 3 1 3
n·⃗EM=0, - x+ y+ z=0,
4 4 2
令x=3,则y=-3,z=2,所以n=(3,-3,2)为平面α的一个法向量.设直线PA与平面α所成的角为θ,
|⃗AP·n| 2 √33
则sin θ=|cos<⃗AP,n>|= = = ,
|⃗AP||n| √6×√22 33
√33
所以直线PA与平面α所成角的正弦值为 .
33
3.(1)证明: 如图,取A C 的中点M,连接MD,MB ,MO.
1 1 1
由题意可知B M∥BD,B M=BO=OD,
1 1
所以四边形B MDO是平行四边形.
1
因为A B =B C ,所以B M⊥A C .
1 1 1 1 1 1 1
因为四边形ACC A 为正方形,所以OM⊥A C .
1 1 1 1
又OM∩B M=M,所以A C ⊥平面B MDO.
1 1 1 1
又MD 平面B MDO,所以A C ⊥DM.
1 1 1
又平面A DC ⊥平面A B C ,平面A DC ∩平面A B C =A C ,DM 平面A DC ,所以DM⊥
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊂
平面A B C .
1 1 1
⊂
又平面ABCD∥平面A B C ,所以DM⊥平面ABCD.
1 1 1
因为四边形B MDO是平行四边形,所以B O∥DM,
1 1
所以B O⊥平面ABCD.
1
(2)解: 以O为坐标原点,OC,OD,OB 所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标
1
系如图所示,则C(1,0,0),D(0,√3,0),C (1,√3,1),A (-1,√3,1),所以⃗CD=(-1,√3,0),⃗DC =(1,0,1),
1 1 1
⃗A C =(2,0,0),⃗OD=(0,√3,0).
1 1
设平面CDC 的法向量为m=(x,y,z),
1
则{m·⃗CD=0, {-x+√3 y=0,
即
m·⃗DC =0, x+z=0,
1
令y=1,则x=√3,z=-√3,所以m=(√3,1,-√3)为平面CDC 的一个法向量.
1
因为⃗OD·⃗A C =0,⃗OD·⃗DC =0,所以⃗OD=(0,√3,0)为平面A DC 的一个法向量.
1 1 1 1 1
|m·⃗OD| √3 √7
设二面角C-DC
1
-A
1
的大小为θ,则|cos θ|=|cos|= = = ,所以
|m||⃗OD| √7×√3 7
√42
sin θ=√1-cos2θ= .
7
√42
所以二面角C-DC -A 的正弦值为 .
1 1
7
4.解: (1)连接BD.∵PD⊥底面ABCD,AM 底面ABCD,
∴PD⊥AM.
⊂∵PB⊥AM,PB∩PD=P,
∴AM⊥平面PBD,
∴AM⊥BD,
∴∠ADB+∠DAM=90°.
又∠DAM+∠MAB=90°,
∴∠ADB=∠MAB,
∴Rt DAB∽Rt ABM,
AD BA
∴ △= , △
AB BM
1
∴ BC2=1,∴BC= .
√2
2
(2)如图,以D为原点,⃗DA,⃗DC,⃗DP分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.
(√2 ) √2 √2
可得A(√2,0,0),B(√2,1,0),M ,1,0 ,P(0,0,1),⃗AP=(-√2,0,1),⃗AM= - ,1,0 ,⃗BM= -
2 2 2
,0,0 ,⃗BP=(-√2,-1,1).
设平面AMP的一个法向量为m=(x ,y ,z ),
1 1 1
{-√2x +z =0,
{m·⃗AP=0, 1 1
则 即 √2
m·⃗AM=0, - x + y =0,
2 1 1
令x =√2,则y =1,z =2,可得m=(√2,1,2).
1 1 1
设平面BMP的一个法向量为n=(x ,y ,z ),
2 2 2
同理可得n=(0,1,1).
m·n 3 3√14
则cos= = = .
|m||n| √7×√2 14设二面角A-PM-B的平面角为θ,则sin θ=√1-cos2= √ 1- 9 = √70 .
14 14
5.(1)证明: ∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴PA⊥CD.
∵四边形ABCD为矩形,∴AD⊥CD.
⊂
又AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD,∴CD⊥AE.
∵PA=AD=1,E为PD的中点,∴AE⊥PD.
⊂
又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.
(2)解: 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如
图所示.
设AP=a(a>0),则C(2,1,0),P(0,0,a),E ( 0, 1 , a) ,
2 2
1 a
∴⃗AC=(2,1,0),⃗AE= 0, , ,⃗PC=(2,1,-a).
2 2
设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),
{⃗AC·n=0, {
2x+ y=0,
则 即 1 a
⃗AE·n=0, y+ z=0,
2 2
令y=-a,则x= a ,z=1,∴n= (a ,-a,1 )为平面ACE的一个法向量.
2 2
设直线PC与平面ACE所成的角为θ,则sin θ=|cos|=
|n·⃗PC| a 2 2
= = ≤
|n||⃗PC| √5 √ 20 7,
a2+1√5+a2 29+ +5a2
4 a2
20
当且仅当 =5a2,即a=√2 时,等号成立.
a2
1 1
∴当a=
√2
时,直线PC与平面ACE所成的角最大,此时三棱锥E-ABC的体积为
×
3 2
√2 √2
×2×1× = .
2 6
6.(1)证明: 如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以
OA⊥BD.
又OA∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又AC 平面AOC,所以AC⊥BD.
(2)解: 在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,
⊂
由(1)知BD⊥平面AOC,PO 平面AOC,所以BD⊥PO.
又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.
⊂
由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.
以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所
示.
√2
因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD= .
2
又PO⊥平面BCD,
所以PB=PC=PD.
√2 ( √2)
选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP= .所以P 0,0, ,C
2 2
√2 ( √2 ) ( √2 )
,0,0 ,D 0, ,0 ,B 0,- ,0 ,所以
2 2 2
(√2 √2 ) (√2 √2 ) ( √2 √2)
⃗BC= , ,0 ,⃗DC= ,- ,0 ,⃗DP= 0,- , .
2 2 2 2 2 2
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
{ n·⃗DC= √2 x- √2 y=0,
2 2
则
√2 √2
n·⃗DP=- y+ z=0,
2 2
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.设直线BC与平面PCD所成的角为α,
|⃗BC·n| √2 √6
则sin α=|cos<⃗BC,n>|= = = .
|⃗BC||n| 1×√3 3
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为
√6
.
3
选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,
√2 ( √2) (√2 ) ( √2 ) √2
所以OP=OC= .所以P 0,0, ,C ,0,0 ,D 0, ,0 ,B 0,- ,0 ,所以
2 2 2 2 2
(√2 √2 ) (√2 √2 ) √2 √2
⃗BC= , ,0 ,⃗DC= ,- ,0 ,⃗DP= 0,- , .
2 2 2 2 2 2
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
{ n·⃗DC= √2 x- √2 y=0,
2 2
则
√2 √2
n·⃗DP=- y+ z=0,
2 2
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设直线BC与平面PCD所成的角为α,
|⃗BC·n| √2 √6
则sin α=|cos<⃗BC,n>|= = = .
|⃗BC||n| 1×√3 3
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为
√6
.
3
选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM.
由PO⊥平面BCD,CD 平面BCD,可知PO⊥CD.
又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO为二面角A-CD-B的平
⊂
面角.
√3
所以cos∠PMO= ,所以tan∠PMO= .
√2
3
√2 √2
因为OM= × ,所以OP=OMtan∠PMO=√2.
2 2 1
= 2
1 2
( √2) (√2 ) ( √2 ) √2
所以P 0,0, ,C ,0,0 ,D 0, ,0 ,B 0,- ,0 ,所以
2 2 2 2
(√2 √2 ) (√2 √2 ) ( √2 √2)
⃗BC= , ,0 ,⃗DC= ,- ,0 ,⃗DP= 0,- , .
2 2 2 2 2 2
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),{ n·⃗DC= √2 x- √2 y=0,
2 2
则
√2 √2
n·⃗DP=- y+ z=0,
2 2
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设直线BC与平面PCD所成的角为α,
|⃗BC·n| √2 √6
则sin α=|cos<⃗BC,n>|= = = .
|⃗BC||n| 1×√3 3
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为
√6
.
3
