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专题 6.3-4 三角形中位线与多边形角度计算
典例体系 （本专题共 3 8 题 1 8 页）
一、知识点
1、三角形中位线：三角形两边中点的连线叫三角形的中位线。
三角形中位线定理: 三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
180∘ ×(n−2)
2、n边形的内角和= ；
360∘
3、n边形的外角和= 。
4、一个 边形的对角线有 条，过 边形一个顶点能作出 条对角线，把 边形分成了
个三角形。
二、考点点拨与训练
考点1：三角形中位线的性质和应用
典例：（2021·河南洛阳市·九年级期末）如图，在 中， ， ， 、 分别
是其角平分线和中线，过点C作 于点F，交 于点G，连接 ，求线段 的长．
【答案】2cm
【详解】解：在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 （ ）．
又∵ ，
∴ 是 的中位线，
∴ ．
答： 的长为 ．
方法或规律点拨
本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正确证明GF=CF是关键．
巩固练习
1．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图，在 中， 是 上一点， 于点 ，
点 是 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ ，
∴△ACD为等腰三角形，
∵ ，
∴E为CD的中点，（三线合一）
又∵点 是 的中点，
∴EF为△CBD的中位线，
∴ ，
故选：C．2．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）如图， 是 的边 的中点 平分 ．且
，垂足为 且 ， ． ，则 的周长是（ ）
A．24 B．25 C．26 D．28
【答案】C
【详解】
解：延长BN交AC于D，
∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，
∴AD=AB=6，BN=ND，又M是△ABC的边BC的中点，
∴DC=2MN=4，
∴AC=AD+DC=10，
则△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26，
故选C．
3．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，已知四边形 中， 、 分别为 、 上的点， 、
分别为 、 的中点．当点 在 上从点 向点 移动而点 不动时，那么下列结论成立的是
（ ）
A．线段 的长逐渐增大 B．线段 的长不变
C．线段 的长逐渐减小 D．线段 的长与点 的位置有关
【答案】B
【详解】
解：因为AR的长度不变，根据中位线定理可知，EF平行与AR，且等于AR的一半．所以当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，线段EF的长不变．
故选：B．
4．（2021·山东泰安市·九年级期末）如图：在 中， 点 分别是 的
中点，连接 ，如果 那么 的周长是___．
【答案】30
【详解】
∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，
∴DE是ΔABC的中位线，
∴ DE= AC ，
∵ DE=2.5 ，
∴ AC=5 ，
∵ AB=13 ， BC=12 ，
∴ C =AB+BC+AC=13+12+5=30．
ABC
故答案△ 为：30.
5．（2021·山东东营市·八年级期末）如图，点D、E分别是边AB、AC上的点，已知点F、G、H分别是
DE、BE、BC的中点，连接FG、GH、FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为____．
【答案】5
【详解】F，G分别是 ， 的中点，∴ ，
∵ ， 分别是BE，BC的中点，
∴ ，
∵∠FGH=90°，
∴由勾股定理得，
，
故答案为：5．
6．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ，
连接 ，点 分别是 的中点， ，则 的度数是_______．
【答案】
【详解】解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP= EC，
NP是ΔDBC的中位线∴NP= BD，
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34
∘
∴∠MPN=180 -∠PMN-∠PNM=180-34-34=112
∘ ∘ ∘ ∘ ∘
7．（2021·易门县龙泉中学九年级期末）已知，如图，CD是Rt FBE的中位线，A是EB延长线上一点，
△
且AB= BE．
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠E=60°，AD=3cm，求BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）3cm
【详解】
解：（1）证明：∵CD是Rt FBE的中位线，
△
∴CD∥BE，CD= BE，
∴AB= BE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3cm，
∵CD是Rt FBE的中位线，
△
∴BC=CE= EF，
∵∠E=60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3cm．
8．（2020·浙江杭州市·八年级期末）如图，在 中， ，D为CA延长线上一点，
于点E，交AB于点F．（1）求证： 是等腰三角形；
（2）若 ， ，求线段DE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【详解】
解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥BC，
∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，
∴∠D=∠BFE，
又∵∠BFE=∠AFD，
∴∠D=∠AFD，
∴AD=AF，即△ADF为等腰三角形；
（2）过A作AH⊥BC，
∵ ，DE⊥BC，
∴EF//AH，
∴EF是△BAH的中位线，
∵BE=2，
∴EH=2，
∵AB=AC，
∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，
∵DA=AF=5，AC=AB=10，∴DC=AD+AC=15，
∴ ．
9．（2021·上海九年级专题练习）已知：平行四边形 中，点 为边 的中点，点 为边 的
中点，联结 、 ．
（1）求证： ∥ ；
（2）过点 作 ，垂足为 ，联结 ．求证：△ 是等腰三角形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】
解：（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ∥ 且 ．
∵点 、 分别是边 、 的中点，
∴ ， ．
∴ ．
又∵ ∥ ，
∴四边形 是平行四边形
∴ ∥ ．
（2）设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中点，
∴EN是△BAH的中位线，
∴BE=EH，∴CN是BH的垂直平分线，
∴CH=CB，
∴△BCH是等腰三角形．
10．（2021·河南驻马店市·九年级期末）如图1，在Rt ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边
AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
△
（1）观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；
（2）探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
【答案】（1） ； ；（2） 是等腰直角三角形，见解析
【详解】
解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝ BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝ CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC＋∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转知， ，，
≌ ，
，
利用三角形的中位线得， ，
，
是等腰三角形，
同 的方法得， ，
，
同 的方法得， ，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
考点2：与多边形内角有关的计算
典例：（2020·安徽省初三三模）如图，在五边形 中，
的平分线 相交于 点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
∵五边形的内角和等于(5-2)×180°=540°，∠A+∠B+∠E=280°，∴∠BCD+∠CDE=540°一280°=260°，
∵∠BCD，∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD= (∠CDE+∠BCD)=130°，
∴∠P=180°-130°=50°，
故选：C．
方法或规律点拨
本题考查了多边形的内角和，角平分线的性质，求出五边形内角和是解题关键．
巩固练习
1．（2020·福建省初三月考）若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
设这个多边形的边数为n，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n－2）180°=720°．解
得n=6.故选C.
2．（2020·福建省初三二模）已知一个多边形的内角和是 ，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【解析】
根据多边形内角和定理，n边形的内角和公式为 ，因此，
由 得n=5．故选B．
3．（2020·偃师市实验中学初一月考）如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的
多边形的边数是 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
设多边形原有边数为x，
则(2x−2)×180=2160，
2x−2=12，解得x=7，
故本题选C.
4．（2020·江苏省初一月考）一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
∵一个多边形的每个内角都等于135°，∴这个多边形的每个外角都等于180°-135°=45°，
∵多边形的外角和为360度，
∴这个多边形的边数为：360÷45=8，
故选D.
5．（2020·北京初三二模）如图，四边形 中，过点A的直线l将该四边形分割成两个多边形，若这
两个多边形的内角和分别为 和 ，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
直线 将四边形ABCD分成两部分，左边为四边形，其内角和为 360°，右边为三角形，其内角和为
180°，因此
故选：B．
6．（2019·河南省初一期末）下列选项可能是多边形的内角和的是( )
A．580° B．1240° C．1080° D．2010°
【答案】C
【解析】
解：判断哪个度数可能是多边形的内角和，看它是否能被180°整除．
580÷180=3...40，
1240÷180=6...160，
1080÷180=6，
2010÷180=11...30，
只有1080°能被180°整除．
故选：C．
7．（2020·江苏省扬州教育学院附中初一期中）一个多边形的每个内角都是120°，这个多边形是( )
A．四边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【答案】B
【解析】
解：外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故选：B．
8．（2020·江苏省初一月考）一个正多边形的每个内角度数均为135°，则它的边数为____．
【答案】8
【解析】
设该正多边形的边数为n
由题意得： =135°
解得：n=8
故答案为8.
考点3：与多边形外角有关的计算
典例：（2020·陕西省初二期末）如果一个多边形的内角和与外角和之比是 13：2，求这个多边形的边数．
【答案】15.
【解析】
解：设这个多边形的边数为 ，依题意得：
，
解得 ，
这个多边形的边数为15．
方法或规律点拨
考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，多边形的外角和等于360度．
巩固练习
1．（2020·北大附属嘉兴实验学校初二期中）一个多边形的内角和比外角和的3倍多180°，则它的边数是
（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十一
【答案】B
【解析】
根据题意，得：
（n-2）•180°=3×360°+180°，
解得：n=9，
则这个多边形的边数是9．
故选B．
2．（2020·福建省初一期末）若多边形的边数增加一条，则它的外角和（ ）
A．增加180° B．不变 C．增加360° D．减少180°
【答案】B
【解析】
根据多边形的外角和定理：多边形的外角和都等于360º，与边数多少无关，故选B.
3．（2020·广东省初三一模）已知一个正多边形的每个外角都等于72°，则这个正多边形是( )
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】A
【解析】
这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选A．
4．（2020·江苏省初一月考）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【答案】B
【解析】
解：设多边形的边数为n．
根据题意得：（n-2）×180°=360°，
解得：n=4．
故选：B．
5．（2020·山东省济宁学院附属中学初三二模）正十边形的外角和为（ ）
A．180° B．360° C．720° D．1440°
【答案】B
【解析】
解：因为任意多边形的外角和都等于360°，
所以正十边形的外角和等于360°，．
故选：B．
6．（2020·重庆西南大学附中初三月考）一个正多边形的外角为45°，则这个正多边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【解析】
∵正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=8
∴这个正多边形是正八边形
∴该正多边形的内角和为：180°×（8-2）=1080°.
故答案选：D.
7．（2020·陕西省初三一模）已知一个多边形的内角和与外角和之比是3：2，则这个多边形的边数为____．
【答案】5
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，依题意得：
（n−2）180°＝ ×360°，解得：n＝5．
故这个多边形的边数为5．
故答案为：5．
8．（2020·河南省初二期末）如图的七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点，若图中∠1，
∠2，∠3，∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】
解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋220°＝4×180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝500°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣500°＝40°，
故答案为A.
考点4：多边形对角线问题
典例：（2020·上蔡县思源实验学校初一月考）一个多边形的外角和是它内角和的 ，求：
（1）这个多边形的边数；
（2）这个多边形共有多少条对角线．
【答案】（1）边数为10；（2）35条
【解析】
解：设这个多边形的边数为n，由题意得：
180(n-2)× =360，
解得：n=10，
答：这个多边形的边数为10；
（2）10×(10-3)÷2=35（条）．
方法或规律点拨
本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征，及多边形对
角线的条数公式．
巩固练习
1．（2020·全国初一）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【答案】B
【解析】
n边形对角线条数为
∴A. 四边形有2条对角线，故错误；
B. 五边形有5条对角线，正确；
C. 六边形有9条对角线，故错误；
D. 七边形有14条对角线，故错误；
故选B.
2．（2020·全国初一）在八边形内任取一点，把这个点与八边形各顶点分别连接可得到几个三角形
（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】D
【解析】如图
，或者根据八边形内一点，和任意一边的两端点均可构成三角形，所以可求得三角形的个数为8.
故选：D．
3．（2020·全国初一）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸
片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选： ．
4．（2020·温州外国语学校初二月考）从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线（ ）条
A．9条 B．10条 C．11条 D．12条【答案】A
【解析】
解：从十二边形的一个顶点出发，可引出对角线的条数是 条．
故选：A．
5．（2019·北京初三其他）若一个多边形从一个顶点出发的对角线共有3条，则这个多边形的内角和为（
）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【答案】C
【解析】
从一个顶点出发的对角线共有3条
这个多边形是一个六边形
则这个多边形的内角和为
故选：C．
6．（2019·北京市第四十一中学初二期中）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，
可以把一个七边形分割成( )个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
【答案】B
【解析】从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7-2=5
个三角形．
故选B．
7．（2019·重庆市凤鸣山中学初一期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2100°则这个多边
形的对角线共有（ ）
A．104条 B．90条 C．77条 D．65条
【答案】C
【解析】
解： ，则正多边形的边数是11+2+1=14．
∴这个多边形的对角线共有 条．
故选：C．
