文档内容
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题6.5平行四边形的性质与判定大题专练
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
一．解答题（共24小题）
1．（2021春•丰泽区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，
AC＝2，求BD的长．
【分析】根据已知条件得到等腰直角三角形ABC，则AB＝AC＝2，又根据平行四边形的对角线互相平
分，得到OA＝1，根据勾股定理就可求得OB的长，再根据平行四边形的对角线互相平分，就可求得
BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAC＝45°，
∴∠ACB＝∠DAC＝45°，OA＝ AC＝1，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得OB＝ ，
∴BD＝2BO＝2 ．
2．（2020•温州一模）已知：如图，在 ABCD中，∠BCD的角平分线交AB于E，交DA的延长线于F．
（1）求证：DF＝DC； ▱
（2）若E是FC的中点，已知BC＝2，DE＝3，求FC的长．
【分析】（1）依据CF平分∠BCD，可得∠BCE＝∠DCE，依据AD∥BC，可得∠BCE＝∠F，进而得出∠F＝∠DCE，即可得到DF＝DC；
（2）判定△AEF≌△BEC，即可得到AF＝BC＝2，进而得出DF＝4，再根据等腰三角形的性质，即可
得到DE⊥CF，最后依据勾股定理进行计算，即可得出FC的长．
【解答】解：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCE＝∠DCE，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE＝∠F，
∴∠F＝∠DCE，
∴DF＝DC；
（2）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠BCE，∠B＝∠FAE，
∵E是FC的中点，
∴CE＝FE，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF＝BC＝2，
又∵AD＝BC＝2，
∴DF＝4，
∵DF＝DC，E是CF的中点，
∴DE⊥CF，
∴Rt△DEF中，EF＝ ＝ ＝ ，
∴FC＝2EF＝2 ．
3．（2021春•海珠区月考）如图 ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝2，且AO：BO＝
2：3． ▱
（1）求AC的长；
（2）求 ABCD的面积．
▱【分析】（1）设AO＝2a，BO＝3a，平行四边形性质得出AC＝2AO＝4a，在Rt△BAO中，由勾股定理
得出22+（2a）2＝（3a）2，求出即可．
（2）根据平行四边形的面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵AC⊥AB，
∴∠BAO＝90°，
∵AO：BO＝2：3，
∴设AO＝2a，BO＝3a，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4a，
在Rt△BAO中，由勾股定理得：22+（2a）2＝（3a）2，
解得：a＝ ，
∴AC＝4a＝ ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥AB，
∴ ABCD的面积是AB•AC＝2× ＝ ．
4．（▱2021春•天河区期中）如图，点E在 ABCD外，连接BE，DE，延长AC交DE于F，F为DE的中
点． ▱
（1）求证：AF∥BE；
（2）若AD＝2，∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，AC＝2CF，求BE．【分析】（1）连接BD交AC于点O，可得点O是BD的中点，根据F为DE的中点，可得OF是△DBE
的中位线，进而可得结论；
（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AC＝2OA＝2OC，根据AC＝2CF，可得OA＝OC＝CF，
根据含30度角的直角三角形，可得AC的长，所以OF＝AC，再根据△DBE的中位线，进而可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是BD的中点，
∵F为DE的中点，
∴OF是△DBE的中位线，
∴OF∥BE，
∴AF∥BE；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2OA＝2OC，
∵AC＝2CF，
∴OA＝OC＝CF，
∵∠ADC＝60°，∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝30°，
∵AD＝2，
∴DC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
∴OF＝AC＝ ，
∴BE＝2OF＝2 ．
5．（2021春•杨浦区期中）如图，平行四边形 ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，CE的延长线交BA
的延长线于点F．（1）求证：FB＝AD．
（2）若∠DAF＝70°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）证△DEC≌△AEF（AAS），得出DC＝FA，进而得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行证出∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，由等腰三角形的性质得出
∠AEB＝∠ABE，即可得出答案．
【解答】（1）证明∵E为AD的中点，
∴DE＝AE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝DC，
∴∠EDC＝∠EAF，
在△DEC和△AEF中， ，
∴△DEC≌△AEF（ASA），
∴DC＝FA，
∵AD＝2AB，
∴AB＝DE＝EA＝FA，
∴FB＝AD；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DA∥CB，
∴∠CBF＝∠DAF＝70°，∠AEB＝∠EBC，
又∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴∠EBC＝∠ABE＝35°．
6．（2021春•浦东新区期中）如图，已知在平行四边形 ABCD中，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，
交BC的延长线于点E．（1）求证：BE＝CD；
（2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB＝CD，根据平行线的性质得出∠DAE＝
∠AEB，求出∠BAE＝∠AEB，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出 AF＝EF，求出△ADF≌△ECF，根据全等三角形的性质得出 DF＝
CF，再根据平行四边形的判定得出即可．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD；
（2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE，
∴AF＝EF，
在△ADF和△ECF中，
，
∴△ADF≌△ECF（ASA），
∴DF＝CF，
又∵AF＝EF，
∴四边形ACED是平行四边形．
7．（2020春•长宁区期末）已知：如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC边上，EF∥BC交
AC于点F，联结BE．求证：四边形BEFC为平行四边形．
【分析】证△ABE≌△ACD（SAS），得∠EBA＝∠DCA＝60°，再证∠EBC+∠BCA＝180°，则
BE∥CF，然后由EF∥BC，即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE＝AD，AB＝AC，∠BCA＝∠EAD＝∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠EBA＝∠DCA＝60°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝120°，
∴∠EBC+∠BCA＝180°，
∴BE∥CF，
又∵EF∥BC，
∴四边形BEFC为平行四边形．
8．（2020春•浦东新区期末）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM．
求证：（1）BE＝FD；
（2）EF与MN互相平分．【分析】（1）证明△ABE≌△CDF（AAS）可得结论．
（2）连接EM，EN，NF，FM，证明ME＝FN，FM＝NE，推出四边形MENF是平行四边形即可解决问
题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
∵AE⊥BC，CF⊥AD，
∴∠AEB＝∠CFD，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴BE＝DF．
（2）连接EM，EN，NF，FM．
∵DN＝BM，∠D＝∠B，DF＝BE，
∴△BEM≌△DFN（SAS），
∴ME＝FN，
同法可证FM＝EN，
∴四边形MENF是平行四边形，
∴EF与MN互相平分．
9．（2021秋•鲤城区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝
DF．
求证：AE∥CF．
【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再证AF＝CE，得出四边形AECF是平行四边形，
即可得出结论．【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝DF，
∴AD﹣DF＝BC﹣BE，
即AF＝CE，
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
10．（2021秋•招远市期末）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与
AB，CD分别相交于点E，F，连接AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若EF⊥AC，△ADF的周长是13，则平行四边形ABCD的周长为 2 6 ．
【分析】（1）证明出△OBE≌△ODF，即有BE＝DF；
（2）由EF垂直平分AC得△ADF的周长为AD+DC＝13，进而平行四边形ABCD的周长为13×2＝26．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB＝OD，
∴∠ABD＝∠CDB，
在△OBE和△ODF中，
，
∴△OBE≌△ODF（ASA），
∴BE＝DF；
（2）∵EF⊥AC，AO＝OC，
∴AF＝CF，
∴△ADF的周长为AD+DF+FA＝AD+DF+CF＝AD+DC＝13，
∴平行四边形ABCD的周长为13×2＝26．
故答案为：26．11．（2021秋•南岗区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中
点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AE＝CE时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于∠B的2倍的所有角．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，求出BE＝DF，根据全等三
角形的判定推出即可；
（2）求出△ABE是等边三角形，求出∠B＝60°，由平行四边形的性质及全等三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，∠B＝∠D，
∵点E、F分别是BC、AD的中点，
∴BE＝ BC，DF＝ AD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：∵BC＝2AB，E为BC中点，
∴AB＝BE＝CE，
∵AE＝EC，
∴AE＝AB＝BE＝CE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B＝∠AEB＝60°，
∴∠BAD＝∠BCD＝∠AEC＝120°，
∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝60°，
∴∠AFC＝120°，
∴图中等于∠B的2倍的所有角为：∠BAD，∠BCD，∠AEC，∠AFC．
12．（2022春•东台市月考）如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，过点E作直线EF，交AD与点F，
分别交AB、CD的延长线于点G、H▱，且EG＝FH．求证：BE＝DF．
【分析】由“AAS”可证△BEG≌△DFH，可得BE＝DF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠E＝∠F，∠EBG＝∠FDH，
在△BEG和△DFH中，
，
∴△BEG≌△DFH（AAS）．
∴BE＝DF．
13．（2021•永嘉县校级模拟）如图 1，在平行四边形 ABCD 中，（AB＞BC）AE⊥BC，垂足为 E，
DF⊥BC所在直线，垂足为F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如图2，作∠ADC的平分线交边AB于点M，与AE交于点N，且AE＝AD，求证：CD＝CF+AN．【分析】（1）证明△ABE≌△DCF即可；
（2）延长CF到G，使得FG＝AN，证明△ADN≌△FDG转化线段AN＝FG，再证明∠CDG＝∠G，所
以CD＝CG，而CG＝CF+FG＝CF+AN，所以CD＝CF+AN．
【解答】证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AB＝CD，AD∥BC．
又∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE＝DF（平行线之间垂直距离处处相等）．
∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）．
∴BE＝CF；
（2）延长CF到G，使得FG＝AN．
∵AD∥BC，且AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE＝DF．
∴AD＝DF．
∵△ADN≌△FDG（SAS）．
∴∠1＝∠6＝ ，∠7＝∠G．FG＝AN．
∵Rt△ABE≌Rαt△DCF，
∴∠3＝∠4＝ ．
∵DM平分∠AβDC，
∴∠1＝∠2＝
∵AB∥CD， α
∴∠5＝∠2＝ ．
在△AMN中，α∠7＝∠4+∠5＝ + ，
又∠CDG＝∠3+∠6＝ + ， α β
∴∠CDG＝∠G． α β
∴CD＝CG．而CG＝CF+FG＝CF+AN，
∴CD＝CF+AN．
14．（2022春•滨海县月考）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交
BE于点O．
（1）求证：AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长．
【分析】（1）先证△ABC≌△DEF（ASA），得AB＝DE，再证四边形ABDE是平行四边形，即可得出
结论；
（2）先求出BF＝3，则AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝5，然后由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，连接BD、AE，
∵FB＝CE，
∴BC＝EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB＝DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分；
（2）解：∵FB＝CE，
∴BE＝2BF+FC，
∴BF＝ ＝ ＝3，∴AC＝BF＝3，BC＝BF+FC＝3+2＝5，
∵AB⊥AC，
∴由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝4．
15．（2021•永嘉县校级模拟）如图，E，F是 ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；▱
（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．
【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到 OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝
OF，则即可得出结论；
（2）由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝
AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．
【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∵OA＝OC，
∴四边形AECF是平行四边形．
（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，
∴BF＝ ＝ ＝5，
∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，
∴四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，
∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，
∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，
解得：OF＝1.8，
∴OA＝ ＝2.4，
∴AC＝2OA＝4.8．
16．（2021春•九龙坡区期中）在四边形ABCD中，AD＝BC，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上
一点，连接EO并延长交AD于点F，交BA的延长线于点G，且OE＝OF．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若∠D＝63°，∠G＝42°，求∠GEC的度数．
【分析】（1）证△AOF≌△COE（SAS），得∠OAF＝∠OCE，则AD∥BC，再由AD＝BC，即可得出
四边形ABCD是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质得∠B＝∠D＝63°，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】（1）证明：∵点O是对角线AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（SAS），
∴∠OAF＝∠OCE，∴AD∥BC，
又∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝63°，
∴∠GEC＝∠B+∠G＝63°+42°＝105°．
17．（2021秋•任城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AO＝
OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD＝100°，∠DBF＝2∠ABE，求∠ABE的度数．
【分析】（1）证△AOD≌△COB（ASA），得AD＝CB，再由AD∥BC，即可得出结论；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得BE＝DE，则∠EBD＝∠EDB，再证∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝
2x，然后由三角形内角和定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
（2）解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵AD∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
18．（2018•石阡县模拟）如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC
的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得AB＝CD，AD∥BE，再证∠BAE＝∠E得到AB＝BE，即可得出
BE＝CD；
（2）先证△ABE 为等边三角形得到 AE＝2，且 AF＝EF＝1，则根据勾股定理得 BF＝ ，易证
△ADF≌△ECF，得出平行四边形ABCD的面积等于△ABE的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD；
（2）解：∵AB＝BE，∠BEA＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝2，
∵BF⊥AE，
∴AF＝EF＝1，
∴BF＝ ＝ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴△ADF的面积＝△ECF的面积，
∴平行四边形ABCD的面积＝△ABE的面积＝ AE•BF＝ ×2× ＝ ．
19．（2022春•江阴市校级月考）如图，E，F为 ABCD对角线BD上的两点，若再添加一个条件，就可
证出四边形CFAE是平行四边形， ▱
请完成以下问题：
（1）你添加的条件是 BE ＝ DF ．
（2）请根据题目中的条件和你添加的条件证明．
【分析】（1）可添加BE＝DF；
（2）连接AC交BD于点O，连接AF、CE，由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC、OB＝OD，结
合BE＝DF得OE＝OF，据此可证四边形AECF是平行四边形，从而得出答案．
【解答】（1）解：添加的条件是：BE＝DF，
故答案为：BE＝DF；
（2）证明：如图，连接AC交BD于点O，连接AF、CE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵BE＝DF，
∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，
∴四边形CFAE是平行四边形．
20．（2021•高青县一模）如图，点 B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A＝
∠F，∠C＝∠D．
（1）求证：四边形BCED是平行四边形；
（2）已知DE＝3，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明；
（2）根据平行四边形的性质和角平分线定义可以证明CN＝CB＝DE．
【解答】（1）证明：∵∠A＝∠F，
∴DF∥AC，
∴∠C＝∠FEC，
又∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠D，
∴DB∥EC，
∴四边形BCED是平行四边形；
（2）解：∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN，
∵BD∥EC，
∴∠DBN＝∠BNC，
∴∠CBN＝∠BNC，∴CN＝BC，
又∵BC＝DE＝3，
∴CN＝3．
21．（2021春•阿荣旗期末）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别
相交于点E、F，连接EC． ▱
（1）求证：OE＝OF；
（2）若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求 ABCD的周长．
▱
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出
△DFO≌△BEO即可；
（2）由平行四边形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，由线段垂直平分线的性质得出AE＝
CE，由已知条件得出BC+AB＝10，即可得出 ABCD的周长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四▱边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中， ，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴OE＝OF．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC，
∵EF⊥AC，
∴AE＝CE，
∵△BEC的周长是10，
∴BC+BE+CE＝BC+BE+AE＝BC+AB＝10，∴ ABCD的周长＝2（BC+AB）＝20
▱
22．（2017•蓬江区校级开学）如图，已知△ABC和△ADE均是等边三角形，点D在线段BC上，过点E
作EF∥BC，交B于点F，交AC于点G，连接CF、DG．
（1）求证：EF＝CD；
（2）求证：四边形BFGD是平行四边形．
【分析】（1）由SAS证明△ACD≌△ABE得出CD＝BE，∠ACD＝∠ABE，由平行线的性质得出∠ABC
＝∠EFB，得出∠ABE＝∠EFB，证出EB＝EF，得出EF＝CD，即可得出结论；
（2）由（1）得到EF＝CD，∠EBF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，根据平行线的判定定理得到BE∥CG，根
据平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵△ABC和△ADE均是等边三角形，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴CD＝BE，∠ACD＝∠ABE＝60°，
∵EF∥BC，∴∠ABC＝∠EFB，
∴∠ABE＝∠EFB，
∴EB＝EF，
∴EF＝CD；
（2）解：由（1）知，EF＝CD，∠EBF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠EBC+∠ACB＝180°，
∴BE∥CG，
∵EF∥BC，
∴四边形BEGC是平行四边形，
∴EG＝BC，
∴EG﹣EF＝BC﹣CD，
∴FG＝DB，
∵FG∥DB，
∴四边形BFGD是平行四边形．
23．（2021春•碑林区校级月考）已知，如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，BM⊥AC，DN⊥AC，
垂足分别为M，N，连接DM，BN，求证四边形BMDN是平行四边形．
【分析】先证DN∥BM，再证△ADN≌△CBM（AAS），得DN＝BM，即可得出结论．
【解答】证明：∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
∴DN∥BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠DAN＝∠BCM，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∴四边形BMDN是平行四边形．
24．（2021秋•仓山区校级期末）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，
交BC于点E，且∠ADC＝60°．
（1）求证：AB＝AE；
（2）若 ＝m（0＜m＜1），AC＝4 ，连接OE；
①若m＝ ，求平行四边形ABCD的面积；
②设 ＝k，试求k与m满足的关系．
【分析】（1）根据 ABCD中，∠ADC＝60°，可得△ABE是等边三角形，进而可以证明结论；
▱
（2）①根据 ＝m＝ ，可得AB＝ BC，证明∠BAC＝90°，再利用含30度角的直角三角形可得AB
的长，进而可得平行四边ABCD的面积；
②根据四边形ABCD是平行四边形，可得S△AOD ＝S△BOC ，S△BOC ＝ S△BCD ，由△ABE是等边三角形，
可得BE＝AB＝mBC，由△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m
倍，设BC边上的高为h，BC的长为b，分别表示出四边形OECD和三角形AOD的面积，进而可得k与
m满足的关系．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD＝60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝AE；
（2）解：①∵ ＝m＝ ，
∴AB＝ BC，
∴AE＝BE＝ BC，
∴AE＝CE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB＝60°，
∴∠ACE＝∠CAE＝30°，
∴∠BAC＝90°，
当AC＝4 时，AB＝4，
∴平行四边ABCD的面积＝2S△ABC＝2× AB•AC＝4×4 ＝16 ；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△AOD ＝S△BOC ，S△BOC ＝ S△BCD ，
∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝mBC，
∵△BOE的BE边上的高等于△BDC的BC边上的高的一半，底BE等于BC的m倍，
设BC边上的高为h，BC的长为b，
∴S△BCD ＝ ×bh，S△OBE ＝ × ×mb＝ ，
∴S四边形OECD ＝S△BCD ﹣S△OBE ＝ ﹣ ＝（ ﹣ ）bh，
∵S△AOD ＝ ×b＝ ，∴ ＝（ ﹣ ）bh× ＝k，
∴2﹣m＝k，
∴m+k＝2．
