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专题 26.3 反比例函数 k 的几何意义与面积之间的关系【十大题型】
【人教版】
【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】..................................................................................1
【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】..................................................................................3
【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】..........................................................................4
【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】......................................................................6
【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】.........................................................................................7
【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】.........................................................................................8
【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】.............................................................................9
【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】...................................................................................11
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】....................................................................................................13
【题型10 由直线分面积求参数的值】....................................................................................................................14
知识点：反比例函数的k的几何意义
由y＝(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S ＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
矩形PAOB
同理可得S ＝S ＝|xy|＝|k|.
△OPA △OPB
【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】
6
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y= (x>0)相
x
6
交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y= (x>0)上，则△ABO
x的面积为（ ）
A．3 B．3❑√2 C．6❑√2 D．6
1 3
【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数y=− (x<0)与y= (x>0)
x x
的图象上，且OA⊥OB．若AB=6，则△AOB的面积为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形，
4
∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面
x
积之差为 ．
1 k
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线y= x 与双曲线y= (k>0)交于
2 x
A、B两点，且点A的横坐标为4．(1)求k的值；
k
(2)若双曲线y= (k>0)上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积？
x
(3)在坐标轴上是否存在一点M使得MA+MC的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理
由．
【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】
2
【例2】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，点A在函数y= (x>0)的图像上，点B在函数
x
3
y= (x>0)的图像上，且AB∥x轴，BC∥y轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
x
A．1 B．2 C．3 D．4
1
【变式2-1】（23-24九年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数y=x与y= 的图象的两个交点，作
x
AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．S>2 B．S>1 C．S<1 D．S=21 3
【变式2-2】（23-24九年级·上海·阶段练习）如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB
x x
∥ x轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形ABCD的面积是 ．
2
【变式2-3】（2024春·山东烟台·九年级 统考期中）如图，反比例函数y= (x>0)的图象经过矩形
x
OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．
【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】
【例3】（2024九年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下
表数据：
x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12
y 12 6 4 3 2 1 0.5
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ．
（3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为
S，矩形ODEF的面积记为S，请判断S 和S 的大小关系，并说明理由．
1 2 1 2
2
（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝ 的图象经过点G交AB于点H，连接OG、
xOH，则四边形OGBH的面积为 ．
k
【变式3-1】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数y= 图象上的两点，PA⊥y轴
x
于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为
S ，△QMN的面积记为S ，则S 与S 的大小关系是（ ）
1 2 1 2
A．S S D．S =2S
1 2 1 2 1 2 1 2
k
【变式3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y= 的图象上有三点
x
A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA
，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S ，S ，S ，则S ，S 和S 的大小关系为（ ）
1 2 3 1 2 3
A．S >S >S B．S S >S
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 25
【变式3-3】（2024·吉林长春·二模）已知点A在反比例函数y= (x>0)的图象上，点B、C在反比例函数
x
1
y= (x>0)的图象上，点P、Q为x、y轴上任意一点，则△PAC和△QAB面积的大小关系为（ ）．
x
A．S >S B．S 0)在第三象限的图象是l ，
x 1
n
y= (n<0)在第四象限的图象是l ，点A、C在l 上，过A点作AB∥x轴交l 于B点，过C点作CD⊥y轴
x 2 1 2
于D点，点P为x轴上任意一点，连接AP、BP、CP、DP，若S =5，S =2，则n= ．
△ABP △CDP−6
【变式5-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）如图，点A(2,a)在双曲线y= (x>0)上，过D(−2,0)作直
x
k
线AD交双曲线y= (x>0)于点B，过A作AC⊥x轴于C，连接BC，若△ABC的面积为1，则k的值为
x
．
【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】
【例6】（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴
k
上，对角线AC、OB交于点D，反比例函数y= (x>0)的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为
x
6，则k为（ ）
A．2 B．1 C．3 D．6
k
【变式6-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，直线y=2x与反比例函数y= (k≠0)交于A、B两
x
点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接AC，使得AC=AB，过点C作x轴的垂线k
交y= (k≠0)于点D，以BC、CD为边作矩形BCDE，若S =32，则k= ．
x 矩形BCDE
【变式6-2】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B
k 8
在y轴上，点A在反比例函数y= (x<0)的图象上，点C在反比例函数y= (x>0)的图象上．若平行四
x x
边形OABC的面积为10，则k= ．
【变式6-3】（2024·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xoy中，已知点A(a，−4a)、B(2a，−2b)、
k
C(−a，4a)、D(−2a，2b)是函数y= (k≠0)图象上的四点．若四边形ABCD 的面积为4，则k的值
x
为 ．
【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】
【例7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方
k
形OACD，ABEF．反比例函数y= (k>0)的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，
x
QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（ ）A．6 B．12 C．24 D．48
k
【变式7-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数y= (x<0)的图象上，过A，B
x
两点分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D，连接OA,OB，若S +S =2（S ,S 分别为△BDO和△ACO
1 2 1 2
中空白部分的面积），S ＝1，则k的值为 ．
阴影
【变式7-2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，矩形OBCD、矩形OAPE在平面直角坐标系中的位置如图
所示，A、B在x轴正半轴上，E、D在y轴正半轴上，顶点C、P在第一象限，M为BC的中点，反比例函
k
数y= （x>0，k为常数，k≠0）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
x
【变式7-3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴
k
上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB=EF．反比例函数y= (k≠0)的图象经过点B，
x
若阴影部分面积为6，则k的值为（ ）A．2 B．3 C．6 D．12
【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】
【例8】（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为(0,−2)，B在x轴的负半轴上，
C、D两点落在反比例函数y=kx−1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是△ABE面积的3倍，
则k的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
k
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，过y= (k≠0,x>0)的图象上点A，分别作x轴，y轴
x
2
的平行线交y=− 的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，
x
11
面积分别记为S ，S ，S ，S ，若S +S +S = ，则k的值为（ ）
1 2 3 4 2 3 4 25 5 8
A． B． C．4 D．
2 3 3
【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S 、S 的正方
1 2
k
形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y= (x>0)的图象上，若S −S =4，则k值为
x 1 2
．
m
【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点A(3,6)，B(6,a)是反比例函数y= 的图象上的两点，连接
x
OA、OB．(1)求a的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)若点C的坐标为(9,0)，点P是反比例函数图象上的点，若△POC的面积等于△AOB面积的3倍，求点P
的坐标．
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】
m
【例9】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y= (x>0)的
x
图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽
度BD=2，S =5，则点C的坐标是 ．
△AOC
【变式9-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB
k
绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y= 的图象经过点C．
x
(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
k
(2)点P在反比例函数y= 的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
x
6
【变式9-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数y= 的图象上，点B在反比例函数
xk 2
y= 的图象上，连接AB，且AB∥x．点P( ,0)是x轴上一点，连接PA，PB，若PA=PB，S =4
x 3 △PAB
，则PB与y轴交点C的坐标为 ．
【变式9-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点
k
D(2,1)在对角线OB上，反比例函数y= (k>0,x>0)的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面
x
积是6，则点B的坐标为（ ）
( 8) (24 12)
A． 4, B．(4,2) C．(5,2.5) D． ,
3 5 5
【题型10 由直线分面积求参数的值】
k
【例10】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数y= 的图像交于A，B
x
k−16
两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数y= 的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，OD将四
x
边形ABDC的面积分成7：5的两部分，则△OCD的面积为 ，k的值为 ．1 k
【变式10-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，直线y= x+m与反比例函数y= (x>0)交于点
2 x
1
A(2,4)，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y= x+m于点E．若
2
OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，则点C坐标为 ．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所
k
组成的图形，反比例函数y= (k≠0,x>0)的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图
x
形分成面积为5:7的两部分，则k的值为 ．
k
【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线y=px+3(p≠0)与反比例函数y= (k>0)在第一象
x
限内的图象交于点A(2,q)，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y=px+3于点E，且S :S =3:4．
△AOB △COD
(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
