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专题 05 反比例函数（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
反比例函数相关 掌握反比例函数的有关基础概念，能够 较少直接考查，若考查也是以选择题、填
概念 区分反比例与正比例函数的形式差异. 空题形式考查，难度低。
反比例函数的图 要熟练根据k的符号判断图象位置和增 基本出现在选择题或解答题的某一问中，
象与性质 减性，能结合图象分析进行函数值的大 常考函数值比较或增减性分析，注意k符号
小比较和变化趋势。 的影响。
反比例函数k 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐 考查大热门，在选择题、填空题出现的概
的几何意义 标轴围成的三角形或矩形面积问题。 率较大，要用数形结合思想进行解答，多
训练，掌握解题方法。
待定系数法求反 熟练运用待定系数法求函数解析式的方 基本在解答题中以其中一问的形式进行考
比例函数解析式 法步骤 查，难度不大，注意按步骤解答。
反比例函数与一 掌握联立方程求两个函数的交点坐标， 在期末考查中常与一次函数、几何图形结
次函数的综合应 能结合图象比较不同范围内函数值的大 合在一起，难度一般较大，特别是动态问
用 小。 题中的函数分析，尖子生要重点突破此类
型题型。
反比例函数的实 能够从实际问题中抽象出反比例函数模 选择、填空和解答题均有考查题型，题干
际应用 型，利用函数解析式解决实际问题。 会给出生活实际场景，需要找出等量关
系，难度中等偏下。
知识点01 反比例函数的相关概念
（1）概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）三种表示形式
①y= （k为常数，k≠0）．
②xy=k（k为常数，k≠0）．
③ （k为常数，k≠0）．（3）反比例函数y= 中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此
人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义．
知识点02 反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反
数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
（4）反比例函数的性质：
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图象
（1）自变量x的取值范围为 （1）自变量x的取值范围为
x≠0； x≠0；
性质 （2）图象的两个分支分别位 （2）图象的两个分支分别位
于第一、第三象限，在每一 于第二、第四象限，在每一
个象限内，y随x的增大而减 个象限内，y随x的增大而增
小 大知识点03 反比例函数k 的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积
S=PM·PN
=|y|·|x|=|xy|．因为 ，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的
面积为|k|．
知识点04 用待定系数法求反比例函数的解析式
（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为 ；
（2）代——把它的一对对应值（x，y）代入 中，得到关于k的方程；
（3）解——解方程，求出常数k；
（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式． 知识点05 反比例函数的实际应用
用反比例函数解决实际问题的步骤：
（1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系．
（2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示．
（3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数．
（4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围．
（5）解——用函数解析式去解决实际问题．
（6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
（7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性．题型一 反比例函数相关概念
解｜题｜技｜巧
识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式 或变形形式xy=k（k是常数，
k≠0）， （k是常数，k≠0）进行筛选．
【典例1】下列函数中， 是 的反比例函数的是
A． B． C． D．
【典例2】已知函数 是关于 的反比例函数，则实数 的值是 ．
y=(m+2)x|m|-3 x m
【变式1】下列函数不是反比例函数的是（ ）
8x 1
A．y=3x-1 B．y=- C．xy=5 D．y=
3 2x
【变式2】函数y=(m-2)x3-m2
是反比例函数，则m=（ ）．
A．1 B．2 C．-2 D．2或-2
题型二 反比例函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线
；②一、三象限的角平分线 ；对称中心是：坐标原点．
易｜错｜点｜拨
1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”．
2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数
中的两个变量一定成反比例关系
【典例1】关于反比例函数 ，下列说法中错误的是A． 时， 随 的增大而减小 B．当 时，
C．它的图象位于第二、四象限 D．当 时， 有最小值为
6
【典例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y= 的一支曲线是（ ）
x
A．① B．② C．③ D．④
【典例3】如图，双曲线 与直线 相交于 、 两点， 点坐标为 ，则 点坐标为
A． B． C． D．
-a2-1
【典例4】若点A(x ,-2)，B(x ,-1)，C(x ,3)均在反比例函数y= （a为常数）的图象上，则x ，
1 2 3 x 1
x ，
2
x 的大小关系是（ ）
3
A．x <x <x B．x <x <x C．x <x <x D．x <x <x
1 3 2 2 1 3 1 2 3 3 1 2
5
【变式1】函数y= 的图像大致是（ ）
xA． B．
C． D．
3
【变式2】已知反比例函数y=- ，下列结论不正确的是（ ）
x
A．图象必经过点(-1,3) B．若x>1，则-3<y<0
C．图象在第二、四象限内 D．y随x的增大而减小
【变式3】 如图，直线 与双曲线 相交于 、 两点，则点 坐标为
A． B． C． D． ，
k
【变式4】已知点A(-2,y )，B(-1,y )，C(3,y )在反比例函数y= (k<0)的图象上，则y ,y ,y 的
1 2 3 x 1 2 3
大小关系 ．
题型三 反比例函数k 的几何意义
易｜错｜点｜拨
由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号．
【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△ 的面积是1.5，则反比例函数 中， 是A．1.5 B． C．3 D．
【典例2】如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，过点 作平行四边形 ，使点 、
在 轴上，点 在 轴上．已知平行四边形 的面积为6，则 的值为
A．6 B． C．3 D．
【变式1】如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 作 轴于点 ，点 是点
关于 轴的对称点，连接 ，若 的面积为18，则 的值为
A．18 B．36 C． D．
【变式2】如图，点A，B，C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂
线，与x轴的交点分别为点D，E，F，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为S ，S ，其中
1 2
OD:DE:EF=1:2:3，若S =6，则S = ．
2 1题型四 待定系数法求反比例函数解析式
解｜题｜技｜巧
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此只
需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
【典例1】已知反比例函数的图象经过点 ，那么该反比例函数的表达式为
A． B． C． D．
【变式1】若反比例函数的图象经过点 ，则该反比例函数的解析式为
A． B． C． D．
【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数
k
y= (x＜0)的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△CBE的面积．题型五 反比例函数与一次函数的综合应用
解｜题｜技｜巧
反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成
方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
易｜错｜点｜拨
【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致
A． B．
C． D．
k
【典例2】如图，已知反比例函数y = 1 （k >0）与一次函数y =k x+1(k ≠0)相交于A、B两点（点
1 x 1 2 2 2
AC
A在第一象限），AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且 =2．
OC(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函数y 的值？
1 2
【变式1】在同一平面直角坐标系中，若 ，则函数 与 的大致图象是
A． B．
C． D．
m
【变式2】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象交于点A(-1,4)，且与x轴和y轴分别交于
x
点B(3,0)和点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
m
(2)直接写出不等式 >ax+b的解集为_______；
x
m
(3)连接OA，已知P为反比例函数y= 图象上一点，且S =2S ，求点P的坐标．
x △OBP △OAC题型六 反比例函数的实际应用
解｜题｜技｜巧
1.反比例函数解决实际问题的方法：
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上
的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
2.实际问题中常见的反比例关系：
（1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例．
（2）面积型
①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例．
②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例．
（3）物理应用型
①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例．
②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例．
③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例．
【典例1】某品牌蓄电池的电压为 ，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流
（单位： 关于电阻 （单位： 函数图象大致是
A． B．
C． D．
【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系： ，
已知 时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设 克水可溶解氯化钠 克，则 关于 的函数关系式是
A． B． C． D．
【典例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每
小
时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当
沙
尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，
那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体
积V（单位：m3）的反比例函数．已知p与V之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
80
A．p= B．当V =1，时，p=100
V
C．当V <2时，p<48 D．当V >1.6时，0<p<60
【变式2】如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点 左侧固定位置处悬挂重物 ，在中点 右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 的距离 ，观察弹簧秤的示
数 的变化情况．实验数据记录如下：
15 20 25 30
20 15 12 10
猜测 与 之间的函数关系，并求出函数关系式为 ．
【变式3】为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知
消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）成正比例函数关系，药
物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示．
信息窗
1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药
量为6mg/m3．
2．空气中的含药量不高于1.6mg/m3时，学生方可
回到教室．
3．当室内空气中的含药量不低于3mg/m3时，对杀
灭病毒有效．
(1)直接写出m，n的值；
(2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间：
(3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
1 8 4
A．y＝3x B．y=- C．y= D．y=
x x2 x+5
5
2．已知反比例函数y=- ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．图象必经过（1，﹣5）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限
D．图象关于原点中心对称
1
3．函数y＝2x与函数y=- 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝ ．
5．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）是做功时间t（s）的反比例函数，P（W）与t（s）之间的函
数关系如图所示．当t＝35时，P的值为 W．
2k+3
6．已知反比例函数y= ，其中k是常数．
x
（1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围；（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
7．新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼
灯调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流 I
（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示．
（1）求I关于R的函数表达式．
（2）当R＝1500Ω时，求I的值．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
a
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角
x
坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．k
2．已知反比例函数y= （k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（
x
）
a
A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值-
2
3．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电
阻R （Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示
1 1
的读数U 换算为人的质量m（kg）．已知U 连R 的变化而变化（如图2），R 与踏板上人的质量m的
0 0 1 1
关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）
A．在一定范围内，U 越小，R 越大
0 1
B．当U ＝4V时，R 的阻值为30Ω
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，U ＝3V
0
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
0
1-2a
4．若反比例函数y= 在图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ．
x
5．如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度，密度计悬浮在不同的
液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计
悬浮在密度ρ为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝30cm时，则该液体
的密度ρ＝ g/cm3．m
6．如图，一次函数y ＝﹣x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数y = 的图象交于点
1 2 x
A，B，已知点A的纵坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出y ＞y 时x的取值范围；
1 2
（3）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始
学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的
注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y随时间x（分钟）的变化规律如图所示
（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
（3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打
造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，
明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一
过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．
2．
制作简易杆秤
杆秤示意图
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m +m）•l＝M•
0
（a+y）．其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤
0
纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【设计杆秤】
设定m ＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
0任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方
程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．
任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
3．【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝
6，对角线AC，BD相交于点E．
【构建联系】
k
（1）如图1，若将矩形ABCD向右平移2个单位长度，使得双曲线y= (x＞0)经过点E，求该双曲
x
线的解析式；
【深入探究】
k
（2）如图2，若将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y= (x＞0)分别与
x
AD，BC交于点F，G．连接EG．
①若AF﹣AE＝2，求S 的值；
BEG
②若△AEF为等腰三角△形，求t的值．
