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专题 26.1 反比例函数【十大题型】
【人教版】
【题型1 反比例函数的定义】...............................................................................................................................1
【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】............................................................................2
【题型3 反比例函数的性质】...............................................................................................................................3
【题型4 反比例函数的对称性】...........................................................................................................................3
【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】................................................................................................5
【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】........................................................................................6
【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】...................................................................................................7
【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】.......................................................................................................8
【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】......................................................................................10
【题型10 反比例函数与几何图形综合】.............................................................................................................12
【知识点1 反比例函数的定义】
一般的，形如 的函数，叫做反比例函数。其中 是自变量， 是函数。
自变量 的取值范围是不等于0的一切实数
【知识点2 反比例函数的解析式】
1、 ； 2、 ； 3、
【题型1 反比例函数的定义】
3
【例1】（2022•渭南模拟）已知函数是y=(n-2)xn2-n-3+ 是反比例函数，则n的值是 ．
x
2
【变式1-1】（2022春•高要市期中）反比例函数y=- 中，比例系数k＝ ．
5x
1 1 1
【变式1-2】（2022秋•新泰市校级月考）下列函数，① x（y+2）＝1②y= ③y= ④y=- ⑤y
x+1 x2 2x
x 1
=- ⑥y= ；其中是y关于x的反比例函数的有： ．
2 3x【变式1-3】（2022春•高新区校级期末）若反比例函数 的图象在第二、四象限，m的值为
y=(m+1)x3-m2
．
【知识点3 反比例函数的图象与性质】
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
函数 图象 所在象限 增减性
第一、
三象限 在同一象限内，
随 的增大而减小
第二、
四象限 在同一象限内，
随 的增大而增大
越大，函数图象越远离坐标原点
【题型2 反比例函数的图象上点的坐标特征（比较大小）】
k k k
【例2】（2022•巩义市模拟）如图为反比例函数y= 1，y= 2，y= 3在同一坐标系的图象，则k ，k ，k
1 2 3
x x x
的大小关系为（ ）
A．k＞k＞k B．k＞k＞k C．k＞k＞k D．k＞k＞k
1 2 3 2 1 3 3 1 2 3 2 1
【变式 2-1】（2022•洪山区模拟）若点 A（x ，1）、B（x ，﹣2）、C（x ，﹣3）在反比例函数 y
1 2 3
k2+1
=- 的图象上，则x、x、x 的大小关系是（ ）
1 2 3
x
A．x＜x＜x B．x＜x＜x C．x＜x＜x D．x＜x＜x
1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 33
【变式2-2】（2022•温州校级开学）已知（x，y），（x，y），（x，y）为双曲线y=- 上的三个点，
1 1 2 2 3 3
x
且x＜x＜x，则以下判断正确的是（ ）
1 2 3
A．若xx＞0，则yy＞0 B．若xx＞0，则yy＜0
1 2 2 3 1 3 2 3
C．若xx＜0，则yy＞0 D．若xx＜0，则yy＜0
1 3 2 3 1 2 1 3
k2+3
【变式2-3】（2022春•福山区期末）在反比例函数y= （k为常数）上有三点A（x ，y ），B（x ，
1 1 2
x
y），C（x，y），若x＜0＜x＜x，则y，y，y 的大小关系为（ ）
2 3 3 1 2 3 1 2 3
A．y＜y＜y B．y＜y＜y C．y＜y＜y D．y＜y＜y
1 2 3 2 1 3 1 3 2 3 2 1
【题型3 反比例函数的性质】
k
【例3】（2022•大庆二模）正比例函数y＝﹣kx经过（1，﹣6），则对于反比例函数y= ，下列结论不正
x
确的是（ ）
A．图象经过第一、三象限
B．图象经过点（2，3）
C．当x＞1时，0＜y＜6
D．函数值y随x的增大而减小
a2+1
【变式3-1】（2022•站前区校级一模）反比例函数y= 的图象在（ ）
x
A．第一、三象限 B．第一、二象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
3-2m
【变式3-2】（2022春•原阳县期中）已知反比例函数y= ，当x＜0时，y随x的增大而减小，则满
x
足上述条件的正整数m有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
k -k
【变式3-3】（2022•金华模拟）设函数y = ，y = （k＞0），当1≤x≤3时，函数y 的最大值为a，函
1 2 1
x x
数y 的最小值为a﹣4，则a＝ ．
2
【知识点4 反比例函数图象的对称性】
（1）中心对称，对称中心是坐标原点
（2）轴对称：对称轴为直线 和直线
【题型4 反比例函数的对称性】
k
【例4】（2022秋•房县期末）如图，点P（﹣2a，a）是反比例函数y= 与⊙O的一个交点，图中阴影部
x分的面积为10π，则该反比例函数的表达式为（ ）
8 12 14 16
A．y=- B．y=- C．y=- D．y=-
x x x x
6
【变式4-1】（2022秋•连平县校级月考）对于反比例函数y= 的图象的对称性叙述错误的是（ ）
x
A．关于原点中心对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于直线y＝﹣x对称 D．关于x轴对称
k
【变式4-2】（2022春•金坛市校级期中）正比例函数y＝kx与反比例函数y= 的图象相交于A、B两点，
x
已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3，则A、B两点的坐标分别为 ．
【变式4-3】（2022春•姑苏区校级期末）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针
旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形
【知识点5 反比例函数比例系数k的几何意义】
如图，在反比例函数 上任取一点 ，过这一点分别作 轴， 轴
的垂线 ， 与坐标轴围成的矩形 的面积【题型5 反比例函数中k的几何意义（面积）】
6
【例5】 （2022春•邗江区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y= (x＞0)，
x
k
y= (x＜0)的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的
x
CD 1
面积为9， = ．则k的值为（ ）
AD 2
A．﹣9 B．3 C．﹣6 D．﹣3
k
【变式5-1】（2022春•衢江区期末）如图，在反比例函数y= (x＞0)的图象上有点P ，P ，P ，它们的
1 2 3
x
横坐标依次为1，3，6，分别过这些点作x轴与y轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为 S ，S ．若S
1 2 2
＝3，则S 的值为（ ）
1
A．3 B．4 C．5 D．6
2
【变式5-2】（2022春•秦淮区期末）如图，点A是函数y= 图象上的任意一点，点B、C在反比例函数
x
k
y= 的图象上．若AB∥x轴，AC∥y轴，阴影部分的面积为4，则k的值是（ ）
xA．2 B．3 C．4 D．6
1
【变式5-3】（2022•费县二模）在平面直角坐标系 xOy中，过O点的直线AB分别交函数y=- (x＜0)，
x
k k
y= (k＜0，x＞0)的图象于点A，B，作AC⊥y轴于点C，作CD∥AB交y= (k＜0，x＞0)的
x x
图象于点D，连接OD．若△COD的面积为2，则k的值等于（ ）
A．﹣6 B．﹣8 C．﹣10 D．﹣12
【题型6 反比例函数系数k的几何意义（规律题）】
【例6】（2022•湘潭县校级模拟）如图，△OBA ，△ABA ，△ABA ，…，△A BA ，都是一边在x
1 1 1 2 2 2 3 3 n﹣1 n n
√3
轴上的等边三角形，点 B ，B ，B ，…，B 都在反比例函数y= （x＞0）的图象上，点A ，A ，
1 2 3 n 1 2
x
A，…，A，都在x轴上，则A 的坐标为 ．
3 n 2022
【变式6-1】（2022•路南区二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP B的顶点A、B分别
1
k
在x轴、y轴上，点P 在反比例函数y= (x＞0)的图象上，过PA的中点B 作矩形BAAP ，使顶点
1 1 1 1 1 2
x
P 落在反比例函数的图象上，再过PA 的中点B 作矩形BAAP ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，
2 2 1 2 2 1 2 3 3
…，依此规律可得：（1）点P 的坐标为 ；
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
【变式6-2】（2022•通辽）如图，△OAB，△AAB，△AAB，…，△A AB 都是斜边在x轴上的等腰
1 1 1 2 2 2 3 3 n﹣1 n n
1
直角三角形，点A ，A ，A ，…，A 都在x轴上，点B ，B ，B ，…，B 都在反比例函数y= （x＞0）
1 2 3 n 1 2 3 n
x
的图象上，则点B 的坐标为 ．（用含有正整数n的式子表示）
n
【变式6-3】（2022秋•宁津县期末）如图，△OAB ，△AAB ，△AAB…是分别以A ，A ，A…为直角
1 1 1 2 2 2 3 3 1 2 3
1
顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C ，C ，C …均在反比例函数y=
1 2 3
x
（x＞0）的图象上，则点A 的坐标为 ．
2021
【题型7 反比例函数与一次函数的交点问题】
k
【例7】（2022•龙湖区一模）如图，A（4，3）是反比例函数y= 在第一象限图象上一点，连接OA，过A
x
k
作AB∥x轴，截取AB＝OA（B在A右侧），连接OB，交反比例函数y= 的图象于点P．
xk
（1）求反比例函数y= 的表达式；
x
（2）求点B的坐标及OB所在直线解析式；
（3）求△OAP的面积．
a
【变式7-1】（2022•路桥区一模）如图，直线y＝kx+b（k≠0）和双曲线y= （a≠0）相交于点A，B，则
x
a
关于x的不等式kx+b＞ 的解集是（ ）
x
A．x＞0.5 B．﹣1＜x＜0.5
C．x＞0.5或﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1或0＜x＜0.5
k
【变式7-2】（2022•兴化市二模）在平面直角坐标系中，直线 y＝2x+3b（b为常数）与双曲线y=
x
（k≠0）交于点A（x，y），B（x，y），若x﹣x＝6，则y﹣y 的值为（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．﹣12 B．6 C．﹣6 D．12
k
【变式7-3】（2022春•九龙坡区校级月考）如图所示，直线 y＝kx+b与双曲线y= 2交于A、B两点，其
1
x
中A（2，1），点B的纵坐标为﹣3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D（0，﹣2）．
（1）求直线AB和双曲线的解析式；
（2）直线AB沿y轴向上平移m个单位长度，分别与双曲线交于E、F两点，其中F点坐标是（1，2），求△BDE的面积．
【题型8 待定系数法求反比例函数解析式】
【例8】（2022秋•崂山区期末）如图，点A（1，m），B（6，n）在反比例函数图象上，AD⊥y轴于点
D，BC⊥y轴于点C，DC＝5．
（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；
（2）连结AB，在线段DC上是否存在一点P，使△PAB的面积等于10？若存在，求出P点坐标；若不
存在，请说明理由．
k
【变式 8-1】（2022 秋•包河区期末）如图，A、B 两点在双曲线 y= （x＞0）的图象上，已知点
x
5
A(1，4)，B( ，m)，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，得到三个矩形：记阴影部分矩形面
2
积为S，另两个矩形面积分别记为S、S．
1 2
（1）求反比例函数解析式及m的值；
（2）求S+S 的值．
1 2【变式8-2】（2022春•叙州区期中）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣2，﹣3），B（2m，y），C
1
（3m，y），其中m＞0．
2
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当y﹣y＝2时，求m的值：
1 2
（3）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若△PBD的面积
是6，请求出点P坐标（横坐标用含m的式子表示）．
【变式8-3】（2022•商河县校级模拟）如图1，点A（m，6），B（6，1）在反比例函数图象上，作直线
AB，连接OA、OB．
（1）求反比例函数的表达式和m的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）如图2，E是线段AB上一点，作AD⊥x轴于点D，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点
1
F，若EF= AD，求出点E的坐标．
3【题型9 反比例函数与一次函数、二次函数的图象】
b
【例9】（2022•广西）已知反比例函数y= （b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二
x
次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
k
【变式9-1】（2022秋•湘阴县月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx﹣2与反比例函数y=
x
（其中k≠0）的大致图象可能是（ ）A． B．
C． D．
【变式9-2】（2022秋•榆次区期末）在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2+b（a≠0，b≠0）与反比例函
ab
数y= 的图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
1 1
【变式9-3】（2022•贺兰县模拟）已知二次函数y=- x2+bx+c的图象如图，则一次函数y=- x﹣2b与反
4 4
c
比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
xA． B．
C． D．
【题型10 反比例函数与几何图形综合】
【例10】（2022春•上虞区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴
k
的正半轴上，已知边AD的中点E在y轴上，且∠DAO＝30°，AD＝4，若反比例函数y= （k＞0，x＞
x
0）的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．8√3 B．8 C．6 D．6√3
6
【变式10-1】（2022•安顺模拟）如图，点A是反比例函数y= 在第一象限内的图象上的一个动点，连接
x
AO并延长交反比例函数的图象于另一点B，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，且点C在第二象限，
随着点A的运动，点C的位置也不断地变化，但始终在同一函数图象上运动，这个函数的解析式为（
）1 3 1 6
A．y=- x B．y=- C．y=- x D．y=-
3 x 6 x
【变式10-2】（2022•虞城县三模）如图，平行四边形 OABC中，点O为原点，点A在x轴正半轴上，反
k
比例函数y= 的图象经过顶点C，且经过对角线OB上一点D，若点D的坐标为（4，2），平行四边形
x
56
OABC的面积为 ，则顶点B的坐标为（ ）
9
16 8 10 18 10
A．（5，3） B．( ， ) C．(5， ) D．( ， )
3 3 3 3 3
【变式10-3】（2022春•北碚区校级期末）如图，直线AB的解析式为y＝﹣2x+2，点E为正方形ABCD中
1 k
CD边的五等分点，且CE= CD，双曲线y= （k≠0，x⟩0）的图象过点E，则k为（ ）
5 x121 124 132 143
A． B． C． D．
25 25 25 25
