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专题 26.33 反比例函数（挑战综合（压轴）题分类专题）
（专项练习）
【知识点一】反比例函数
【类型①】反比例函数➼➻函数值★✭ 求解析式
1．（2013·广东梅州·中考真题）（2013年广东梅州8分）已知，一次函数y=x+1的图
象与反比例函数 的图象都经过点A（a，2）．
（1）求a的值及反比例函数的表达式；
（2）判断点B 是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
2．（2014·广东汕尾·中考真题）已知反比例函数 的图象经过点M（2，1）．
（1）求该函数的表达式；
（2）当 时，求y的取值范围．（直接写出结果）【类型②】反比例函数➼➻函数判断★✭一元二次方程★✭概率
3．（2013·山东菏泽·中考真题）已知：关于x的一元二次方程
（k是整数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x，x（其中x＜x），设 ，判断y是
1 2 1 2
否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由．
4．（2013·云南昆明·中考真题）有三张正面分别标有数字：-1，1，2的卡片，它们除
数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽出一张记下数字，放回
洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
(1) 请用列表或画树形图的方法（只选其中一种），表示两次抽出卡片上的数字的所
有结果；
(2) 将第一次抽出的数字作为点的横坐标x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标y，求
点（x，y）落在双曲线 上的概率．【知识点二】反比例函数的图象与性质
【类型①】反比例函数的图象与性质➼➻增减值★✭参数
5．（2015·湖南郴州·中考真题）阅读下面的材料：
如果函数y=f（x）满足：对于自变量x的取值范围内的任意x，x，
1 2
（1）若x＜x，都有f（x）＜f（x），则称f（x）是增函数；
1 2 1 2
（2）若x＜x，都有f（x）＞f（x），则称f（x）是减函数．
1 2 1 2
例题：证明函数f（x）= （x＞0）是减函数．
证明：假设x＜x，且x＞0，x＞0
1 2 1 2
f（x）﹣f（x）=
1 2
∵x＜x，且x＞0，x＞0
1 2 1 2
∴x﹣x＞0，xx＞0
2 1 1 2
∴ ＞0，即f（x）﹣f（x）＞0
1 2
∴f（x）＞f（x）
1 2
∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．
根据以上材料，解答下面的问题：（1）函数f（x）= （x＞0），f（1）= =1，f（2）= = ．
计算：f（3）= ，f（4）= ，猜想f（x）= （x＞0）是 函数（填
“增”或“减”）；
（2）请仿照材料中的例题证明你的猜想．
6．（2020·浙江杭州·中考真题）设函数y＝ ，y＝﹣ （k＞0）．
1 2
（1）当2≤x≤3时，函数y 的最大值是a，函数y 的最小值是a﹣4，求a和k的值．
1 2
（2）设m≠0，且m≠﹣1，当x＝m时，y＝p；当x＝m+1时，y＝q．圆圆说：“p一
1 1
定大于q”．你认为圆圆的说法正确吗？为什么？
【类型②】反比例函数的图象与性质➼➻比较自变量（函数值）大小
7．（2012·天津·中考真题）已知反比例函数 （k为常数，k≠1）．（Ⅰ）其图象与正比例函数y=x的图象的一个交点为P，若点P的纵坐标是2，求k的
值；
（Ⅱ）若在其图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围；
（Ⅲ）若其图象的一支位于第二象限，在这一支上任取两点A（x，y）、B（x，
1 1 2
y），当y＞y 时，试比较x 与x 的大小．
2 1 2 1 2
8．（2012·浙江湖州·中考真题）如图，已知反比例函数 （k≠0）的图象经过点
（－2，8）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y），（4，y）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y、y 的大
1 2 1 2
小，并说明理由．
【类型③】反比例函数的图象与性质➼➻比例系数★✭面积9．（2022·河南南阳·一模）如图，点 在反比例函数 的图像上，
连接AO并延长、交反比例函数 的图像于点B，已知OA=3OB．
(1) 求n，k的值．
(2) 若点P在x轴上，且△APB的面积为2，求点P的坐标．
10．（2021·江苏泰州·中考真题）如图，点A（﹣2，y）、B（﹣6，y）在反比例函数
1 2
y＝ （k＜0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥y轴，垂足分别为C、D，AC与BD相交于点E．
（1）根据图象直接写出y、y 的大小关系，并通过计算加以验证；
1 2
（2）结合以上信息，从①四边形OCED的面积为2，②BE＝2AE这两个条件中任选
一个作为补充条件，求k的值．你选择的条件是 （只填序号）．【类型④】反比例函数的图象与性质➼➻对称性★✭概率
11．（2020·山东枣庄·中考真题）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数
和 的图象相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 .
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为 ，
连接 ，求 的面积.
12．（2016·云南曲靖·中考真题） 在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点
称为“整点”．
（1）直接写出函数 图象上的所有“整点”A，A，A，…的坐标；
1 2 3
（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的
概率．【类型⑤】反比例函数的图象与性质➼➻几何综合★✭概率
13．（2014·贵州贵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，
矩形OABC的边OA，OC分别在轴和轴上，其中OA=6，OC=3．已知反比例函数
（x＞0）的图象经过BC边上的中点D，交AB于点E．
（1）k的值为 ；
（2）猜想△OCD的面积与△OBE的面积之间的关系，请说明理由．
14．（2015·福建莆田·中考真题）如图，矩形OABC，点A，C分别在x轴，y轴正半
轴上，直线 交边BC于点M（m，n）（m＜n），并把矩形OABC分成面积相等
的两部分，过点M的双曲线 （ ）交边AB于点N．若△OAN的面积是4，求
△OMN的面积．【知识点三】反比例函数与一次函数性质综合
【类型①】反比例函数与一次函数性质综合➼➻求解析式★✭比较大小
15．（2016·甘肃白银·中考真题）如图，函数y1=﹣x+4的图象与函数 （x＞0）
的图象交于A（m，1），B（1，n）两点．
（1）求k，m，n的值；
（2）利用图象写出当x≥1时，y1和y2的大小关系．
16．（2021·浙江杭州·中考真题）在直角坐标系中，设函数 （ 是常数， ，
）与函数 （ 是常数， ）的图象交于点A，点A关于 轴的对称点为点
．
（1）若点 的坐标为 ，
①求 ， 的值．②当 时，直接写出 的取值范围．
（2）若点 在函数 （ 是常数， ）的图象上，求 的值．
【类型②】反比例函数与一次函数性质综合➼➻求解析式★✭解集★✭面积
17．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 ．
(1) 求点 的坐标和反比例函数的解析式；
(2) 点 是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，连接 ， ，求 的面积．
18．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直
线 与 轴、 轴分别交于点 、 两点，与双曲线 交于点 、
两点， ．
(1) 求 ， 的值；
(2) 求 点坐标并直接写出不等式 的解集；
(3) 连接 并延长交双曲线于点 ，连接 、 ，求 的面积．
【类型③】反比例函数与一次函数性质综合➼➻平移★✭面积19．（2022·四川资阳·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函数
的图象交于点 和点 ．
(1) 求一次函数的表达式；
(2) 结合图象，写出当 时，满足 的x的取值范围；
(3) 将一次函数的图像平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，
使它的图像与平移后的一次函数图像无交点．
20．（2022·浙江杭州·中考真题）设函数 ，函数 （ ， ，b是常数，
， ）．
(1) 若函数 和函数 的图象交于点 ，点B(3，1)，
①求函数 ， 的表达式：
②当 时，比较 与 的大小（直接写出结果）．
(2) 若点 在函数 的图象上，点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，
得点D，点D恰好落在函数 的图象上，求n的值．【知识点四】反比例函数与一次函数几何综合
【类型①】反比例函数与一次函数几何综合➼➻特殊三角形
21．（2022·广西柳州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b
1
（k≠0）的图像与反比例函数y= （k≠0）的图像相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．
1 2
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD，求 AOD的面积．
△
22．（2021·四川广元·中考真题）如图，直线 与双曲线 相交于点A、
B，已知点A的横坐标为1，
（1）求直线 的解析式及点B的坐标；
（2）以线段 为斜边在直线 的上方作等腰直角三角形 ．求经过点C的双曲
线的解析式．【类型②】反比例函数与一次函数几何综合➼➻特殊四边形
23．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形 为矩形，
点 、 分别在 轴和 轴的正半轴上，点 为 的中点已知实数 ，一次函数
的图像经过点 、 ，反比例函数 的图像经过点 ，求 的值．
24．（2018·广西百色·中考真题）如图，已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O，
四个顶点都在坐标轴上，反比例函数y= （k≠0）的图象与AD边交于E（﹣4， ），F
（m，2）两点．
（1）求k，m的值；（2）写出函数y= 图象在菱形ABCD内x的取值范围．
【类型③】反比例函数与一次函数几何综合➼➻存在性问题
25．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知反比例函数 和一次函数 ，其中一
次函数图象过 ， 两点．
(1) 求反比例函数的关系式；
(2) 如图，函数 的图象分别与函数 图象交于A，B两点，在y
轴上是否存在点P，使得 周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说
明理由．26．（2022·四川达州·中考真题）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相
交于 ，B两点，分别连接 ， ．
(1) 求这个反比例函数的表达式；
(2) 求 的面积；
(3) 在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【类型④】反比例函数与一次函数几何综合➼➻全等问题
27．（2022·四川眉山·中考真题）已知直线 与反比例函数 的图象在第一象
限交于点 ．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 如图，将直线 向上平移 个单位后与 的图象交于点 和点 ，
求 的值；
(3) 在（2）的条件下，设直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，求证：
．28．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点 和点 是反比例函数 图象
上的两点，点 在反比例函数 的图象上，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足
分别为点 ， ， ，连接 交 轴于点 ．
（1）k＝ ；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求证： ；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，直接写出点A的坐标： ．
【类型⑤】反比例函数与一次函数几何综合➼➻相似问题
特别提醒：（相似内容建议学习下一章后练习）
29．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，平面直角坐标系 中，四边形 是菱
形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是 ，反比例函数 的图像经过点
C．
(1) 求反比例函数的解析式；
(2) 点D在边 上，且 ，过点D作 轴，交反比例函数的图像于点E，
求点E的坐标．30．（2019·四川绵阳·中考真题）如图，一次函数 的图象与反比例函
数 ( 且 )的图象在第一象限交于点 、 ，且该一次函数的图象与 轴
正半轴交于点 ，过 、 分别作 轴的垂线，垂足分别为 、 ．已知 ，
．
(1) 求 的值和反比例函数的解析式；
(2) 若点 为一次函数图象上的动点，求 长度的最小值．
【知识点四】反比例函数探究问题
31．（2020·湖北荆州·中考真题）九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图像
和性质后，进一步研究了函数 的图像与性质，其探究过程如下：
（1）绘制函数图像，如图1①列表；下表是x与y的几组对应值，其中 ；
②描点：根据表中各组对应值(x，y)在平面直角坐标系中描出了各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图像，请你把图像补充完整；
（2）通过观察图1，写出该函数的两条性质：①_______________；
②_______________；
（3）①观察发现：如图2，若直线y=2交函数 的图像于A，B两点，连接OA，
过点B作BC//OA交x轴于点C，则 ；
②探究思考：将①的直线y=2改为直线y=a(a>0)，其他条件不变，则 ；
③类比猜想：若直线y=a(a>0)交函数 的图像于A，B两点，连接OA，过
点B作BC//OA交x轴于C，则 ；特别提醒：（32题涉及到相似内容，建议学习下一章后练习）
32．（2021·浙江·中考真题）已知在平面直角坐标系 中，点 是反比例函数
图象上的一个动点，连结 的延长线交反比例函数 的图
象于点 ，过点 作 轴于点 ．
（1）如图1，过点 作 轴于点 ，连结 ．
①若 ，求证：四边形 是平行四边形；
②连结 ，若 ，求 的面积．
（2）如图2，过点 作 ，交反比例函数 的图象于点 ，连结
．试探究：对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积是否会发生变化？
请说明理由．参考答案
1．解：（1）将A（a，2）代入y=x+1中得：2=a+1，
解得：a=1，即A（1，2）．
将A（1，2）代入反比例解析式中得：k=2，
∴反比例解析式为 ．
（2）在．理由如下：
将x= 代入反比例解析式得： ．
∴点B在反比例图象上．
解：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出a的值，确定出A的坐标，将A坐标
代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式．
（2）将B横坐标代入反比例解析式中求出纵坐标的值，即可作出判断．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系．
2．（1）该函数的表达式为y= ；
（2） ＜y＜1．
解：试题分析：（1）代入即可
（2）用含Y的代数式来表示X，然后代入到 中即可得到Y的取值范围
试题解析：（1）∵反比例函数y= 的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，
∴该函数的表达式为y= ；
（2）∵y= ，∴x= ，∵2＜x＜4，∴2＜ ＜4，解得： ＜y＜1．
考点：1、反比例函数；2、不等式
3．（1）见分析（2）y是变量k的函数.【分析】（1）根据一元二次方程定义得k≠0，再计算 得 ，而k是整数，
△
则2k－1≠0，得到 ＞0，根据 的意义即可得到方程有两个不相等的实数根，
△ △
（2）先根据求根公式求出一元二次方程 的解为x=3或x=
，而k是整数，x＜x，则有x= ，x=3，代入得到 即可得出结论，
1 2 1 2
解：（1）方程 是一元二次方程，
∴k≠0，
，
∵k是整数，
∴k≠ ，2k－1≠0，
∴ ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）y是k的函数，
解方程得： ，
∴x=3或x= ，
∵k是整数，
∴ ≤1，
∴ ≤2＜3，
又∵x＜x，
1 2
∴x= ，x=3，
1 2
∴ ，
∴y是变量k的函数.4．（1）所有结果：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，
2），（2，-1），（2，1），（2，2）；（2） .
【分析】（1）画出树状图即可得解；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征判断出在双曲线上y= 上的情况数，然后
根据概率公式列式计算即可得解．
解：（1）根据题意画出树状图如下：
结果为：（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1）（1，1），（1，2），（2，-
1），（2，1），（2，2）；
（2）当x=-1时，y= =-2，
当x=1时，y= =2，
当x=2时，y= =1，
一共有9种等可能的情况，点（x，y）落在双曲线上y= 上的有2种情况，
所以，P= ．
考点：1.列表法与树状图法；2.反比例函数图象上点的坐标特征．
5．（1） ， ，减；（2）参见分析．
试题分析：（1）根据题意把x=3，x=4代入函数f（x）= （x＞0）中，即可计算出
结果．由前两个计算结果比较其大小即可猜想f（x）= （x＞0）是减函数；（2）仿照材
料中的例题，假设x＜x，且x＞0，x＞0，再作差通分，讨论比较即可．
1 2 1 2
解：（1）把x=3，x=4分别代入函数f（x）= （x＞0）中，f（3）= = ，f（4）= = ，
∵3<4,但 > ，
∴猜想f（x）= （x＞0）是减函数；
（3）仿照材料中的例题证明：
假设x＜x，且x＞0，x＞0，f（x）﹣f（x）= ﹣ = =
1 2 1 2 1 2
，
∵x＜x，且x＞0，x＞0，
1 2 1 2
∴x﹣x＞0，x+x＞0，x2•x2＞0，
2 1 2 1 1 2
∴ ＞0，即f（x）﹣f（x）＞0，
1 2
∴f（x）＞f（x），
1 2
∴函数f（x）= （x＞0）是减函数．
考点：1．反比例函数综合题；2．阅读能力．
6．（1）a＝2，k＝4；（2）圆圆的说法不正确，理由见分析
【分析】（1）由反比例函数的性质可得 ，①；﹣ ＝a﹣4，②；可求a的值和
k的值；
（2）设m＝m，且﹣1＜m＜0，将x＝m，x＝m+1，代入解析式，可求p和q，即可
0 0 0 0
判断．
解：（1）∵k＞0，2≤x≤3，
∴y 随x的增大而减小，y 随x的增大而增大，
1 2
∴当x＝2时，y 最大值为 ，①；
1
当x＝2时，y 最小值为﹣ ＝a﹣4，②；
2由①，②得：a＝2，k＝4；
（2）圆圆的说法不正确，
理由如下：设m＝m，且﹣1＜m＜0，
0 0
则m＜0，m+1＞0，
0 0
∴当x＝m 时，p＝y＝ ，
0 1
当x＝m+1时，q＝y＝ ，
0 1
∴p＜0＜q，
∴圆圆的说法不正确．
【点拨】此题考查反比例函数的性质特点，难度一般，能结合函数的增减性分析是解
题关键．
7．（Ⅰ）5（Ⅱ）k＞1（Ⅲ）x＞x
1 2
解：（Ⅰ）由题意，设点P的坐标为（m，2）
∵点P在正比例函数y=x的图象上，∴2=m，即m=2．
∴点P的坐标为（2，2）．
∵点P在反比例函数 的图象上，∴ ，解得k=5．
（Ⅱ）∵在反比例函数 图象的每一支上，y随x的增大而减小，
∴k－1＞0，解得k＞1．
（Ⅲ）∵反比例函数 图象的一支位于第二象限，
∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大．
∵点A（x，y）与点B（x，y）在该函数的第二象限的图象上，且y＞y，
1 1 2 2 1 2
∴x＞x．
1 2
（1）设点P的坐标为（m，2），由点P在正比例函数y=x的图象上可求出m的值，
从而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数 的图象上，所以 ，解得k=5．
（2）由于在反比例函数 图象的每一支上，y随x的增大而减小，故k－1＞0，
求出k的取值范围即可．（3）反比例函数 图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y
随x的增大而增大，所以A（x，y）与点B（x，y）在该函数的第二象限的图象上，且
1 1 2 2
y＞y，故可知x＞x．
1 2 1 2
8．（1） （2）y＜y,理由见分析
1 2
解：（1）把（－2，8）代入 ，得 ，解得：k=－16．
∴这个反比例函数的解析式为 ．
（2）y＜y．理由如下：
1 2
∵k=－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大．
∵点（2，y），（4，y）都在第四象限，且2＜4，
1 2
∴y＜y．
1 2
（1）把经过的点的坐标代入解析式进行计算即可得解．
（2）根据反比例函数图象的性质，在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大解答
9．(1)n=1， (2)（-3，0）或（3，0）．
【分析】（1）将点A（-3，n）代入y=- 可求出n的值，进而求出 OAM的面积，再
△
根据OA=3OB，求出 BON的面积，从而确定k的值；
（2）分两种情况△进行解答，即点P在点O的左侧或右侧，利用三角形面积公式进行
计算即可．
解：（1）如图，过点A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N，将点A（-3，n）代入 得，
n=- =1，
∴ ，
由 AOM∽△BON得， ，
△
∴ ，
又∵k＜0，
∴ ，
即：n=1， ；
（2）设点P的坐标为（x，0），
当点P在原点的左侧时，由于 APB的面积为2，
△
所以 ，
解得x=-3；
当点P在原点的右侧时，由于 APB的面积为2，
△
所以 ，
解得x=3；
所以点P的坐标为（-3，0）或（3，0）．
【点拨】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数图象上点的坐标特
征以及反比例函数系数k的几何意义是正确解答的前提．
10．（1） ，见分析；（2）见分析，①（也可以选择②）
【分析】（1）观察函数的图象即可作出判断，再根据A、B两点在反比例函数图象上，
把两点的坐标代入后作差比较即可；
（2）若选择条件①，由面积的值及OC的长度，可得OD的长度，从而可得点B的坐
标，把此点坐标代入函数解析式中，即可求得k；若选择条件②，由DB=6及OC=2，可得
BE的长度，从而可得AE长度，此长度即为A、B两点纵坐标的差，（1）所求得的差即可求得k．
解：（1）由于图象从左往右是上升的，即自变量增大，函数值也随之增大，故
；
当x=-6时， ；当x=-2时，
∵ ，k＜0
∴
即
（2）选择条件①
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴ODOC=2
∵OC=∙2
∴OD=1
即
∴点B的坐标为(-6,1)
把点B的坐标代入y＝ 中，得k=-6
若选择条件②，即BE=2AE
∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，OC⊥OD
∴四边形OCED是矩形
∴DE=OC，CE=OD
∵OC=2，DB=6
∴BE=DB-DE=DB-OC=4
∴
∵AE=AC-CE=AC-OD=
即由（1）知：
∴k=-6
【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质、矩形的判定与性质、大小比较，熟练
掌握反比例函数的图象与性质是解决本题的关键．
11．（1）反比例函数的表达式为 ；（2） 的面积为 .
【分析】（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角
形的面积.
解：（1）由题意：联立直线方程 ，可得 ，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式 ，有 ，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线 与反比例函数 ，
解得 ，当 时， ，故B（-8,1）
如图，过A，B两点分别作 轴的垂线，交 轴于M、N两点，由模型可知
S =S ，
梯形AMNB AOB
△
∴S =S = = =
梯形AMNB AOB
△
【点拨】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反
比例函数的图像与性质.12．（1）A（﹣3，﹣1），A（﹣1，﹣3），A（1，3），A（3，1）；（2）．
1 2 3 4
试题分析：（1）根据题意，可以直接写出函数y= 图象上的所有“整点”；
（2）根据题意可以用树状图写出所有的可能性，从而可以求得两点关于原点对称的概
率．
解：（1）由题意可得，函数y= 图象上的所有“整点”的坐标为：A（﹣3，﹣
1
1），A（﹣1，﹣3），A（1，3），A（3，1）；
2 3 4
（2）所有的可能性如下图所示，
由图可知，共有12种结果，关于原点对称的有4种，
∴P（关于原点对称）= ．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；列表法与树状图法．
13．（1）9；（2）S =S ，理由见分析．
OCD OBE
△ △
解：（1）∵OA=6，OC=3，点D为BC的中点，∴D（3，3）．
∵反比例函数 （x＞0）的图象经过点D，∴k=3×3=9；
（2）S =S ，理由是：
OCD OBE
△ △
∵点D，E在函数的图象上，∴S =S = ，
OCD OAE
△ △
∵点D为BC的中点，∴S =S ，
OCD OBD
△ △
∴S =3×6-3× =
OBE
△
∴S =S ．
OCD OBE
△ △
14．15．
试题分析：由反比例函数性质求出S =S =4，得到mn=8，根据点M（m，n）在
OCM OAN
△ △
直线上，得到﹣m+6=n，联立解方程组，得m、n的值，再根据直线分矩形OABC面积成相等的两部分，求出点B的坐标，进而求出OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，由
S =S ﹣S ﹣S ﹣S 计算即可．
OMN 矩形OABC OCM BMN OAN
△ △ △ △
解：∵点M、N在双曲线 （ ）上，
∴S =S =4，
OCM OAN
△ △
∴ mn=4，
∴mn=8，
∵点M（m，n）在直线 上，
∴ ，
∴ ，
解得： 或 （舍去），
∵直线 分矩形OABC面积成相等的两部分，
∴直线 过矩形OABC的中心，设B（a，4）
∴E（ ，2），
∴ ，
∴a=8，
∴OA=BC=8，AB=OC=4，BM=6，BN=3，
∴S =S ﹣S ﹣S ﹣S =32﹣4﹣9﹣4=15．
OMN 矩形OABC OCM BMN OAN
△ △ △ △
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
15．（1）m=3，k=3，n=3；（2）当1＜x＜3时，y1＞y2；当x＞3时，y1＜y2；当x=1
或x=3时，y1=y2．
【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，将A坐标代入反
比例解析式求出k的值；
（2）利用图像，可知分x=1或x=3，1＜x＜3与x＞3三种情况判断出y 和y 的大小关
1 2
系即可．解：（1）把A（m，1）代入y=-x+4得：1=﹣m+4，即m=3，
∴A（3，1），
把A（3，1）代入y= 得：k=3，
把B（1，n）代入一次函数解析式得：n=﹣1+4=3；
（2）∵A（3，1），B（1，3），
∴根据图像得当1＜x＜3时，y＞y；当x＞3时，y＜y；当x=1或x=3时，y=y．
1 2 1 2 1 2
16．（1）① ， ；② ；（2）0
【分析】（1）①根据点A关于 轴的对称点为点 ，可求得点A的坐标是 ，再
将点A的坐标分别代入反比例函数、正比例函数的解析式中，即可求得 ， ；②
观察图象可解题；
（2）将点B代入 ，解得 的值即可解题．
解：解（1）①由题意得，点A的坐标是 ，
因为函数 的图象过点A，
所以 ，
同理 ．
②由图象可知，当 时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的下方，
即当 时， ．
（2）设点A的坐标是 ，则点 的坐标是 ，
所以 ， ，
所以 ．
【点拨】本题考查关于y轴对称的点的特征、待定系数法求反比例函数、正比例函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．(1) ；(2)6
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得反比
例函数的解析式；
（2）作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，利用函数解析式求得
B、D的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
（1）解：∵一次函数y＝x＋2的图象过点A（1，m），
∴m＝1＋2＝3，
∴A（1，3），
∵点A在反比例函数 （x＞0）的图象上，
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵点B是反比例函数图象上一点且纵坐标是1，
∴B（3，1），
作BD x轴，交直线AC于点D，则D点的纵坐标为1，
代入y＝x＋2得，1＝x＋2，解得x＝−1，
∴D（−1，1），
∴BD＝3＋1＝4，
∴ ．
【点拨】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，注意数形结合思想的运用．
18．(1) ， (2) ， 或 (3)
【分析】（1）根据点 在直线 上，把点 代入 ，求出 的值；过
作 轴于点 ，得 ，根据 ，可求出点 的坐标，可得
点 的坐标，代入反比例函数，即可求出 的值；
（2）根据交点坐标的性质，可求出点 的坐标，根据 ，得 ，
根据函数图象，即可得到解集；
（3）根据同底同高，得 ， ，即可．
解：（1）∵点 在直线 上，
∴
解得
过 作 轴于点
∴
∵
∴
∴
∴
∴在 中，令 ，得
∴
∴
∴ ．（2）∵ 点是 和 交点
∴
解得 ，
∵ 点在第三象限
∴
∴由图象得，当 或 时，
不等式 的解集为 或 ．
（3）∵ 和 同底同高
∴
∵
∴ ．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是掌握相似三角形
的性质，不等式的解集，交点坐标，三角形面积的转换．
19．(1)一次函数的表达式为 (2) (3)
【分析】（1）将 、 两点的坐标解出来，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；
（2）当 ，求得一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应 的即可；
（3）将一次函数平移后即可得到新的一次函数的解析式，根据一次函数图像即可判断反比例函数的系数 ，进而得到反比例函数的解析式．
（1）解：由题意得： ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得 ，
解得： ，
∴一次函数的表达式为： ；
（2）解：由图像可知，当 时，
一次函数的图像在反比例函数的图像上方对应 的值为 ，
当 时，满足 的x的取值范围为 ；
（3）解：一次函数 的图像平移后为 ，
函数图像经过第一、三象限，
要使正比例函数 与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图像经过第二、四象限，则反比例函数的 ，
当 时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【点拨】本题主要考查一次函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合应用，掌握
一次函数与反比例函数的性质是解题的关键．
20．(1)① ， ；② (2)1
【分析】（1）①把点B(3，1)代入 ，可得 ；可得到m=3，再把点 ，
点B(3，1)代入 ，即可求解；②根据题意，画出函数图象，观察图象，即可求解；（2）根据点 在函数 的图象上，可得 ，再根据点的平移方式可得点D
的坐标为 ，然后根据点D恰好落在函数 的图象上，可得 ，即可
求解．
（1）解：①把点B(3，1)代入 ，得 ，
∴ ．
∵函数 的图象过点 ，
∴ ，
∴点B(3，1)代入 ，得：
，解得 ，
∴ ．
②根据题意，画出函数图象，如图∶
观察图象得∶当 时，函数 的图象位于函数 的下方，
∴ ．
（2）解∶∵点 在函数 的图象上，
∴ ，∵点C先向下平移2个单位，再向左平移4个单位，得点D，
∴点D的坐标为 ，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
∴ ，
∴ ，
解得 ．
【点拨】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一
次函数的图象和性质是解题的关键．
21．(1)y＝x+1； (2) AOD的面积为10
△
【分析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求出 值，从而得到反比例函数解析
式，再把点B的坐标代入反比例函数解析式求出m的值，然后利用待定系数法求函数解析
式求出一次函数解析式；
(2)利用勾股定理求得OA，即可求得OD的长度，然后利用三角形面积公式求得即可．
解：（1）∵反比例函数图像与一次函数图像相交于点A（3，4），B（﹣4，m），
，
解得k＝12，
2
∴反比例函数解析式为 ，
，
解得m＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣4，﹣3），
，
解得 ，∴一次函数解析式为y＝x+1．
（2）∵A（3，4），
，
∴OA＝OD，
∴OD＝5，
△ 的面积 ×5×4=10．
【点拨】本题是反比例函数图像与一次函数图像的交点问题，考查了待定系数法求函
数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用以及三角形面积，根据交
点A的坐标求出反比例函数解析式以及点B的坐标是解题的关键．
22．（1）y=-0.5x+2；点B坐标为（3，0.5）；（2）过点C的双曲线解析式为 ．
【分析】（1）把点A横坐标代入反比例函数解析式，可求出点A坐标，代入
可求出直线解析式，联立反比例函数与一次函数解析式即可得点B坐标；
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 ，根据点A、B坐标可
求出AB的长，根据等腰直角三角形的性质可得AC=BC= ，根据两点间距离个数求
出m、n的值即可得点C坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可得答案．
解：（1）∵点A在双曲线 上，点A的横坐标为1，
∴当x=1时，y=1.5，
∴点A坐标为（1，1.5），
∵直线 与双曲线 相交于点A、B，
∴k+2=1.5，
解得：k=-0.5，
∴直线 的解析式为y=-0.5x+2，联立反比例函数与一次函数解析式得 ，
解得： ， （舍去），
∴点B坐标为（3，0.5）．
（2）设点C坐标为（m，n），过点C的双曲线解析式为 ，
∵A（1，1.5），B（3，0.5），
∴AB= = ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC= = ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 或0（舍去），
∴点C坐标为（ ，2），
把点C坐标代入双曲线解析式得： ，
解得： ，
∴过点C的双曲线解析式为 ．
【点拨】本题考查反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐
标特征是解题关键．
23．【分析】先根据一次函数 求出点C的坐标，进而可表示出点B的横坐标，
再代入反比例函数 即可求得点B的坐标，再结合点D为AB的中点可得点D的
坐标，最后将点D坐标代入一次函数 即可求得答案．
解：把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵ 轴，
∴点 横坐标为 ．
把 代入 ，得 ．
∴ ．
∵点 为 的中点，
∴ ．
∴ ．
∵点 在直线 上，
∴ ．
∴ ．
【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法
确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法
是解本题的关键．
24．（1）k=-2，m=-1（2）﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据函数图象，写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可；解：（1）∵点E（﹣4， ）在y= 上，∴k=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣
．
∵F（m，2）在y= 上，∴m=﹣1．
（2）函数y= 图象在菱形ABCD内x的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或1＜x＜4．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．(1) (2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；
（2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，进行计算即可；
解：（1）解：把 代入 ，得
，
解得， ，
所以反比例函数解析式是 ；
（2）存在点P使△ABP周长最小，理由：
解 和 得，
和 ，
，
和 ，
，作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，当点 、 、 在一条直线上
时，线段 的长度最短，所以存在点P使△ABP周长最小，
△ABP的周长= ，
，
，
．
【点拨】本题考查函数的综合，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求出点
位置是解题关键．
26．(1) (2) (3) 或 或
【分析】（1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式
即可；
（2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（3）分三种情况，利用坐标平移的特点，即可得出答案．
（1）解：把 代入一次函数 ，得 ，
解得 ，
，
把 代入反比例函数 ，得 ，
，
反比例函数的表达式为 ；（2）解：令 ，解得 或 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，
，
；
（3）解：存在，理由如下：
当OA与OB为邻边时，点 先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点
，则点 也先向左平移2个单位再向下平移1个单位到点 ，即 ；
当AB与AO为邻边时，点 先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点
，则点 也先向左平移3个单位再向下平移3个单位到点 ，即 ；
当BA与BO为邻边时，点 先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点
，则点 也先向右平移3个单位再向上平移3个单位到点 ，即 ；
综上，P点坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，
三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，熟练掌握知识点并
运用分类讨论的思想是解题的关键．
27．(1) (2) (3)见分析
【分析】（1）先根据一次函数求出M点坐标，再代入反比例函数计算即可；
（2）先求出A的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；
（3）过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ，即可根据A、B坐标证明
，得到 ， ，再求出C、D坐标即可得到
OC=OD，即可证明 ．解：（1）∵直线 过点 ，
∴
∴将 代入 中，得 ，
∴反比例函数的表达式为
（2）∵点 在 的图象上，
∴ ，
∴
设平移后直线 的解析式为 ，
将 代入 中，得4=1+b，
解得 ．
（3）如图，过点 作 轴于点 ，过 点作 轴于点 ．
∵ 在反比例函数 的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
又∵直线 与 轴、 轴分别交于点 ， ，∴ ， ，
∴
在 和 中，
∴ ．
【点拨】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，
全等三角形的判定与性质，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键．
28．（1）2；（2）见分析；（3） ， ．
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证 ，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a， ），则可得C（0， ），D（0，﹣ ），根据勾股定理
求出a值，即可求得A点的坐标．
解：（1） 点 是反比例函数 图象上的点，
，
解得 ，
故答案为：2；
（2）在 和 中，
，
，
，
点 坐标为 ，则可得 ，
， ，即 ，
整理得 ；
（3）设 点坐标为 ，
则 ， ，
， ，
，
即 ，
解得 （舍去）或 ，
点的坐标为 ， ．
【点拨】本题主要考查反比例函数的性质，全等三角形的判定和性质，三角形面积等
知识，熟练掌握反比例函数图象上点的特征是解题的关键．
29．(1) ；(2)（ ， ）；
【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和
勾股定理求出 ，然后求出点C的坐标，即可求出解析式；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出
， ，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可．
（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：∵四边形 是菱形，
设点A为（0，m），
∴ ，
∵点B为 ，
∴ ， ，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即 ，
解得： ，
∴ ，
∴点C的坐标为 ，
把点C代入 ，得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵ ，
∴ ，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴ ，
∵点C的坐标为 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点D的纵坐标为 ，
∵ 轴，
∴点E的纵坐标为 ，
∴ ，解得 ，
∴点E的坐标为（ ， ）；
【点拨】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性
质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题．
30．(1) 的值为4或-1； ；(2) .
【分析】(1)将点 代入 ，即可求出 的值，进一步可求出反比例函
数解析式；
(2)先证 ，由 可求出 的长度，可进一步求出点 的坐标，
然后利用待定系数法求出直线 的解析式，即可求出直线 与坐标轴交点C、F的坐标，
进而可判断△COF的形状，再利用垂线段最短即可求出 长度的最小值．
解：(1)将点 代入 ，得， ，解得， ， ，
∴ 的值为4或-1；反比例函数解析式为： ；
(2)∵ 轴， 轴，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
将 ， 代入 ，
得： ，解得， ， ，
∴ ，
设直线 与 轴交点为 ，
当 时， ；当 时 ，∴ ， ，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，∴ ，
则当 垂直 于 时，由垂线段最短可知， 有最小值，
此时 ．
【点拨】本题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判
定和性质以及垂线段最短等知识，解题关键是能够熟练运用反比例函数的性质及相似三角
形的性质．
31．（1）①1，②见分析，③见分析；（2）①函数的图象关于 轴对称，②当
时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小；（3）①4，②4，③2k
【分析】（1）根据表格中的数据的变化规律得出当 时， ，而当 时，
，求出 的值；补全图象；
（2）根据（1）中的图象，得出两条图象的性质；
（3）由图象的对称性，和四边形的面积与 的关系，得出答案．解：（1）当 时， ，而当 时， ，
，
故答案为：1；补全图象如图所示：
（2）根据（1）中的图象可得：①函数的图象关于 轴对称，②当 时， 随 的
增大而增大，当 时， 随 的增大而减小；
（3）如图，
①由 ， 两点关于 轴对称，由题意可得四边形 是平行四边形，且
，
②同①可知： ，
③ ，
故答案为：4，4， ．
【点拨】本题考查反比例的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，
利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．32．（1）①证明见分析，②1；（2）不改变，见分析
【分析】（1）①计算得出 ，利用平行四边形的判定方法即可证明结论；
②证明 ，利用反比例函数 的几何意义求得 ，即可求解；
（2）点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，可知四边形 是平行四边形，
由 ，利用相似三角形的性质得到关于 的一元二次方程，利用三角形的面积
公式即可求解．
解：（1）①证明：设点 的坐标为 ，
则当 时，点 的坐标为 ，
，
轴，
，
∴四边形 是平行四边形；
②解：过点 作 轴于点 ，
轴，
，
，
，
∴当 时，则 ，即 ．
；（2）解 不改变．
理由如下：
过点 作 轴于点 与 轴交于点 ，
设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
则 ，OH=b，
由题意，可知四边形 是平行四边形，
∴OG=AE=a，∠HPG=∠OEG=∠EOA，且∠PHG=∠OEA=90°，
∴ ，
，
即 ，
∴ ，
，
解得 ，
异号， ，
，
．
∴对于确定的实数 ，动点 在运动过程中， 的面积不会发生变化．．
【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，
相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问
题．
