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专题 05 反比例函数（期末复习讲义）
核心考点 复习目标 考情规律
反比例函数相关 掌握反比例函数的有关基础概念，能够 较少直接考查，若考查也是以选择题、填
概念 区分反比例与正比例函数的形式差异. 空题形式考查，难度低。
反比例函数的图 要熟练根据k的符号判断图象位置和增 基本出现在选择题或解答题的某一问中，
象与性质 减性，能结合图象分析进行函数值的大 常考函数值比较或增减性分析，注意k符号
小比较和变化趋势。 的影响。
反比例函数k 理解∣k∣的几何意义，能求解图象与坐 考查大热门，在选择题、填空题出现的概
的几何意义 标轴围成的三角形或矩形面积问题。 率较大，要用数形结合思想进行解答，多
训练，掌握解题方法。
待定系数法求反 熟练运用待定系数法求函数解析式的方 基本在解答题中以其中一问的形式进行考
比例函数解析式 法步骤 查，难度不大，注意按步骤解答。
反比例函数与一 掌握联立方程求两个函数的交点坐标， 在期末考查中常与一次函数、几何图形结
次函数的综合应 能结合图象比较不同范围内函数值的大 合在一起，难度一般较大，特别是动态问
用 小。 题中的函数分析，尖子生要重点突破此类
型题型。
反比例函数的实 能够从实际问题中抽象出反比例函数模 选择、填空和解答题均有考查题型，题干
际应用 型，利用函数解析式解决实际问题。 会给出生活实际场景，需要找出等量关
系，难度中等偏下。
知识点01 反比例函数的相关概念
（1）概念：一般地，形如y= （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
（2）三种表示形式
①y= （k为常数，k≠0）．
②xy=k（k为常数，k≠0）．
③ （k为常数，k≠0）．（3）反比例函数y= 中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此
人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义．
知识点02 反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反
数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
（4）反比例函数的性质：
反比例函数
k的符号 k>0 k<0
图象
（1）自变量x的取值范围为 （1）自变量x的取值范围为
x≠0； x≠0；
性质 （2）图象的两个分支分别位 （2）图象的两个分支分别位
于第一、第三象限，在每一 于第二、第四象限，在每一
个象限内，y随x的增大而减 个象限内，y随x的增大而增
小 大知识点03 反比例函数k 的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积
S=PM·PN
=|y|·|x|=|xy|．因为 ，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的
面积为|k|．
知识点04 用待定系数法求反比例函数的解析式
（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为 ；
（2）代——把它的一对对应值（x，y）代入 中，得到关于k的方程；
（3）解——解方程，求出常数k；
（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式．
知识点05 反比例函数的实际应用
用反比例函数解决实际问题的步骤：
（1）审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系．
（2）设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示．
（3）列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数．
（4）写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围．
（5）解——用函数解析式去解决实际问题．
（6）检——检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论．
（7）答——写出实际问题的答案，保证解题的完整性．题型一 反比例函数相关概念
解｜题｜技｜巧
识别一个函数是不是反比例函数，可对照反比例函数的基本形式 或变形形式xy=k（k是常数，
k≠0）， （k是常数，k≠0）进行筛选．
【典例1】下列函数中， 是 的反比例函数的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据形如 为常数， 的函数称为反比例函数，即可判断．
【解答】解： 、 是一次函数，不是反比例函数，
故 选项不符合题意；
、 是反比例函数， ，
故 选项符合题意；
、 不是反比例函数，
故 选线不符合题意；
、 的次数是2次的，不是反比例函数，
故 选项不符合题意，
故选：
【典例2】已知函数y=(m+2)x|m|-3是关于x的反比例函数，则实数m的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可．【详解】解：∵函数y=(m+2)x|m|-3是关于x的反比例函数，
∴|m|-3=-1，且m+2≠0，
∴m=2，
故答案为：2．
【变式1】下列函数不是反比例函数的是（ ）
8x 1
A．y=3x-1 B．y=- C．xy=5 D．y=
3 2x
【答案】B
k
【分析】本题考查反比例函数的定义，解题的关键是掌握反比例函数的几种形式∶y= (k≠0)或y=kx-1
x
k
或xy=k的函数是反比例函数． 根据反比例函数y= (k≠0)或y=kx-1或xy=k的形式解答即可．
x
【详解】解∶A．y=3x-1是反比例函数，故该选项不符合题意；
8x
B．y=- 是正比例函数，故该选项符合题意；
3
C．xy=5是反比例函数，故该选项不符合题意；
1
D．y= 是反比例函数，故该选项不符合题意；
2x
故选∶B．
【变式2】函数y=(m-2)x3-m2
是反比例函数，则m=（ ）．
A．1 B．2 C．-2 D．2或-2
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为y=kx-1(k≠0)，因此指数必须为-1且系数非零，
解答即可．
【详解】解：∵函数y=(m-2)x3-m2
是反比例函数，
∴3-m2=-1且m-2≠0，
∴m=±2且m≠2，
∴m=-2．
故选：C．题型二 反比例函数的图象与性质
解｜题｜技｜巧
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线
；②一、三象限的角平分线 ；对称中心是：坐标原点．
易｜错｜点｜拨
1．反比例函数的增减性，必须强调在“每一象限内”．
2．反比例关系不一定是反比例函数，比如y与x2成反比例，但y不是x的反比例函数，但反比例函数
中的两个变量一定成反比例关系
【典例1】关于反比例函数 ，下列说法中错误的是
A． 时， 随 的增大而减小 B．当 时，
C．它的图象位于第二、四象限 D．当 时， 有最小值为
【答案】
【分析】根据反比例函数 的单调性、所在的象限进行判断即可．
【解答】解： 、 ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内 随 的增大而减
小；故本选项正确，不符合题意；
、 ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内 随 的增大而减小；当
时， ，故本选项正确，不符合题意；
、 ，反比例函数 位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意；
、 ，反比例函数 位于第一、三象限，且在每一个象限内 随 的增大而减小；当
时， ，则 有最小值为 ，故本选项正确，不符合题意；
故选： ．
6
【典例2】如图，在平面直角坐标系xoy中，反比例函数y= 的一支曲线是（ ）
xA．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断．
6
【详解】解：反比例函数y= 经过点(2,3)，则由图知，第④个符合题意，
x
故选：D．
【典例3】如图，双曲线 与直线 相交于 、 两点， 点坐标为 ，则 点坐标为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解： 点 与 关于原点对称，且点 坐标为 ，
点的坐标为 ．
故选： ．
-a2-1
【典例4】若点A(x ,-2)，B(x ,-1)，C(x ,3)均在反比例函数y= （a为常数）的图象上，则x ，
1 2 3 x 1
x ，
2
x 的大小关系是（ ）
3
A．x 0，
∴图像在一、三象限，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故选：B．3
【变式2】已知反比例函数y=- ，下列结论不正确的是（ ）
x
A．图象必经过点(-1,3) B．若x>1，则-31时，-3y >y
2 1 3k
【分析】本题考查了反比例函数的增减性，解题的关键是掌握反比例函数y= ，当k<0时，经过二、四
x
象限，在每一象限内，y随x的增大而增大；反之经过一、三象限，y随x的增大而减小．据此即可解答．
【详解】解：∵k<0，
k
∴反比例函数y= (k<0)经过二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，
x
∴A(-2,y ),B(-1,y )在第二象限，C(3,y )在第四象限，
1 2 3
∴y >y >y ，
2 1 3
故答案为：y >y >y ．
2 1 3
题型三 反比例函数k 的几何意义
易｜错｜点｜拨
由于k有正、负之分，在利用反比例系数k的几何意义，求面积时，加上绝对值符号．
【典例1】如图，反比例函数在第一象限，△ 的面积是1.5，则反比例函数 中， 是
A．1.5 B． C．3 D．
【答案】
【分析】根据所给三角形的面积，得出 ，再根据所给图象即可解决问题．
【解答】解：因为△ 的面积为1.5，
所以 ，
则 ．
又因为反比例函数的图象在第一象限，
所以 ．
故选： ．【典例2】如图，点 是反比例函数 的图象上的一点，过点 作平行四边形 ，使点 、
在 轴上，点 在 轴上．已知平行四边形 的面积为6，则 的值为
A．6 B． C．3 D．
作 于 ，由四边形 为平行四边形得 轴，则可判断四边形 为矩形，所以
，根据反比例函数 的几何意义得到 ，利用反比例函数图象得到．
【解答】解：作 于 ，如图，
四边形 为平行四边形，
轴，
四边形 为矩形，
，
而 ，
，
而 ，即 ，
．
故选： ．【变式1】如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 作 轴于点 ，点 是点
关于 轴的对称点，连接 ，若 的面积为18，则 的值为
A．18 B．36 C． D．
【答案】
【分析】根据点 与点 关于 轴对称，求出 ，再根据三角形中线平分三角形的面积和反比例函
数系数 的几何意义可求出 的值．
【解答】解：连接 ，
点 是点 关于 轴的对称点，
，
，
的面积为18，
，
．
又 反比例函数的图象在第二象限，
．
故选： ．【变式2】如图，点A，B，C为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂
线，与x轴的交点分别为点D，E，F，图中所构成的阴影部分的面积从上到下依次记为S ，S ，其中
1 2
OD:DE:EF=1:2:3，若S =6，则S = ．
2 1
【答案】12
k
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，设反比例函数解析式为y= (k≠0)，由
x
1 1 1
OD:DE:EF=1:2:3，则有b= k，c= k，d= k，通过反比例函数系数k的几何意义可得
6 3 2
1 1
S +a+b=b+c+d=k，S +a+b+c=b+c+d=k，2(b+a)=c+S ，则有6+a+ k+ k=k，
1 2 2 6 3
1 1
k+2a= k+6，求得a=3，k=18，然后代入即可求解，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关
3 3
键．
k
【详解】解：如图，设反比例函数解析式为y= (k≠0)，
x∵OD:DE:EF=1:2:3，
1 1 1
∴b= k，c= k，d= k，
6 3 2
∴S +a+b=b+c+d=k，S +a+b+c=b+c+d=k，2(b+a)=c+S ，
1 2 2
(1 ) 1 1 1
∴2 k+a = k+6，6+a+ k+ k=k，
6 3 6 3
1 1
∴ k+2a= k+6，
3 3
∴a=3，k=18，
∴b=3，
∴S +3+3=18，
1
∴S =12，
1
故答案为：12．
题型四 待定系数法求反比例函数解析式
解｜题｜技｜巧
反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数 中，只有一个待定系数 ，因此
只需要知道一对 的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出 的值，从而确定其解析式.
【典例1】已知反比例函数的图象经过点 ，那么该反比例函数的表达式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据待定系数法求反比例函数解析式解答即可．【解答】解：设反比例函数解析式为 ，
反比例函数的图象经过点 ，
，
反比例函数解析式为 ．
故选： ．
【变式1】若反比例函数的图象经过点 ，则该反比例函数的解析式为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】把 代入函数 中求出 的值即可求出函数解析式．
【解答】解：设反比例函数的解析式为 ，
把 代入函数 ，得， ．
所以，反比例函数的解析式为： ．
故选： ．
【变式2】如图，已知在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的顶点B、C在x轴负半轴上，反比例函数
k
y= (x＜0)的图象经过点D（﹣1，3），交AB于点E．
x
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△CBE的面积．k
分析：（1）反比例函数y= (x＜0)的图象经过点D（﹣1，3）可得反比例函数关系式；
x
（2）求出点E的坐标，利用面积公式代入数据计算即可．
k
解：（1）∵反比例函数y= (x＜0)的图象经过点D（﹣1，3），
x
∴k＝﹣1×3＝﹣3，
3
反比例函数解析式为：y=- ；
x
（2）∵D（﹣1，3），
∴BC＝DC＝3，
∴点B的坐标（﹣4，0），
3
当x＝﹣4时，y= ，
4
3
∴BE= ．
4
1 3 9
S = ×3× = ．
CBE 2 4 8
△
题型五 反比例函数与一次函数的综合应用
解｜题｜技｜巧
反比例函数与一次函数的交点问题,求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成
方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
易｜错｜点｜拨
【典例1】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象大致
A． B．C． D．
【答案】
【分析】 时的情况下，根据一次函数和反比例函数图象的特点进行判断即可．
【解答】解： ，
一次函数 经过一、二、四象限，反比例函数 的图象经过二、四象限，
故 选项的图象符合要求．
故选： ．
k
【典例2】如图，已知反比例函数y = 1 （k >0）与一次函数y =k x+1(k ≠0)相交于A、B两点（点
1 x 1 2 2 2
AC
A在第一象限），AC⊥x轴于点C．若△OAC的面积为1，且 =2．
OC
(1)求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)请直接写出B点的坐标，并指出当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函数y 的值？
1 2
2
【答案】(1)y = ；y =x+1
1 x 2
(2)B点的坐标为(-2,-1)，当x<-2和0y ．
1 2
【分析】本题考查反比例及一次函数的应用；待定系数法求解析式；图象的交点等，掌握反比例及一次函
数的性质是本题的解题关键．
（1）根据tan∠AOC=2，△OAC的面积为1，确定点A的坐标，把点A的坐标分别代入两个解析式即
可求解；
（2）根据两个解析式求得交点B的坐标，观察图象，得到当x为何值时，反比例函数y 的值大于一次函
1数y 的值．
2
【详解】（1）解：在Rt△OAC中，设OC=m．
AC
∵ =2，
OC
∴AC=2m．
1 1
∵S = ⋅OC⋅AC= m⋅2m=1，
△AOC 2 2
∴m2=1．
∴m=1（负值舍去）．
∴A点的坐标为(1,2)．
k
把A点的坐标代入y = 1中，得k =2．
1 x 1
2
∴反比例函数的表达式为y = ．
1 x
把A点的坐标代入y =k x+1中，得k +1=2，
2 2 2
∴k =1．
2
∴一次函数的表达式y =x+1．
2
（2）由题意得：¿，
解得：¿，¿
∴B点的坐标为(-2,-1)．
由图可知：当x<-2和0y ．
1 2
【变式1】在同一平面直角坐标系中，若 ，则函数 与 的大致图象是
A． B．
C． D．
【答案】【分析】根据 、 的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论．
【解答】解： ，
①若 ， ，则 经过一、三、四象限，反比例函数 位于二、四象限，
②若 ， ，则 经过一、二、四象限，反比例函数 位于一、三象限，
只有选项 符合题意，
故选： ．
m
【变式2】如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象交于点A(-1,4)，且与x轴和y轴分别交于
x
点B(3,0)和点C．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
m
(2)直接写出不等式 >ax+b的解集为_______；
x
m
(3)连接OA，已知P为反比例函数y= 图象上一点，且S =2S ，求点P的坐标．
x △OBP △OAC
4
【答案】(1)y=-x+3，y=-
x
(2)-14
(3)(-2,2)或(2,-2)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出
对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可
求出a、b的值；
（2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数
图象可得答案；
（3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出△OAC的面积，则可得到△OBP的面积，根据三角
形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案．m
【详解】（1）解：∵一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象交于点A(-1,4)，
x
m
∴4= ，
-1
∴m=-4；
m
∵一次函数y=ax+b与反比例函数y= 的图象交于点A(-1,4)，且与x轴交于点B(3,0)，
x
∴¿，
∴a=-1，b=3，
4
∴y=-x+3，y=- ；
x
4
（2）解：由（1）得一次函数解析式为y=-x+3，反比例函数解析式为y=- ，
x
联立¿，解得¿或¿，
4
∴一次函数y=-x+3与反比例函数y=- 的另一个交点坐标为(4,-1)，
x
m
∴由函数图象可知，不等式 >ax+b的解集为-14；
x
（3）解：在y=-x+3中，当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
∵A(-1,4)，
1 1 3
S = OC⋅|x |= ×3×|-1|= ，
△AOC 2 A 2 2
∴S =2S =3；
△OBP △OAC
∵B(3,0)，
∴OB=3，
1 1
∴S = OB⋅|y |= ×3|y |=3，
△BOP 2 P 2 P
∴y =±2，
P
4 4 4
在y=- 中，当y=- =-2时，x=2，当y=- =2时，x=-2，
x x x
∴点P的坐标为(-2,2)或(2,-2)．
题型六 反比例函数的实际应用解｜题｜技｜巧
1.反比例函数解决实际问题的方法：
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上
的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
2.实际问题中常见的反比例关系：
（1）路程型：当路程一定时，时间与平均速度成反比例．
（2）面积型
①矩形：当矩形面积一定时，长与宽成反比例．
②三角形：当三角形面积一定时，三角形的一边与该边上的高成反比例．
（3）物理应用型
①做功型：当功一定时，力与物体在力的方向上移动的距离成反比例．
②压强型：当压力一定时，压强与受力面积成反比例．
③电流型：在电路中，当电压一定时，电流与电阻成反比例．
【典例1】某品牌蓄电池的电压为 ，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流
（单位： 关于电阻 （单位： 函数图象大致是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】解：根据题意得 ，
电流 （单位： 关于电阻 （单位： 函数是反比例函数，
故选： ．
【典例2】在一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系： ，已知 时，氯化钠的溶解度是36克，在此温度下，设 克水可溶解氯化钠 克，则 关于 的函数关系
式是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：由题意可得： ，
故 ．
故选： ．
【典例3】某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每
小
时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当
沙
尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系．
(1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时．
(2)当4≤x≤10时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式．
(3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，
那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？
【答案】(1)32，10
640
(2)y=
x
(3)59.5
【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解
题意，读懂图象是解决本题的关键．（1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的
一段风速不变，最高风速维持时间为20-10=10小时；
（2）当4≤x≤10时函数解析式为y=ax+b，将(4,8)，(10,32)代入，利用待定系数法即可求解；
（3）求出当4≤x≤10和x≥20，y=10时，求出对应x的值，然后求差即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时；
4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4=32千米/时；
10～20时，风速不变；最高风速维持时间为20-10=10小时；
故答案为：32，10；
（2）解：设当4≤x≤10时函数解析式为y=ax+b，将(4,8)，(10,32)代入，
¿ ，解得：¿
当4≤x≤10时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为y=4x-8；
9
（3）解：∵当4≤x≤10，y=10时，10=4x-8，解得x= ，
2
9
∴ 时风速为10千米/时，
2
k
当x≥20时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y=
x
k
将(20,32)代入，得32=
20
解得k=640
640
所以当x≥20时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为y= ；
x
640
当x≥20，y=10时， =10，解得x=64
x
“危险时刻”的时间为：64-4.5=59.5（小时）．
∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 59.5小时．
【变式1】某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：kPa）是气体体
积V（单位：m3）的反比例函数．已知p与V之间的函数图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）80
A．p= B．当V =1，时，p=100
V
C．当V <2时，p<48 D．当V >1.6时，00)，由此即可判断A错误；再将V =1代入求出p的值，由此即可判断B
V
错误；然后将V =2和V =1.6代入求出p的值，利用反比例函数的增减性即可判断C错误，D正确，由此即
可得．
k
【详解】解：设p与V之间的函数解析式为p= (k≠0)，
V
将点(1.2,80)代入得：k=1.2×80=96，
96
∴p= (V >0)，则选项A错误；
V
96
当V =1时，p= =96，则选项B错误；
1
96
当V =2时，p= =48，
2
96
当V =1.6时，p= =60，
1.6
96
∵在函数p= 中，96>0，
V
∴在第一象限内，p随着V的增大而减小，
∴当V <2时，p>48，则选项C错误；
当V >1.6时，08)，
x
药物燃烧完成后，当y=3时，x=16，∴16-4=12（min），
∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟．
（3）∵空气中的含药量不高于1.6mg/m3时，学生方可回到教室，
48
把y=1.6代入y= 中，解得x=30，
x
即从消毒开始，至少需要30min学生才能回到教室．
期末基础通关练（测试时间：10分钟）
1．下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
1 8 4
A．y＝3x B．y=- C．y= D．y=
x x2 x+5
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【解答】解：A、y＝3x不符合反比例函数的形式，不是反比例函数，不符合题意；
1
B、y=- 是反比例函数，符合题意；
x
8
C、y= 不是反比例函数，不符合题意；
x2
4
D、y= 不是反比例函数，不符合题意，
x+5
故选：B．
5
2．已知反比例函数y=- ，下列说法中错误的是（ ）
x
A．图象必经过（1，﹣5）
B．y随x的增大而增大
C．图象在第二、四象限
D．图象关于原点中心对称
【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可．
【解答】解：A、把x＝1代入解析式得y＝﹣5，所以点（1，﹣5）在函数图象上，故本选项正确，不符
合题意；
B、∵k＝﹣5＜0，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意；
C、∵k＝﹣5＜0，
∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意；
D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意．
故选：B．
1
3．函数y＝2x与函数y=- 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
x
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的特点与系数的关系解答即可．
【解答】解：∵y＝2x中的2＞0，
∴直线y＝2x位于第一、三象限．
1
∵y=- 中的﹣1＜0，
x
1
∴双曲线y=- 位于第二、四象限，
x
综上所述，只有B选项符合题意．
故选：B．
4．已知函数y＝（m﹣2）x|m|﹣3是反比例函数，则m＝ ．
【分析】由反比例函数的定义得到|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0，由此求得m的值．
【解答】解：依题意得：|m|﹣3＝﹣1且m﹣2≠0，
解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
5．在功W（J）一定的条件下，功率P（W）是做功时间t（s）的反比例函数，P（W）与t（s）之间的函
数关系如图所示．当t＝35时，P的值为 W．【分析】先求出P（W）关于t（s）的函数解析式，再将t＝35代入计算即可．
W
【解答】解：设函数解析式为P= ，
t
由图象可知，反比例函数图象过点（60，20），
W
∴20= ，
60
∴W＝1200，
1200
∴函数解析式为P= ，
t
1200 240
当t＝35时，P= = ，
35 7
240
故答案为： ．
7
2k+3
6．已知反比例函数y= ，其中k是常数．
x
（1）若反比例函数的图象分别位于第二、四象限，求k的取值范围；
（2）当k取什么值时，在每个象限内y随x的增大而减小？
【分析】（1）根据反比例函数的图象与系数的关系求解即可；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，2k+3＜0，
3
解得：k＜- ；
2
2k+3
（2）∵反比例函数y= 的图象在每个象限内y随x的增大而减小，
x
∴2k+3＞0，
3
∴k＞- ．
2
7．新学期开学前，小美同学买了一个可以调节亮度的护眼灯，她通过阅读说明书并实践操作发现：护眼
灯调节亮度原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，护眼灯的电流 I
（单位：A）与电阻R（单位：Ω）满足反比例函数关系，其图象如图所示．（1）求I关于R的函数表达式．
（2）当R＝1500Ω时，求I的值．
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）把R＝1500Ω代入解析式可求解．
k
【解答】解：（1）设I关于R的函数解析式为：I= ，
R
k
由题意可得：0.3= ，
800
∴k＝240，
240
∴I关于R的函数解析式为：I= ；
R
240
（2）当R＝1500Ω时，I= =0.16，
1500
∴I的值为0.16．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
a
1．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y= 与一次函数y＝﹣bx+c在同一直角
x
坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
【分析】判断出a，b，c的符号，确定反比例函数，一次函数图象的位置可得结论．
【解答】解：由题意，a＜0，b＜0，c＞0，
a
∴反比例函数y= 的图象在二，四象限，一次函数y＝﹣bx+c的图象经过一，二，三象限．
x
故选：C．
k
2．已知反比例函数y= （k＞0），当2≤x≤3时，函数y的最大值为a，则当﹣2≤x≤﹣1时，函数y有（
x
）
a
A．最大值﹣2a B．最小值﹣2a C．最小值﹣a D．最大值-
2
【分析】根据反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小性质，可求得k
2a 2a
＝a，进而可判断：当x＝﹣2时，函数有最大值y= =-a，当x＝﹣1时，函数有最小值y= =-
-2 -1
2a．
k
【解答】解：∵y= （k＞0），
x
∴反比例函数在一，三象限，在每一个象限内，y随着x的值的增大而减小，
∵当2≤x≤3时，函数y的最大值是a，
∴当x＝2时，y＝a，
∴k＝2×a＝2a，
当﹣2≤x≤﹣1时，反比例函数在第三象限，
2a 2a
∴当x＝﹣2时，函数有最大值y= =-a，当x＝﹣1时，函数有最小值y= =-2a．
-2 -1
故选：B．
3．某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电
阻R （Ω）（如图1），当人站上踏板时，电阻R 随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示
1 1
的读数U 换算为人的质量m（kg）．已知U 连R 的变化而变化（如图2），R 与踏板上人的质量m的
0 0 1 1
关系见图3，则下列说法不正确的是（ ）A．在一定范围内，U 越小，R 越大
0 1
B．当U ＝4V时，R 的阻值为30Ω
0 1
C．当踏板上人的质量为95kg时，U ＝3V
0
D．若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6），为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是110kg
0
【分析】根据图2中U 随R 的增大而减小可得A选项正确；图2中的图象经过点（30，4），可得选项
0 1
B正确；把m＝95代入图三可得R 为50Ω，而U ＝3V时，对应的是50Ω，故C正确；根据图三可得R
1 0 1
随m的增大而减小，所用求m的最大值，找到R 的最小值10代入即可求得最大该电子体重秤可称的最
1
大质量．
【解答】解：∵图2中U 随R 的增大而减小，
0 1
∴在一定范围内，U 越大，R 越小．
0 1
故A正确，不符合题意；
∵图2中的图象经过点（30，4），
∴当U ＝4V时，R 的阻值为30Ω．
0 1
故B正确，不符合题意；
∵当m＝95时，R ＝﹣2m+240＝50Ω，U ＝3V时，对应的是50Ω，
1 0
∴踏板上人的质量为95kg时，U ＝3V．
0
故C正确，不符合题意．
∵R ＝﹣2m+240，
1
∴R 随m的增大而减小．
1
∵R 的最小值为10，
1
∴m的最大值为115．
∴若电压表量程为0﹣6V（0≤U ≤6）为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是115kg．
0
故D错误，符合题意．
故选：D．1-2a
4．若反比例函数y= 在图象在第二、四象限，那么a的取值范围是 ．
x
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由1﹣2a＜0即可解得答案．
1-2a
【解答】解：∵反比例函数y= 在图象在第二、四象限，
x
∴1﹣2a＜0，
1
解得a＞ ．
2
1
故答案为：a＞ ．
2
5．如图，物理实验小组在实验课上，小华展示用自制“密度计”测量液体的密度，密度计悬浮在不同的
液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计
悬浮在密度ρ为1g/cm3的水中时，h＝20cm，当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝30cm时，则该液体
的密度ρ＝ g/cm3．
k
【分析】根据题意，设反比例函数的解析式为h= ，代入ρ＝1g/cm3，h＝20cm，得出k的值，再代入h
ρ
＝30cm到反比例函数的解析式即可解答．
【解答】解：浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，设反比
k
例函数的解析式为h= ，
ρ
将ρ＝1g/cm3，h＝20cm，代入得：
k
20= ，
1
解得：k＝20，
20
∴反比例函数为h= ，
ρ
20
当h＝30cm时，得：30= ，
ρ2
解得：ρ= ，
3
2
故答案为： ．
3
m
6．如图，一次函数y ＝﹣x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于点C，D，与反比例函数y = 的图象交于点
1 2 x
A，B，已知点A的纵坐标为1．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出y ＞y 时x的取值范围；
1 2
（3）若点F是点D关于x轴的对称点，求△ABF的面积．
【分析】（1）根据点A的纵坐标为1，代入一次函数y ＝﹣x﹣3得出A（﹣4，1），代入反比例函数
1
解析式即可求解；
（2）联立一次函数与反比例数解析式，求得点B（1，﹣4），然后根据函数图象直接写出x的取值范
围；
（3）一次函数y ＝﹣x﹣3的图象y轴交于点D，则D（0，﹣3），根据点F是点D关于x轴的对称点，
1
则F（0，3），进而根据三角形面积公式进行计算即可求解．
【解答】解：（1）∵点A在直线y ＝﹣x﹣3上，点A的纵坐标为1，
1
∴﹣x﹣3＝1，解得x＝﹣4，
∴A（﹣4，1）．
m
∵点A在反比例函数y = 上，
2 x4
∴m＝﹣4，∴y =- ．
2 x
4
（2）∵点B是y ＝﹣x﹣3和y =- 的交点，
1 2 x
4
∴-x-3=- ，
x
{x=-4 { x=1
∴解得 或 ．
y=1 y=-4
∵点B在第四象限，
∴B（1，﹣4），
∴由图象可得：当x＜﹣4或0＜x＜1时y ＞y ．
1 2
（3）∵一次函数y ＝﹣x﹣3的图象与y轴交于点D，
1
令x＝0，解得：y＝﹣3，
∴D（0，﹣3）．
∵点F是点D关于x轴的对称点，
∴F（0，3）．
∵S ＝S +S ，
ABF ADF BDF
△ △1 △ 1
∴S = ×6×4+ ×6×1=15．
△ABF 2 2
期末综合拓展练（测试时间：15分钟）
1．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始
学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的
注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数 y随时间x（分钟）的变化规律如图所示
（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）分别求出线段AB和曲线CD的函数解析式；
（2）开始学习后第5分钟时与第35分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？为什么？
（3）为贯彻“品质课堂”的教育理念，以立德树人为根本任务，以“减负增效提质”为目标，立足打
造“教有品、学有质、评有效”的品质课堂，某节数学课的学习主要可分为三个环节：即“整体感知，
明确目标﹣探究思考，归纳新知﹣辨别应用，巩固新知”，其中重点环节“探究思考，归纳新知”这一
过程要求至少需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40．请问这样
的要求能否实现？如果能，请给出此环节时间安排的具体方案；如果不能，请说明理由．【分析】（1）从图象上看，AB表示的函数为一次函数，BC是平行于x轴的线段，CD为双曲线的一部
分，设出解析式，代入数值可以解答；
（2）把自变量的值5和35代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值，比较即可得出结论；
（3）要求学习时的注意力指标数不低于40，取y＝40，求出相对应的自变量的值，进而求出注意力指
标数不低于40的时间，与30相比较，得出答案．
【解答】解：（1）由图象知，A（0，20），B（10，50），C（30，50），
设线段AB所在的直线的解析式为：y：＝k x+20（k ≠0），
1 1
把B（10，50）代入得：10k +20＝50，
1
解得：k ＝3，
1
∴线段AB解析式为：y＝3x+20（0≤x≤10）．
k
设C、D所在双曲线的解析式为：y= 2（k ≠0），
2
x
k
把C（30，50）代入得：50= 2，
30
解得：k ＝1500，
2
1500
∴曲线CD的解析式为：y= （30≤x≤45）；
x
（2）把x＝5代入y＝3x+20，得：y＝35，
1500 300
把x＝35代入y= ，得：y= ，
x 7
300
∵35＜ ，
7
∴第35分钟时学生的注意力更集中；
（3）这样的要求能实现．理由如下：20
把y＝40代入y＝3x+20得：3x+20＝40，解得：x= ；
3
1500 1500 75
把y＝40代入y= ，得：40= ，解得：y = ，
x x 2 2
75 20 185
∴学习时的注意力指标数不低于40的时间为： - = ，
2 3 6
185
∵ ＞30，
6
∴这样的要求能实现．
2．
制作简易杆秤
杆秤示意图
【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m +m）•l＝M•
0
（a+y）．其中秤盘质量m 克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤
0
纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．
【设计杆秤】
设定m ＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米．
0
任务一：确定l和a的值．
（1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程；
（2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方
程；
（3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值．任务二：确定刻线的位置．
（4）根据任务一，求y关于m的函数解析式；
（5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离．
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）根据题意可直接代值求解；
（3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解；
（4）根据（3）可进行求解；
（5）分别把m＝0，m＝100，m＝200，m＝300，m＝400，m＝500，m＝600，m＝700，m＝800，m＝
900，m＝1000 代入求解，以此即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0，
∵m ＝10，M＝50，
0
∴10l＝50a，
∴l＝5a；
（2）由题意得：m＝1000，y＝50，
∴（10+1000）l＝50（a+50），
∴101l﹣5a＝250；
{ l=5a
（3）由（1）（2）可得： ，
101l-5a=250
{a=0.5
解得： ；
l=2.5
（4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5，
∴2.5（10+m）＝50（0.5+y），
1
则y= m；
20
1
（5）由（4）可知：y= ，
20
∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y
＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700
时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50；
∴相邻刻线间的距离为5厘米．
3．【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A与坐标原点O重合，B在x轴的正半轴上，AD＝8，AB＝
6，对角线AC，BD相交于点E．【构建联系】
k
（1）如图1，若将矩形ABCD向右平移2个单位长度，使得双曲线y= (x＞0)经过点E，求该双曲
x
线的解析式；
【深入探究】
k
（2）如图2，若将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，使过点E的双曲线y= (x＞0)分别与
x
AD，BC交于点F，G．连接EG．
①若AF﹣AE＝2，求S 的值；
BEG
②若△AEF为等腰三角△形，求t的值．
【分析】（1）由题易得E（5，4），据此求解即可；
（2）①由题可得AF＝7，由题设条件可知OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4），可得7t＝4（t+3），解
14
得t＝4，求出k值，点G（10， ），据此求解即可；
5
②当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论：AF＝AE、FE＝AE、FA＝FE，据此分别求解即可．
【解答】解：（1）由题设条件可知OB＝8，
∴B（8，0），D（2，8），B（8，0），
∵对角线AC，BD相交于点E，
∴点E为BD的中点，
∴E（5，4），
k k
把E（5，4）代入y= ，得5= ，
x 4
解得k＝20．
20
故该反比例函数的解析式为：y= ；
x
（2）①由勾股定理可得AC=❑√62+82=10，∴BE＝AE＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
由题设条件可知OA＝t，则F（t，7），E（t+3，4），
k
∵反比例函数y= (x＞0)的图象经过点E、F，
x
∴7t＝4（t+3），
解得t＝4，
∴k＝7t＝28，
28
∴反比例函数解析式为y= ，
x
28 14
当x＝10时，y= = ，
10 5
14
∴G(10， )，
5
1 14 21
∴S = ×3× = ；
△BEG 2 5 5
②当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论：
1°当AF＝AE时，
∵四边形ABCD是矩形，
1 1 1
∴AE= AC= BD= ×❑√(6-0) 2+(0-8) 2=5，
2 2 2
∴AF＝AE＝5，
∴F（m，5），
∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，
∴E（t+3，4），
k
将点F，点E的坐标分别代入双曲线y= 得：5t＝4（t+3），
x
解得t＝12；
2°当FE＝AE时，此时点F与点D重合，
∴F（t，8），
∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，
∴E（t+3，4），k
将点F，点E的坐标分别代入双曲线y= 得：8t＝4（t+3），
x
解得t＝3；
3°当FA＝FE时，设F（t，n），
∵将矩形ABCD向右平移t（t＞0）个单位长度，
∴E（t+3，4），A（t，0），
∵FA＝FE，
∴（t﹣t）2+（n﹣0）2＝（t+3﹣t）2+（4﹣n）2，
25
解得：n= ，
8
25
∴F（t， ），
8
k 25
将点F，点E的坐标分别代入双曲线y= 得： t=4(t+3)，
x 8
96
解得t=- ，
7
∵t＞0，
96
∴t=- 与题意不符，故舍去；
7
综上所述，t的值为3或12．
