文档内容
专题 05 圆中动点与新定义型综合问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、圆中的动点综合问题..............................................................................................................................1
题型二、圆中的新定义型综合问题......................................................................................................................5
B综合攻坚・能力跃升
题型一、圆中的动点综合问题
方法总结
1. 动态转化静态：抓住动点运动中的不变量（如半径、定角），确定临界位置（如极值点、特殊点），
将动态问题转化为静态图形分析。
2. 几何性质结合：利用圆的切线、垂径定理、圆周角等性质，建立动点与定点的关系，用代数式表示线
段长度或角度。
3. 分类讨论情形：按动点运动范围（如优弧/劣弧、圆内/外）分类，避免遗漏特殊位置，结合函数或方程
求解最值、轨迹等问题。
1．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）如图， 为 的外接圆， 是直径， ，
，点D是 上的动点，且点 、 分别位于 的两侧．
(1)求 的半径；
(2)当 时，求 的度数；
(3)连接 ，设 的中点为 ，在点 的运动过程中，线段 是否存在最大值？若存在，求出 的
最大值．
2．（24-25九年级上·河北邯郸·期末）如图，在 中， ， ，O是边 上的点，
与 相切，切点为D， 与 相交于点E，且 ．(1)求证： 是 的切线；
(2) 的半径为_______； 与 相交于点M，求阴影部分的面积；
(3)F为 上的一个动点（不与点D，E重合），过点F作 的切线，分别与边 ， 交于点G，H，
连接 ， ．嘉淇认为：随着点F位置的变化， 的度数不变．请你判断他说的是否正确，并说
明理由．
题型二、圆中的新定义型综合问题
方法总结
1. 吃透新定义内涵：紧扣题干对新概念的描述（如“圆中某点满足特定距离关系”），结合圆的基本性
质（半径、圆心距等），将新定义转化为熟悉的几何条件（如线段相等、角度关系）。
2. 建立几何模型：根据新定义画出图形，标注已知量（半径、定点坐标等），明确动点或图形的约束条
件，将问题转化为求轨迹、面积或最值等常规问题。
3. 验证特殊情形：用特殊位置（如圆心、直径端点）检验是否符合新定义，排除错误理解，结合圆的对
称性、切线性质等简化计算，确保逻辑严谨。
3．（2025·河南焦作·三模）【新知引入】定义：如图（1），点M，N把线段 分割成 和 ，
若以 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段 的勾股分割点．
（1）已知点M，N是线段 的勾股分割点，若 ，则 ___________．
【探究证明】
（2）如图（2），在 中， ，M，N在线段 上，且 ．求证：点
M，N是线段 的勾股分割点．
【拓展应用】
（3）如图（3），在 中，圆心角 ，P是 上一动点，连接 ，分别作 的
垂直平分线，分别交直线 于点C，D，已知 ，当 是以 为底边的等腰三角形时，请直接
写出线段 的长．4．（24-25九年级上·湖南长沙·期末）定义：对于凸四边形，对角线相等的四边形称为“等对”四边形，
对角线垂直的四边形称为“垂对”四边形．
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“ ”，错误的打“ ”）
①平行四边形一定不是“等对”四边形； （ ）
②“垂对”四边形的面积等于其对角线长的乘积的一半；（ ）
③顺次连接“等对”四边形四边中点而成的四边形是“垂对”四边形；（ ）
(2)如图1，已知四边形 既是“等对”四边形，又是“垂对”四边形，且四边形的四个顶
点都在 上，连接四边形的对角线 ， 交于点P．
①记 ， ，四边形 的面积分别为 ， ， 求证： ；
②如图2，点 为 的中点，连接 并延长交 于点N，若 ， 求 的半径
（用含 ， 的式子表示）．
一、单选题
1．（2025·江苏南通·二模）如图①，在扇形 中， ，动点P从点O出发，沿
匀速运动， 的长度y与点P运动的路程x之间的函数关系如图②所示，则图中a的值为
（ ）A．12 B． C．18 D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，已知直线 与 轴、 轴分别交于 ， 两点， 是以
为圆心， 为半径的圆上一动点，连接 ， ．则 面积的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南郑州·三模）如图①， ， 是 上的两定点，圆上一动点 从点 出发，按逆时针方向
匀速运动到点 ，运动时间是 ，线段 的长度是 ，图②是 随 变化的关系图象，则下列说法
错误的是（ ）
A． 的半径为 B． ， 两点间的距离为
C．点 的运动速度为 D． 的度数为
二、填空题
4．（24-25九年级上·北京·期中）如图， ， 分别与 相切于A，B两点，C是优弧 上的一个动
点，若 ，则 ．5．（24-25九年级下·北京海淀·阶段练习）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．
阿基米德折弦定理：如图1， 和 组成圆的折弦， 于F，则 ．如图
2， 是 上一点， ，连接 ，则 °．
6．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 是半圆O的直径，点D在半圆O上， ，C是
上的一个动点，连接 ，过点D作 于点H，连接 ．
（1）若C是 的中点，则点C到直线 的距离为 ；
（2）在点C移动的过程中，线段 长的最小值是 ．
三、解答题
7．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，已知 ， 以点 为圆心， 为半径作 ，
与 轴的另一个交点为 ，点 是 上的一个动点，连接 ，点 是 的中点，连接 ．
(1)证明：
(2)当点 不与 重合时，求 的度数．
(3)当点 在优弧 上运动时，求点 的运动路径长．
8．（2025·贵州遵义·模拟预测）定义： 中，若 与边 相切，且圆心 在边 上，则称该为“别边切圆”．
(1)已知等腰 中， ，求其别边切圆半径 ．
(2)若 存在别边切圆，求 取值范围．
(3)已知 的别边切圆半径 ，且 ，求 长度．
9．（2025·河北·模拟预测）如图1，在 中， ，以点B为圆心，以 为
半径作圆．
(1)设点P为 上的一个动点，线段 绕着点C顺时针旋转 ，得到线段 ，连接 ， ， ，
如图2，求证： ；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的长；
(3)在（1）的条件下，当 ______°时， 有最大值，且最大值为______；当 ______°时，
有最小值，且最小值为______．
10．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为
“圆等三角形”．
(1)如图1， 是 的一条弦（非直径），用直尺和圆规在 上找一个点 ，使得 是“圆等三角形”．
(2)如图2，四边形 是 的内接四边形，连结对角线 ， 和 均为“圆等三角形”，
且 ：
①当 时，求 的度数；
②如图3，当 ， 时，求阴影部分的面积．
11．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“闪亮四边
形”．
(1)若 是圆的“闪亮四边形”，则 是 （填序号）；
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为 于点E，四边形 是 的“闪亮四边形”．
①求证：
②求证：
(3)如图2，四边形 为 的“闪亮四边形”， 相交于点 ， ，求
的半径为R
由①知 ，
12．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）[模型建立]
如图①、②，点 分别在 外、在 内，直线 分别交 于点 、 ，则 是点 到 上的点的
最短距离， 是点 到 上的点的最长距离．[问题解决]
请就图①中 为何最长进行证明．
[初步应用]
（1）已知点 到 上的点的最短距离为 ，最长距离为 ．则 的半径为 ．
（2）如图③，在 中， ， ， ．点 在边 上，且 ，动点 在半径为
的 上，则 的最小值是 ．
[拓展延伸]
如图， 为 的直径， 为 上一点，其中 ， ， 为 上的动点，连 ，取
中点 ，连接 ，则线段 的最大值为 ．
