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专题 18 难点探究专题：实际问题与一元一次方程之六大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】................................................................................................1
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】................................................................................................5
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】..............................................................................................11
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】..............................................................................................18
【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】..................................................................................22
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】..............................................................................28
【典型例题】
【类型一 一元一次方程的应用--古代问题】
例题：（2023春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学
问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几
何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人
无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
【变式训练】
1．（2023春·吉林长春·九年级校考期中）《孙子算经》是中国古代数学的重要著作，其中有一道题，原文
是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何?”意思是：用一根
绳子去量一根木头，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余一尺，问木头长多少尺?若设
木头长为 尺，可求得 的值为 ．2．（2023春·陕西咸阳·九年级统考期中）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店
李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7
人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，求店中共有多少间房？
3．（2023·安徽马鞍山·校考一模）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问
题”很有趣：“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几
何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯七十八．’问客几何？”译文：“2人同吃一
碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用78个碗，问有多少客人？”
4．（2023秋·七年级课时练习）“鸡兔同笼”是中国古代数学名题之一，记载于《孙子算经》之中，其大
意为，若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问：笼中鸡和兔各
有多少只？
5．（2023·安徽六安·统考二模）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿
子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，
用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是
多少尺？
6．（2023秋·北京·九年级清华附中校考开学考试）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：
先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留
3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也
恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为130斤，求大象的体重．请将下列解答过程补充完整：解：由题意得等量关系：20块等重的条形石的重量 个搬运工的体重和 块等重的条形石的重量+1个
搬运工的体重，所以
①已知搬运工体重均为130斤，设每块条形石的重量是x斤，则可列方程为：______．
②解这个方程得， ______．
③实际上由题也可直接得到：一块条形石的重量 ______．个搬运工的体重
④最终可求得：大象的体重为______斤．
【类型二 一元一次方程的应用--销售问题】
例题：（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调
查，在换季时积压了一批服装。为了缓解资金压力，小张决定打折销售．若每件服装按标价的6折出售将
亏10元，而按标价的8折出售将赚40元．
(1)请计算每件服装标价多少元？每件服装成本多少元？（用一元一次方程求解）
(2)为尽快减少库存，又要保证不亏本，请问小张最多能打几折？
【变式训练】
1．（2023春·重庆云阳·七年级校考阶段练习）云阳新世纪超市销售蓝莓，第一周的进价是每千克30元，
销量是200千克；第二周的进价是每千克25元，销量是400千克．已知第二周的售价比第一周的售价每千
克少10元，第二周比第一周多获利2000元．
(1)求第二周该水果每千克的售价是多少元？
(2)第三周该水果的进价是每千克20元．经市场调查发现，如果第三周的售价比第二周降低 ，销量是第二周销量的3倍．此时获利比第二周增加了 求t的值．
2．（2023秋·陕西咸阳·七年级统考期末）某百货超市经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价120元，售
价150元；乙种服装每件进价200元，售价320元．
(1)若该百货超市同时购进甲、乙两种服装共40件，总进价用去6000元，购进甲种服装多少件？
(2)在“双11购物节”当天，该百货超市实行“每满100元减30元”的优惠促销（比如：某顾客购物120
元，他只需付款90元），张先生这天买了一件乙种服装．到了第二天，百货超市又推出：先打折，再参与
“每满100元减30元”的让利活动，他发现一件乙种服装打折后的价钱在200元到299元之间此时购买反
而要多付7.6元．在该百货超市第二天推出的让利活动下，购买一件甲种服装需要多少元？
3．（2023·全国·七年级假期作业）某水果店第一次购进西瓜 千克，由于天气炎热，很快卖完．该店马
上又购进 千克西瓜，进货价比第一次每千克少 元，两次进货共花费 元．
(1)这两次购进的西瓜进货价分别是每千克多少元?
(2)在销售过程中，两次进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，第一次购进的西瓜有 %的损耗，第二
次购进的西瓜有 %的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利 元，每千克西瓜的售价为多少元?
4．（2023春·山东泰安·六年级校考开学考试）玉玲超市经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价80元，
利润率 ；乙种商品每件进价40元，售价60元．
(1)每件甲种商品的进价为 元；每件乙商品的利润率为 ．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共500件，总进价为21000元，求购进甲种商品多少件？
(3)“元旦”期间，该超市对乙商品进行如下优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额 优惠措施
少于或等于450元 不优惠
超过450元，但不超过600元 按购物总金额打九折超过600元 其中600元部分八五折优惠，超过600元的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华购买乙种商品实际付款564元，求小华在商场购买乙商品多少件？
5．（2023秋·江苏盐城·七年级校考期末）根据疫情防控有关部署和上级教育行政部门既有安排，结合我市
中小学幼儿园实际，为保护广大师生安全健康，市教育局经研究决定：2022年12月19日起，全市中小学
本学期剩余时间全部进行线上教学．七年级某班家委会决定在网上统一购买一批防蓝光眼镜，网上某店铺
的标价为90元/副，优惠活动如下：
销售量 单价
不超过10副的部分 每副立减14元
超过10副但不超过20副的部分 每副立减22元
超过20副的部分 每副立减30元
(1)①若该班级家委会购买了2副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
②若该班级家委会购买了15副这种防蓝光眼镜，花了___________元；
③若该班级家委会购买了 副这种防蓝光眼镜，花了___________元；（用含x的代数式表示）
(2)若该班级家委会购买的这种防蓝光眼镜均价为69.6元，求他们购买的数量．
【类型三 一元一次方程的应用--方案问题】
例题：（2023春·河南周口·七年级校考期中）“太行分一脉，缥缈入云台”．某单位计划“五一”节组织
员工到焦作云台山旅游，已知甲、乙两旅行社都提供去云台山的方案，都是每人400元．几经洽谈，甲旅
行社表示给予每位旅客 折优惠，乙旅行社表示能免去一位旅客的费用，其余9折．
(1)若参加旅游的人数为x，则选择甲旅行社的费用为______元，选择乙旅行社的费用为______元（都用含x
的式子表示）．(2)若经过计算可知甲，乙两家旅行社的费用相同，则该单位有员工多少人?
【变式训练】
1．（2023秋·黑龙江绥化·七年级统考期末）张老师暑假带领学生去北京旅游，甲旅行社说：“如果校长买
全票一张，则其余学生可享受半价优惠”；乙旅行社说：“包括校长在内全部按全票价的6折优惠”，若
全票价为240元．
(1)若学生有3人和5人，甲旅行社需费用多少元？乙旅行社呢？
(2)学生数为多少时两个旅行社的收费相同？
2．（2023秋·江苏·七年级专题练习）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人
（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格
表为：
购买服装的套
1套至50套 51套至90套 91套及以上
数
每套服装的价
50元 40元 30元
格
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出?
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服
装方案．
3．（2023秋·河南省直辖县级单位·七年级校联考期末）按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学
校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品
商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（ ）(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款
_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当 时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
4．（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）为了增强学生的身体素质，丰富学生的课余生活，我县各个学校
都开展了各具特色的“阳光体育大课间活动”．七年级3班和4班的班长一起去体育用品商店，准备给每
位同学购买一根跳绳．了解到该店跳绳的单价及优惠方案如下图所示．已知两个班共有学生79人，其中3
班人数超过40人但不超过45人．
(1)若3班有学生44人，以班级为单位每人购买一根跳绳，则两个班共付钱多少元？
(2)若以班级为单位每人购买一根跳绳，两个班共付钱1340元．
①问两个班级各有多少人？
②两位班长通过讨论和计算，发现有一种购买方案最省钱．请你写出最省钱的购买方案，并通过计算说明
理由．
5．（2023春·山西长治·七年级统考阶段练习）综合与探究
“双十一”即将来临，某超市规定消费不超过200元的按原价付款，对消费超过200元的顾客实行如下优
惠：
一次性购物 优惠方案超过200元但不超过600元 超过200元不超过600元的部分打八折
超过600元 每满300元减100元
(1)小博妈妈一次性购物 元，她实际付款_________元．（用含x的式子表示）
(2)小西妈妈一次性购物 元，小博妈妈一次性购物 元，结账时小博妈妈比小西妈妈多付
了336元，求x的值．
(3)小博和妈妈一起在超市购买了如下标价的物品：一个电饭煲445元，五斤排骨（38元/斤），两提牛奶
（75元/提），两板鸡蛋（35元/板），一提卷纸27元，一个文具袋6元．妈妈正准备一次性付款，小博
说他有更省钱的方法．你知道他的方法吗，请问小博能为妈妈节省多少钱？
【类型四 一元一次方程的应用--配套问题】
例题：（2023秋·江苏·七年级专题练习）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间
有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母
120个．
(1)该车间有男生、女生各多少人？
(2)已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，
多少工人负责生产螺母？
【变式训练】
1．（2023春·福建福州·七年级校考开学考试）某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个．已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，则安排 名工人加工大齿轮，才
能刚好配套．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）服装厂计划生产一批某种型号的学生服装，已知每 米长的某种布料
可做 件上衣或 条裤子，一件上衣和一条裤子为一套，现仓库内存有这样的布料 米，若全部用来做
这种型号的学生服装，应分别用多少布料做上衣和裤子，才能恰好配套？3．（2023秋·全国·七年级课堂例题）一张方桌是由一个桌面和四条桌腿组成的，如果1立方米木料可制作
方桌的桌面50个，或制作桌腿300条，现在要用5立方米木料制作方桌，请你设计一下，用多少木料制作
桌面，用多少木料制作桌腿，恰好配成方桌多少张？
4．（2023春·河南南阳·七年级校考阶段练习）某车间共有90名工人．每名工人平均每天可加工甲种部件
15个或乙种部件8个，应安排加工甲、乙两种部件各多少名工人，才能使每天加工后每3个甲种部件与2
个乙种部件恰好配套？
5．（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）某车间有22名工人生产螺钉和
螺母，每人每天平均生产螺钉12个或螺母20个，一个螺钉要配两个螺母，要求使每天生产的产品刚好配
套.
(1)如果车间主任安排8人生产螺钉，其它人生产螺母，请你计算这样的安排是否符合要求？
(2)如果你是车间主任，请你用列方程的办法计算出分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母才能符
合要求？
6．（2021秋·江西九江·七年级校考期中）在手工制作课上，老师组织班上学生用硬纸制作圆柱形茶叶桶．
这个班共有学生50人，其中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身40个或筒底120个．
(1)这个班有男生、女生各多少人？
(2)茶叶筒要求一个筒身配两个筒底，那么应分配多少人去剪筒身，多少人去剪筒底？【类型五 一元一次方程的应用--电费和水费问题】
例题：（2023秋·安徽六安·七年级阶段练习）电信公司推出两种移动电话计费方法：
方法 ：免收月租费，按每分钟0.5元收通话费；
方法 ：每月收取月租费30元，再按每分钟0.2元收通话费．
现在设通话时间是 分钟．
(1)请分别用含 的代数式表示计费方法 、 的通话费用．
(2)用计费方法 的用户一个月累计通话150分钟所需的话费，若改用计费方法 ，则可通话多少分钟？
(3)当通话多少分钟时，两种计费方法产生的费用相差15元？
【变式训练】
1．（2023·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）南京市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水
吨，计划内用水每吨收费 元，超计划部分每吨按 元收费．
(1)用代数式表示（所填结果需化简）：设用水量为 吨，当用水量小于等于 吨，需付款____元；当用
水量大于 吨，需付款_____元；
(2)某月该单位用水 吨，水费是____元；若用水 吨，水费____元；
(3)若某月该单位缴纳水费 元，则该单位用水多少吨？
2．（2023秋·湖南益阳·七年级统考期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用阶梯价格
调控手段达到节水目的，价目表如下图．
价目表
每月用水量 单价
不超过 的部分 3元
超过 不超过 的部
4元
分
超过 的部分 6元
注：水费按月结算(1)若某户居民1月份用水 ，则水费为_________元．
(2)若某户居民某月用水 ，请用含x的代数式表示水费．
(3)若某户居民3，4月份共用水 ，且4月份用水量超过 ，3月份用水量超过 ，共交水费94元，
则该户居民3、4月份各用水多少m³?
3．（2023秋·河南信阳·七年级统考期末）某市对居民生活用电实行“阶梯电价”收费，具体收费标准如下
表：已知2022年10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元，2022年9月份老李家交电费157元．
一户居民一个月的用电量 电价（元/度）
不超过240度的部分 a
超过240度的部分但不超过400度的部分
超过400度的部分
(1)求表中a的值；
(2)求老李家9月份的用电量；
(3)若老李家2022年8月份用电的平均电价为 元/度，求老李家2022年8月份的用电量．
4．（2023春·重庆巴南·七年级重庆巴南育才中学校校考阶段练习）小明的爸爸是一名业务员，使用电话的
频率很高，因此他在某电话营业厅选择了A种套餐，如下表（A、B两种套餐接听免费，拨打收费，以下
通话时间全部为拨打时间）：
免费拨打时间（分
固定费用（元） 超出免费时间后单价（元/分钟）
钟）
A 18 1500
B 38 4000
(1)如果小明的爸爸10月份拨打电话2600分钟，求当月的电话费；
(2)小明的爸爸在11月份便登记更换成B套餐，但营业厅告知下月才能生效，11月仍按套餐计费，第二年1月，小明的爸爸查询到去年11、12月话费共为176元，拨打时间一共为5200分钟。请问他11月和12月
的话费各是多少？
(3)若小明的爸爸没有按照（2）更换套餐，则11、12月话费一共将比实际多花多少钱？
5．（2023秋·江苏徐州·七年级统考期末）为缓解用电高峰期的供电缺口，促进电力资源的优化配置，某地
居民用电实施峰谷计费．峰时段为8：00－21：00；谷时段为21：00－次日8：00．下表为该地某户居民
八月份的电费账单（部分信息缺失），设其中的峰时电量为x千瓦·时，根据所给信息，解决下列问题．
户主 *** 用电户号 ******
家庭地址 ****** 2022年 08月
合计金额 166元 合计电量 350千瓦·时
抄送周期 2022-06-01－－2022-08-01
备注：合计电量=峰时电量+谷时电量
计费数量（千瓦•
单价（元） 金额（元）
时）
峰时电量 0.56 x ②______
谷时电量 0.36 ①_____ ③______
(1)填空（用含x的代数式表示）：①________，②__________，③______；
(2)由题意，可列方程为___________；
(3)该账单中的峰时电量、谷时电量分别为多少千瓦 时？
【类型六 一元一次方程的应用--数轴上的行程问题】
例题：（2023秋·福建福州·七年级校考阶段练习）如图，数轴单位长度为1，点P、A、B是数轴上的三个
点，其中B点表示的数是5．(1)点A表示的数是______，点P表示的数是______．
(2)若点A以3个单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点B以个2单位/秒的速度向数铀的正方向运动，点
P以个1单位/秒的速度向数轴的正方向运动，且三点同时开始运动．
①当A、P两点重合时，求运动时间；
②当其中一点是另外两点所在线段中点时，求运动时间．
【变式训练】
1．（2023秋·吉林长春·七年级统考期末）如图，数轴上点A表示的数为 ，点B表示的数为5，点C到点
A、B的距离相等，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动．设点P运动的时间为
t秒（ ）．
(1)点C表示的数是__________；
(2)当点P到达点B时，求t的值；
(3)点P表示的数是__________（用含t的代数式表示）；
(4)当P、C两点之间的距离为2个单位长度时，直接写出t的值．
2．（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图，在一条不完整的数轴上，动点A向左移动12个单位长度到达
点B，再向右移动28个单位长度到达点C．
(1)观察猜想：若点A表示的数为0，则点B表示的数为________________，点C表示的数为
________________；
(2)问题解决：在（1）的条件下，若小虫P从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时
另一只小虫Q从点C出发，以4个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，设两只小虫在数轴上的点D处相遇，则点D表示的数是多少？
(3)拓展延伸：在（2）的条件下，设两只小虫运动t秒时在数轴上相距8个单位长度，求出t的值．
3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）已知a，b满足 ，a，b分别对应数轴上的
A，B两点．
(1)直接写出 ， ；
(2)若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向数轴正方向运动，求运动时间为多少时，点P到点A
的距离是点P到点B的距离的2倍?
(3)数轴上还有一点C对应的数为30．若点P和点Q同时从点A和点B出发，分别以每秒3个单位长度和
每秒1个单位长度的速度向C点运动．P点到达C点后，再立刻以同样的速度返回，运动到终点A．求点
P和点Q运动多少秒时，P，Q两点之间的距离为4？并求此时点Q对应的数．
4．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）已知 是最小的正整数， 是 的相反数， ，且 ， ，
分别是点 ， ， 在数轴上对应的数.动点 从点 出发沿数轴正方向匀速运动，动点 同时从点 出
发也沿数轴正方向匀速运动，点 的速度是每秒2个单位长度，点 的速度是每秒1个单位长度，设点
的运动时间为 秒．
(1) _______， _______， ________；
(2)若点 是 的中点，直接写出点 在数轴上对应的数为________；
(3)当 时，求线段 长为；
(4)若 ， 出发的同时，求经过多少秒，点 恰好追上点 ？(5)若 ， 出发的同时，动点 从点 出发沿数轴正方向匀速运动，速度为每秒4个单位长度，当点
追上点 后，点 立即按原速度沿数轴负方向匀速运动，直接写出点 追上点 后，再运动________秒，
到 的距离等于 到 的距离？
