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专题09 反比例函数图像性质及综合应用（六大题型）
【题型1：反比例函数性质】
【题型2：反比例函数性质图像】
【题型3：反比例函数大小比较】
【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】
【题型5：反比例函数与一次函数综合】
【题型6：反比例函数应用】
【题型1：反比例函数性质】
1．下列函数中，如果x>0，y的值随x的值增大而增大，那么这个函数是（ ）
2 1
A．y=−2x B．y= C．y=−x+1 D．y=−
x x
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数、正比例函数以及反比例函数的性质等知识．分别利用一次函数和
反比例函数的性质分析得出即可．
【详解】解：A、y=−2x，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
2
B、y= ，当x>0，则y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
x
C、y=−x+1，y值随x值的增大而减小，故本选项不符合题意；
1
D、y=− ，当x>0时，y值随x值的增大而增大，故本选项符合题意；
x
故选：D．
2
2．已知反比例函数y= ，下列结论中，不正确的是（ ）
x
A．图象必经过点(1,2) B．当x<0，y的值随x值的增大而减小
C．图象在第一、三象限内 D．若x<1，则y>2【答案】D
【分析】本题考查了图象过点的判断，反比例函数的性质，理解反比例函数的增减性的前提是在各自
象限内是解题的关键．
【详解】解：A.当x=1时，y=2，图象经过点(1,2)，结论正确，故不符合题意；
B.各自象限内，y的值随x值的增大而减小，当x<0，y的值随x值的增大而减小，结论正确，故不符合
题意；
C.∵k=2>0，图象在第一、三象限内，结论正确，故不符合题意；
D.根据函数图象可得当02，结论不正确，故符合题意；
故选：D．
6
3．下列各点中，一定在反比例函数y=− 的图象上的点是（ ）
x
A．(−2,−3) B．(3,2) C．(1,−6) D．(6,1)
【答案】C
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合
此函数的解析式是解答此题的关键．把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可．
6
【详解】解：由y=− 得xy=−6
x
A、(−2)×(−3)=6≠−6，故本选项不符合题意；
B、2×3=6≠−6，故本选项不符合题意；
C、1×(−6)=−6，故本选项符合题意；
D、6×1=6≠−6，故本选项不符合题意．
故选：C．k−2
4．若反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，则（ ）
x
A．k<2 B．k=2 C．k>2 D．k<0
【答案】A
k
【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当k<0时，反比例函数y= 的图象在第二、四
x
象限，得到k−2<0求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键．
k−2
【详解】解：若反比例函数y= 的图象分布在第二、四象限，
x
则k−2<0，
解得k<2，
故选：A．
6
5．已知反比例函数 y=− ，当 x<−1 时，y 的取值范围是（ ）
x
A．06 C．y<6 D．−60，
∴此函数的图象位于一、三象限，
故选：B．
2
7．已知反比例函数y=− ，则下列结论正确的是（ ）
x
A．点(1，2)在它的图象上
B．其图象分别位于第一、三象限
C．y随x的增大而增大
D．如果点P(m,n)在它的图象上，则点Q(n,m)也在它的图象上
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图象及性质，根据反比例函数知识点逐一对选项进行分析即可得到本题
答案．
2
【详解】解：∵反比例函数y=− ，
x
∴点(1,2)不在它的图象上，故A项不符合题意，
∵k=−2<0
∴图象分别位于第二、四象限，故B项不符合题意，
∴函数在x≠0时，即x<0和x>0时，y随x的增大而增大，故C项不符合题意，
∵如果点P(m,n)在它的图象上，即mn=−2，
∴点Q(n,m)也在它的图象上，故D选项符合题意，
故选：D．
k
8．已知反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(−1,6)，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
x
A．(3,2) B．(1,6) C．(−2,3) D．(−1,−6)
【答案】C
【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质，先利用待定系数法求出反比
6 k
例函数解析式为y=− ，再由反比例函数图象的性质得到在反比例函数y= (k≠0)的图象上的点横纵
x x
坐标的乘积一定为−6，据此可得答案．
k
【详解】解：∵反比例函数y= (k≠0)的图象经过点(−1,6)，
x
∴k=(−1)×6=−6，6
∴反比例函数解析式为y=− ，
x
∵反比例函数图象上的点横纵坐标一定满足其解析式，
6
∴在反比例函数y=− 的图象上的点横纵坐标的乘积一定为−6，
x
6
A、3×2=6≠−6，该点不在反比例函数y=− 的图象上，不符合题意；
x
6
B、1×6=6≠−6，该点不在反比例函数y=− 的图象上，不符合题意；
x
6
C、3×(−2)=−6，该点在反比例函数y=− 的图象上，符合题意；
x
6
D、(−1)×(−6)=6≠−6，该点不在反比例函数y=− 的图象上，不符合题意；
x
故选：C．
k−3
9．在反比例函数y= 图象的每一支曲线上y都随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ）
x
A．k>3 B．k>0 C．k<3 D．k<0
【答案】A
【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到k−3>0，解
可得k的取值范围．
【详解】解：根据题意得：k−3>0，
∴k>3，
故选：A．
【题型2：反比例函数性质图像】
a
10．函数y=ax−a与y= （a≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像识别，熟练掌握一次函数和反比例函数图像的性质是解题关键．首先根据反比例函数图像确定a的符号，再确定一次函数所经过的象限，据此逐项分析
判断即可．
a
【详解】解：A.因为反比例函数y= 在第一、三象限，所以a>0，
x
则一次函数y=ax−a的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意；
a
B. 因为反比例函数y= 在第一、三象限，所以a>0，
x
则一次函数y=ax−a的图像经过第一、三、四象限，与本选项图像不相符，故不符合题意；
a
C. 因为反比例函数y= 在第二、四象限，所以a<0，
x
则一次函数y=ax−a的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像不相符，不符合题意；
a
D. 因为反比例函数y= 在第二、四象限，所以a<0，
x
则一次函数y=ax−a的图像经过第一、二、四象限，与本选项图像相符，符合题意．
故选：D．
k
11．一次函数y=kx+k²+1与反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数图象的特点，熟知一次函数与反比例函数的性质是解答
此题的关键．分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：∵一次函数y=kx+k²+1中，k2+1>0，
∴直线与y轴的交点在正半轴，故A、B不合题意，
C、由一次函数的图象过一、二、四象限可知k<0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，故
选项C符合题意；
D、由一次函数的图象过一、二、三象限可知k>0，由反比例函数的图象在二、四象限可知k<0，故
选项D不符合题意；
故选：C．
c
12．一次函数y=ax+b的图象和反比例函数y= 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能
x是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一
次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正
b
负，再根据抛物线的对称轴为直线x=− >0，得出二次函数对称轴在y轴右侧，由c>0得二次函数
2a
图象与y轴交点位于y轴正半轴，对比四个选项的函数图象即可得出结论．
c
【详解】解：由一次函数y=ax+b的图象和反比例函数y= 的图象得：a>0,b<0,c>0，
x
∴二次函数开口向上，故排出A、C选项
b
∴x=− >0，
2a
∴对称轴在y轴右侧，
∵c>0，
∴二次函数图象与y轴交点位于y轴正半轴，
综上可得B选项符合题意，
故选：B．
k
13．在同一坐标系中，函数y=− 和y=kx−2的图象大致是（ ）
xA． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断．由反比例函数图象，得出k的取值范围，
进而判断一次函数的图象，即可得出答案．
k
【详解】解：A、反比例函数y=− 的两个分支分别位于第一、三象限，则k<0，所以一次函数
x
y=kx−2的图象经过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
k
B、反比例函数y=− 的两个分支分别位于第一、三象限，则k<0，所以一次函数y=kx−2的图象经
x
过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
k
C、反比例函数y=− 的两个分支分别位于第二、四象限，则k>0，所以一次函数y=kx−2的图象经
x
过第一、三、四象限，图象符合，选项正确；
k
D、反比例函数y=− 的两个分支分别位于第一、三象限，则k<0，所以一次函数y=kx−2的图象经
x
过第二、三、四象限，图象不符合，选项错误；
故选：C．
ac
14．二次函数y=ax2+c与反比例函数y= (a≠0)且c≠0在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
xA． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是
解决本题的关键．
根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．
【详解】A.由二次函数图象可知， a<0，c>0时，
∴ac<0
ac
∴反比例函数y= 的图象应该分别位于二 、四象限，故选项错误；
x
B. 由二次函数图象可知， a<0，c<0时，
∴ac>0
ac
∴反比例函数y= 的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误；
x
C. 由二次函数图象可知， a>0，c<0时，
∴ac<0
ac
∴反比例函数y= 的图象应该分别位于二 、四象限，故选项正确；
x
D. 由二次函数图象可知， a>0，c>0时，
∴ac>0
ac
∴反比例函数y= 的图象应该分别位于一 、三象限，故选项错误；
x
故选：C．
k
15．已知关于x的函数y=k(x+1)和y=− (k≠0)，它们在同一坐标系中的大致图象是（ ）
xA． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象与一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数图象与一次函数
图象的性质是解题的关键．根据反比例函数与一次函数的图象的性质分析当k不同取值时，反比例函
数图象与一次函数图象所在的象限，然后根据给出的图象进行判断即可．
【详解】解：当k>0时，
k
∵反比例函数y=− (k≠0)的系数−k<0，一次函数y=k(x+1)=kx+k，其中k>0，
x
k
∴反比例函数y=− (k≠0)在二、四象限，一次函数y=k(x+1)=kx+k经过一、二、三象限，
x
∴没有图象符合；
当k<0时，
k
∵反比例函数y=− (k≠0)的系数−k>0，一次函数y=k(x+1)=kx+k，其中k<0，
x
k
∴反比例函数y=− (k≠0)经过一、三象限，一次函数y=k(x+1)=kx+k经过二、三、四象限，
x
∴A选项中图象符合．
故选：A．
k
16．函数y=−kx与y= (k≠0)在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，根据一次函数和反比例函数的图象与性质逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：A、由一次函数的图象可得−k>0，故k<0，由反比例函数的图象可得k>0，故不符合
题意；
B、y=−kx经过图象原点，故不符合题意；
C、由一次函数的图象可得−k>0，故k<0，由反比例函数的图象可得k<0，故符合题意；
D、由一次函数的图象可得−k<0，故k>0，由反比例函数的图象可得k<0，故不符合题意；
故选：C．
a−b+c
17．二次函数y =ax2+bx+c（a,b,c是常数）的图象如图，则双曲线y = 和直线y =cx−abc
1 2 x 3
的位置可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象与性质，由二次函数
y =ax2+bx+c的图象可得a−b+c<0，c<0，−abc>0，据此判断一次函数和反比例函数的图象即
1
可．
【详解】解：∵二次函数y =ax2+bx+c的图象开口向上，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴左边，
1
∴a>0，b>0，c<0，∴−abc>0，
∴直线y =cx−abc过一、二、四象限，
3
当x=−1时y =a−b+c<0，
1
a−b+c
∴双曲线y = 过二、四象限，
2 x
a−b+c
∴双曲线y = 和直线y =cx−abc的位置都符合条件的只有D选项，
2 x 3
故选：D．
k
18．函数y= 与y=−kx2+k(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，本题可先由反比例函数的图象得到字母系数
的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
【详解】解：由解析式y=−kx2+k(k≠0)可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限，可得k<0，则−k>0，抛物线开口方向向上，抛
物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；k本图象与k的取值相矛盾；
B、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得k>0，则−k<0，抛物线开口方向向下，抛
物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意；
C、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得k>0，则−k<0，抛物线开口方向向下，抛
物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾；D、由双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限，可得k>0，则−k<0，抛物线开口方向向下，抛
物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾．
故选：B．
c
19．一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数
x
y=ax2+bx−c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象与系数的关系，根据反
比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a<0、b>0、c<0是解题的关键．
据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出a<0、b>0、c<0，由此即可得出：二次函
b
数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x=− >0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选
2a
项中的图象即可得出结论．
c
【详解】解：观察一次函数y=ax+b和反比例函数y= 的图象可知：a<0，b>0，c<0，
x
b
∴二次函数y=ax2+bx−c的图象开口向下，对称轴x=− >0，与y轴的交点在y轴正半轴．
2a故选：B．
k
20．函数y=−kx−5与y= (k≠0)在同一坐标系内的图象可能是（ ）
x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数图象综合判断，分k>0、k<0两种情况，根据函数
k
y=−kx−5与y= （k≠0）经过的象限进行判断即可．
x
k
【详解】解：∵当k>0时，y=−kx−5过二、三、四象限，反比例函数y= 过一、三象限，
x
k
当k<0时，y=−kx−5过一、三、四象限，反比例函数y= 过二、四象限，
x
观察四个选项可知，只有C选项的图象满足要求，
故选C．
【题型3：反比例函数大小比较】
3
21．若点A(−1,y )，B(−3,y )，C(3,y )在反比例函数y=− 的图像上，则y ，y ，y 的大小关
1 2 3 x 1 2 3
系是（ ）
A．y 0)上，则y ，y ，y 的大小关系是（ ）
1 2 3 x 1 2 3
A．y 0，0>y >y ，
3 1 2
∴y y >y B．y >y >y C．y >y >y D．y >y >y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数解析式可知每个象限中，y随x的增大而减小，
由此即可求解，掌握反比例函数的性质增减性是解题的关键．
【详解】解：∵1>0，
∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵−2<−1<0<1，
∴y >0>y >y ．
3 1 2
故选：B．
a2+1
24．已知反比例函数y= 的图象上有两点A(1,m)，B(2,n)，则m与n的大小关系是（ ）
x
A．m>n B．m0时，
在每个象限内y随x的增大而减小．根据在反比例函数中，当k>0时，在每个象限内y随x的增大而减
小，由反比例函数的图象上有两点A(1,m)，B(2,n)，可以判断出m、n的大小关系，从而本题得以
解决．【详解】解：∵反比例函数中的k=a2+1>0，
∴在反比例函数中，在每个象限内y随x的增大而减小，
∵反比例函数的图象上有两点A(1,m)，B(2,n)，1<2，
∴m>n．
故选：A
【题型4：反比例函数与一次函数的大小比较】
k
25．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于点A(2,3)，B(m,−2)，则不等
x
k
式ax+b< 的解是（ ）
x
A．−32 B．x<−3或02 D．−33
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合．先求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐
标，然后直接利用图象法求解即可．
【详解】解：∵A(2，3)在反比例函数图象上，
∴k=3×2=6，
6
∴反比例函数解析式为y= ，
x
∵B(m，−2)在反比例函数图象上，
6
∴m= =−3，
−2
∴B(−3，−2)，
k
由题意得关于x的不等式ax+b< 的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范
x
围，k
∴关于x的不等式ax+b< 的解集为x<−3或05
C．25
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，灵活运用数形结合
思想是解答本题的关键．根据图象得出两交点的横坐标，找出一次函数图象在反比例图象下方时x的
范围即可．
【详解】解∶根据题意得： 当y 5．
1 2
故选 ∶D．
m
27．如图，双曲线y= 与直线y=kx+b交于点M，N，并且点M坐标为(1,3)，点N坐标为(−3,−1)，根
x
m
据图象信息可得关于x不等式 1【答案】D
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，利用图象法，确定不等式的解集即可．
m
【详解】解：由图象可知：不等式 1；
x
故选D．
2 2
28．如图，是一次函数y=kx+b与反比例函数y= 的图象，则关于x的不等式kx+b< 的解集为（ ）
x x
A．0−2C．−2−1 D．
−2y 时，x的取值范围是（ ）
1 2A．−1.53 B．x<−1.5或02 D．x<−1或0y ，
1 2
故选：D．
k k
30．如图，直线y =k x+b与双曲线y = 2相交于点D(1，4)、C(2，2)，那么不等式k x+b− 2>0
1 1 2 x 1 x
的解集是（ ）
A．10的解集是12
【答案】B
【分析】本题考查的知识点是一次函数与反比例函数图象综合判断，解题关键是结合函数图象解题．
先求出m、n的值，再根据函数图象即可求解．
2
【详解】解：∵M(m,1)，N(n,−2)在函数y =x−1和函数y = 上，
1 2 x
∴m=2，n=−1，
即M(2,1)，N(−1,−2)，
则y 17，
5 5
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
37．为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（单
位：mg）与燃烧时间x（单位：min）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物
10min燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答下列问题：
(1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕
开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？
4 80
【答案】(1)药物燃烧时；y= x(010)
5 x
(2)至少需要40分钟后学生才能回教室
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用；
k
（1）设y =k x，将点(10,8)代入函数解析式求出k 即可；设y = 2，将点(10,8)代入函数解析式求
1 1 1 2 x
出k 即可；
2
（2）令y =1.6，解出x即可．
2
【详解】（1）解：设y =k x，
1 1
∵函数经过点(10,8)，4
∴8=10k ，k = ，
1 1 5
4
∴y = x；
1 5
根据函数图象可得010
80
∴药物燃烧后y= (x>10)；
x
80
（2）令y =1.6，则 =1.6，x=50，
2 x
50−10=40
答：至少需要40分钟后学生才能回教室．
38．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图
所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，求近视眼镜的度数减少
了多少度．
【答案】200度．
100
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，先利用待定系数法求出y= ，再分别求出
x
x=0.5和x=0.25时的函数值即可得到答案．k
【详解】解：设y与x的函数关系式为y= (k≠0)，
x
k
把(0.2,500)代入y= (k≠0)中得，k=0.2×500=100，
x
100
∴y= ，
x
100
当x=0.5时，y= =200，
0.5
100
当x=0.25时，y= =400
0.25
∴度数减少了400−200=200度．
39．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生
的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB，BC为线段，CD为双曲线的一部
分）．
(1)上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第 分钟时学生的注意力更集中．
(2)一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么通
过怎样的时间安排，教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？请通过计算说明．
【答案】(1)5；
(2)教师能在学生注意力达到所需要求状态下讲完这道题，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，根据实际意义列出解析式是解题的关键．
（1）根据图像信息即可得到结论；
（2）分别求出注意力指数为40时的两个时间，再将两时间之差与18比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由图像可知，
设线段AB的解析式为y=kx+b，
将(0,30),(10,50)代入，
{ b=30 )
得： ，
10k+b=50{k=2 )
解得 ，
b=30
故线段AB的解析式为y=2x+30(0≤x≤10)，
k
设双曲线CD的解析式为y= ，
x
将(20,50)代入，求得k=1000，
1000
∴双曲线CD的解析式为y= (20≤x≤40)，
x
当x=5时，y=2×5+30=40，
1000 100
当x=30时，y= = <40，
30 3
故上课后的第5分钟与第30分钟相比较，第5分钟时学生的注意力更集中；
（2）解：当y=40，2x+30=40，解得x=5，
1000
当y=40， =40，解得x=25，
x
25−5=20>18，
教师能在学生注意力达到所需状态下讲完这道题．
40．某小微企业生产加工一种产品，2013年1月的利润为180万元．设2013年1月为第1个月，第x个月
的利润为y万元．由于企业生产规模较小，且成本较大，该厂决定从2013年1月底起适当限产，并投
入资金进行扩建改造，导致月利润明显下降．从1月到6月y与x成反比例，到6月底扩建改造工程顺
利完工，从这时起，该企业每月的利润比上一个月增加16万元．如图．
(1)分别求出该企业扩建改造期间(1≤x≤6)及扩建改造工程完工后(x≥6)，y与x之间对应的函数关系
式；
(2)扩建改造工程完工后从第几个月开始，该企业月利润才能不低于190万元？
(3)扩建改造工程完工后经过几个月，该企业月利润才能达到174万元？
(4)当月利润少于80万元时为该企业资金紧张期，问该企业资金紧张期大约有几个月（结果保留整
数）？180
【答案】(1)y= (1≤x≤6)；y=16x−66(x≥6)
x
(2)16
(3)9
(4)7
【分析】此题主要考查了反比例函数以及一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
（1）直接利用待定系数法分别得出一次函数以及反比例函数解析式即可；
（2）当y=190代入y=16x−66，求出x的值，进而得出答案；
（3）当y=174代入y=16x−66，求出x的值，进而得出答案；
（4）利用y=80分别得出x的值，进而得出答案．
k k
【详解】（1）解：当1≤x≤6时，由题意设y= ，将(1,180)代入y= 得：
x x
k=180，
180
故在扩建改造期间的函数关系式为：y= ；
x
180
当x≥6时，当x=6时，y= =30，则y=30+16(x−6)=16x−66；
6
即扩建改造工程完工后y与x之间的函数关系式为：y=16x−66；
（2）扩建改造工程完工后，当y=190时，
即：16x−66=190，解得：x=16，
∴扩建改造工程完工后从第16个月开始，该企业月利润才能不低于190万元；
（3）扩建改造工程完工后，当y=174时，
即：16x−66=174，解得：x=15，
则15−6=9，
∴扩建改造工程完工后经过9个月，该企业月利润才能不低于174万元；
180 180
（4）对于y= ，当y=80时，x= =2.25，
x 80
73
对于y=16x−66，当y=80时，x= =9.125，
8
所以资金紧张期的有第3、4、5、6、7、8、9这7个月，该厂资金紧张期共有7个月．
41．如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N，阻力臂长为0.5m．设动力为y(N)，动
力臂长为x(m)．（杠杆平衡时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
(3)小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为1.8m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
600
【答案】(1)y= (x>0)
x
(2)400N
(3)不能，见解析
【分析】本题主要考查反比例函数的应用，正确的根据反比例函数得出y与x之间的关系是解题的关
键．
（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
（2）将x=1.5代入（1）中所求解析式，即可得出y的值；
（3）根据00)，
x
600
即y关于x的函数表达式为y= (x>0)；
x
600
（2）解：∵y= ，
x
600
∴当x=1.5时，代入y= 得
x
600
y= =400
1.5
故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力；
（3）解：他不能撬动这块石头，理由如下：
600
∵y= ，
x600
∴x= ，
y
∵0300，
3
∴他不能撬动这块石头．
42．如图，取一根长100cm的均匀木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来．在中点O的左侧
20cm处挂了一个约10N的物体，在中点O的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．
(1)请问当物体保持不动时，弹簧秤的示数y（单位：N）与弹簧秤到中点O的距离x（单位：cm）满足
怎样的函数关系？请写出y关于x的函数表达式．
(2)左侧所挂物体的质量与位置不变，保持木杆处于水平状态下，移动弹簧秤到什么位置时，最省力
（弹簧秤的示数最小）？并求出此时弹簧秤的示数为多少，
200
【答案】(1)y=
x
(2)弹簧秤离木杆中点距离为50cm时，最省力即弹簧秤的示数最小，最小示数为4N
【分析】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用反
比例函数的性质求最值．
（1）根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，即可得到y和x的函数关系，从而可以写出y和x满足哪种函数
关系；
（2）根据反比例函数的性质和木杆的总长度，可以得到移动弹簧秤到什么位置时，最省力（弹簧秤
的示数最小），并求出此时弹簧秤的示数为多少．
【详解】（1）解：根据杠杆原理可知：
xy=10×20，200
∴ y= ，
x
200
即y是关于x的反比例函数，函数表达式为y= ；
x
200
（2）解：∵ y= ，k=200>0，
x
∴当x>0时，y随x的增大而减小，
∴当x取最大值时，y取最小值，
∵木杆长100cm，O为木杆的中点，故x =50cm，
素大
200
∴当x=50时，y = =4(N)，
微小 50
答：弹簧秤离木杆中点距离为50cm时，最省力（弹簧秤的示数最小），最小示数为4N．
43．已知某电路的电源电压U(V)，电流I（A），电阻R(Ω)三者之间有如下的关系式：U=IR，且该电
路的电源电压U为恒值．
(1)该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）；
(2)当该电路的电阻为100Ω时，测得该电路中的电流为2.2A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数
表达式；
(3)若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器R ，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少0.2A，
1
那么R 连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定）
1
【答案】(1)反比例函数
220
(2)I=
R
(3)串入的滑动电阻R 需增加10欧姆
1
【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是：
（1）根据反比例函数的定义判断即可；
（2）利用待定系数法即可求出函数表达式；
（3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少0.2A时的电阻，再减去
100Ω即可．【详解】（1）解：∵U=IR，且该电路的电源电压U为恒值，
U
∴I= ，
R
即该电路中，电流I与电阻R成反比例函数关系，
故答案为：反比例函数；
U
（2）∵I= ，
R
∴U=IR=2.2×100=220，
220
∴ I= ；
R
（3）I=2.2−0.2=2A，
220
∴ 2= ，
R
解得R=110，
110−100=10 Ω，
答：滑动电阻R 需增加10Ω．
1
