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专题28.4 难点探究专题：解直角三角形应用与特殊几何图形的综合之六大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】....................................................................................1
【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】....................................................................................8
【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】..............................................................................................14
【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】..............................................................................................19
【类型五 解直角三角形应用与正方形的综合】..........................................................................................25
【类型六 解直角三角形应用与其他图形的综合】......................................................................................29
【典型例题】
【类型一 解直角三角形应用与特殊三角形的综合】
例题：“工欲善其事，必先利其器”，如图所示的是钓鱼爱好者的神器“晴雨伞”，其截面示意图是轴对
称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后系在树干 上的点 处（ ），使得
， ， 在一条直线上，通过调节点 的高度可控制“晴雨伞”的开合，“晴雨伞” ，
于点 ，支杆 与树干 的横向距离 ．
(1)天晴时打开“晴雨伞”，若 ，求遮阳宽度 ．
(2)下雨时收拢“晴雨伞”，使 由 减少到 ，求点 下降的高度．（结果精确到 ，参考数据： ， ， ， ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在 中利用锐角三角函数的定义求出 的长即可解答；
（2）过点 作 于点 ，得 ，再在 中锐角三角函数的定义可得 ，
最后求出 和 时 的长即可解答．
【详解】（1）解：由对称性可知 ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
答：遮阳宽度 为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，∵ ，
当 时， ，
当 时， ，∴点 下降的高度为 ，
答：点 下降的高度为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用和锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当
的辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点 ， ， ， 均
在同一直线上， ，测得 ．（结果保留小数点后一位）
(1)连接 ，求证： ；
(2)求雕塑的高（即点E到直线BC的距离）．
（参考数据： ）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高约为 米
【分析】（1）根据等边对等角得出 ，根据三角形内角和定理得出
，进而得出 ，即可得证；
（2）过点 作 ，交 的延长线于点 ，在 中，得出 ，则
，在 中，根据 ，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴
∵
即
∴即
∴ ；
（2）如图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ，
在 中，
∴ ，
∴
∴
在 中， ，
∴
（米）．
答：雕塑的高约为 米．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角
函数的定义是解题的关键．
2．夏秋季节，许多露营爱好者晚间会在太湖边露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图
是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆 ，用绳子拉直 后系在树干 上的点E处（ ），
使得A、D、E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，幕布宽 ，
于点O，支杆 与树干 的横向距离 ．（参考数据： ， ，
，结果精确到0.1）(1)天晴时打开“天幕”，若 ，求遮阳宽度 ；
(2)下雨时收拢“天幕”， 由 减少到 ，求点E下降得高度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意知 ， m，根据 ，
计算求解即可；
（2）如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，则 ，当 时，
， ，当 时， ， ，则
．
【详解】（1）解：由题意知 ， m，
∴ m，
∴遮阳宽度 为 ．
（2）解：如图，过 作 于 ，则四边形 是矩形，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，∴ 由 减少到 ，求点E下降得高度为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质．解题的关键在于抽象出直角三角形并正确
的运算．
3．遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意图为 ）用
立柱 固定在地面上的点O处，此时 垂直于地面 ，遮阳伞顶点A与P重合．需要遮阳时，向上调
节遮阳伞立柱 上的滑动调节点 ，打开支架 ，伞面撑开如图②，其中， ， ，
为 中点， ，根据生活经验，当太阳光线与伞口 垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线
就是太阳光线，同一时刻的太阳光线是平行的）
(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为 ，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节点 ，此时立柱
与支梁 夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若 为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为 ，滑动调节点 到 ，使遮阳效果最佳，此对调节点
滑动的距离约为多少？（ ， ， ，结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得 ， ，由 可得 ，从而得到
，由 即可得到柱 与支梁 夹角度数；
（2）过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，可得四边形 为平行四边形，根据 ， 可得 ，再 利用 可求出 的长度，即可
得到阴影的长度；
（3）过点 作 交 于点 ，根据题可求出 ，由 ，
， 即可得到调节点 滑动的距离；
【详解】（1）解：∵遮阳效果最佳，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ，
∴立柱 与支梁 夹角 度；
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ,
∴阴影的长度为 ．
（3）如图，过点 作 交 于点 ，
∵遮阳效果最佳，即 ， ，
∴由四边形内角和知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
∴调节点 滑动的距离约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形的判定及性质是
解决本题的关键．【类型二 解直角三角形应用与平行四边形的综合】
例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知 ，A，D，
H，G四点在同一直线上，测得 ．（结果保留小数点后一位）
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)求雕塑的高（即点G到 的距离）．
（参考数据： ）
【答案】(1)见解析
(2)雕塑的高为7.5m，详见解析
【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论；
（2）过点G作GP AB于P，计算AG的长，利用 A的正弦可得结论．
【详解】（1）证明⊥： ， ∠
CDG＝ A， ∵
∴∠FEC＝∠A，
∵∠FEC＝∠CDG，
∴ E∠F∥DG，∠
∴FG∥CD，
∵四边形DEFG为平行四边形；
∴（2）如图，过点G作GP AB于P，
四边形DEFG为平行四边⊥形，
∵DG＝EF＝6.2，
∴AD＝1.6，
∵AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8，
∴
在Rt△APG中，sinA= ，
=0.96，
∴
PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5．
∴答：雕塑的高为7.5m.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，正确作辅助线构建直角三角形解决问题．
【变式训练】
1．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感
觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果
画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形 是平行四边形，座板 与地面 平行，
是等腰三角形且 ， ，靠背 ，支架 ，扶手的一部分
．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端 点距地面（ ）的高度是多少吗？请你帮小余
同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据： ， ，
）
【答案】
【分析】方法一：过点 作 交 的延长线于点 ，由平行四边形的性质可得
，进而求得 ，过点 作 于点 ，根据平行线的性质可得
，进而求得 ，过 作 于点 ，根据等腰三角形三线合一可得 ，
进而求得 ，利用 求解即可；
方法二：过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，
根据等腰三角形三线合一可得 ，进而求得 ， ，过 作 于 ，根据平行线的性质
可得 ，进而求得 ，根据 求解即可．【详解】解：方法一：
过点 作 交 的延长线于点 ，
四边形 是平行四边形， ，
，
，
过点 作 于点 ，
由题意知 ， ，
，
又 ，
，
过 作 于点 ，
， ，
,
，
靠背顶端 点距地面 高度为
；
方法二：
如图，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，， ，
，
又 ，
，
，
，
过 作 于 ，
由题意知 ， ，
，
又 ，
，
靠背顶端 点距地面 高度为 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线，构造
直角三角形是解题的关键．
2．三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，
如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕
“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的示意图，其中四边形 和四边形 都是
平行四边形， ， ， ．(1)若关闭折伞后，点 、 、 三点重合，点 与点 重合，求 的长度；
(2)在（1）的条件下，折伞完全撑开时， ，则点 到伞柄 距离为多少．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得 ， ，有关闭折伞后，点A、E、H三点重合，得
到 ，则 ， ；
（2）先求出 得到 ，即可得到 ，求出
，过F作 于R，过G作 于T，在 上取一点Q使
得 ，则 ，解直角三角形得到 ，设 ，则
，利用勾股定理得到 ，
解得 ，即可得到 ，同理可得 ，则
．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得，当伞完全撑开时， 三点共线，
∵ ，
∴ ，∴
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，
∴ ，
过F作 于R，过G作 于T，在 上取一点Q使得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
同理可得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行四边形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【类型三 解直角三角形应用与菱形的综合】
例题：如图 是一个晾衣架的实物图，支架的基本图形是菱形，MN是晾衣架的一个滑槽，点P在滑槽
MN上、下移动时，晾衣架可以伸缩，其示意图如图 所示，已知每个菱形的边长均为20cm，且
．
当点P向下滑至点N处时，测得 时
求滑槽MN的长度；
此时点A到直线DP的距离是多少？
当点P向上滑至点M处时，点A在相对于 的情况下向左移动的距离是多少？
结果精确到 ，参考数据
【答案】（1）① ；② （2）
【分析】（1）①作 于H，由 得出
，进而求出MN；
②点A到直线DP的距离是 ；
（2）当点P向上滑至点M处时， 是等边三角形，作 于G，求CG，即可求出结果．
【详解】解： 当点P向下滑至点N处时，如图1中，作 于H．，
，
，即 ，
，
，
．
滑槽MN的长度为 ．
根据题意，点A到直线DP的距离是 ．
当点P向上滑至点M处时，如图2中， 是等边三角形，
，
作 于G，则 ，
此时点A到直线DP的距离是 ，
，
∴点A在相对于 的情况下向左移动的距离是 ．
【点睛】此题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，找到对应长度是关键．
【变式训练】
1．一种千斤顶利用了四边形的不稳定性. 如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可
改变 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A、C之间的距离）.若AB=40cm，当
从 变为 时，千斤顶升高了多少．【答案】40( )（cm）．
【详解】解: 连结AC，与BD相交于点O ，
四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD,∠ ADB=∠CDB,AC=2AO
当∠ADC= 时，△ ADC是等边三角形
∴AC=AD=AB=40
当∠ADC= 时，∠ ADO=
∴AO=ADsin∠ADO=40× =20
∴AC=40
∴增加的高度为40 40=40( )（cm）．
2．如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同
的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．
参考数据： ≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得
,于是得到结论;
（2）解直角三角形即可得到结论.
【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠AFE＝60°,
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK,
∵△AEF是等边三角形,
∴AK＝ ,
∴ ,
∴FM＝2FK＝ ,
∴BC＝4FM＝4 ≈6.92≈6.9（m）;
（2）∵∠AFE＝74°,
∴∠AFK＝37°,
∴KF＝AF•cos37°≈0.80,
∴FM＝2FK＝1.60,
∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,
6.92﹣6.40＝0.5,
答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.
3．（2023·浙江宁波·统考一模）如图1，是一个自动伸缩晾衣架的实物图，图2是它的支架左侧平面示意
图，当 ， D在上滑槽 上左右滑动时， ， 同时在与 平行的下滑槽 上滑动，带动整个支
架改变菱形内角度数，从而调节支架的高度，图2中 ，中间 个菱形的边长均
为 ．
(1)当 调节至 时，求两滑槽间的距离（即 与 之间的距离）；
(2)根据生活经验，当一个身高 的人，头顶与下滑槽 的距离不超过 时，晒衣服比较方便，若
上滑槽 距离地面 ，那么 至少调整到多少度？
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)
(2) 至少调整到
【分析】（1）连接 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，利用 ， ，求
出 的度数，利用三角函数求出， ，最后用 求出最后结果．
（2）由（1）可知 ，所以 ，根据题意得出 ，利
用已知可求出 ，再得出最后结果即可．【详解】（1）如图，连接 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ．
由菱形的轴对称性可知， ， ，
为 与 之间的距离，即两滑槽间的距离，
， ，
，
．
同理 ，
，
两滑槽间的距离为 ．
（2）如图，由（1）可知 ，
，
由题意可得， ，
即 ，
，
，
，
至少调整到 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，利用三角函数求边长，正确作出辅助线，结合图形判断出
是解答本题的关键．【类型四 解直角三角形应用与矩形的综合】
例题：（2023春·江西南昌·九年级南昌市第二十八中学校联考阶段练习）某景区草地上竖立着一个如图
（1）所示的雕塑，现将其中两个近似大小相同的矩形框架抽象成如图（2）所示的图形，矩形 可由
矩形 绕点 旋转得到，点 在 上，延长 交 于点 ．连接 ．
(1)判断四边形 的形状并给予证明；
(2)若点 在水平地面上， 与水平地面平行， ，求点 到水平地面
的距离．（结果精确到 ．）参考数据：
【答案】(1)平行四边形，见解析
(2)
【分析】（1）由旋转性质结合矩形的性质推出 ，利用 证明 ，得到
，据此可证明四边形 是平行四边形；
（2）延长 交水平地面于点 ，连接 ．利用正切函数求得 的长，得到 ，推出
，再根据余弦函数求得 的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：四边形 是平行四边形．
证明：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，由旋转性质得 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
由旋转得 ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
（2）解：如图，延长 交水平地面于点 ，连接 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知 ，
又 ，
∴ ，
由平行线的性质知 ，
∴ ，
∴ ，
即点 到水平地面的距离约为 ．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，利用三角函数解直角三角形等，解题的关键
是：（1）掌握等腰三角形中等边对等角；（2）通过添加辅助线构造直角三角形．
【变式训练】
1．如图①是一个新款水杯，水杯不盛水时如图放置在桌面上，这样可以快速晾干杯底，干净透气，其主
体的侧面示意图如图②，此时杯口与桌面的夹角为 ，四边形 可以看作矩形，点 到桌面 的距
离为 ，测得 ， ．(1)求 的度数；
(2)求 的长．（结果精确到 ．参考数据： ）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 交 于点 ，如图所示，根据题意，由直角三角形两锐角互余即可得到答案；
（2）过点 作 于点 ．过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示，先证明四边形
是矩形，解直角三角形即可得到答案．
【详解】（1）解：设 交 于点 ，如图所示：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：过点 作 于点 ．过点 作 交 的延长线于点 ，如图所示：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
答： 的长约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用问题，读懂题意，数形结合，准确表示出相应三角函数解方程
是解决问题的关键．
2．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形 为矩形， 长3米， 长1
米，点 与点 重合．道闸打开的过程中，边 固定，连杆 ， 分别绕点 ， 转动，且边 始
终与边 平行．
(1)如图2，当道闸打开至 时，边 上一点 到地面的距离PE为1米，求点 到 的距离
的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至 时，轿车能否驶入小区？请
说明理由，（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)2
(2)轿车能驶入小区，理由见解析；
【分析】（1） 中， ， ,可得 ，结合 ，即可求出 的长；
（2）当 时， ，求出 的长，与 比较即可得到答案；
【详解】（1）在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）当 时， ，则 ，在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴轿车能驶入小区
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
3．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 ）靠墙摆放，高 ，宽 ，小
强身高 ，下半身 ，洗漱时下半身与地面成 （ ），身体前倾成 （
），脚与洗漱台距离 （点 ， ， ， 在同一直线上）．
（1）此时小强头部 点与地面 相距多少？
（2）小强希望他的头部 恰好在洗漱盆 的中点 的正上方，他应向前或后退多少？（ ，
， ，计算结果精确到 ）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ．求出 、 的值即可解决问题；
（2）求出 、 的值即可判断；
【详解】解：（1）过点 作 于 ，过点 作 于 ，
∵ ， ，
∴ ，在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即此时小强头部 点与地面 相距约为 ；
（2）过点 作 于点 ，延长 交 于 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
，
即小强应向前 ．【点睛】本题考查直角三角形的应用，锐角三角函数等知识，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题是解题的关键．
【类型五 解直角三角形应用与正方形的综合】
例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）图1是某校教学楼墙壁上文化长廊中的两幅图案，现将这两
个正方形转化为平面图形得到图2，并测得正方形 与正方形 的面积相等，且
，
(1)判断四边形 的形状，并说明理由．
(2)求 的长．（参考数据： ）
【答案】(1)四边形 是菱形，详见解析
(2)
【分析】（1）先证明四边形 是平行四边形，再证明 ，从而得 ，
即可得出结论；
（2）作 于点M，解 ，即可求解．
【详解】（1）解：四边形 是菱形 ，
理由： 正方形 与正方形 的面积相等，
，，
∴四边形 是平行四边形，
，
，
，
∴四边形 是菱形 ．
（2）解：作 于点M，
在 中， ，
，得 ，
．
【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟练掌握正方形的性
质、菱形的判定、正确求解直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．测量金字塔高度：如图1，金字塔是正四棱锥 ，点O是正方形 的中心 垂直于地面，
是正四棱锥 的高，泰勒斯借助太阳光．测量金字塔影子 的相关数据，利用平行投影测算出
了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量．甲、乙、丙三个金字塔都
用图1的正四棱锥 表示．
（1）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形 的边长为 ，金字塔甲的影子是 ，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为______m．
（2）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形 边长为 ，金字塔乙的影子是 ，
，此刻1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度．
【答案】（1）100；（2） ．
【分析】（1）如图2中，连接 交 于 ，勾股定理求得 ，再根据物体的长度与影子的长度成比例，
即可求得 ；
（2）如图1中，连接 ， ,过点 作 交 的延长线于 ,勾股定理求得 ，再根据物体的
长度与影子的长度成比例，即可求得 ．
【详解】（1）如图2中，连接 交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
，
垂直平分 ，
，
，
，
设金子塔的高度为 ，物体的长度与影子的长度成比例，
，，
故答案为：100．
（2）如图，根据图1作出俯视图，连接 ， ,过点 作 交 的延长线于 ,
，
，
，四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
乙金字塔的高度为 ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，俯视图，物长与影长成正比等知识，正确的添加辅助
线构造直角三角形是解题的关键．
【类型六 解直角三角形应用与其他图形的综合】
例题：（2023上·重庆·八年级重庆八中校考期中）消防车是救援火灾的重要装备．图1是一辆登高云梯消
防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂 可伸缩，伸缩范围为 ，且起重臂 可绕点A在一定范围内转动，张角为 ，张角范围为 ，转动点A距离地面 的高度
为 （参考数据： ）
(1)当起重臂 长度为 ，张角为 时，求云梯消防车最高点B距地面的高度；（结果保留根号）
(2)某栋楼高 ，若该楼中有居民家突发险情，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．
【答案】(1)距地面的高度为
(2)能实施有效救援，理由见解析
【分析】（1）过点 作 ，过点B作 ，交 于点F，交 于点G，在 中求
出 的长度，然后计算 即可；
（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出 的长度，与 比较即可.
【详解】（1）解：如图，过点 作 ，过点B作 ，交 于点F，交 于点G，
∵ ,
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
，
，
在 中，
，
，．
（2）解：能实施救援；
当起重臂最长，转动张角最大时，云梯消防车最高点B距地面最高，
即： 米， ，
，
，
．
，
能实施有效救援．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·江西抚州·九年级校考阶段练习）如图1是折叠会议桌的实物图，其侧面可抽象成图2，桌面
可绕点 转动， ， ， ． ，点 是 点在地面
的正投影．
(1)①桌面 到地面 的距离为______ ， ______ ．
②求桌脚 的长；（结果精确到 ）
(2)当桌面 绕点 转动到图3所示的位置时，求点 到地面 的距离．
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)① ； ；；②桌脚 的长约为 ；
(2)点 到地面 的距离约为
【分析】（1）①连接 ，根据正投影，得到 ，再根据勾股定理，求得 ，然后利用锐
角三角函数的定义，得出 ，最后利用平行线的性质和三角形外角的定义，即可得到答案；②过点 作 于点 ，利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出
，进而得到 ，再利用锐角三角函数的定义，即可求出桌脚 的长；
（2）过点 作 于点 ，由旋转的性质可知， ，进而得到 ，
利用锐角三角函数的定义，得到 ，然后利用勾股定理列式，求出 ，进而得出
，即可求出点 到地面 的距离．
【详解】（1）解：①如图，连接 ，
点 是 点在地面的正投影，
，
，
，
， ，
在 中， ，
即 到地面 的距离为 ，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ； ；
②如图，过点 作 于点 ，在 中， ，
，
，
， ，
，
在 中， ，
，
，
，
在 中， ，
，
，
即桌脚 的长约为 ；
（2）解：如图，过点 作 于点 ，
由旋转的性质可知， ，
，
，
在 中， ，，
，
在 中， ，
，
，
，
点 到地面 的距离约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，平行投影，旋转的性质，正确做辅助线，灵活运用三角
函数是解题关键．
2．（2023下·江西景德镇·九年级统考期中）图1是放在散热支架上的笔记本电脑实物图，图2是它的侧面
示意图，点B，C，D处可转动，支撑架 ．若电脑显示屏的边 ，且
垂直于桌面 ， ．
(1)求 的度数．
(2)求笔记本电脑显示屏边的端点F到桌面 的距高．（结果精确到1cm）（ ，
）
【答案】(1) ；(2)端点F到桌面 的距高为 ．
【分析】（1）作出如图的辅助线，利用平行线的性质求解即可；
（2）在 、 、 中解直角三角形，求得 、 、 的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：在图2中，分别过点C、D、E作水平线，再分别过点C、D作竖直线，交点分别有J、
G、K．
得 ，
，
，
∴ ；
（2）解：在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ．
∴ ，
答：端点F到桌面 的距高为 ．
【点睛】本题考查了平行线的性质、解直角三角形，解决本题的关键是掌握以上基本的性质并加以运用．
3．（2023·江西鹰潭·统考二模）如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽
车靠墙一侧 与墙 平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽 为1.2米
（参考数据： ， ， ， ， ，
）(1)当车门打开角度 为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由
(2)若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
【答案】(1)车门不会碰到墙，理由见解析
(2)
【分析】（1）如图：过点A作 ，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可；
（2）如图：过点A作 ，垂足为D， ，求出 即可．
【详解】（1）解：车门不会碰到墙，理由如下：
如图：过点A作 ，垂足为点C．
在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴车门不会碰到墙．
（2）解：过点A作 ，垂足为D，在 中，
∵ ，
∴ ．
∴ ，
又∵正弦值随着角度的增大而增大，
∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键．
4．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱 垂直地面 ，支架
与 交于点 ，支架 交 于点 ，支架 平行地面 ，篮筺 与支架 在同一直线
上， 米， 米， ．
(1)求 的度数．
(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面 米处，那么他能挂上
篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析
【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；
（2）延长 交于点 ，根据题意得出 ，解 ，求得 ，根据与 比较即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）该运动员能挂上篮网，理由如下．
如图，延长 交于点 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴该运动员能挂上篮网．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题
的关键．
