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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 24 练 平面向量的数量积及其应用（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
6．（2023·北京·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ．若 ，则 ______________．
11．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 __________．
12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ．若 ，则 ________．
13．（2021·全国·高考真题）若向量 满足 ，则 _________.
14．（2022·全国·统考高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
15．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
16．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
三、双空题
17．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且
交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．10
2．（2023·河南·校联考模拟预测）设 都是单位向量，且 ，则向量 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则
（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
6．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量 与 的夹角是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．7．（2023·人大附中校考三模）已知向量 ， 与 共线，则 =（ ）
A．6 B．20 C． D．5
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量 满足 ，其中 ，则 在 上
的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知 ， ， ，则向量 在向量 方向
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值
为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
11．（2023·重庆·校联考三模）在 ABC中， ， 且点D满足 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．12 D．24
13．（2023·辽宁·校联考二模）已知向量 ， ， ，则实数m的值为（ ）．
A． B． C． D．1
14．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 与 垂直，则 与 的
夹角为（ ）A． B． C． D．
15．（2023·甘肃·模拟预测）平行四边形 中， ， ， ，则 等于
（ ）
A． B． C．4 D．8
16．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在矩形 中， ， ， 为 边的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A．7 B．
C．7＋4 D．4
二、多选题
18．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与非零向量 共线，则
19．（2023·广东广州·统考三模）已知向量 ， ，则（ ）A． B．
C． D． 在 上的投影向量是
20．（2023·湖南·校联考二模）已知向量 ， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
21．（2023·山东滨州·统考二模）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ∥ ，则
C．若 ，则 D．若 ，则向量 ， 的夹角为钝角
22．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
23．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
三、填空题
24．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
___________.
25．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
26．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）若 ， ， ，则 ______．
27．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ，若 ，则
______28．（2023·江西·统考模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则 __________．
29．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则
______．
30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量
______.
31．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中， ，则
__________.
32．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若平面四边形 满足 ， ，则该四
边形一定是______.
33．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形 中，若 ，则
___________.
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形 的边长为2，且 ，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2023·河南郑州·三模）若向量 、 满足 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2023·湖北·校联考三模）正 的边长为2， ，则 （ ）A．2 B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中， ，
，则 （ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
5．（2023·湖北武汉·统考三模）已知 ， 为单位向量，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习） 中，| |=2| |，则
sinA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若 ， 均为单位向量，且 ，则k的值可能
是（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
8．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 ， 是单位向量，且 ，则向量
与 的夹角为（ ）A． B． C． D．
9．（2023·吉林·统考模拟预测）点 是 的重心， ，则 （ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量 ， 满足 ，则 的最
小值为（ ）
A．-1 B．0 C． D．
二、多选题
11．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
12．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设 ，非零向量 ，
，则（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在 ，使 D．若 ，则
13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
14．（2023春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）在 ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O
为 ABC内的一点，则下列结论正确的是（ ） △
△
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若点O为 ABC的外心，BC＝4，则
△
三、填空题
15．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角
为______．
16．（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正 中，若点 满足 ，则
__________.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内非零向量 ，满足 ，则
__________.
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，
则 ______.
19．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，当向量 与向量 的夹角最
大时，向量 的模为______．
20．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ， ， ，则 的最小值为
_________21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知向量 满足 ，对任意的 的最小值为 ，
则 与 的夹角为________．
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在 中，设 ，那么动点 的轨迹
必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
2．（2023·北京·高三专题练习）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
3．（2023·全国·高三专题练习）圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹
角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知 与 为单位向量，且 ⊥ ，向量 满足 ，则| |的可
能取值有（ ）A．6 B．5 C．4 D．3
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1
是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为
，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 在 向量上的投影向量为
C．若 ，则 为 的中点
D．若 在线段 上，且 ，则 的取值范围为
三、填空题
8．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值为___________．
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，点 为边 的中点， ，则
的最小值为______.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 为单位向量，若 ，则
的取值范围为__________.11．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ， 为 的外心，若
，则 的值为____________.
12．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知 与 为相反向量，若 ，
，则 ， 夹角的余弦的最小值为______．
