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第28章 锐角三角函数单元提升卷
【人教版】
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖
面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
❑√3
1．（3分）（23-24九年级·北京·期末）在△ABC中，∠A和∠C都是锐角，且sin A= ，tanC=❑√3，
2
则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
2．（3分）（23-24九年级·山东聊城·期末）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三
角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中
较小的锐角为α，则cosα的值为（ ）
3 4 8 4
A． B． C． D．
4 3 5 5
3．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°,AC=12,AB的垂直平分线
ED交AC于点D，连接BD，若 BC=2❑√6，则cos∠BDC的值是 （ ）
❑√6 5 ❑√6 2❑√6
A． B． C． D．
5 7 7 7
4．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点C是线段AB的中点，∠A=30°，∠DCB=45°，若AB=10，则BD的长是（ ）
A．2❑√10 B．3❑√5 C．4❑√3 D．5❑√2
5．（3分）（23-24九年级·湖北随州·期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用．
我们已经知道30°，45°，60°角的三角函数值，现在来求tan22.5°的值：如图，在Rt△ACB中，
∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°．设AC=1，则BC=1，
AC 1
AB=AB=❑√2=BD，所以tan22.5°= = =❑√2−1，类比这种方法，计算tan15°的值为（ ）
AD 1+❑√2
A．❑√3−❑√2 B．2−❑√3 C．❑√3+❑√2 D．❑√3−2
6．（3分）（2024·广东佛山·三模）如图， 网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD
交于点P，则∠BPC的正切值是（ ）
3 ❑√5 2❑√3
A．2 B． C． D．
2 2 3
7．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，点C在线段AB上，等腰△ADC的顶角∠ADC=120°，
点M是矩形CDEF的对角线DF的中点，连接MB，若AB=6❑√3，AC=6，则MB的最小值为（ ）A．9−2❑√3 B．9−2❑√2 C．8−2❑√3 D．8−2❑√2
8．（3分）（23-24九年级·重庆九龙坡·期末）如图，矩形ABCD中，E为BC延长线上一点，连接AE、
1
DE，若AE平分∠BED，AB=4，tan∠AEB= ，则△ADE的面积为（ ）
4
A．12 B．17 C．20 D．21
9．（3分）（23-24九年级·重庆北碚·阶段练习）学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度如图，明明在稻香
园一楼A点测得旗杆顶点F仰角为45°，在稻香园二楼B点测得点F的仰角为37°．明明从A点朝旗杆方
向步行4米到C点，沿坡度i=1:3的台阶走到点D，再向前走5米到旗杆底部E，已知稻香园AB高度为
4.5米，则旗杆EF的高度约为（ ）（参考数据：sin37°=0.6，cos37°=0.8，tan37°=0.75）
A．13.5米 B．15米 C．16.5米 D．18米
10．（3分）（2024·浙江台州·一模）如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中
∠AOB=90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ=❑√2，则
该“风车”的面积为（ ）A．❑√2+1 B．2❑√2 C．4−❑√2 D．4❑√2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，
3
∠DBC=∠A，若AC=4，tan A= ，则BD的长度为 ．
4
12．（3分）（23-24九年级·上海普陀·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边的中点，
过点D作DE⊥AB，垂足为E，如果AD=2，AB=6，那么cos∠ADE= ．
13．（3分）（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，在Rt ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下
列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④△sinα=cosβ.其中正确的结论有 .14．（3分）（2024·甘肃武威·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是BC边上一点，
∠AED=90°,∠EAD=30°,F是AD边的中点，EF=4cm，则BE= cm．
15．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期末）如图，光源A(−3,2)发出的一束光（y轴）上的点B的反射光
线BC交x轴于点C(−1,0)，再被平面镜（x轴），则直线CD的解析式为 ．
16．（3分）（23-24九年级·湖北·期末）如图，矩形ABCD中，AB:BC=3:5，将矩形ABCD绕点C顺时
BF
针旋转得到矩形CEGF，若点E在AD上，连接BF，DF，则 值为 ．
DF
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（23-24九年级·福建南平·期末）计算：
(1)3sin30°·cos60°−tan230°；
tan60°+2sin45°
(2) −cos30°．
tan45°
18．（6分）（23-24九年级·江西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，
4
BE⊥CD，垂足为E，BC=8，cos∠ABC= ．
5(1)求CD的长．
(2)求∠DBE的正弦值．
19．（8分）（23-24九年级·江苏常州·期末）小强在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸
片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在
BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值．你能说明小强这样做的道理吗？写出你的说理过程！
20．（8分）（23-24九年级·安徽·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将
△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△A′B′C′，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，若点B′恰
好落在AB边上．
(1)连接A A′，求证：A A′=❑√3BB′．
(2)若BC=1，求点A到直线A′C的距离．
21．（8分）（23-24九年级·重庆荣昌·期末）今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客
中心A的正北方向的B处，其中AB=2km，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备
把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东60°方向缓慢前进．
15分钟后，他们再游客中心A的北偏西37°方向的点D处相遇．(1)求妈妈步行的速度；
(2)求明明从C处到D处的距离．
22．（8分）（23-24九年级·河北石家庄·期末）【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值，我
们往往需要找出（或构造出一个直角三角形，在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点都在格点上，则
cos∠ABC的值为__________．
(2)如图，在边长为l的正方形网格中，连接格点D,N和E,C，DN和EC相交于点P，结合下面的分析，
直接写出tan∠CPN的值为__________．
【分析】观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法实现角的转移，
从而解决此类问题，比如连接格点M,N，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么
∠CPN就变换到Rt△DMN中．
(3)如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，则sin∠CPN的值为__________．
23．（8分）（2024·北京·二模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，DE⊥BC于E，连
接CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）(1)如果∠A=30°
①如图1，DE与BE之间的数量关系是______
②如图2，点P在线段CB上，连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，补全
图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图3，若点P在线段CB的延长线上，且，连接DP，将线段DP绕点逆时针旋转得到线段DF，连接
BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．
