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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 24 练 平面向量的数量积及其应用（精练）
刷真题 明导向
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
3．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
5．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C6．（2023·北京·统考高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
7．（2021·浙江·统考高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所
以 成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件故选：B.
8．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 ,
,.
故选:D.
9．（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
二、填空题
10．（2022·全国·统考高考真题）已知向量 ．若 ，则 ______________．
【答案】
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
11．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．12．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
13．（2021·全国·高考真题）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案
【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
14．（2022·全国·统考高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
15．（2023·全国·统考高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算
律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
16．（2021·全国·统考高考真题）已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
三、双空题
17．（2021·天津·统考高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且
交AB于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .故答案为：1； .
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．10
【答案】C
【分析】根据共线先求出 ，根据向量的模的坐标公式即可.
【详解】因为 ，所以 ，解得 .
所以 ，
.
故选：C.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）设 都是单位向量，且 ，则向量 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等式将 移到另一端,两边同时平方,由 都是单位向量可求出 的夹角.
【详解】由 ，可知 ，故 ，所以 .设 的夹角为 ，即 ，又 ，所以 .
故选：C.
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知向量 在向量 上的投影向量是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量 在向量 上的投影向量求出 ，代入 的定义式即可.
【详解】因为向量 在向量 上的投影向量是 ，所以 ,
因此 .
故选：A.
4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四中学校校考模拟预测）如图，已知 的半径为2， ，则
（ ）
A．1 B．-2 C．2 D．
【答案】C
【分析】判断 形状可得 ，然后根据数量积定义直接求解即可.
【详解】由题知， 为正三角形，所以 ，所以 .故选：C
5．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】依题意可得 ，即可求出 的值，在求出 的坐标，从而求出其模.
【详解】因为 ， ，且 ，所以 ，所以 ，
所以 ， ，所以 .
故选：D.
6．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量 与 的夹角是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用模的公式可得到 ，然后利用数量积的运算律即可得到答案
【详解】由 可得 ，
因为平面向量 与 的夹角是 ，且
所以
故选：C
7．（2023·人大附中校考三模）已知向量 ， 与 共线，则 =（ ）
A．6 B．20 C． D．5
【答案】C
【分析】运用平面向量共线及向量的模的坐标计算公式求解即可.
【详解】由题意知，又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 .
故选：C
8．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知单位向量 满足 ，其中 ，则 在 上
的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的计算公式求值即可.
【详解】因为单位向量 满足 ，
所以 ，
由投影向量计算公式可知 在 上的投影向量是 ，
即
故 ，而 ，故 .
故选：D
9．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知 ， ， ，则向量 在向量 方向
上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出两个向量的数量积，再根据公式可求投影向量.【详解】因为 ，故 ，
故 ，而向量 在向量 方向上的投影向量为 ，
故选：B.
10．（2023春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知向量 满足 ，且 与 夹角的余弦值
为 ，则 （ ）
A． B． C．12 D．72
【答案】A
【分析】运用平面向量的数量积运算可求得结果.
【详解】因为 ，且 与 夹角的余弦值为 ，
所以 .
故选：A.
11．（2023·重庆·校联考三模）在 ABC中， ， 且点D满足 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量线性运算和题干条件得到 ，从而得到 .
【详解】由题意得 ，平方得 ，
故 ，
因为点D满足 ，所以 ，
平方得 ，
故 .故选：D
12．（2023·河南·校联考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A． B． C．12 D．24
【答案】C
【分析】根据数量积的运算律即可求解．
【详解】由 ，
所以 ．
故选：C．
13．（2023·辽宁·校联考二模）已知向量 ， ， ，则实数m的值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】先求得 的坐标，再由 求解.
【详解】解：因为向量 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
解得 ，
故选：D
14．（2023·全国·校联考模拟预测）若平面向量 ， 满足 ，且 与 垂直，则 与 的
夹角为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】利用垂直的向量表示求出 的表达式，再利用向量夹角公式求解作答.
【详解】因为 与 垂直，则 ，即 ，化简得 ，
而 ，则 ．又 ，有 ，
所以 与 的夹角为 .
故选：B
15．（2023·甘肃·模拟预测）平行四边形 中， ， ， ，则 等于
（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】A
【分析】利用转化基底的方法进行平面向量数量积的运算即可求解.
【详解】由题意知平行四边形 中， ， ，
得 ，
故选：A.
16．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）在矩形 中， ， ， 为 边的中点，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量 表示 ，结合数量积的定义求 .
【详解】由已知 ， ，
又 ， ，所以 .
所以 .
故选：A.
17．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ，若 ，则 的最小
值为（ ）
A．7 B．
C．7＋4 D．4
【答案】B
【分析】由数量积的运算公式求得 ，化简 ，结合基本不等
式，即可求解.
【详解】因为向量 ，
若 ，可得 ，即 ，
则 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：B.
二、多选题
18．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ，则下列说法正
确的是（ ）A．
B． 在 方向上的投影向量为
C．与 垂直的单位向量的坐标为
D．若向量 与非零向量 共线，则
【答案】AD
【分析】本题考查了平面向量的坐标运算，主要考查了两向量的夹角、投影向量、向量的平行与垂直的基
本知识，一一验证即可.
【详解】由题意知 ， ， ，
则 ，因此A正确；
在 方向上的投影向量为
，因此B错误；
与 垂直的单位向量的坐标为
或 ，因此C错误；
因为 ， ，
若向量 与向量 共线，则 ，
解得 ，因此D正确.
故选：AD.
19．（2023·广东广州·统考三模）已知向量 ， ，则（ ）A． B．
C． D． 在 上的投影向量是
【答案】AC
【分析】根据 与 的数量积为 可得A正确；根据向量平行的坐标表示可得B错误；根据模长公
式可得C正确；求出投影向量可得D错误.
【详解】因为 ， ，
所以 ， ，故A正确；
因为 ，故B错误；
， ，故C正确；
因为 在 上的投影向量是 ，故D错误.
故选：AC．
20．（2023·湖南·校联考二模）已知向量 ， // ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】A选项根据向量的数量积运算判断；
B选项根据模长公式计算；
C选项利用向量共线的关系结合模长公式计算；
D选项根据向量的加法进行判断.
【详解】因为 ，所以 ，则A正确；
，则B正确；
因为 // ，所以设 ，因为 ，所以 ，解得 ，所以 或 ，故C错误；
，故D错误．
故选：AB
21．（2023·山东滨州·统考二模）已知向量 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ∥ ，则
C．若 ，则 D．若 ，则向量 ， 的夹角为钝角
【答案】BD
【分析】由向量模的计算公式判断A；由共线向量的坐标运算判断B；由向量垂直时数量积为0判断C；
由向量的数量积判断D.
【详解】解：对于A，因为 ， ，所以 ， ，
解得 或 ，故A错误；
对于B，因为 ∥ ，所以 ，解得 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，解得 ，故C错误；
对于D，当 时， ， ，又因为此时 ， 不共线，所以向量 ， 的夹角为
钝角，故D正确.
故选：BD.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】设 的坐标，利用向量模的坐标公式及 关系，建立方程组解出来即可.
【详解】设 ，因为 ， ，
所以 ，
解得 或 ，
故 或 ．
故选：AC.
23．（2023·全国·模拟预测）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则 D． 恒成立
【答案】ABC
【分析】取 ，可判断A选项；利用平面向量的概念可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选
项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项.
【详解】对于A选项，取 ，因为 ， ，则 、 不一定共线，A错；
对于B选项，若 与 共线且模长相等，则 或 ，B错；
对于C选项，任何两个向量不能比大小，C错；
对于D选项， 恒成立，D对.
故选：ABC.
三、填空题
24．（2023·四川成都·树德中学校考模拟预测）已知向量 ，且 ，则
___________.
【答案】【分析】利用向量共线的坐标运算即可求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，故 .
故答案为： .
25．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知向量 ，若 ，则
___________.
【答案】
【分析】由数量积等于0并结合数量积的坐标运算公式即可求解.
【详解】由题意可得 ，
因为 ，
则 ，解得 .
故答案为：
26．（2023·河南濮阳·濮阳一高校考模拟预测）若 ， ， ，则 ______．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出 ，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】因为 ， ， ，则 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
27．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ，若 ，则______
【答案】
【分析】根据平面向量垂直的向量表示以及平面向量的夹角公式可求出结果.
【详解】由 可知 ，即 ，可得 ，
又 ， ，
故 ．
故答案为：
28．（2023·江西·统考模拟预测）已知单位向量 ， 满足 ，则 __________．
【答案】
【分析】将 两边平方，根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ， 为单位向量且满足 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 .
故答案为：
29．（2023·全国·高三专题练习）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则
______．
【答案】9
【分析】根据数量积的定义结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由 及 ， 夹角为 可知 ，又 ，解得 ，则 ，
故 ，
故答案为：9
30．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， 满足 ， ，则 在 上的投影向量
______.
【答案】
【分析】根据 在 上的投影向量 即可求解.
【详解】设 与 的夹角为 ， 在 上的投影向量
.
故答案为： .
31．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知菱形 中， ，则
__________.
【答案】
【分析】根据菱形对角线互相垂直，结合平面向量数量积公式求出答案.
【详解】设 与 交于 ，则 且 是线段 的中点，
，由平面向量数量积的几何意义知，
.故答案为：
32．（2023·陕西西安·校考模拟预测）若平面四边形 满足 ， ，则该四
边形一定是______.
【答案】菱形
【分析】根据向量相等可证明四边形为平行四边形，再由向量数量积为0知对角线互相垂直可知为菱形.
【详解】 ， ,
所以四边形ABCD为平行四边形，
, ，
所以DB垂直AC，所以四边形ABCD为菱形.
故答案为：菱形.
33．（2023·浙江温州·统考三模）在平行四边形 中，若 ，则
___________.
【答案】4
【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得 ，然后由数量积的坐标表示可解.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，
所以
又
所以
所以
故答案为：4
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题1．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知菱形 的边长为2，且 ，则
的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根据向量的数量积公式及运算律，结合菱形图形特征，计算求解可得.
【详解】由条件可知 ，所以 ，
在 中，由余弦定理 ，可得 ，
，菱形 的对角线互相垂直，则向量 与向量 的夹角为 ，
则 .
故选：D.
2．（2023·河南郑州·三模）若向量 、 满足 ，则向量 与向量 的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【分析】已知式平方得 ，平方求得 ，两种方法计算 后可得结论．
【详解】 ，所以 ，又 ，所以
，
，
，
又 ，
所以 ， ，又 ，所以 ，
故选：D．
3．（2023·湖北·校联考三模）正 的边长为2， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据 ，表示出向量 ，再利用向量基本运算法则表示出向量 ，再利用向量额数
量积运算即可.
【详解】设 ，如图所示：
因为
所以
，
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，边长为2的正三角形ABC中， ，
，则 （ ）A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由 ， ，用 表示 ，然后利用数量积的运算律和定义求解.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，
，
，
故选：D
5．（2023·湖北武汉·统考三模）已知 ， 为单位向量，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意结合数量积的定义分析可得 反向，进而可得 ，运算求解即可.【详解】由题意可得： ，
因为 ，则 ，即 ，
可得 ，且 ，
则 ，即 反向，
可得 .
故选：D.
6．（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习） 中，| |=2| |，则
sinA的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由| |=2| |，两边 ，整理得到
，结合基本不等式进而得到 的最小值，再利用平方关系求解.
【详解】解：由| |=2| |，
两边同时平方得 ，
展开整理得 ，
即 ，
，
当且仅当 时等号成立.又 且 时，
所以 取最大值 .
故选：C
7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若 ， 均为单位向量，且 ，则k的值可能
是（ ）
A．-2 B．2 C．3 D．-3
【答案】B
【分析】两边同时平方，得到 ，余弦值只能在 判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
由于 ， 均为单位向量，所以 ，
所以 ，由于 ，所以只有B符合.
故选：B.
8．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知 ， 是单位向量，且 ，则向量
与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 ，得 ，从而可求得 ，再根据 即可得解.【详解】由 ，得 ，
即 ，所以 ，
则 ，
，
则 ，
又 ，所以 ，
即向量 与 的夹角为 .
故选：D.
9．（2023·吉林·统考模拟预测）点 是 的重心， ，则 （ ）
A．32 B．30 C．16 D．14
【答案】A
【分析】利用勾股定理和向量垂直数量积为0，列向量方程求解即可.
【详解】记 ，
因为 是 的重心，
所以 ， ，
因为
所以整理得
所以 ，解得 ，即
故选：A
10．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量 ， 满足 ，则 的最
小值为（ ）
A．-1 B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得 ，即可得解。
【详解】由 可得 ，
即 ，
而 ，当且 且 ， 反向时等号成立，
所以 ，即 ，等号成立条件为 .
故选：A二、多选题
11．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
【答案】BC
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，即可求出数量积以及模，判断A、B项；
根据投影向量的公式，求出投影向量，即可判断C、D项.
【详解】由已知可得， ， .
对于A项，因为 ，故A项错误；
对于B项，因为 ， ，所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故C项正确；
对于D项， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故D项错误.
故选：BC.
12．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设 ，非零向量 ，
，则（ ）.
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在 ，使 D．若 ，则【答案】ABD
【分析】A选项，验证 即可；
B选项，验证 ；
C选项，由题可得 ， ，据此可判断选项正误；
D选项，由题可得 ，据此可判断选项
【详解】A选项， ，
则 ，故A正确；
B选项， ，则 ，
故 ，故B正确；
C选项，假设存在 ，使 ，则 ， ，则可得
，故可得
，则假设不成立，故C错误；
D选项，因 ，则 ，又由题可得 ，则
，故D正确.
故选：ABD
13．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD【分析】AD选项，由 可得 ， ，
后结合 ，可判断选项正误；
BC选项，结合AD选项分析可得 ，据此可判断BC选项正误.
【详解】AD选项， ，得 ，整理得 ①．
由 ，得 ，整理得 ②．
由①②及 ，得 ，所以 ， .故AD正确；
BC选项， ，所以 ，所以 反向共线，
又 ，所以 ， .故B正确，C错误.
故选：ABD．
14．（2023春·西藏拉萨·高三拉萨中学校考阶段练习）在 ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点O
为 ABC内的一点，则下列结论正确的是（ ） △
△
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若点O为 ABC的外心，BC＝4，则
△
【答案】AB
【分析】由 为 中点，结合平行四边形法则判断A；由重心的性质判断B；由三角形法则和平行四边
形法则判断C；由三角形外心性质结合数量积公式判断D.
【详解】选项A：因为 ，所以 为 中点，由题易知 ，故A正确．选项B：若 ，则点O为△ABC的重心，（三角形重心的性质）则 ，故B正确．
选项C：若 ，则 ，故
C错误．
选项D：若点O为△ABC的外心，BC＝4，则 ，（三角形外心的性质）
故 ，故D错误．故选：AB
三、填空题
15．（2023·四川·校联考模拟预测）已知向量 ， ， ，则向量 与 的夹角
为______．
【答案】
【分析】由 可得 ， ，后由向量夹角的坐标表示可得答案.
【详解】 ，则 ，则 ，又
，则
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）在边长为6的正 中，若点 满足 ，则
__________.
【答案】
【分析】以 、 作为一组基底表示出 、 ，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】因为 ，所以 ，
，所以
.
故答案为：
17．（2023·全国·高三专题练习）已知平面内非零向量 ，满足 ，则
__________.
【答案】
【分析】由已知条件可求得 ， ，将 平方展开代入求值即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，两边平方得： ，
解得 ，
所以 ,
所以 .
故答案为：
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆 为 的外接圆， ， ， 为边 的中点，
则 ______.【答案】
【分析】由三角形中线性质可知 ，再由外接圆圆心为三角形三边中垂线交点可知
，同理可得 ，再由数量积运算即可得解.
【详解】 是BC中点，
，
M为 的外接圆的圆心，即三角形三边中垂线交点，
，
同理可得 ，
.
故答案为： .
19．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，当向量 与向量 的夹角最
大时，向量 的模为______．
【答案】
【分析】由 可平方求得 ，利用向量夹角公式可化简得到 ，采用换元法，
令 ，结合基本不等式可求得 ，根据取等条件可确定 .【详解】 ， ， ，即 ；
设向量 与向量 的夹角为 ，
，
令 ，则 ， （当且仅当
，即 时取等号）；
当 最大时， 最小，此时 ，解得： .
故答案为： .
20．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ， ， ，则 的最小值为
_________
【答案】3
【分析】由题意不妨设 , , ，根据向量数量积的坐标表示可得 ， ，从而
由向量模的坐标公式表示出 ，即可得答案.
【详解】不妨设 , , ，
则 ， ，则 ，
故 ，
， ，当且仅当 时取等号，
则 的最小值为3，故答案为：3
21．（2023·安徽宣城·统考二模）已知向量 满足 ，对任意的 的最小值为 ，
则 与 的夹角为________．
【答案】
【分析】利用模的计算得到 恒成立，判断出取等号的条件，即可求出 与 的夹角.
【详解】因为向量 满足 ，
所以向量 满足 .
设 与 的夹角为
所以
因为任意的 的最小值为 ，所以 恒成立，
配方后可得： 恒成立，
所以当 时， 取得最小值3，此时 ，解得： .
又因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
故答案为： .
【C组 在创新中考查思维】
一、单选题
1．（2023·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）在 中，设 ，那么动点 的轨迹
必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】C【分析】设 的中点是 ，根据题意化简可得 ，即可确定 的轨迹.
【详解】设 的中点是 ，
，
即 ，所以 ，
所以动点 在线段 的中垂线上，故动点 的轨迹必通过 的外心，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查向量的运算法则，熟练掌握向量的运算法则，数量积与垂直的关系，三角
形的外心定义是解题的关键，属于较难题.
2．（2023·北京·高三专题练习）已知A，B，C是单位圆上的三个动点，则 的最小值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，设出 ， ，表达出 ，结合
，求出最小值.
【详解】以 的垂直平分线为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设 ， ，
则 ，
故 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
由于 ，故当 时， 最小，故最小值为 ，
此时 ，满足要求，
故选：B
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的
特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解
等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
3．（2023·全国·高三专题练习）圆 为锐角 的外接圆， ，点 在圆 上，则 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】把 转化为 ，由余弦定理、数量积的定义得 ，讨论 的位
置得 ，结合锐角三角形 恒成立，即可得范围.
【详解】由 为锐角三角形，则外接圆圆心在三角形内部，如下图示，又 ，而 ，若外接圆半径为r，
则 ，故 ，且 ，即 ，
由 ，
对于 且 在圆 上，当 为直径时 ，当 重合时 ，
所以 ，
综上， ，
锐角三角形中 ，则 ，即 恒成立，
所以 ，则 恒成立，
综上， .
故选: C
4．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，且 ，则
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出 ，建立平面直角坐标系，设 ，求出轨迹方程，利用几何意义即可求出 的最大值.
【详解】由 可知, ，故 ，
如图建立坐标系， ， ，
设 ，由 可得：
，
所以 的终点在以 为圆心,1为半径的圆上，
所以 ，几何意义为 到 距离的2倍，
由儿何意义可知 ，
故选：D.
5．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 、 、 满足 ，则 与 所成夹
角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，利用平面向量的数量积可得出，并可得出 ，利用基本不等式可求得 的最
小值，可得出 的取值范围，即可得解.
【详解】设 与 夹角为 ， 与 所成夹角为 ，
，
所以， ，①
，②
又 ，③
②与③联立可得 ，④
①④联立可得
，
当且仅当 时，取等号， ， ，则 ，
故 与 所成夹角的最大值是 ，
故选：A.
【点睛】方法点睛：求平面向量夹角的方法：
（1）定义法：利用向量数量积的定义得 ，其中两向量 的取值范围是 ；
（2）坐标法：若非零向量 、 ，则 .6．（2023·全国·高三专题练习）已知 与 为单位向量，且 ⊥ ，向量 满足 ，则| |的可
能取值有（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标计算公式可得 ，进而由向量模的计算公式
可得 ，分析可得 在以 为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得
答案．
【详解】根据题意，设 ， ， ，
以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 的方向为 轴的正方向建立坐标系，
则 ， ，设 ，则 ，
若 ，则有 ，
则 在以 为圆心，半径为2的圆上，
设 为点 ，则 ，则有 ，
即 ，
则 的取值范围为 ；
故选：D．
二、多选题
7．（2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1
是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为
，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A．
B． 在 向量上的投影向量为
C．若 ，则 为 的中点
D．若 在线段 上，且 ，则 的取值范围为
【答案】BD
【分析】以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算 ，A错误，投影向量
为 ，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误， ，D正确，得到答案.
【详解】如图所示：以 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，
设 ，
则 ，整理得到 ，，
， ，设 ，
对选项A： ， ， ，错误；
对选项B： ， ，
，即投影向量为 ，正确；
对选项C： ，
，
，整理得到 ，即 ，与正八边
形有两个交点，错误；
对选项D： ， ， ，
， ，
整理得到 ， ，故 ，正确.
故选：CD
【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.
三、填空题
8．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）已知平面向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最大值为___________．
【答案】
【分析】根据题意，设出 ， ， 的坐标，结合向量模长的坐标公式，分类讨论，即可得到 的范围，
从而得到结果.
【详解】设 ， ， ， ，
由已知可得： ，
当且仅当 时，取等号，
当 时，有 ，得 ，
当 时，有 ，得 ，
所以当 时， .
所以 的最大值为 .
故答案为： .
9．（2023·全国·高三专题练习）在 中，若 ，点 为边 的中点， ，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】根据数量积的运算化简可得 ，再设 ，结合三角形中的余弦定理，
根据基本不等式求解即可
【详解】 ，因为 为边 的中点，，故 ，故求 的最大值.设 ， ，则由余弦定理，
， ，因为 ，故
，即 ，又 ，故 ，即
，此时 ，故 ，当且仅当 时取等号.即 的最小值
为
故答案为：
10．（2023·全国·高三专题练习）已知 为单位向量，若 ，则
的取值范围为__________.
【答案】
【分析】由题设以 为x、y轴构建平面直角坐标系， ，令 结合已知有
，又 ，将问题转化为求点 到
上点距离 的范围，即可得结果.
【详解】由 为单位向量，且 ，故 ，
以 为x、y轴构建平面直角坐标系，如下图示，则 ，令 ，则 ，又 ，
所以 ，即 ，
故 的终点在圆心为 ，半径为1的圆上，
而 ，故 ，
所以，只需确定点 到 上点距离 的范围即可，而 到 的距离为 ，
故 ，则 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：构建平面直角坐标系，将问题化为求定点到圆上点距离的范围，进而求目标式的范
围.
11．（2023·全国·高三专题练习）已知 中， ， ， ， 为 的外心，若
，则 的值为____________.
【答案】
【分析】由题意可知，O为 外接圆的圆心，过O作 ，已知等式两边同乘以 ，
结合数量积定义得 ，同理得 ，从而两式联立即可求得 的值．
【详解】由题意可知， 为 的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作 ，垂足分别为 ,因为 ，两边乘以 ，即 ，
的夹角为 ，而 ，
则 ，得 ①，
同理 两边乘 ，即 ， ，
则 得 ②，
①②联立解得 ， ，
所以 ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将 两边分别乘以 ，结合数量积定义化简得
到关于 的方程，求得答案.
12．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知 与 为相反向量，若 ，
，则 ， 夹角的余弦的最小值为______．
【答案】-1
【分析】先根据向量模长相关不等式得到 ，解出 ，设 ，， 夹角为 ，将 两边平方，得到 ，结合 ，求出
，得到答案.
【详解】 ，故 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，解得： ，
不妨设 ， ， 夹角为 ，则 ，
两边平方得： ，
即 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故 ， 夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
