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解密04讲：函数及其性质
【考点解密】
1．函数
函数
两个集合A，
设A，B是两个非空数集
B
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
A→B 在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
函数记法 函数y＝f (x)，x∈A
2.函数的三要素
(1)定义域：x的取值范围； (2)值域：y的取值范围. (3)对应关系f：A→B.
3．相等函数：定义域、对应关系都一致.
4．函数的表示法：解析法、图象法和列表法．
5．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
6．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x，x∈D
1 2
当x f ( x )，那
1 2 1 2 1 2 1 2
么就称函数f(x)在区间D上单调 么就称函数f(x)在区间D上单调
定义
递增，特别地，当函数f(x)在它 递减，特别地，当函数f(x)在它
的定义域上单调递增时，我们就 的定义域上单调递减时，我们
称它是增函数 就称它是减函数
图
象
描
述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D
叫做y＝f(x)的单调区间．7．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于∀x∈I，都有
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
条件 f(x)≥M；
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
(2)∃x∈I，使得f(x)＝M
0 0
结论 M为最大值 M为最小值
8．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
偶函数 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝ 关于y轴对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，
奇函数 如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－ 关于原点对称
f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
9．周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，
那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周
期．
(3)函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
(4)若f(x＋a)＋f(x)＝c，则T＝2a(a>0，c为常数)．
10．对称性
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称．
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称．
【方法技巧】1．求函数值域的一般方法：
①分离常数法；②配方法；③不等式法；④单调性法；⑤换元法；⑥数形结合法；⑦导数法．
2．确定函数单调性的四种方法
(1)定义法：利用定义判断．
(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．
(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的
单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．
3．函数单调性应用问题的常见类型及解题策略
(1)比较大小．
(2)求最值．
(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号去掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．
(4)利用单调性求参数．
①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．
②需注意若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也单调．
③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．
4．利用函数奇偶性可以解决以下问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．
(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得方程
(组)，进而得出参数的值．
(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象．
(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．
【核心题型】
题型一：求函数的定义域
1．（2012·山东·高考真题（文））函数 的定义域为（ ）
A．[－2，0)∪(0，2] B．(－1，0)∪(0，2]
C．[－2，2] D．(－1，2]
【答案】B【详解】x满足 ，即 . 解得－10，∴ ，∴
∴当x∈（1，2）时，y＝[f（x）]＝1；
当x∈[2， ）时，y＝[f（x）]＝2．
∴函数y＝[f（x）]的值域是{1，2}．
故选D．
【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题．
6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】
【详解】试题分析：设 ，由已知条件可知 可取到 上的所有值，当 时
满足题意，当 时需满足 ，解不等式得 或 ，所以实数 的取值范围是
考点：函数性质
题型三：复合函数的单调性
7．（2022·全国·高三专题练习）下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别判断四个选项的奇偶性与单调性即可得出答案.【详解】对于A，定义域为 ，不关于原点对称，所以不具奇偶性，故A错误；
对于B，因为 ， ，所以 为非奇非偶函数，故B错误；
对于C，因为 ， ，所以 不是增函数，故C错误；
对于D，定义域为 ，
因为 ，
所以 是奇函数，
，
令 为增函数，
也是增函数，
所以 是增函数.
故D正确.
故选：D.
8．（2020·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三阶段练习（理））设函数 ，则使得
成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】结合函数的表达式，可知 是 上的偶函数，且在 上单调递增，从而不等式等价于 ，
即 ，求解即可.
【详解】当 时，函数 为增函数，且 ，根据复合函数的单调性，可知 在 上单调递增，
又函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增.
函数 的定义域为 ， ，
所以 是 上的偶函数，且在 上单调递增.
因为 ，所以 ，
则 ，整理得 ，解得 或 .
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
9．（2019·福建省长乐第一中学高一阶段练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得到关于x的不等式组，求解不等式组即可确定函数的单调递减区间.
【详解】函数 的单调递减区间满足：
，
则： ，
据此可得： ，故函数 的单调递减区间为 .
故选D.
【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，复合函数单调区间的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求
解能力.
题型四：根据函数的单调性与奇偶性解不等式
10．（2020·全国·高一课时练习）已知函数 是定义在R上的偶函数, 且在区间 单调递增. 若实数a满足
, 则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：函数 是定义在 上的偶函数，∴ ，等价为
），即 ．∵函数 是定义在 上的偶函数，
且在区间 单调递增，∴ ）等价为 ．即 ，∴ ，
解得 ,故选项为C．
考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.
【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应
用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得： ，即
，结合单调性得： 将不等式进行等价转化 即可得到结论.
11．（2022·全国·高三专题练习）设 为定义在R上的奇函数，当 时， ( 为常数)，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据定义在 上的奇函数的性质 求出 的值，即可得到当 时函数解析式，再判断其单调性，
最后根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】解： 为定义在 上的奇函数，
因为当 时， ，
所以 ，
故 ， 在 ， 上单调递增，根据奇函数的性质可知 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
由不等式 可得， ，解可得， ，
故解集为
故选： ．
12．（2022·湖南师大附中高三阶段练习）已知函数 满足 ，且对任意的 ，
都有 ，则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可知该函
数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】根据题意可知，可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造函数
，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
题型五：奇偶函数对称性的应用
13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时，
，设函数 ，则 的零点的个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】由题设知 的零点可转化为 与 的交点问题，而 且周期为2，关于y轴对称的函数；
且关于y轴对称，当 时有 ，画出 的草图即可确定交点个数，利用对称性确定
总交点数.
【详解】由题意知： 关于 对称，而 的零点即为 的根，
又∵ 在 上的偶函数，知： 且周期为2，关于y轴对称的函数，而 时 且关于y轴对称
∴ 与 在 的图象如下，
∴共有4个交点，由偶函数的对称性知：在 上也有4个交点，所以共8个交点.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：将函数零点转化为两个函数的交点问题，应用数形结合的方法，由函数的周期性、奇偶对
称性判断交点的个数.
14．（2022·全国·高一课时练习）设 为定义在R上的函数，函数 是奇函数.对于下列四个结论：
① ；
② ；
③函数 的图象关于原点对称；
④函数 的图象关于点 对称；
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】令 ，①：根据 求解出 的值并判断；②：根据 为奇函数可知
，化简此式并进行判断；根据 与 的图象关系确定出 关于点对称的情况，
由此判断出③④是否正确.
【详解】令 ，①因为 为 上的奇函数，所以 ，所以 ，故正确；
②因为 为 上的奇函数，所以 ，所以 ，即 ，故正确；
因为 的图象由 的图象向左平移一个单位得到的，
又 的图象关于原点对称，所以 的图象关于点 对称，故③错误④正确，
所以正确的有：①②④，
故选：C.
【点睛】结论点睛：通过奇偶性判断函数对称性的常见情况：
（1）若 为偶函数，则函数 的图象关于直线 对称；
（2）若 为奇函数，则函数 的图象关于点 成中心对称.
15．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）已知 是定义在 上的奇函数且满足 为偶函数，当
时， （ 且 ）.若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件可得 的对称中心 ，对称轴 ，可得 为 的一个周期，由
、 以及 列关于 的方程组，进而可得 时， 的
解析式，再利用周期性即可求解.
【详解】因为 为奇函数，所以 的图象关于点 中心对称，
因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称.
根据条件可知 ，则 ，
即 为 的一个周期，则 ，又因为 ， ，
所以 ，解得 或 （舍），
所以当 时， ，
所以 ，
故选：B.
题型六：函数周期性的应用
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 是定义在 上的偶函数，满足 ，当 时，
，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】函数 的零点个数转化为两个函数图象交点的个数，转化条件为函数 周期 ，当
时， ，根据周期性可画出它的图象，从图象上观察交点个数即可.
【详解】∵ ，则函数 是周期 的周期函数．
又∵函数 是定义在 上的偶函数，且 时， ，
∴当 时， ，
令 ，则函数 的零点个数即为函数 和 的图象交点个数，
分别作出函数 和 的图象，如下图，显然 与 在 上有1个交点，在 上有一个交点，
当 时， ，而 ，
所以 或 时， 与 无交点．
综上，函数 和 的图象交点个数为2，即函数 的零点个数是2．
故选：A
17．（2019·全国·高三专题练习（文））定义在 上的偶函数 满足：对任意的实数 都有 ，
且 ， ．则 的值为（ ）
A．2017 B．1010 C．1008 D．2
【答案】B
【分析】由偶函数可得 ，结合 可得函数 是周期为2的周期函数，于是
，由周期性可得所求的值．
【详解】因为 是定义在 上的偶函数，所以 ，
因为 ，所以 ，
∴ 是周期为2的周期函数，
∴ ，
又 ，
∴于是 ，
∴ ．
故选：B．18．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
【答案】
【分析】说明函数是周期为8的函数，求出其对称轴，画出函数的大致图像，根据图像判断即可.
【详解】解：定义在R上的奇函数 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，8是函数 的一个周期，
所以 ，所以 是函数的一条对称轴，函数的对称轴是 ，根据以上
性质画出函数的大致图像:
有图像知， ，所以 ，
故答案为：
【点睛】把函数的奇偶性、单调性、周期性与方程的根的个数结合起来考查，中档题.
题型七：由函数对称性求函数值或参数
19．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 ，满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二次函数 的对称性求出 ，即可求出 .
【详解】因为函数 满足 ，所以对称轴为 ，即 .所以 .
故选：D
20．（2022·全国·高一课时练习）设定义在 上的奇函数 ，满足对任意的 都有 ，且当
时， ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数 的奇偶性和对称性可分别求得 和 的值，相加即可求得结果.
【详解】由于函数 为 上的奇函数，满足对任意的 都有 ，
则 ，
，
因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与对称性求函数值，考查计算能力，属于基础题.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的图象关于原点对称，且满足 ，且当
时， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 和奇函数推出周期，根据周期和奇函数推出 ，根据解析式求出，由 解得结果即可.
【详解】因为函数 的图象关于原点对称，所以 为奇函数，
因为 ，
故函数 的周期为4，则 ；
而 ，所以由 可得 ；
而 ，
解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数的周期性，属于基础题.
题型八：不等式恒（能）成立问题
22．（2021·浙江·模拟预测）已知函数 ，则 是 恒成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分不必要条件
【答案】B
【分析】利用导数求出 的最小值，然后可判断出答案.
【详解】因为 ，其定义域为
所以
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减
因为 ，所以
所以由 恒成立可得 ，所以 是 恒成立的必要不充分条件
故选：B23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对于任意的实数x，不等式
恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，易知 单调递增且关于 对称，再将不等式转化为
结合单调性求参数范围.
【详解】由题设， ，图象如下：
所以 ，
又 是R上的增函数，所以 对 恒成立，
所以 ，则 ，即 ．
故选：A．
24．（2022·广西·桂电中学高三阶段练习）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，，都有 ， ．若对 ， 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由抽象函数单调性和对称性的定义可得 在 上单调递增，在 上单调递减且
，由此可将恒成立的不等式化为 或 ，分离变量后，根据函数最值可得 的范
围.
【详解】 ， ，都有 ， 在 上单调递增；
， 图象关于 对称， 在 上单调递减；
， ；
由 知： 或 ，
或 ， 或 ，
， 或 ，即 的取值范围为 .
故选：D.
25．（2023·全国·高三专题练习）若 ，使 成立，则实数 的取值范围是______________．
【答案】
【分析】利用不等式的基本性质分离参数，利用函数的单调性求相应最值即可得到结论.
【详解】由 可得， ，
因为 ，所以 ，根据题意， 即可，设 ，易知 在 单调递减，在 单调递增，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
26．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的值域是___________.设函数
，若对于任意实数 ，总存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是___________
【答案】
【分析】（1）求出导数即可判断出 的单调性，进而求出最值；
（2）讨论 的范围求出 的最大值，即可求出 的范围.
【详解】（1） ，
当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增；
，
又 ， ，
故 的值域是 ；
（2） ，
当 ，即 时， 恒成立，则 ，
当 ，即 时， 恒成立，则 ，
综上，实数 的取值范围是 .故答案为： ；
【点睛】关键点睛：本题考查函数值域的求解，解题的关键是利用导数求出单调性，考查了不等式的能成立问题，
解题的关键是讨论 的范围得出 最大值.
27．（2020·全国·高二课时练习（文））已知 ， ，若对 ， ，
，则实数 的取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据 ， ， ，由 求解.
【详解】因为对 ， ， ，
所以只需 即可，
因为 ， ，
所以 ， ，
由 ，解得
故答案为： .
【点睛】本题主要考查不等式恒能成立问题以及函数的最值的求法，属于中档题.
【高考必刷】
一、选择题
1．（2007·江西·高考真题（文））函数 的定义域为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是 的真数 一定要大于零，其次，分母
不能是零．
【详解】解：由 ，得 ，
又因为 ，即 ，得
故， 的取值范围是 ，且 ．
定义域就是
故选：B．
2．（2013·山东·高考真题（文））函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得 ，
所以
故选A.
3．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】首先根据偶次根式的条件与对数函数的值域分别求得集合 ，再求并集，得到结果.
【详解】 ， ，
所以 ，
故选：D．
【点睛】该题考查函数的定义域，对数函数的值域以及集合的并集，考查基本分析求解能力，属于基础题目.4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得函数 的定义域，再运用复合函数的定义域求解方法可得选项.
【详解】因为 ，所以 解得 ，所以函数 的定义域为 ，
所以函数 需满足 且 ，解得 且 ，
故选：D.
【点睛】本题考查函数的定义域，以及复合函数的定义域的求解方法，属于基础题.
5．（2007·湖北·高考真题（理））设 ，则 的定义域为（ ）．
A．（－4,0)∪（0,4)
B．（－4，－1)∪（1,4)
C．（－2，－1)∪（1,2)
D．（－4，－2)∪（2,4)
【答案】B
【详解】试题分析：要使函数有意义，则 解得 ， 有意义，须确保两个式子都要有
意义，则 ，故选 .
考点：1.函数的定义域；2.简单不等式的解法.
6．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用
其名字命名的“高斯函数”：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，也称取整函数，例如： ， .已知 ，则函数 的值域为（ ）
A． B． ， C． ， ， D． ，0，
【答案】B
【分析】利用常数分离法将原函数解析式化为 ，然后分析函数 的值域，再根据高斯函数的
含义确定 的值域.
【详解】 ，
， ， ，
，
或0，
的值域为 ， .
故选：B.
7．（2008·重庆·高考真题（理））已知函数 ＋ 的最大值为M，最小值为m，则 的值为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设可得 ， ，即 ，也即
，所以 ，则 ，应选C.
点睛：本题的求解过程体现了转化与化归的数学思想的巧妙运用.解答时，先运用两边平方这一变形手段，将问题
转化为求二次函数 的最大值和最小值的问题，最后再解不等式 ，求得 ，从
而使得问题获解.8．（2023·全国·高三专题练习）若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（
）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出 在 上的值域，可知要想 的整体值域为 ， 在 上的最大值为 ，最
小值大于等于 ，由此求出临界点，得到 的取值范围.
【详解】当 时，
又 对称轴为
，
当 时，
值域为 且 时，
当 时， ，
令 ，解得
在 上单调递增，在 上单调递减
又
当 时，
本题正确选项：
【点睛】本题考查通过分段函数、利用函数的值域求解参数范围问题，解题关键是确定最值的范围和临界点.
9．（2022·新疆·乌市八中高二期末（文））设 ， ，若对于任意 ，总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数 分 和 ，运用二次函数的值域求法，可得 的值域，运用一次函数的单调性求
出函数 的值域，由题意可得 的值域包含在 的值域内，可得 的不等式组，解不等式可得 的取值范
围．
【详解】∵ ，
当 时， ，
当 时， ，
由 ，即 ，所以 ，
∴ ，故 ，
又因为 ，且 ， ．
由 递增，可得 ，
对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
可得 ，
可得
∴ ．
故选：C．【点睛】本题主要考查函数恒成立问题以及函数值域的求法，注意运用转化思想，是对知识点的综合考查，属于
中档题．
10．（2018·全国·高三课时练习（文））已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 在区间 上单调递减
C． 的图象关于直线 对称 D． 的图象关于点 对称
【答案】D
【解析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性判断单调区间，根据 判断函数对称轴.
【详解】由 可得： ，
解得 ，
，
令 ，开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可得 在(一2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，
因为 ，
所以函数 的图象关于x = 1对称，因此A,B,C正确，D错误，
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的单调性，“同增异减”，利用 判定函数的对称轴，
注意复合函数的定义域是研究单调区间的前提.
11．（2021·全国·高一专题练习）设 是 上的奇函数，且 在 上是减函数，又 ，则不等
式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析出函数 在 、 上的单调性，以及 ，化简得出 ，结合图象可得出关于实数 的不等式组，由此得出原不等式的解集.
【详解】因为 是 上的奇函数，则 ，
由于函数 在 上是减函数，则该函数在 上也为减函数，
，则 ，作出函数 的大致图象如下图所示：
由 ，可得 ，
由 ，可得 或 ，此时 ；
由 ，可得 或 ，解得 .
因此，不等式 的解集是 .
故选：B.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，
方法是：
（1）把不等式转化为 ；
（2）判断函数 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“ ”脱掉，得到具体的不等式（组），
但要注意函数奇偶性的区别.
12．（2019·河南·淇滨高中高一期中）已知函数 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【详解】由题意得函数 为偶函数，且在 上单调递减，在 上单调递增．
∵ ，
∴ ，
即 或 ，
解得 或 ．
∴实数 的取值范围为 ．选D．
13．（2021·全国·高一课时练习）在 上定义的函数 是偶函数，且 ，若 在区间 上是减
函数，则 （ ）
A．在区间 上是增函数，在区间 上是增函数
B．在区间 上是增函数，在区间 上是减函数
C．在区间 上是减函数，在区间 上是增函数
D．在区间 上是减函数，在区间 上是减函数
【答案】B
【详解】解：因为函数f（x）是偶函数，而偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，
所以f（x）在区间[-2，-1]上是增函数．
又因为f（x）=f（2-x），且f（x）=f（-x），
故有f（-x）=f（2-x），即函数周期为2．
所以区间[3，4]上的单调性和区间[1，2]上单调性相同，
即在区间[3，4]上是减函数．
故选B
14．（2021·全国·高一课时练习）定义在 上的奇函数 满足：当 时， ，则在 上
方程 的实根个数为（ ）A．1 B．3 C．2 D．2021
【答案】B
【分析】当 时，作出函数 ， 的示意图，由图象交点个数得到方程根的个数，再根据奇
函数图象的对称性以及 ，即可求出方程所有根的个数.
【详解】①当 时，令 ，即 ，
在同一坐标系中作出函数 ， 的示意图，如下图：
函数 为单调增函数， 为单调减函数，
可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为 .
即 时方程 有且只有一个实根 ，
②因为函数 是定义在R上的奇函数，
所以当 时，方程 也有一个实根 ，
③又∵ 是R上的奇函数， ，∴即0也是方程 的根，
综上所述，方程 有3个实根.
故选：B.
15．（2021·广西·一模（理））已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数， 在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】通过周期性奇偶性找到周期性，再由单调性确定函数值大小.
【详解】 是偶函数,得 ，即 ，
是奇函数，得 ，即 ，
，得
由 是奇函数，得 ，
因为 在 上单调递增，所以
，
所以 ，
故选：B
【点睛】 是函数 的对称轴，
是函数 的对称中心.
16．（2018·全国·高考真题（文））已知 是定义域为 的奇函数,满足 .若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.
详解：因为 是定义域为 的奇函数，且 ，
所以 ,
因此 ，因为 ，所以 ，
，从而 ，选C.
点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的
自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
17．（2021·贵州·安顺市第三高级中学高三阶段练习（文））若定义在 上的函数 满足 且
时， ，则方程 的根的个数是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意作出函数 与 的图象，两图象的交点个数即为方程 的根的个数.
【详解】因为函数 满足 ，所以函数 是周期为 的周期函数.
又 时， ，所以函数 的图象如图所示.
再作出 的图象，易得两图象有 个交点，所以方程 有 个零点．故应选A．
【点睛】本题考查函数与方程.函数的零点、方程的根、函数图象与 轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.
18．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））奇函数 满足 ，当 时， ，则
( )
A．-2 B． C． D．2
【答案】A
【分析】先由题意得到函数的周期为4，确定出 的范围，然后根据函数的周期性和奇偶性即可求解．【详解】∵ ，
∴ ，
∴函数 的周期为4.
又 ，
∴
．
故选：A．
19．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知定义域是R的函数 满足： ，
， 为偶函数， ，则 （ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-3
【答案】B
【分析】根据对称性可得函数具有周期性，根据周期可将 .
【详解】因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，又由
，得 ，所以 ，所以 ，所
以 ，故 的周期为4，所以 ．
故选:B．
20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 对任意 恒成立，又函数
的图象关于点 对称，且 则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用赋值法求出 ，代入等式赋值得到 ，即对称轴为 ，再根据函数图象的平移规律判断函数为奇函数，进一步求得函数周期，进而得到 ，则可求出结果.
【详解】因为对任意 ，都有
令 得 解得
则 即
所以函数 的图象关于直线 对称.
又函数 的图象关于点 对称，则函数 的图象关于点 对称，
即函数 为奇函数，所以
所以 所以8是函数 的一个周期，
所以
故选：D.
21．（2020·全国·高考真题（文））已知函数f(x)=sinx+ ，则（ ）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线 对称 D．f(x)的图象关于直线 对称
【答案】D
【分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】 可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
22．（2022·全国·高一课时练习）对 ，不等式 恒成立，则a的取值范围是（
）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【分析】对 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到 的取值范围.
【详解】不等式 对一切 恒成立，当 ，即 时， 恒成立，满足题意；
当 时，要使不等式恒成立，
需 ，即有 ，
解得 .
综上可得， 的取值范围为 .
故选：A.
23．（2023·全国·高三专题练习）不等式 恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得 在区间 上恒成立，然后求函数 的最大值即得.
【详解】由题可得 在区间 上恒成立，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
所以 ，
所以 .
故选：D.
24．（2018·新疆乌鲁木齐·一模（文））已知 ， ，若 ， ，使得
，则实数 的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A【分析】根据给定条件求出函数 的最小值， 的最小值即可列式求解.
【详解】函数 在 上单调递增，则有 ，
又 在 上单调递减，则有 ，
因为 ， ，使得 ，于是得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故选：A
25．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，其中 ，若存在唯一整数 ，使得 ，则
的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由原不等式可得 ，分 两种情况讨论，求出不等式的解，根据解集在唯一整数
即可求解.
【详解】由 可得 ，
化简得 ，
当 时， ，
故当 时， 恒成立，
故不存在唯一整数 ，使得 成立，
当 时，令 ，解得 且 ，
所以 的解为 ，
若存在唯一整数 ，则 ，
解得 ，故选：C
【点睛】关键点点睛：首先解含参的不等式，分类讨论求解，根据解集中存在唯一整数解，分析不等式端点满足
的条件即可求解，属于中档题.
26．（2021·全国·高一课时练习）当 时，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围是
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题首先可根据题意得出当 时不等式 有解，然后令 ，求出当
时 的取值范围，即可得出结果.
【详解】不等式 有解即不等式 有解，
令 ，
当 时， ，
因为当 时不等式 有解，
所以 ，实数 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二
次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题.
27．（2022·全国·高三专题练习）若存在正数 使 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令 ， ，将问题转化为 使 ，结合函数图象，即可确定 的取值范围.
【详解】由题设，知： 使 成立，令 ， ，∴ 时有 ，而 ，
∴仅需 时，在 ，使得 成立.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：令 ， ，将问题转化为两个函数在第一象限内存在 ，应用数形结合的思
想求参数范围.
二、多选题
28．（2022·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 满足 ， 且 在
上是增函数，给出下列真命题的有（ ）
A． 是周期函数；
B． 的图象关于直线 对称；
C． 在 上是减函数；
D． .
【答案】ACD
【分析】用赋值法求得 ，然后得函数为奇函数，利用奇函数及 可得函数的周期，结合周期
性，可得函数的对称性（对称轴与对称中心），可得单调性，从而判断各选项．
【详解】令 得 ，所以 ，所以 ，所以 是奇函数，
，所以 是周期函数，4是它的一个周期，A正确；
，函数图象关于点 对称，B错；
，函数图象关于直线 对称，
又 在 上递增，因此 在 上递增，所以 在 上是减函数，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
29．（2022·全国·高一课时练习）若定义在 上的奇函数 满足 ，在区间 上，有
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 成中心对称
B．函数 的图象关于直线 成轴对称
C．在区间 上， 为减函数
D．
【答案】AC
【分析】根据对称性，周期性的定义可得 关于 成轴对称，关于 成中心对称，以 为周期的周期函
数，再由题意可得函数在区间 上单调递增，即可判断；
【详解】解：因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
又 ，即 关于 对称，故B不正确；
所以 ，即 ，
所以 ，所以 是以 为周期的周期函数，
因为在区间 上，有 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，即 ，
所以 的图象关于点 成中心对称，故A正确；
因为 关于 成轴对称，关于 成中心对称，且在 上单调递增，
所以 在 上单调递减，故C正确；
因为 ，故D错误；
故选：AC
30．（2022·江苏·高邮市第一中学高三阶段练习）已知函数 是定义在R上的奇函数， 是偶函数，当
，则下列说法中正确的有（ ）
A．函数 关于直线 对称
B．4是函数 的周期
C．
D．方程 恰有4不同的根
【答案】ABD
【分析】根据奇偶性的定义，结合函数的对称性，即可判断A的正误；根据题意，结合函数的周期性，可判断B
的正误；根据函数的周期性，结合解析式，即可判断C的正误；分别作出 和 的图象，即可判断D
的正误，即可得答案.
【详解】对于A：因为 是偶函数，所以 ，即
所以 关于 对称，故A正确.
对于B：因为 ，
所以 ，
所以 ，即周期 ，故B正确
对于C：
所以 ，故C错误；
对于D：因为 ，且 关于直线 对称，
根据对称性可以作出 上的图象，
又 ，根据对称性，可作出 上的图象，
又 的周期 ，
作出 图象与 图象，如下图所示：
所以 与 有4个交点，故D正确.
故选： ABD
31．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数 ，若函数 的图象关于点
（1，0）对称，且 ，则（ ）A． B． 有3个零点
C． 的对称中心是 D．
【答案】ABD
【分析】由题设 且 ，可得 ，代入解析式，结合已知条件即可判
断选项的正误.
【详解】由题设， ，且 ，
所以 ，整理得 ，
故 ，可得 ，故 ，
又 ，即 ，A正确； 有3个零点，B正确；
由 ，则 ，所以 关于 对称，C错误；
，D正确.
故选：ABD
三、填空题
32．（2007·重庆·高考真题（理））若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围为________．
【答案】[－1,0]
【分析】函数 的定义域为 可以转化为 恒成立，即 恒成立，根据判别式即可求
出结果
【详解】因为函数 的定义域为 ，
所以 对 恒成立，
即 恒成立
因此有 ，解得则 的取值范围为
故答案为
【点睛】本题主要考查了求复合函数的定义域问题，结合题意中定义域为 ，将其转换为一元二次函数问题，计
算出判别式得到结果．
33．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是
____________．
【答案】
【分析】根据对数函数的真数大于0，得出 ax＞0恒成立，利用构造函数法结合图象求出不等式恒成立时
a的取值范围．
【详解】解：函数f（x）＝lg（ ax）的定义域为R，
∴ ax＞0恒成立，
∴ ax恒成立，
设y ，x R，y2﹣x2＝1，y≥1；它表示焦点在y轴上的双曲线的一支，且渐近线方程为y＝±x；
∈
令y＝﹣ax，x R；它表示过原点的直线；
∈
由题意知，直线y＝﹣ax的图象应在y 的下方，画出图形如图所示；
∴0≤﹣a≤1或﹣1≤﹣a<0，
解得﹣1≤a≤1；
∴实数a的取值范围是[﹣1，1]．
故答案为[﹣1，1]．
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查数形结合思想与转化思想，是中档题．
34．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，则函数 的值域为________．【答案】
【分析】由题意可求出 ，然后根据换元法可求出函数 的值域．
【详解】由 ，解得 ，
所以 ．
函数 ， ，
则 ，
由二次函数的知识得当 ，即 时，得 ；当 ，即 时时，得 ，
所以 ．
所以函数 的值域是 ．
故答案为 ．
【点睛】解答与指数函数有关的二次型问题时，常用的方法是换元法，即通过代换转化为二次函数的问题求解．
解答二次函数在闭区间上的最值问题时，要结合抛物线的开口方向和对称轴与给定区间的关系进行求解，利用数
形结合可使得解题变得直观．
35．（2022·广东·模拟预测）设定义域为R的函数 ，若关于x的方程
有8个不同的实根，到实数b的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由 解析式画出函数图象，若 且 、 为 的两根，结合图像可知： 、 ，
再应用判别式、根与系数关系及对勾函数的值域求b的取值范围.
【详解】由题设， 的图象如下图示：令 ，则 化为 ，
∴要使原方程有8个不同实根，则 有2个不同的实根且两根 、 ，
∴ ，可得 ，又 在 上递减，在 上递增，且 ，
，即 ，
综上， .
故答案为： .
36．（2022·黑龙江·大庆中学高二期中）设 ， （ ），若对于任意 ，
总存在 ，使得 成立，则 的取值范围是______．
【答案】
【分析】由 ，由 ， 和当 时，转化为 ，利用二次函数求得其值域；利用三角函数的性质求得 的值域；根据对于任意 ，总存在 ，使得
成立，由 的值域是 的值域子集求解.
【详解】 ，当 时， ；
当 时， ，
所以 在 的值域为 ；
（ ），
当 时， ，有 ，
可得 的值域为 ，
对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
可得 ，
则 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：双变量存在与恒成立问题：
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 ；若 ， 成立，则 ；
若 ， 成立，则 的值域是 的子集；
37．（2020·甘肃·民勤县第一中学高二期末（文））函数 （ ）的值域是__________．
【答案】
【分析】根据函数 的单调性，判定 在 时的单调性，从而求出函数 的值域．
【详解】∵对数函数 在 上为单调增函数
∴ 在 上为单调减函数
∵ 时，
∴
∴函数 （ ）的值域是
故答案为 .
【点睛】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求
出值域来，是基础题．
38．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数t的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据函数值域，结合二次函数的单调性，对参数 分类讨论，即可求得参数范围.
【详解】令 ，
当 时， ，
因为 在 上单调递增，
因此 值域为 为 的子集，所以 ；
当 时， ，为 的子集，所以 ；
当 时， ，
当且仅当 时取等号，
因为 为 的子集，所以 ；
综上， .
故答案为： .
【点睛】本题考查由函数值域求参数范围，涉及均值不等式的应用，函数单调性的判断，属综合中档题.
39．（2020·上海·高一课时练习）函数 的值域为___________．
【答案】
【分析】由题得 ，设 ，再求函数 的值域得解.
【详解】由题得函数的定义域为 ，
由题得 ，
设 ，
所以 .
由复合函数单调性得函数 在 上单调递增，
所以
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，考查函数值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.40．（2022·陕西·汉中市龙岗学校高三阶段练习（文））已知 为 上的奇函数，且其图象关于点 对
称，若 ，则 __________．
【答案】1
【分析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而 .
【详解】函数关于点 对称，则 ，
又 为 上的奇函数，则 ，
因此函数的周期为4，
因此 .
故答案为：1.
41．（2017·山东·高考真题（文））已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)
＝6－x，则f(919)＝________.
【答案】6
【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简 ，再代入求值.
【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知, 是周期函数,且 ,所以 .
【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力.
42．（2019·全国·高三专题练习）已知定义域为 的函数 既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当
时， ，则函数 在区间 上的零点个数是__________．
【答案】9
【分析】根据定义域为R和奇函数的定义可得 ，利用 时， 令 ，求得 ，再根
据函数得周期性和奇偶性可求出函数在区间 上所有得零点，即可得解.
【详解】解：因为奇函数函数 定义域为R，周期为3，所以 ，且 ，
则有 ，
所以 ，
当 时，令 ，则 ，
则 ，
又函数 是奇函数，所以 ，
则 ，
所以在 上，函数的零点为 ，
所以共有9个零点.
故答案为：9.
43．（2021·上海市金山中学高三期中）规定记号" "表示一种运算，即 ，若 ，
函数 的图象关于直线 对称，则 ___________.
【答案】1
【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为 ，再根据函数图象关于直线 对
称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】由题意可得： ， ，
则函数 有四个零点，从大到小依次是 ， ， ， ，
因为函数 的图象关于直线 对称，
所以 与 关于直线 对称， 与 关于直线 对称，所以 ，解得
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解.
44．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【分析】利用基本不等式 的最小值，由此可得出实数 的取值范围.
【详解】 ， ，则 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 ，
因此实数 的取值范围是 .
故答案为： .
45．（2020·全国·高三课时练习（理））若函数 ，对任意的 ， 恒成立，
则 的取值范围是________．
【答案】（﹣2， ）
【详解】f′(x)＝3x2＋1>0，∴f(x)在R上为增函数．又f(x)为奇函数，由f(mx－2)＋f(x)<0知，f(mx－2)
