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解密06讲：函数图像、方程与零点
【考点解密】
1．利用描点法作函数图象的方法步骤
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)伸缩变换
①y＝f(x)――――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)――――――――――――――――――→y＝af(x)．
(3)对称变换
①y＝f(x)――――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)――――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)―――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
3．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内
至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
4．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，
使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【方法技巧】
1．图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋的
函数．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意
变换顺序．
(3)图像变换的翻折变换有两种：
图像保留x轴上方图像，将x轴下方图像翻折上去，得到 的图像；
图像保留y轴右边图像，并将其关于y轴对称的图像画出，得到 的图像．
(4)常见的平移变换原则“左加右减，上加下减”，对称变换有 和 关于 轴对称， 和
关于 轴对称， 和 关于原点轴对称等.
2．辨识函数图象的入手点
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(3)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
(4)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复．
3．函数零点个数的判定有下列几种方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象
和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．
(3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
4．已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
【核心题型】
题型一：函数图像的辨识
1．（2022·广东·深圳市福田区福田中学高三阶段练习）函数 在区间 的图象大致为（
）
A． B．
C． D．
2．（2021·陕西·韩城市新蕾中学（完全中学）高三阶段练习）函数 的图像大致为（ ）
A． B．C． D．
3．（2019·安徽·高三阶段练习（文））函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：函数图像的应用
2x 1,0＜x＜2
fx
4．（2022·北京·北大附中高三开学考试）已知函数 6x，x2 ，那么不等式 fx x 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·天津市武清区杨村第三中学高三阶段练习）已知函数 （ 且 ）．若函
数 的图象上有且只有两个点关于原点对称，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．6．（2022·四川·太平中学高三期中）若直线 与函数 （ ，且 ）的图象有两个公共点，则
可以是（ ）
A．2 B． C． D．
题型二：函数零点个数的判定
7．（2021·新疆·新源县第二中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，
当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2022·四川省内江市第六中学高三阶段练习（文））已知函数 ，则函数
的零点个数为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（2021·广东佛山·高三阶段练习）已知函数 ，且有 ，
，则 在区间 内至少有（ ）个零点．
A．4 B．8 C．10 D．12
题型三：根据零点求参数
10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知函数 的零点位于区间 内，
则整数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．411．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 内有且仅有两个零点，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·青海·海南藏族自治州高级中学高三阶段练习（理））已知函数 ．
若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（ ）
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
题型四：比较零点大小与求零点的和
13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， ， 的零点分别为 、 、 ，
则 、 、 的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2021·山东省东明县第一中学高三阶段练习）设函数 ，若互不相等的实数 、 、 满
足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·重庆市二0三中学校高三阶段练习）函数 的所有零点之和为__________．
【高考必刷】
一、单选题1．（2021·陕西·西安市长安区第七中学高三阶段练习（文））函数 （ 且 ）的图
象可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·黑龙江·嫩江市高级中学高三阶段练习（文））函数 的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高三期中）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
4．（2021·江西·丰城九中高三阶段练习（理））函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2019·全国·高考真题（理））设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2018·全国·高考真题（文））设函数 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．7．（2022·全国·模拟预测（理））已知关于x的不等式 的解集中只有1个整数，则实数a的取
值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）定义：设不等式F(x)<0的解集为M，若M中只有唯一整
数，则称M是最优解.若关于x的不等式 有最优解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． ∪ D． ∪
9．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数 ，若 恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·江西·贵溪市实验中学高一阶段练习）已知函数 ,若实数 ,则函数
的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（2022·全国·高三专题练习（文））函数 在 上的零点个数为（ ）
A． B． C． D．12．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（理））已知函数 是定义在区间 上的偶函数，且当
时， ，则方程 根的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．（2021·吉林省实验中学模拟预测（文））已知函数 ，则关于x的函数
的零点的个数为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．2
14．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若 在区间 上恰有4个零点，
则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
15．（2022·山东·新泰中学高三阶段练习）如图是函数 的大致图象，则 （ ）
A． B． C． D．
16．（2020·安徽省泗县第一中学模拟预测（理））已知函数 若函数 恰有8个
零点，则a的值不可能为（ ）A．8 B．9 C．10 D．12
x3，x0
x
17．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）已知函数 x，x＜0 ，若函数
恰有4个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数 在 上恰有 个零点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数 （ ）有三个不同的零点，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·湖南·衡阳市八中高三阶段练习）已知 ，则下列关系不可能成立的是（
）
A． B． C． D．
21．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 有两个零点 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．（2011·北京东城·高三阶段练习（文））设函数 ， 的零点分别为 ，
则（ ）
A． B． C． D．
23．（2020·安徽·定远县育才学校高三阶段练习（理））已知函数 ， ，
，且 ，若 ，则实数 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的偶函数满足 ，当 时， ，则
方程 在区间 上所有解的和为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
25．（2021·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知函数 ，函数
有 个不同零点，把它们从小到大依次记为 ， ， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
26．（2021·黑龙江实验中学高三阶段练习（理））已知 是定义在 上的奇函数，满足 ，当时， ，则 在区 上所有零点之和为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
27．（2022·黑龙江·海林市朝鲜族中学高三阶段练习（理））关于函数 ，下列描述正确的有（
）
A． 在区间 上单调递增 B． 的图象关于直线 对称
C．若 则 D． 有且仅有两个零点
28．（2022·全国·高三专题练习）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 在 上为减函数
C．点 是函数 的一个对称中心 D．方程 仅有 个实数解
29．（2021·山东·高三阶段练习）如图，函数 的图象由一条射线和抛物线的一部分构成， 的零点为 ，
则（ ）
A．函数 有3个零点
B． 恒成立
C．函数 有4个零点
D． 恒成立30．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的
取值可以为（ ）
A．－1 B．2 C．3 D．4
三、填空题
31．（2009·山东·高考真题（理））已知定义在R上的奇函数 满足 ，且在区间 上是增函
数,若方程 在区间 上有四个不同的根，则
32．（2022·全国·模拟预测（文））设函数 的零点为 ，若 成等比数列，
则 _______.
33．（2020·全国·高三专题练习）已知函数 有三个不同的零点，则实数 的取值范围是
________.
34．（2022·安徽省含山中学三模（文））若函数 在区间 上存在零点，则实数m的最
小值是_________．
35．（2014·江苏南京·高三阶段练习（文））若函数 在区间 上有零点，则实数 的取值范围是
__________.
36．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，若 均不相等，且 ，
则 的取值范围是___________37．（2022·山东·临邑第一中学高二阶段练习）已知函数 有两个不同的零点，则常数 的
取值范围是___________.
38．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））若 ， ， ，则x、y、z由小到大的顺序是
___________.
39．（2023·全国·高三专题练习）函数 有三个零点 ，且 ，则
的取值范围是______．
40．（2021·湖南师大附中高三阶段练习）已知
（1）函数 的零点个数为________个；
（2）若 的图象与x轴有3个不同的交点，则实数a的取值范围为_______．
41．（2021·北京市玉渊潭中学高三阶段练习）已知λ∈R，函数f(x)= ，当λ=2时，不等式f(x)<0的
解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．
42．（2021·浙江·镇海中学模拟预测）已知函数 ， 恰有四个不相等的实
数根 ， ， ， 且满足 ，则 ______； 的最小值为______．
