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微专题：平面向量的垂直问题
【考点梳理】
两个非零向量垂直的充要条件是两向量的数量积为 0，即：两个非零向量 a＝(x ，y)，b＝(x ，y)，则
1 1 2 2
a⊥b⇔a·b＝0⇔xx＋yy＝0.
1 2 1 2
【典例分析】
典例1．已知非零平面向量 、 ，“ ”是“ ”的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
典例2．已知向量 ， ，若 ，则y的值为（ ）
A．4 B．-4 C．1 D．-1
典例3．已知单位向量 的夹角为 ， 与 垂直，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
典例4．已知 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
典例5．若夹角为 的非零向量 ， 满足 且 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．3
【双基达标】
6．若向量 ， ，则 与 一定满足（ ）.
A． B． C． D．
7．若非零向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司8．已知平面向量 ， 满足 ， ， 与 的夹角为45°， ，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
9．设 为实数，已知向量 =(-1，2)， =(1， ).若 ，则向量 +2 与 之间的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．已知非零向量 ， 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A．充要 B．必要不充分 C．充分不必要 D．既不充分也不必要
11．已知向量 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，使得
C． ， 与 的夹角小于 D． ，使得
12．在 中， 是三角形的外心，过点 作 于点 ， ，则 =（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
13． ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．6 D．8
14．向量 ，若 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
15．已知向量 ， ， ，若 ，则向量 在 上的投影为（ ）
A． B． C． D．
16．设向量 ， ， ．若 ，则 与 的夹角为（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
17．已知向量 满足 ，则向量 在向量 方向上的投影向量为（ ）
A． B．1
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．-1 D．
18．已知平面向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
19．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．3
20．已知向量 ＝(3，5)， ＝(9，7)，则（ ）
A． ⊥ B． // C． //( ＋ ) D．(2 － )⊥( ＋ )
21．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
22．已知向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，若（λ + ）⊥ ，则实数λ的值为（ ）
A． B．﹣ C． D．3
23．已知向量 ， ，若 与 垂直，则 的值为
A． B． C． D．
24．已知非零向量 、 满足 ， ，则向量 与向量 夹角的余弦值为（ ）
A． B．
C． D．
25．已知 ， ，且 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【高分突破】
一、单选题
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．若向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
27．若向量 垂直于向量 和 ，向量 ， ，且 ，则
A． B．
C． 不平行于 ， 也不垂直于 D．以上都有可能
28．如图所示，已知正方体 的棱长为1，则 （ ）．
A． B．2 C． D．1
29．已知向量 ， ，若 则 （ ）
A． B．5 C． D．
30．设向量 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
31．已知 , ,其中 ，则以下结论正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 或
C．若 ，则
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．若 ，则
32．在△ABC中， ， ，O为△ABC内的一点，设 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
33．已知向量 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则向量 可以表示平面内任一向量
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则 与 的夹角是锐角
34．已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C．向量 在向量 上的投影向量是 D． 是向量 的单位向量
三、填空题
35．已如 ， ， ， ，则实数 的值为_________．
36．已知椭圆 的一个顶点为 ，对于x轴上的点 ，椭圆E上存在点M，使得 ，
则实数t的取值范围是____________.
37．已知向量 ， ， ， ______．
38．已知向量 ， 夹角为 ， ， 为单位向量，且 ，则 __________
39．已知△ 的三个顶点分别是点A（4，0）， ， ，则△ 的外接圆的方程为______．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司40． ， 为不共线的向量，设条件 ；条件 对一切 ，不等式 恒成立．则
是 的__________条件．
四、解答题
41．已知向量 ， ， ．
（1）若点 ， ， 三点共线，求 的值；
（2）若 为直角三角形，且 为直角，求 的值．
42．已知向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k）．
(1)若 ∥ ，求 的值；
(2)若 ⊥（ ＋2 ），求实数k的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
43．（1）已知点A､B､D的坐标分别是 ､ ､ ，且 ， ，求点C的坐标；
（2）已知向量 ，点 ，若向量 与 平行，且 ，求向量 的坐标.
44．已知向量 ， 满足 ， ，且 ．
（1）求向量 的坐标；
（2）求向量 与 的夹角．
45．在 中， 、 、 分别是角 、 、 所对的边，已知 ， ， 且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 的面积为 ，求 的值.
（3）求 周长的取值范围.
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
对于平面向量垂直的数量积表示判断可得出结论.
【详解】
对于非零平面向量 、 ， .
因此，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
根据向量垂直，可得向量的数量积为零，根据向量数量积的坐标公式，可得 ，可解得答案.
【详解】
由 ，可得 ，则 ，解得 ，
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
由 与 垂直，可得 ，化简后可求出 的值
【详解】
因为单位向量 的夹角为 ， 与 垂直，
所以 ，
，解得 ，
故选：D
4．C
【解析】
【分析】
利用向量垂直，向量数量积的定义及向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
设 ， 的夹角为 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ， ，故 与 的夹角为 .
故选：C
第 7 页5．C
【解析】
【分析】
根据 得 ，计算得解.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，所以 ，将 代入得 .
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
由向量平行、垂直的条件，向量的模计算分析判断即可
【详解】
对于A，因为 不一定成立，所以 与 不一定平行，所以A错误，
对于B，因为 不一定成立，所以 与 不一定垂直，所以B错误，
对于C，因为 ，
，所以C错误，
对于D，因为 ， ，所以
，所以 ，所以D正确，
故选：D
7．C
【解析】
【分析】
设 与 的夹角为 ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得 ，进而得答案.
【详解】
解：根据题意，设 与 的夹角为 ，则 ，
若 ，则 ，
即 ，
又由 ，则 ，
故选：C．
8．A
【解析】
【分析】
根据向量垂直列方程，化简求得 的值.
第 8 页【详解】
， ， ，∴ .
故选：A
9．A
【解析】
根据向量垂直的坐标运算解得 ，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.
【详解】
因为向量 ，若 ，则 ，解得 ，
所以 ，所以 ， ， ，
设向量 +2 与 之间的夹角 ，则 ， ，
所以向量 +2 与 之间的夹角为 .
故选：A.
10．A
【解析】
【分析】
根据向量的数量积运算，由向量的关系 ，可得选项.
【详解】
，
，∴等价于 ，
故选：A.
11．A
【解析】
【分析】
由平面向量的模的坐标公式，平行的坐标表示，夹角的坐标表示，及垂直的坐标表示，依次判断各选项即可得出
结果.
【详解】
因为 ， ，
又 ，
所以 .故 正确；
第 9 页，若 ，则 ，
解得 ，即当 时， ，故 错误；
设 与 的夹角为 ，则 ，
当 时， ，夹角为 ，故C错误；
因为 ，
所以不存在 ，使得 ，故D错误.
故选： .
12．D
【解析】
【分析】
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为 ,
所以 ，
又因为 是三角形的外心，
所以 ,
所以 .
故选：D
【点睛】
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知 在向量 上的投影为 ，是解题的关键，属于中档题.
第 10 页13．D
【解析】
【分析】
求出 的坐标，根据 可知 ，结合向量数量积的坐标表示即可求出x的值．
【详解】
，
．
故选：D．
14．D
【解析】
【分析】
由 ，得 ，解出 的值，进而可求得 的坐标，根据向量模长公式即可求解.
【详解】
解：因为向量 ， ， ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故选：D.
15．B
【解析】
首先计算 ，利用 可得 ，再利用投影公式即可求解.
【详解】
因为 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以向量 在 上的投影为
，
故选：B
16．D
【解析】
【分析】
根据题意， 求出x的值，即可得 的坐标，进而可得 的坐标，即可求解．
【详解】
根据题意，设 与 的夹角为 ，
， ， ，
则 ，解得 ，
第 11 页则 ， ，
则 ，
所以 ，
故 ，
故选：D．
17．A
【解析】
【分析】
根据给定条件，求出 ，再借助投影向量的意义计算作答.
【详解】
因 ，则 ，令向量 与向量 的夹角为 ，
于是得 ，
所以向量 在向量 方向上的投影向量为 .
故选：A
18．B
【解析】
根据向量垂直则数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可.
【详解】
因为 ，所以 ，即 ，又 ， ，故 ，解得 .
故选：B.
19．B
【解析】
【分析】
根据平面向量的坐标运算，结合两向量垂直，数量积等于零，求得 的值.
【详解】
因为向量 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
所以有 ，解得 ，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关向量的问题，解题方法如下：
（1）根据向量垂直向量数量积等于零，建立等式；
（2）根据向量数量积运算法则进行化简；
第 12 页（3）利用向量数量积坐标公式求得结果.
20．D
【解析】
【分析】
A. ，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B. ，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C. ，所以该选项错误.
D. ,所以该选项正确.
【详解】
A. ，所以两个向量不垂直，所以该选项错误；
B. ，所以两向量不平行，所以该选项错误；
C. ， ，所以该选项错误.
D.由条件得， ，
∴ ，
所以 ，所以该选项正确.
故选：D．
21．B
【解析】
【分析】
根据 可知 ，从而求出 的值，进而可的 .
【详解】
解：由题意得：
，解得
故
故选：B
22．A
【解析】
【分析】
设 ＝（x，y），由向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，（λ + ）⊥ ，，列方程组，能求出
λ的值．
【详解】
解：设 ＝（x，y），
∵向量 ＝（1， ），向量 在 方向上的投影为﹣6，（λ + ）⊥ ，，
第 13 页∴ ，
解得λ＝ ．
故选：A．
23．B
【解析】
由向量垂直可得数量积为 ，利用坐标运算列出方程，即可解得 的值.
【详解】
因为 与 垂直，所以 ，解得 ．故应选B．
【点睛】
本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题.
24．A
【解析】
【分析】
根据 ，设 ， ，根据 求出 ，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.
【详解】
因为 ，所以可设 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，即 .
则 ，
故选：A.
25．C
【解析】
【分析】
由向量垂直的坐标表示求 ，再由向量的模的坐标公式求 .
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ，∴
∴ ，
∴ .
故选：C.
26．B
【解析】
第 14 页【分析】
根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量数量积的坐标表示可判断C；根
据向量模的坐标表示可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
因为向量 ， ，
对于A：若 ，则 ，解得： ，所以不存在 ，使得 ，故选项A不正确；
对于B：若 ，则 ，可得 ，所以存在 ，使得 ，故选项B正确；
对于C：令 可得： ，所以存在 使得 ，故 不成立，故选项C
不正确，
对于D： ， ，若 ，则 ，此方程无解，所以不存在
，使得 ，故选项D不正确；
故选：B.
27．B
【解析】
【分析】
根据平面向量垂直的定义和数量积运算的性质，即可判断 ．
【详解】
解：向量 垂直于向量 和 ，则 ， ，
又向量 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
28．C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算化简 展开后利用数量积的定义即可求解.
【详解】
因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
29．B
【解析】
第 15 页【分析】
由向量的数量积可得 ，再利用向量的坐标运算即得.
【详解】
由向量 ， ，
∴ ，所以 ，
∴ ，∴ ，即 .
故选：B
30．C
【解析】
【分析】
A.根据模长公式进行计算；B.根据数量积公式进行计算；C.计算数量积并判断结果是否为 ；D.验证平行对应的坐
标关系并判断.
【详解】
A.因为 ，所以 ，故错误；
B. ，故错误；
C.因为 ，所以 ，故正确；
D.因为 ，所以 不成立，故错误；
故选：C.
31．BCD
【解析】
【分析】
对于A，由 得 ，得 或 或 ，故A不正确；
对于B，由 得 ，得 或 ，故B正确；
对于C，根据平面向量数量积的运算律求出 ，故C正确；
对于D，根据平面向量数量积的运算律求出 ，故D正确.
【详解】
对于A，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 或 或 ，故A不正确；
对于B，若 ，则 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 或 ，
所以 或 ，故B正确；
第 16 页对于C， ，则
，故C正确；
对于D，若 ，则 ，则 ，则 ，即 ，所以
，故D正确.
故选：BCD.
32．ACD
【解析】
【分析】
对A，由重心可知 ，根据 ， ，整理可得
，即可判断；对B，由内心可知 ，结合
，即可求解判断；对C，由等腰三角形的性质可得 ，由外心可知
，结合余弦定理可得 ，进而判断；对D，由垂线可知 ，则
，整理可得 ，而 ，代入求解，即可判断.
【详解】
对于A选项，重心为中线交点，则 ，即 ，
因为 ，
则 ，
所以 ， ，
所以 ，故A正确；
对于B选项，内心为角平分线交点，则 ，
即 ，所以 ，
由A选项，则 ， ，
所以 ，故B错误；
对于C选项，外心为垂直平分线交点，即 的外接圆圆心，
因为 ，设 为边 的中点，
第 17 页所以 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
在 中， ，则 ，
，
所以 ，易知 ，所以 ，
所以 ，故C正确；
对于D选项，垂心为高线交点，设 ，垂足为边 上点 ，则 ， ， 共线，
由C选项，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，故D正确；
故选：ACD
【点睛】
知识点点睛： 的“四心”，可知：
（1）重心 为中线交点，则 ；
（2）内心 为角平分线交点，内切圆圆心，则 ；
（3）外心 为垂直平分线交点，外接圆圆心，则 ；
（4）垂心 为高线交点，则 .
33．BC
【解析】
第 18 页【分析】
A选项，根据平行得到k的范围；B选项，根据条件得到两向量垂直，进而求出k的值；C选项，列出不等式，求
出k的范围；D选项，举出反例.
【详解】
当 与 不共线， 可以表示平面内任一向量，所以 ，
解得: 且 A错误；
若 ，则 ，所以 ，得： ，B正确；
若 ，有 ，解得： ，C正确；
当 时， 与 平行，夹角不是锐角， 错误.
故选： .
34．AD
【解析】
【分析】
根据向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算即可判断判断A；
根据向量坐标的线性运算及向量的模的坐标运算即可判断判断B；
根据投影向量的计算公式即可判断C；
判断向量 是否与向量 共线，及模是否为1，即可判断D.
【详解】
解：对于A， ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B， ，则 ，故B错误；
对于C，向量 在向量 上的投影向量为 ，
故C错误；
对于D，因为向量 的模等于1，
，所以向量 与向量 共线，故 是向量 的单位向量，故D正确.
故选：AD.
35．32##1.5
【解析】
【分析】
根据向量垂直数量积等于 ，结合向量数量积的运算即可求解.
【详解】
第 19 页因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，可得： ，
故答案为： .
36．
【解析】
【分析】
设 ，则 ，由 可得 ，整理可得 ，即可求出t的取值范围.
【详解】
设 ，则 ,①
， ，
由 可得 ，即 ,②
由①②消去 ，整理得 ,
因为 ，所以 ,
因为 ，所以 ,
所以实数t的取值范围为 .
故答案为： .
【点睛】
设椭圆 上点的坐标为 ，则 ，这往往在求与椭圆有关的最值问题中用到，也是容
易被忽略而导致求最值错误的原因.
37．
【解析】
【分析】
由两个向量垂直的坐标运算进行计算即可.
【详解】
因为 ，所以 ，所以 ，解得 ．
故答案为：
第 20 页38．1
【解析】
【分析】
由平面向量垂直的性质及数量积的运算可得 ，即可得解.
【详解】
因为 ， 为单位向量，所以 ， ，
又 ，向量 ， 夹角为 ，
所以 ，所以 ．
故答案为：1.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
39．
【解析】
【分析】
令外接圆圆心 ，而 中点为 、 中点为 ，由 求x、y，进而求半径，
即可写出△ 的外接圆的方程.
【详解】
令△ 的外接圆圆心 ，又A（4，0）， ，
∴ 中点为 ，则 ，则 ，
中点为 ，则 ，则 ，
∴圆心 ，又外接圆的半径 ，
∴△ 的外接圆的方程为 .
故答案为： .
40．充要
【解析】
【分析】
由条件 ，可得 ；不等式 化为 ．由于
对一切 ，不等式 恒成立，所以可得 ，化简即可得出．
【详解】
由条件 ，可得 ；
不等式 化为 ，
第 21 页∵对一切 ，不等式 恒成立，
∴ ，
化为 ，
∴ ，所以 ．
故答案为：充要．
【点睛】
关键点睛：本题的解题关键是由不等式 化为 后由一元二次不等式的知识
得出 ，从而得解.
41．（1） ；（2） ．
【解析】
（1）由点 ， ， 三点共线可得 和 共线，解关于 的方程可得答案；
（2）由 为直角三角形可得 ，即 ，解关于 的方程可得答案．
【详解】
（1） ， ， ，
，
点 ， ， 三点共线， 和 共线，
，解得 ；
（2） 为直角三角形，且 为直角，
， ，
解得 ．
【点睛】
方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用
解答；（2）两向量垂直，利用 解答.
42．(1)3 ；
(2)k＝ ；
(3)k＜ 且k≠－6.
【解析】
【分析】
（1）解方程1×k－2× ＝0即得解；
（2）解方程1× ＋2× ＝0即得解；
第 22 页（3）解不等式1× ＋2×k＜0且k≠－6，即得解.
(1)
解：因为向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k），且 ∥ ，
所以1×k－2× ＝0，解得k＝－6，
所以 ＝ ＝3 ．
(2)
解：因为 ＋2 ＝ ，且 ⊥ ，
所以1× ＋2× ＝0，解得k＝ ．
(3)
解：因为 与 的夹角是钝角，则 ＜0且 与 不共线．
即1× ＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜ 且k≠－6．
43．（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）设 ，由 和 ，分别利用共线向量定理和数量积运算求解；
（2）设 ，由向量 与 平行和 ，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解.
【详解】
（1）解：设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
所以点C的坐标为 ；
（2）设 ，
则 ，
因为向量 与 平行，
所以 ，
第 23 页又 ，
所以 ，
解得 或 ，
所以 的坐标为 或 .
44．（1） 或 ；（2） .
【解析】
（1）设 ，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即可求解.
（2）设向量 与 的夹角为 ，利用向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
解：（1）设 ，
因为 ，则 ，①
又因为 ，且 ，
，
所以 ，
即 ，②
由①②解得 ，或 ，
所以 或 ．
（2）设向量 与 的夹角为 ，
所以 或 ，
因为 ，所以向量 与 的夹角 ．
【点睛】
本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解
能力，属于基础题.
45．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）利用平面向量垂直的坐标表示可求得 的值，结合角 的取值范围可求得角 的值；
（2）利用三角形的面积公式可求得 的值，结合余弦定理可求得 的值；
（3）利用正弦定理以及三角恒等变换可得出 ，求出角 的取值范围，结合正弦型函数的
第 24 页基本性质可求得 周长的取值范围.
【详解】
（1）由已知条件可得 ，则 ，
，故 ；
（2）由三角形的面积公式可得 ， ，
由余弦定理可得 ，
因此， ；
（3）由正弦定理可得 ，故 ， ，
所以，
，
，所以， ，则 ，所以， ，
所以， .
因此， 的周长的取值范围是 .
第 25 页第 26 页
