考向17平面向量的概念及线性运算（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 17 平面向量的概念及线 性运算 1．（2022新高考1卷第3题）在 中，点 在边 上， ．记 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ，又因为 ，所以 ，即 ．故选B． 2．（2018•新课标Ⅰ，理6文第7题）在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，∴ ，故选 ． 3．（2020江苏第13题）在 中， ， ， ， 在边 上，延长 到，使得 ，若 （ 为常数），则 的长度是 ． 【答案】 【解析】由向量系数 为常数，结合等和线性质可知 ， 故 ， ，故 ，故 ． 在 中， ；在 中，由正弦定理得 ， 即 ． 1.平面向量有关概念的四个关注点 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的移动混淆． (4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量． 2.向量线性运算的解题策略 (1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法 则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则． (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中 求解．3.共线向量定理的应用 （1）证明向量共线∶对于向量a，b，若存在实数λ，使a=λb（b≠0），则a与b共线 （2）证明三点共线若存在实数λ，使 ，则A，B，C三点共线 （3）求参数的值∶利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值 1．三点共线的等价转化:A，P，B三点共线⇔AP＝λAB(λ≠0)⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于 A，P，B的任一点，t∈R)⇔OP＝xOA＋yOB.(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1) 2．向量的中线公式:若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则OP＝(OA＋OB)． 1．若两个向量起点相同，终点相同，则这两个向量相等；但两个相等向量不一定有相同的起点和终 点． 2．零向量和单位向量是两个特殊的向量．它们的模确定，但方向不确定． 3．注意区分向量共线与向量所在的直线平行之间的关系． 1．如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD为( ) A.a＋b B．a－b C．－a－b D．－a＋b 【答案】D 【解析】MD＝BD＝(AD－AB)＝(b－a)＝－a＋b. 2．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( ) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【答案】C【解析】因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同， 故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件． 3.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB＝( ) A.AC－AD B．2AC－2AD C.AD－AC D．2AD－2AC 【答案】D 【解析】连接CD，因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以CD∥AB，且AB＝2CD.所以AB＝2CD＝ 2(AD－AC)＝2AD－2AC，故选D. 4．如图，在正方形ABCD中，E是DC的中点，点F满足CF＝2FB，那么EF＝( ) A.AB－AD B．AB＋AD C.AB－AD D．AB＋AD 【答案】C 【解析】因为E为DC的中点，所以EC＝DC.因为CF＝2FB，所以CF＝CB.所以EF＝EC＋CF＝DC＋CB＝ AB＋DA＝AB－AD，故选C. 5.在△ABC中，延长BC至点M使得BC＝2CM，连接AM，点N为AM上一点且AN＝AM，若AN＝λAB＋ μAC，则λ＋μ＝( ) A. B． C．－ D．－ 【答案】A 【解析】由题意，知AN＝AM＝(AB＋BM)＝AB＋×BC＝AB＋(AC－AB)＝－AB＋AC，所以λ＝－，μ＝，则 λ＋μ＝，故选A. 6．已知P是△ABC所在平面内的一点，若CB＝λPA＋PB，其中λ∈R，则点P一定在( ) A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上 【答案】B 【解析】由CB＝λPA＋PB得CB－PB＝λPA，CP＝λPA.则CP，PA为共线向量，又CP，PA有一个公共点P， 所以C，P，A三点共线，即点P在直线AC上． 7．(多选)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是( ) A.AP＝AB B．AQ＝AB C．BP＝－AB D．AQ＝BP【答案】ABC 【解析】由数乘向量的定义可以得到A，B，C都是正确的，只有D错误． 8．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( ) A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0 C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0) D．已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝b 【答案】AB 【解析】对于A，因为向量a，b是两个非零向量，2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，所以a＝e，b＝－e，此时 能使a，b共线，故A正确；对于B，由共线定理知，存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0，则非零向量a，b 是共线向量， 故B正确；对于C，xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)，如果x＝y＝0，则不能保证 a，b共线，故C不正确；对于D，已知梯形ABCD中，AB＝a，CD＝b，AB，CD不一定是梯形的上、下 底，故D错误．故选AB. 9．已知e ，e 为平面内两个不共线的向量，MN＝2e －3e ，NP＝λe ＋6e ，若M，N，P三点共线，则λ＝ 1 2 1 2 1 2 ________． 【答案】-4 【解析】因为M，N，P三点共线，所以存在实数k使得MN＝kNP，所以2e1－3e2＝k(λe1＋6e2)， 又e1，e2为平面内两个不共线的向量，可得解得λ＝－4. 10．已知▱ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝________，BC＝ ________．(用a，b表示) 【答案】b－a －a－b 【解析】如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b. 一、单选题 1．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））在平行四边形ABCD中， ，G为 EF的中点，则 （ ）A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ． 故选：B. 2．（2022·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量 ， 是两个不共线的向量， 与 共 线，则 （ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 与 共线，所以 ， ， 所以 ， 因为向量 ， 是两个不共线的向量，所以 ，解得 ， 故选：C． 3．（2022·山东泰安·模拟预测）已知向量 ， 不共线，向量 ， ，若O，A，B 三点共线，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为O，A，B三点共线，则 所以 ， ，即 整理得： 又∵向量 ， 不共线，则 ，则故选：A． 4．（2022·全国·模拟预测（理））在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若 ，则 的最小值为（ ） A．9 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】因为点F为线段BC上任一点（不含端点）， 所以 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时等号成立， 故选：A 5．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））设 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ，若A，B，C三点共线，则 的最小值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【解析】 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ， 由A，B，C三点共线，则 ，则 则有 ，则有 则 （当且仅当 时等号成立） 故选：A6．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））在等边 中，O为重心，D是 的中点，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】O为 的重心，延长AO交BC于E，如图， E为BC中点，则有 ，而D是 的中点， 所以 . 故选：D 7．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD 交于点O，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ， 所以 .故选：C. 8．（2016·西藏日喀则·二模（文））在 中， 、 分别是边 、 上的点，且 ， ，若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： . 故选：A. 9．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若 ，则 的最大值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设 ，则 ， ∵BC//EF，∴设 ，则 ∴ ， ∴ ∴ 故选：A. 10．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形，AB为圆 的直径， P为圆 上的点，则 （ ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】设圆柱的高为 ，底面半径为 若圆柱 的轴截面是边长为2的正方形， 则： ， 因为AB为圆 的直径，P为圆 上的点，所以在 中， 为AB中点又在 中， ，且 ，则 如图：为圆柱的一个轴截面 所以 故选：C. 11．（2021·全国·模拟预测）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割． 所谓黄金分割，指的是把长为L的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部 分之比，黄金分割比为 ．其实有关“黄金分割”，我国也有记载，虽然没有古希腊的早，但 它是我国古代数学家独立创造的．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，BF⊥AC，DH⊥AC， AE⊥BD，CG⊥BD， ，则 （ ） A． B．C． D． 【答案】D 【解析】在矩形ABCD中，由已知条件得O是线段EG中点， ， 因 ，由黄金分割比可得 ， 于是得 ，即有 ， 同理有 ，而 ，即 ， 从而有 ， 所以 . 故选：D 12．（2022·湖南师大附中三模）艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角 星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边 后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错 误的是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A， ，故A正确， 对于B：因为 ， ，所以 ，故B正确， 对于C：由题意 是 的外心，不是 的重心 设 中点为 ，则 ， ，故C错误， 对于D： ，故D正确． 故选：C 二、多选题 13．（2022·山东济南·模拟预测）如图所示，在正六边形 中，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 在 上的投影向量为 【答案】BCD【解析】 因为 为正六边形，即每个内角都为 对于A， ,故A错误. 对于B，连接 , ， 则 为等边三角形，设六边形边长为 ， 中点为 ，连接 ， 则 ， ， ，所以 即 ，故B正确. 对于C，由B选项可知， 且 ，故C正确. 对于D，因为 ，所以 在 上的投影向量为 故D，正确. 故选:BCD. 14．（2022·海南华侨中学模拟预测）下列四个结论正确的是（ ） A．若平面上四个点P，A，B，C， ，则A．B，C三点共线 B．已知向量 ，若 ，则 为钝角. C．若G为△ABC的重心，则 D．若 ，△ABC一定为等腰三角形【答案】AC 【解析】对于A，由 ，所以 ，即 ，所以 共 线，因为 有公共端点，所以A．B，C三点共线，所以A正确， 对于B，当 时， ，此时 ，则 的夹角为 ，不是钝角，所以B错误， 对于C，延长 ，交 于 ，因为G为△ABC的重心，所以 为 的中点， ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以C正确， 对于D，因为 ， ，所以 或 ，所以 或 ，所 以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以D错误， 故选：AC 三、填空题 15．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图是古希腊数学家特埃特图斯用来构造无理数 的图形， 设四边形 的对角线交于点O，若 ，则 ___________________．【答案】 【解析】 都为直角三角形， ，∴ ， ， ，解得 ， ∴ ， ∴ ． 故答案为： . 16．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）点 在椭圆 上， 不在坐标轴上， ， ， ， ，直线 与 交于点 ，直线 与 轴交于点 ，设 ， ，则 的值为______． 【答案】1 【解析】：设直线 的直线方程为 ，联立椭圆方程化简得 ， 所以 或 ，当 时， ，所以 .当 时， ，所以 ， 所以 ，所以直线 的方程为 当 时，所以 . 所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 所以 . 故答案为：1 1.（2015）设D为 ABC所在平面内一点 ，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得 ．故选A 2．（20181）在ΔABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )A．AB - AC B． AB - AC C．AB + AC D． AB + AC 【答案】B 【解析】 故选A 3. 中，点 在 上， 平分 ．若 ， ， ， ，则 ( ) B. C. D. A. 【答案】B 【解析】 故选B , 4.（2014新课标1）设 分别为 的三边 的中点， 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 故选A 【解析】 ,   5.（20132）已知正方形 ABCD 的边长为2 , E为 CD 的中点,则AEBD ． 【答案】2   1 AE  AD DC      2 BD  BA AD  ADDC 【解析】在正方形中， , ,    1   2 12 1 AEBD(AD DC)(ADDC) AD  DC 22  22 2 2 2 2 所以 6.（20173）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 = + ，则 + 的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】3【解析】如图建立直角坐标系，则 ， ， ， ，由等面积法可得圆的半径为 ， 所以圆的方程为 ， y 所以 ， ， ， A D P B C x 由 ，得 ，所以 = ， 设 ，即 ， 点 在圆上，所以圆心到直线 的距离小于半径， 所以 ，解得 ，所以 的最大值为3， ΔABC 2O⃗A+ ⃗AB+ ⃗AC=0 |O⃗A|=|O⃗B|=| ⃗AB|=1 C⃗A⋅C⃗B 7.在 所在平面内有一点 O，满足 ， ，则 等于 _______. 【答案】3 ∵2O⃗A+ ⃗AB+ ⃗AC=0,O⃗A+ ⃗AB+O⃗A+ ⃗AC=0⃗, 【解析】 |O⃗A|=|O⃗B|=1 又 ， π ∵|O⃗A|=| ⃗AB|=1,∴|BC|=2,|AC|=√3,故∠ACB= 6 ，故答案为3 8．（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为1，1， ， 与 的 夹角为 ，且 ， 与 的夹角为 ．若 = + （ ， ），则 = ． 【答案】3【解析】由 可得 ， ，由 = + 得 ，即 ，两式相加得， ，所以 ，所以 ． 9．(2015北京)在 中，点 ， 满足 ， ， 若 ，则 ； ． 【答案】 【解析】由 = ．所 以 ， ．