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第 20 节 平面向量
基础知识要夯实
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 长度 ( 或模 ).
(2)零向量： 长度为 0 的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于 1 个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量
平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律
(1)交换律：
a＋b＝ b ＋ a .
求两个向量和
加法 (2)结合律：
的运算
(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
减去一个向量
相当于加上这
减法 a－b＝a＋(－b)
个向量的相反
向量
(1)|λa|＝ | λ | | a |；
λ(μa)＝ λμ a ；
求实数λ与向
(2)当λ＞0时，λa的方向与a
数乘 量a的积的运 的方向相同；当λ＜0时，λa (λ＋μ)a＝ λ a ＋ μ a ；
算
的方向与a的方向相反；当λ
λ(a＋b)＝ λ a ＋ λ b
＝0时，λa＝0
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 b ＝ λ a .
4.平面向量的基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且
1 2
只有一对实数λ ，λ ，使a＝λ e ＋ λ e .
1 2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e ，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
1 25.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
6.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则
1 1 2 2
a＋b＝ ( x ＋ x ， y ＋ y )，a－b＝ ( x － x ， y － y )，λa＝ ( λx ， λ y )，|a|＝ ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x ，y )，B(x ，y )，则 ＝ ( x － x ， y － y )， ＝ .
1 1 2 2 2 1 2 1
7.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，则a∥b x y － x y ＝ 0.
1 1 2 2 1 2 2 1
8.平面向量数量积的有关概念
⇔
(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记 ＝a， ＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a与b的数量积(或内
积)a·b＝ | a | | b |cos __θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影 | b |cos __θ 的
乘积.
9.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，θ为向量a，b的夹角.
1 1 2 2
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x x ＋y y .
1 2 1 2
(2)模：|a|＝ ＝ .
(3)夹角：cos θ＝ .
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 xx＋yy＝0.
1 2 1 2
⇔
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |xx＋yy|≤ .
1 2 1 2
10.一般地，首尾顺次相接的多个向量⇔的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 ＋ ＋ ＋…＋ ＝ ，特别地， 一个封闭图形，首
尾连接而成的向量和为零向量.
11.若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则 .
12.若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )且a＝b，则x ＝x 且y ＝y .
1 1 2 2 1 2 1 2
13.若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
14.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量，
无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.
15.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角
⇔a·b<0且a，b不共线.
16.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
基本技能要落实
考点一 平面向量的概念
【例1】（1）设 、 都是非零向量,下列四个条件中,一定能使 成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，所以方向与 相同的单位向量和方向与 相同的单位向量是相反向量，
故选项C正确.
（2）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；
时，只说明向 的长度相等，无法确定方向，
所以B，C均错；
时，只说明 方向相同或相反，没有长度关系，
不能确定相等，所以D错.故选：A.
【方法技巧】对于向量的有关概念应注意以下几点：
(1)平行向量就是共线向量，二者是等价的，它们均与起点无关；非零向量的平行具有
传递性；相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量；相等向量具有传递
性.
(2)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负数，可以比
较大小.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象
的平移混为一谈.
(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量.
【跟踪训练】
1. 如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF
过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是( )A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据相等向量的定义，分析可得 与 不平行， 与 不平行，所以 ,
均错误. 与 平行，但方向相反也不相等，只有 与 方向相同，且大小都等
于线段EF长度的一半，所以 .故选：D
2.下列说法正确的是( )
A．若| |＝| |，则 、 的长度相等且方向相同或相反
B．若向量 、 满足| |>| |，且 与 同向，则 >
C．若 ≠ ，则 与 可能是共线向量
D．若非零向量 与 平行，则A、B、C、D四点共线
【答案】C
【解析】由题意，由 ，但 与 方向可以任意，所以A不正确；由向量不能比较大小，判定
B不正确；根据向量的定义，可判定C正确；由 与 平行，则直线AB与CD可能平行，可能
重合，则A，B，C，D四点不一定共线，所以D不正确.故选C．
考点二 平面向量的线性运算
角度1 向量的线性运算
【例2－1】（2020·绥德中学高三其他（文））在△ 中， 为 边上的中线， 为
的中点，则A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之
后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到
，下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
角度2 利用向量线性运算求参数
【例2－2】 （1）（2022·江西省高三三模（文））在 中，D为线段 上一点，且，若 ，则 ( )
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【解析】
，
又 ，
， ，故选：B
（2）（2022·四川省泸县五中高三月考）在 中，点 在 边上，且 ，点
在 边上， ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
如图所示:在△ABC中,由 , ,可得,所
以 .故选:A.
【方法技巧】1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量
将加减法相互转化.
2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应
的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果.
【跟踪训练】
1.（2022·广东省高三模拟（理））如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝
2DC，E是BC的中点，F是AE上一点， 2 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由梯形ABCD中，AB CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E是BC的中点，F是AE上一点，2 ，则
；故选：C
2.（2022·辽宁省抚顺一中高三二模（文））在 中， 为 上一点， 是 的中点，若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，因为
是 的中点， 所以 ， ，解得 ， .故选B.
考点三 共线向量定理及其应用
【例3】（1）（2022·上海高三模拟）已知向量 不共线，
，则 中一定共线的三点是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
则有 ，由 ，不存在实数 ，使得
所以 与 不共线，则 不共线,所以A不正确
由 ， ，可得 与 共线，又有公共点 ，则 共线，
所以B不正确
由 ，不存在实数 ，使得
所以 与 不共线，则 不共线，所以C不正确
由 ， ，不存在实数 ，使得 所以 与 不共线，则
不共线，所以D不正确，故选：B
（2）已知 是两个不共线向量，且 ， .若向量 与 共线，则实数
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据平面向量共线基本定理,若向量 与 共线
则满足
即
所以满足 ,解得 故选:A
【方法技巧】1.证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线
的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.2.向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ ，λ ，使λ a＋λ b＝0成立.
1 2 1 2
【跟踪训练】
1.（2022·怀仁市第一中学校云东校区高三模拟（理））已知 是不共线的向量，
，若 三点共线，则 满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 三点共线，则 、 共线，
所以存在不为零的实数 ，使得
即 ，
又因为 是不共线的向量，
所以 ，消 解得 故选：D
2.（2022·遵义市南白中学高三模拟（理））在 中，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 所以 为 的重心，
所以 ,所以 ,
所以 ，因为 ，
所以 ，故选A．
考点四 平面向量基本定理及其应用
【例4】 (1) （2022·大荔县同洲中学高三模拟）如图，四边形 ABCD 中， ，E为线
段 AC 上的一点，若 ，则实数 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 三点共线,设 ,
因为 ,所以 ,解得 .故选:A
【方法技巧】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形
法则进行向量的加、减或数乘运算.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件
和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
考点五 平面向量的坐标运算
【例5】 (1) （2022·湖南省高一月考）设向量 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵向量 ，
∴ 故选：A
（2）（2022·兴仁市凤凰中学高一期中）已知向量 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．2
【答案】A
【解析】设 ，所以 ．因为 ，所以 解
得 所以 ，所以 ．故选：A【方法技巧】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐
标，解题过程中注意方程思想的应用.
2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现
了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.
【跟踪训练】
1.（2022·广东省高三期末（理））已知向量 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B． // C． D．
【答案】C
【解析】由 ，
因为 ，故 与 不垂直，
所以A选项不对
因为 ，所以 与 不共线，
所以B选项不对
由 ，所以
则 ，所以C选项正确
由 ，
所以
故 与 不垂直，所以D选项不对
故选：C
2已知直线 和 ，则“ ”是“直线 的法向量是直线 的方向向量”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】 直线 和 ,
直线 的一个法向量为 ，直线 的一个方向向量为 ，
若直线 的法向量是直线 的方向向量，则直线 的法向量与直线 的方向向量共线，
，解得 或 ，
“ ”是“直线 的法向量是直线 的方向向量” 充分非必要条件.故选：A.
考点六 平面向量共线的坐标表示 多维探究
角度1 利用向量共线求向量或点的坐标
【例6－1】（2022·寻甸回族彝族自治县民族中学高三月考（文））已知向量 ，
，若 ，则实数 的值为
a
A． B． 或 C． 或 D．
2 1
【答案】C
【解析】根据题意，向量 ， ，
若 ，则有 ，
解可得 或1；故选 ．
C
角度2 利用向量共线求参数
【例6－2】 （1）（2020·贵州省高二学业考试）若向量 ，若 ，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D． 1
【答案】A
【解析】由题意，向量 ，
因为 ，可得 ，解得 .故选：A.
（2）（2022·河南省高一月考（理））已知向量 ，则下列与向量 平行
的向量是（ ）
A．(－2，－2) B．(－1，－2) C．(1，-1) D．(1，-2)
【答案】B
【解析】由题可知， ，选项B的向量与其相等.故选：B
规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x ，y )，b＝(x ，y )，
1 1 2 2
则a∥b的充要条件是x y －x y ＝0；(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
1 2 2 1
2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标
均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.
【跟踪训练】（2022·山东省高三模拟）若向量 ， ， 与 共线，则
实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 向量 ， ，
， ，又 与 共线， ，解得 .故选：B.
考点七 平面向量数量积的运算
【例7】 (1)若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝( )
A.0 B.4 C.－ D.－
【答案】D
【解析】(1)由题意得2k－1－4k＝0，解得k＝－ ，
即m＝ ，所以m·n＝－2×4＋ ×1＝－ .
（2）四边形 是边长为1的正方形，延长 至 ，使得 ，若点 为线段 上
的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则 ，（0≤ ≤1）
所以 ，则 ，
所以当 时， 取最小值
故选：C【方法技巧】1.数量积公式a·b＝|a||b|cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧
性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐
标系，借助数量积的坐标运算公式a·b＝x x ＋y y 求解，较为简捷、明了.
1 2 1 2
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平
移”实现.
【跟踪训练】
1.(2022·皖南八校三模)已知|a|＝|b|＝1，向量 a 与 b 的夹角为 45°，则(a＋2b)·a＝
________.
【答案】1＋
【解析】因为|a|＝|b|＝1，向量a与b的夹角为45°，
所以(a＋2b)·a＝a2＋2a·b＝|a|2＋2|a|·|b|cos 45°＝1＋ .
2.向量 、 满足 ， ，且向量 与 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 ， 且向量 与 的夹角为 ，所以，
.
故选：A.
考点八 平面向量数量积的应用
角度1 平面向量的垂直
【例8－1】（1）（2022·绥德中学高三其他（文））设向量 ， ，若
，则 （ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】B
【解析】向量 ， ，
故可得 ；
因为 ，
故可得 ，
即可得 ，
解得 .故选：B.
【方法技巧】1.当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底
来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
2.数量积的运算a·b＝0 a⊥b中，是对非零向量而言的，若 a＝0，虽然有a·b＝0，但
⇔
不能说a⊥b.角度2 平面向量的模
【例 8－2】 (1)已知平面向量 α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是
________.
(2)(2022·安阳调研)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，
P是腰DC上的动点，则| |的最小值为________.
【答案】(1) (2)5
【解析】(1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，
所以α·β＝ ，
所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4× ＝10，
所以|2α＋β|＝ .
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(2，0)，
设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b).
所以 ＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)，
所以| |＝ (0≤y≤b)，
所以当y＝ b时，| |取得最小值5.【方法技巧】1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|＝ 及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|
2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用
求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动
点表示的图形求解.
角度3 平面向量的夹角
【例8－3】 (1)(2022·衡水中学调研)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝ |a|，
则向量a＋b与a－b的夹角为________.
(2)若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的
取值范围是________.
【答案】(1) (2
【解析】(1)将|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，∴a·b＝0.
将|a＋b|＝ |a|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝ a2，∴b2＝ a2.
设a＋b与a－b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝＝ .
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝ .
(2)∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，解得k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－ .
当k＝－ 时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
此时2a－3b与c反向，不合题意.
综上，k的取值范围为 .
【方法技巧】1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0
或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公
式cos θ＝ 求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0说明不共线的两向量
的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
【跟踪训练】
1.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a＝(－2，3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________.
【答案】2
【解析】由a⊥b，得a·b＝0，
又a＝(－2，3)，b＝(3，m)，
∴－6＋3m＝0，则m＝2.2.(一题多解)(2020·全国Ⅰ卷)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝
________.
【答案】2
【解析】由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a
＋2b|＝| |.
又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2 .
达标检测要扎实
一、单选题
1．已知向量 ，向量 ，则 与 的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】D
【解析】 向量 ，向量 ， ，
，且 ，
的夹角为 .故选：D.
2．设 为单位向量，且 ＝1，则| +2 |＝（ ）
A． B． C．3 D．7
【答案】B
【解析】 为单位向量，且 ＝1可得 ，可得 ，
.故选：B．
3．在平行四边形 中， ，则 （ ）
A．-5 B．-4 C．-3 D．-2
【答案】A
【解析】 ， ，
， ，
， ，故选：A
4．已知直角三角形ABC中， ，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以 为原点建系， ，，即 ，故圆的半径为 ，
∴圆 ，设 中点为 ，
，
，∴ ，故选：D.
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为 ，.故选：D
6．如图，在菱形 中， ， 为 的中点，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设菱形 的边长为 ， 为 的中点，则 ，
又 ，则 ，因 ，则 ，
由 得：
，解得 ，
所以 .故选：A
7．在 中，已知 ， ，且满足 ， ，若线段 和线段 的交
点为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ①，
由 知 ，∴ ，∵ ， ， 三点共线，∴ ②，
由①②得： . ，∴ ，
而 ，
∴
故选：B
8．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，所以 ，解得 .
故选: A
9．已知平面向量 满足 ，则向量 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，即 ，
． ．故选：D．
10．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A．0 B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】因为向量 ， ，且 ，所以 ，即 ，所以有 ，解得 ，故选：B.
11．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足 ， ．若 ，
则实数 ＋ 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，设 ，则在平行四边形ABCD中，
因为 ， ，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，所以 。故选：B.
12．设 ， 是两个非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】D
【解析】对于选项A： 且 则 ， 两个为相等向量或相反向量，当 时，不成立，所以 且 不是 成立的充分条件，故选项A不正确；对于选项B：
时， ，所以得不出 ， 不是 成立的充分条件，故选项B不正确；
对于选项C： ，若 ， 两个向量方向相反时，得不出 ，所以 不是 成立的充
分条件，故选项C不正确；
对于选项D： 满足 ， 同向共线，所以 的单位向量与 的单位向量相等即 ，所以
是 成立的充分条件，故选项D正确；故选：D.
二、填空题
13． ， 为不共线的向量，设条件 ；条件 对一切 ，不等式
恒成立．则 是 的__________条件．
【答案】充要
【解析】由条件 ，可得 ；
不等式 化为 ，
∵对一切 ，不等式 恒成立，∴ ，
化为 ，∴ ，所以 ．故答案为：充要．
14．已知 ， ， 、 的夹角为 ，则 在 方向上的数量投影为________．
【答案】
【解析】由已知得， 在 方向上的数量投影为因为 ， ， 、 的夹角为 ，
所以
所以 在 方向上的数量投影为 故答案为：2
15．有下列命题：
①单位向量一定相等；
②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；
③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同；
④方向相反的两个单位向量互为相反向量；
⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆．
其中正确的命题的个数为______．
【答案】
【解析】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；
对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；
对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确；
对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确；
对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误；
则正确的命题个数为 个.故答案为： .
16．设 ， 是两个不共线的非零向量，若向量 与 的方向相反，则k＝________.
【答案】
【解析】由题意知， ．
，又 不共线，
∴ .
故答案为：
三、解答题17．已知向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k）．
(1)若 ∥ ，求 的值；
(2)若 ⊥（ ＋2 ），求实数k的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数k的取值范围．
【解析】 (1)因为向量 ＝（1，2）， ＝（－3，k），且 ∥ ，
所以1×k－2× ＝0，解得k＝－6，
所以 ＝ ＝3 ．
(2)因为 ＋2 ＝ ，且 ⊥ ，
所以1× ＋2× ＝0，解得k＝ ．
(3)因为 与 的夹角是钝角，则 ＜0且 与 不共线．
即1× ＋2×k＜0且k≠－6，所以k＜ 且k≠－6．
18．在平行四边形ABCD中， ， ，
（1）如图1，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用 分别表示 .
（2）如图2，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用 表示 .
【解析】（1） ，
；（2） .
19．已知点O(0，0)，A(1，2).
（1）若点B(3t，3t)， ＝ ，则t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二
象限？
（2）若B(4，5)，P(1＋3t，2＋3t)，则四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，
说明理由.
【解析】（1） ，
若点P在x轴上，则 ，∴ .
若点P在y轴上，则 ，∴ .
若点P在第二象限，则 ，∴ .
（2）因为 ， .
若四边形 为平行四边形，则 ，
∴ 该方程组无解.
故四边形 不能成为平行四边形.
20．已知平行四边形ABCD中， ， ， .
(1)用 ， 表示 ；(2)若 ， ， ，如图建立直角坐标系，求 和 的坐标.
【解析】 (1) ， ，又 ，所以 所以
(2)过点D作AB的垂线交AB于点 ，如图，
于是在 中，由 可知，
根据题意得各点坐标： ， ， ， ， ， ，
，所以
所以 ， ， ,
21．已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 与 的夹角．
【解析】 (1)∵ ， ， ，
∴ ，解得: ..
故 ；(2)设 与 的夹角 ，则 ，
又∵ ，∴
22．已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ， 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，且 ，则 ，
又 ，所以 ，即 ，故 或 ；
（2）由 ，则 ，
由 ，解得 ，
又 与 不共线，则 ，解得 ，
故 与 的夹角为锐角时，实数 的取值范围为： .
