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第20讲 三角函数公式
【知识点总结】
1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
（2）正角、负角、零角
按逆时针方向旋转所成的角叫正角；
按顺时针方向旋转所成的角叫负角；
一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.
（3）象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象
限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.
（4）终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
2. 弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 ，那么
.
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
（2）弧度与角度的换算
π
1° = rad ≈ 0.01745rad
180
180° = π rad
(180)
1rad = ° ≈ 57.3°
π
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为 （ ），半径为 ，弧长为 ，则有
① ； ② ； ③ .
3. 三角函数的概念
（1）三角函数的定义
已知角 终边上的任一点 （非原点 O），则 P 到原点 O 的距离 ..（2）几个特殊角的三角函数值
， ， ， 的三角函数值如下表所示：
函 数
不存在 不存在
（3）三角函数值的符号
y y y
+ + + +
O x O x O x
+ +
sinα cosα tanα
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等.
，
，
，
其中 .
4. 同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
.
（2）商数关系
.
作用：
（1）已知 的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式.5.诱导公式
（1） 公式二
，，
.
（2）公式三
，
，
.
（3）公式四
，
，
.
（4）公式五
，
.
（5）公式六
，
.
6.常用三角恒等变形公式
和角公式
差角公式倍角公式降次（幂）公式
半角公式
辅助角公式
角 的终边过点 ，特殊地，若
或 ，则
【典型例题】
例1．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥的侧面积（单位： ）为 ，且它的侧面展开图是一
个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位： ）是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2022·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝
－ ，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
例3．（2022·全国·高三专题练习）已知α，β∈ ，若sin ＝ ，cos ＝ ，则
sin(α－β)的值为( )
A． B． C． D．
（多选题）例4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，其中 ， 为
锐角，以下判断正确的是（ ）A． B．
C． D．
（多选题）例5．（2022·江苏·高三专题练习）下列说法正确的是（ ）A．
B．
C．
D．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知α∈（0， ），β∈（﹣π，﹣ ），sinα＝ ，cosβ＝
，则α+2β的值为______
例7．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ，则 ___________
例8．（2022·全国·高三专题练习）若tanα=2，则 的值为___________.
例9．（2022·全国·高三专题练习）已知 ＝ ，则sin2x＝________．
【技能提升训练】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）将手表的分针拨快 分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）与角 终边相同的角是（ ）
A．221° B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）与角 的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． ， B． ，C． ， D． ，
4．（2022·全国·高三专题练习）角 的终边属于第一象限，那么 的终边不可能属于的象限是
（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2022·全国·高三专题练习）若角 的终边与240°角的终边相同，则角 的终边所在象限是
（ ）
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限6．（2022·全国·高三专题练习）中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一
个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为 时，折扇
的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，扇环 的两条弧长分别是4和10，两条直边 与
的长都是3，则此扇环的面积为（ ）
A．84 B．63 C．42 D．21
8．（2022·全国·高三专题练习）刘徽（约公元225年 年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数
学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合
体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 边形等
分成 个等腰三角形，当 变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，
得到 的近似值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，角 以x轴的非负半轴为始边，且点
在角 的终边上，则 （ ）
A． B． C． D．10．（2022·全国·高三专题练习）已知点 是角 终边上一点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·浙江·高三专题练习）已知角 终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．12．（2022·上海·高三专题练习）已知点 在第三象限，则角 在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 的值为( ).
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高三专题练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
15．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））已知 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
16．（2020·西藏·山南市第三高级中学高三阶段练习（理））已知 ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
17．（2020·山东·高三专题练习）若 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
18．（2020·湖南·衡阳市八中高三阶段练习（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．（2021·山西·吕梁学院附属高级中学高三期中（文））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．20．（2021·河南·高三阶段练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
21．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设 ， ，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
22．（2021·新疆昌吉·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．23．（2022·江苏·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
24．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
25．（2021·云南师大附中高三阶段练习（文））已知 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
26．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
27．（2022·全国·高三专题练习）化简： 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·全国·高三专题练习）已知 为锐角， ， ，则 的值为（
）
A． B． C． D．
29．（2022·浙江·高三专题练习）若 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
30．（2022·全国·高三专题练习）已知tan ＝2，则tan α＝（ ）
A． B．－ C． D．－
31．（2022·全国·高三专题练习）已知角 满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．32．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 ( )
A． B． C． D．
33．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
34．（2022·全国·高三专题练习） 的值为（ ）
A． B． C． D．
35．（2021·广东·模拟预测）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
36．（2021·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（文））若 ，则 （
）
A． B． C． D．
37．（2021·全国·高三阶段练习（文））已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
38．（2021·江苏省镇江中学高三阶段练习）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
39．（2021·江苏如皋·高三阶段练习）已知 ， ， ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
40．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．经过30分钟，钟表的分针转过 弧度
B．
C．若 ， ，则 为第二象限角D．若 为第二象限角，则 为第一或第三象限角
41．（2022·江苏·高三专题练习）已知扇形的周长是 ，面积是 ，则扇形的中心角的弧度数可能是
（ ）
A． B． C．2 D． 或
42．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长是 ，面积是 ，下列选项正确的有（ ）
A．圆的半径为2 B．圆的半径为1
C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2
43．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ， ， ， ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
44．（2021·辽宁沈阳·高三阶段练习）已知 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
45．（2022·全国·高三专题练习）下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
46．（2022·全国·高三专题练习）若一个扇形的周长是4为定值，则当该扇形面积最大时，其圆心角
的弧度数是__.
47．（2022·全国·高三专题练习）已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为________ cm和圆心角为
________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.
48．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，则 __．49．（2021·河南·模拟预测（文））已知 ，则 ______.
50．（2020·山西·应县一中高三开学考试（文））已知 ，则 _________．
51．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 是第二象限角，则 的值为
__________.52．（2021·山东师范大学附中高三阶段练习）已知 ，则 _________
53．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值为____
54．（2021·河南·模拟预测（理））已知 为第四象限角，且 ，则
_________．
55．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则 __________.
56．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 ，则 _________.
57．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 __________
58．（2022·上海·高三专题练习）若 ，则 __________．
59．（2022·全国·高三专题练习） ___________.
60．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（理））已知 ，则
___________.
61．（2021·北京市第三中学高三期中）已知 ， 都是锐角，若 ， ，则
________．
62．（2022·全国·高三专题练习）已知 是方程 的两根，且 ，则 的值为________.
四、解答题
63．（2022·全国·高三专题练习）已知 、 ， ， ， ，求
的值．
