文档内容
2023 年高考数学模拟考试卷 1
高三数学（文科）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自
己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：高中全部知识点。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的．
1．集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的性质求出集合 ,再解一元二次不等式求出集合 ，即可求解.
【详解】由 得 解得 或 ，
所以 或 ，
又由 解得 ，所以 ，
所以 ，
故选:D.
2．已知实数a，b满足 （其中 为虚数单位），则复数 的共轭
复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则得到 ， ，再计算共轭复数得到答案.
【详解】实数 ， 满足 （其中i为虚数单位），
故 ， ， ，
复数 的共轭复数 ，故选：B
3．若 且 ，则向量 与 的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】结合平面向量的数量积运算及模长运算即可求解 与 的夹角.
【详解】因为 ，所以
又因为 ，所以 ，及 ，
所以
所以 与 的夹角表示为 ，
则
所以 与 的夹角为 .
故选：A.
4．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数
学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论
错误的是（ ）
A．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小
B．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低
C．甲班参赛同学得分的平均数为84
D．乙班参赛同学得分的第75百分位数为89
【答案】D
【分析】A. 利用极差的定义求解判断； B.利用中位数的定义求解判断； C.利用平均数的
定义求解判断； D.利用百分位数的定义求解判断.
【详解】对A，甲班参赛同学得分的极差为 ，乙班参赛同学得分的极差为
，故正确；
对B，甲班参赛同学得分的中位数是 ，乙班参赛同学得分的中位数是
，故正确；
对C，甲班参赛同学得分的平均数为 ，故正确；
对D，乙班参赛同学得分为71，80，81，82，85，89，90，94， ，取第6个与第
7个数的平均数为第75百分位数，即为 ，故错误.
故选：D5．已知 ， ， ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】首先根据已知条件得到 ，再利用基本不等式的性质求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故选：C
6．已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，圆 的半径为1，过点 的直线
与圆 相切于点 ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用向量数量积的定义得 ，再根据抛物线的定义可得
，进而可求解.
【详解】 ，
当 即点 为坐标原点时，取最小值，
故选:B.
7．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图，若输入的
，一次输入的 为2、2、5，则输出的 等于（ ）A．34 B．17 C．12 D．7
【答案】B
【分析】模拟程序运行，观察变量值，判断条件可得结论．
【详解】程序运行时，变量值变化如下：
， ， ， ，
， ， ，不满足 ；
， ， ，不满足 ；
， ， ，满足 ．
输出 ．
故选：B．
8．已知函数 的图象的一部分如图所示，则该函数解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据奇偶性可排除B；A中函数与与 轴交点间距离相等，与图象不符，可排除
A；根据 时， 可排除C，由此可得正确选项.
【详解】由图象可知： 图象关于原点对称，则 为奇函数，
， 为偶函数，排除B；
令 ，解得： ，则 与 轴交点间距离相等，与图象不符，排除A；
当 时， ， ，
，即在 右侧 函数值先为负数，与图
象不符，排除C.
故选：D.
9．如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别为 ， 的中点， 为 的中
点，沿 ， ， 将正方形折起，使 ， ， 重合于点 ，在构成的三棱锥
中，下列结论错误的是（ ）
A． 平面
B．三棱锥 的体积为
C．直线 与平面 所成角的正切值为
D． 平面
【答案】D
【分析】利用线面垂直的判定定理即可判断A，利用体积法即可判断B，作出三棱锥的直
观图，作出要求的空间角即可判断C，利用线面垂直的判定定理证明 平面 即可
判断D
【详解】翻折前， ， ，故翻折后， ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ，故A正确；
由题意可知，三棱锥的侧棱 底面 ，
则 ，故B正确；
连接 ， ，则 为 与平面 所成的角，
， 是 的中点， ，
．又 ， ，故C正确；
平面 ， 平面 ， ，
又 ， 平面 ， 平面 ．
∵ 与 不平行，不可能与平面 垂直，故D错误．
故选：D．
10．已知数列 的前n项和组成的数列 满足 ， ， ，
则数列 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先计算得 ， ，故可排除A，D；由 ，得
，从而得数列 从第2项起成等比数列，首项为4，公比为2的等比数列，根
据等比数列的通项公式求解即可.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，故可排除A，D；
又因为 ，
所以 ，
即 ，
又因为 ，
所以当 时，数列 是首项为4，公比为2的等比数列，
所以 ，
所以 .
故选：C.
11．设函数 与 有相同的对称轴,
且 在 内恰有3个零点,则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 与 有相同对称轴,求出 的值,对 的相位进行换元,根据
,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分 在第一个零点前后两种情况讨论,根据
有3个零点,写出不等式求出范围即可.
【详解】解:由题知,因为 与 有相同对称轴,
所以 ,
即 , ,令 ,
即 在 上有3个零点,
因为 ,所以
画出 图象如下所示:
当 时, 在 上有3个零点,只需 ,
解得 ,故 ;当 时, 在 上有3个零点,
只需 ,解得 ,综上: 或 .故选:D
12．已知菱形 的边长为 ， ，将 沿对角线 翻折，使点 到点
处，且二面角 的平面角的余弦值为 ，则此时三棱锥 的外接球的体
积与该三棱锥的体积比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据菱形性质和二面角平面角定义可知 ，利用余弦定理求得
后，结合勾股定理可知 ， ，由此可确定三棱锥的外接球半径为
，代入球的体积公式可求得外接球体积；根据 平面 ，结合棱锥体积公
式可求得 ，作比即可得到结果.
【详解】连接 交于 ，连接 ，易得 为 与 的中点，四边形 为菱形， ，即 ， ，
二面角 的平面角为 ， ；
又 ， ， ， ；
在 中，由余弦定理得： ；
， ， ，
， ， 三棱锥 的外接球球心为 中点，半径为 ，
三棱锥 的外接球体积 ；
， ， ， 平面 ， 平面 ，
，
，
，
三棱锥 的外接球的体积与该三棱锥的体积之比为 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查多面体的外接球问题的求解，解题关键是能够结合二面角
的大小和勾股定理确定三棱锥的侧面 和 为直角三角形，并且有公共斜边 ，结
合直角三角形的性质确定三棱锥外接球球心即为 的中点.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知数列 是公差为 的等差数列，且各项均为正整数，如果 ，那么
的最小值为______.
【答案】9
【分析】由题意可得 ，再结合数列的各项均为正整数可求出
，从而可求得结果.
【详解】由等差数列的通项公式 ，得 ，
，
因为数列的各项均为正整数，
所以 ，或 ，或 ，或 ，所以 ，或 ，或 ，或 ，
所以 最小值为9.
故答案为：9
14．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的
概率为___________．
【答案】 ##0.3
【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有
,总数为10，能构
成三角形的情况有： ，共3个基本事件，故概率为 ．
故答案为：
15．在平面直角坐标系 中，圆 上一点到直线
的最大距离为______．
【答案】
【分析】由于直线 恒过点 ，则圆心 与点 连线
与直线 垂直，进而可得答案．
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为直线 为 ，
所以直线 恒过点 ，
若圆 上一点到直线 的距离最大，
则圆心 与点 连线与直线 垂直，
又圆心与 距离 ，
所以最大距离为 ，
故答案为： ．
16．已知函数 ， 的定义域为 ，若对 ， ，
， 成立，且 ，则
__________.
【答案】
【分析】代入 到 中得出 ，再推导出 的周期进行求解
即可.
【详解】因为 ①，且 ②，
即 ，结合②可得 ③，①③相
减有 ，故 ④，即 ，故 周期
为4.
在①中令 ，有 ，又 ，可得 .
由④，令 ， 有 ，结合 周期为4，则故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．(12分）如图，四边形 是正方形， 平面 ， ，
．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直即可；
（2）通过图形中的垂直关系得到三棱锥的底面积和高，利用三棱锥的体积公式求解即可.
【详解】（1）因为四边形 是正方形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以点 到 的距离为4， ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ,
所以点 到平面 的距离为4，
所以 ．
18．(12分）如图，在 中， ， ， ，点M在线段 上．(1)若 ，求 的长；
(2)点N是线段 上一点， ，且 ，求证： ．
【答案】(1)6
(2)证明见解析
【分析】（1）在 中，利用正弦定理求解即可得到答案；
（2）因为 ，且 ，由余弦定理得：
化得： ，然后根据条件分别求出
和 的值，即可得证： .
【详解】（1）在 中， ，
由正弦定理： ，得
（2）在 中，
由余弦定理得:
，
19．(12分）为了庆祝神舟十四号成功返航，学校开展了“航天知识”讲座，为了解讲座效
果，从高一甲乙两班的学生中各随机抽取5名学生的测试成绩，这10名学生的测试成绩
（百分制）的茎叶图如图所示．
(1)若 ， 分别为甲、乙两班抽取的成绩的平均分， ， 分别为甲、乙两班抽取的成
绩的方差，则 ______ ， ______ ．（填“>”或“<”）
(2)若成绩在85分（含85分）以上为优秀，
（ⅰ）从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，则恰有1人成绩优秀的概率；
（ⅱ）从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，则甲班选取的学生成绩不低于乙
班选取的学生成绩的概率．
【答案】(1)<，>；
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） .
【分析】（1）利用给定的茎叶图，结合平均数、方差的意义计算判断作答.
（2）（ⅰ）（ⅱ）利用列举法，结合古典概率求解作答.【详解】（1）由茎叶图知， ，
，
所以 < ；
，
，
所以 > .
（2）（ⅰ）抽取的两名学生成绩分别为 ，把他们记为 ，
从甲班所抽取的5名学生中任取2名学生，他们的成绩组成的不同结果：
，共10
个，
恰有1人成绩优秀的事件 有： ，共6个，
所以恰有1人成绩优秀的概率 .
（ⅱ）依题意，甲班成绩优秀学生有2人，成绩分别为 ，乙班成绩优秀学生有4人，
成绩分别为 ，
从甲、乙两班所抽取的成绩优秀学生中各取1人，按甲班的在前、乙班的在后写在括号
内，不同结果有：
，共8个，
甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的事件 有：
，共5个，
所以甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩的概率 .
20．(12分）已知函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)函数 ，若 在 上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】(1)分类讨论，根据函数的导数分 和 求解；(2)分离参变量得到
，讨论函数 的单调性和最值求解.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，所以 在上 为单调递减函数，
②当 时，令 解得 ，令 解得 ，
所以 在 上为单调递减函数，在 为单调递增函数．
（2）由 得，∴ ，
令 ，
当 时 ， 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
∴
故 ．
21．(12分）已知椭圆 的右顶点 ，P为椭圆C上的动点，且
点P不在x轴上，O是坐标原点， 面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的方程及离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆C交于另一点Q，直线 分别与y轴相交于点E，
F．当 时，求直线 的方程．
【答案】(1) ,
(2) 或
【分析】(1)由椭圆的右顶点 可得 ，若要 面积最大，则需 最长，此时
点P在 轴上， 面积可得 ，从而求得椭圆C的方程，再由 可求得
，从而可得离心率；
(2)设直线 的方程为： ，与椭圆联立方程组可解得一元二次方程，从
而可得出韦达定理的表达式，再通过直线 ， 的方程得出点E，F坐标，进而表达出
，从而可解得 ，求得直线 的方程.
【详解】（1）椭圆 ， ， ，
P为椭圆C上的动点，且点P不在x轴上，O是坐标原点，过点P 作 轴，垂足为
，故 面积为 ，
若要 面积最大，则需 最长，此时点P在 轴上，即 时，使得
面积最大， , ,
.
椭圆C的方程为 ，离心率为 .
（2）P为椭圆C上的动点，过点 的直线 与椭圆C交于另一点Q，
可记 ， ，
当直线 的斜率不存在时，即 轴时， ， 此时直线 分别与y
轴相交于点E，F．此时 ，不符合题意.
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为： ，联立 ，消去 可得 ,化简得 ，
由韦达定理可得 ，
所以 ，
由 ， ， ，则直线 的方程为： ，直线 的方程
为： ，因为直线 分别与y轴相交于点E，F，令 分别代入直线
,直线 可得：点 ， ，
又 ， 在直线 方程 上，所以有
，
分别代入 并化简可得
，
， ，则 ，解得 ， ，
故直线 的方程为： 或 ，
即 或 .（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系 中，直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极
点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为 ，直线l与曲
线C相交于A，B两点， ．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若 ，求直线l的斜率．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化 ，运算求解；（2）联立直
线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）∵ ，
则 ，
∴ ，即 ，
故曲线C的直角坐标方程为 .
（2）将直线l的参数方程为 （t为参数）代入曲线C的直角坐标方程为
，得 ，
整理得 ，
设A，B两点所对应的参数为 ，则 ，
∵ ，则 ，
联立 ，解得 ，
将 代入 得，解得 ，
故直线l的斜率为 .
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设 、 、 为正数，且 .证明：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）由不等式的基本性质可得出 ，利用反比例函数在 上的单调
性可证得结论成立；
（2）利用基本不等式可得出 ， ， ，利用不等式的
基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）证明：因为 、 、 为正数，由 可得
，
所以， ，
因为函数 在 上为增函数，故 .
（2）证明：由基本不等式可得 ， ，
，
由不等式的基本性质可得
，
当且仅当 时，等号成立，故 .
