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考向 02 充要条件、全称量词
与存在量词
（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙：
是递增数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】
当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说明
成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】
由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．
【点睛】
在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
1、如何判断两个条件的充分必要关系
pq,q p p q pq,q p p q
(1)定义法：若 ，则 是 的充分而不必要条件；若 ，则 是 的必
pq,q p p q pq,q p p q
要而不充分条件；若 ，则 是 的充要条件； 若 ，则 是 的既不充分
也不必要条件.
(2)等价法：即利用 pq与 q p；q p与 p q； p q与 q p的等价关系，对于条
件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3) 充要关系可以从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真
子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q
互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件.
2、充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的
不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
3、判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定特
称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立．
0 0
4、对全称命题、特称命题进行否定的方法：
(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；
(2)对原命题的结论进行否定．
概括为：含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
1、 充分条件与必要条件
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q⇏p
⇒
⇒p是q的必要不充分条件 p⇏q且q p
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p
⇔
2、全称量词与全称命题
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”❷在逻辑中通常叫作全称量词．
(2)全称命题：含有全称量词的命题．
(3)全称命题的符号表示：
形如“对M中的任意一个x，有p(x)成立”的命题，用符号简记为∀x∈M，p(x)．
3、存在量词与特称命题
(1)存在量词：短语“存在一个”❷“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词．
(2)特称命题：含有存在量词的命题．
(3)特称命题的符号表示：
形如“存在M中的元素x
0
，使p(x
0
)成立”的命题，用符号简记为∃x
0
∈M，p(x
0
)．
【知识拓展】
1、若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A B可得，p是q的充分条件，
请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ⊆
提示 若A B，则p是q的充分不必要条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A⊇ B，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
2、逻辑推理、数学运算——突破双变量“存在性或任意性”问题
逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关
键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间
的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.1．（2021·湖南衡阳市八中高三其他模拟）“ ”是“ ”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分又不必要条件
2．（2021·陕西西安市·高新一中高三二模（理））已知函数 ，则“函数
在 上单调递减”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. （2021·四川宜宾市·高三三模（文））命题 ：“ ， ”，则 为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2021·重庆南开中学高三其他模拟）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
1．（2021·辽宁高三其他模拟）“ ”是“直线 与圆 相切”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·安徽师范大学附属中学高三其他模拟（理））在 中， 、 是角 ， 所对的两条边．
下列六个条件中，是“ ”的充分必要条件的个数是（ ）．
① ； ② ； ③ ；④ ； ⑤ ； ⑥ ．
A．5 B．6 C．3 D．4
3．（2021·浙江高三其他模拟）已知直线l、m和平面 ．若 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021·浙江省杭州第二中学高三其他模拟）已知实数 ， ，则“ ”是“ ”
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2021·山东泰安市·高三三模）命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是（ ）
A．所有奇函数的图象都不关于原点对称 B．所有非奇函数的图象都关于原点对称
C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称 D．存在一个奇函数的图象关于原点对称
6．（2021·江西高三其他模拟（文））已知命题 ， ，则 的否定为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
7．（2021·北京市十一学校高三其他模拟）若命题 ， 是假命题，则实数 的
一个值为_____________．
8．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））命题“ ， ”的否定是_____．
1.（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）已知命题 ﹔命题 ﹐ ，则
下列命题中为真命题的是（ ）A． B． C． D．
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．（2020年浙江省高考数学试卷）已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平
面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设α，β为两个平面，则α∥β的充要条
件是
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
5．（2019年北京市高考数学试卷（文科））设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f
（x）为偶函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2019年北京市高考数学试卷（理科））设点A，B，C不共线，则“ 与 的夹角为锐角”是“
”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2019年天津市高考数学试卷（文科））设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（2019年天津市高考数学试卷（理科））设 ，则“ ”是“ ”的A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
9．（2019年浙江省高考数学试卷）若 ，则“ ”是 “ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
1．【答案】C
【分析】
分别求解“ ”与“ ”的充要条件再判断即可.
【详解】
易得当 时， （ ），
当 时， （ ），
显然当 （ ）时， ，
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：C．
【点睛】
方法点睛：判断充要条件的四种常用方法：1.定义法；2.传递性法；3.集合法；4.等价命题法.
2．【答案】A
【分析】
根据函数 在 上单调递减求出实数 的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】
函数 在 上单调递减 ，
，所以，“函数 在 上单调递减”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值
的大小关系得出关于参数的不等式组求解.
3. 【答案】D
【分析】
由特称命题的否定：将 ，否定原结论，即可写出 .
【详解】
命题为特称命题，其否定为全称命题，故原命题的否定为 ， ，
故选：D.
4．【答案】B
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可求解.
【详解】
解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“ ， ”的否定是： ， ，
故选：B.
1．【答案】C
【分析】
先求出直线 与圆 相切的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定
义即可得到结论.
【详解】解：直线 与圆 相切 圆心 到直线的距离等于半径 ，
即 ，∴ ，∴ ，
∴ 是直线 与圆 相切的充要条件.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键在于根据相切关系得到圆心到直线的距离等于半径，由此分析出直线与圆相
切的充要条件，则问题可判断.
2．【答案】A
【分析】
结合正弦定理、同角三角函数的基本关系式、 的单调性等知识进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意 ，
在三角形中，大角对大边，所以③ 正确.
由正弦定理得 ，即① 正确.
由于 , ，所以④ 正确.
故 ， ，⑤正确.
在区间 是减函数，所以② 正确.
当 时，⑥ 不成立，错误.
所以充分必要条件的个数有 个.
故选：A
3．【答案】A
【分析】
利用线面平行定理及充分条件必要条件判断即可．
【详解】解：充分性： ， ， ，故充分性成立．
必要性： ， ， ，则 与 平行或异面，故必要性不成立．
故“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
4．【答案】C
【分析】
根据“ ”与“ ”互相推出情况判断属于何种条件.
【详解】
当 时，则 中至少有一个数大于 ，不妨设此数为 ，
若 ，则 ，所以 ，所以 ，所以 ，
若 ，则 ，此时 显然成立，
若 ，此时 也显然成立，
所以充分性满足；
当 时，则 中至少有一个数大于 ，不妨设此数为 ，
若 ，则 ，因为 ，所以 ，
若 ，则 显然成立，
若 ，则 也显然成立，
所以必要性满足，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题在充分、必要条件问题的背景下考查不等式的性质，解答本题的关键在于分类讨论思想
的运用以及对不等式性质的理解.
5．【答案】C【分析】
根据全称命题的否定形式否定即可.
【详解】
全称命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是特称命题，
所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”.
故选:C
6．【答案】D
【分析】
由全称命题的否定可直接写得结论.
【详解】
先变量词，将“ ”改为“ ”，再改结论，将“ ”改为“ ”，
则 的否定为： ， .
故选：D.
7．【答案】 （ 上任一数均可）
【分析】
由命题 的否定是真命题易得 的范围．
【详解】
由题意 是真命题，
所以 ，解得 ．
故答案为： （ 上任一数均可）．
8．【答案】“ ， ”
【分析】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得解.
【详解】
根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“ ， ”的否定是“ ， ”．
故答案为：“ ， ”．
1. 【答案】A
【分析】
由正弦函数的有界性确定命题 的真假性，由指数函数的知识确定命题 的真假性，由此确定正确选项.
【详解】
由于 ，所以命题 为真命题；
由于 ，所以 ，所以命题 为真命题；
所以 为真命题， 、 、 为假命题.
故选：A．
2．【答案】B
【分析】
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
3．【答案】B
【分析】
将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件.
【详解】
依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
4．【答案】B
【分析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定
定理与性质定理即可作出判断．
【详解】
由面面平行的判定定理知： 内两条相交直线都与 平行是 的充分条件，由面面平行性质定理知，
若 ，则 内任意一条直线都与 平行，所以 内两条相交直线都与 平行是 的必要条件，
故选B．
【点睛】
面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若
，则 ”此类的错误．
5．【答案】C
【分析】
根据定义域为R的函数 为偶函数等价于 进行判断.
【详解】
时， , 为偶函数；
为偶函数时， 对任意的 恒成立，，得 对任意的 恒成立，从而 .从而“ ”是“
为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】
本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
6．【答案】C
【分析】
由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.
【详解】
∵A､B､C三点不共线,∴
| + |>| | | + |>| - |
| + |2>| - |2 • >0 与
的夹角为锐角.故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件,故选C.
【点睛】
本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积,同时考查了转化与化归数学思想.
7．【答案】B
【分析】
求出 的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
等价于 ，故 推不出 ；
由 能推出 ．
故“ ”是“ ”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】
充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断；
(2)集合法：根据由⇒p，q成⇒立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这
个方法特别适合以否定形式给出的问题．
8．【答案】B
【分析】
分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】
化简不等式，可知 推不出 ；
由 能推出 ，
故“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】
本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件．
9．【答案】A
【分析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取 的值，推出矛
盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】
当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述，“ ”是“
”的充分不必要条件.
【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取
的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
