考点04不等式及性质（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

考点 04 不等式及性质
【命题解读】
不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大
小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。
【基础知识回顾】
1、两个实数比较大小的依据
(1)a－b＞0⇔a＞b.
(2)a－b＝0⇔a＝b.
(3)a－b＜0⇔a＜b.
2、不等式的性质
(1)对称性：a>b⇔b<a；
(2)传递性：a>b，b>c⇒ac；
(3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c； a > b ， c > d ⇒ a ＋ c > b ＋ d ；
(4)可乘性： a > b ， c >0 ⇒ ac > bc;
a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；  c<0时应变号．
(5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)；
(6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)．
3、常见的结论
(1)a>b，ab>0⇒<.
(2)a<0<b⇒<.
(3)a>b>0,0<c<d⇒>.
(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<.
4、两个重要不等式
若a>b>0，m>0，则
(1)<；>(b－m>0)．
(2)>；<(b－m>0)．
1、下列四个命题中，为真命题的是( )A．若a>b，则ac2>bc2
B．若a>b，c>d，则a－c>b－d
C．若a>|b|，则a2>b2
D．若a>b，则<
【答案】 C
【解析】 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不
成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C．
2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 ， ，则下列不等式中
恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】
当 ，满足条件．但 不成立，故A错误，
当 时， ，故B错误，
， ，则 ，故C正确，
， ，故D正确.
故选：CD．
3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）.
1 1

A．若ab，则b a
a b

B．若a b0，cd 0，则d cc c

C．若a b0，且c0，则a2 b2
1 1

D．若ab，且a b ，则ab0
【答案】BCD
【解析】
1 1

选项A：当取a1，b1时，b a ，∴本命题是假命题.
1 1
  0
选项B：已知ab0，cd 0，所以 d c ，
a b a b
  
∴ d c ，故d c ，∴本命题是真命题.
1 1
ab0a2 b2 00 
选项C： a2 b2 ，
c c

∵c0，∴a2 b2 ，∴本命题是真命题.
1 1 1 1 ba
   0 0
选项D：a b a b ab ，
ab ba0 ab0
∵ ，∴ ，∴ ，∴本命题是真命题.
故选：BCD
4、若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．
【答案】＜
【解析】：易知a，b都是正数，＝＝log 9＞1，所以b＞a.
8
5、已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________．
【答案】：(－4,2) (1,18)
【解析】∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，
∴－4<x－y<2.
由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.
考向一 不等式的性质
例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 则
【答案】BC
【解析】
若 ， ，则 ，故A错；
若 ， ，则 ，化简得 ，故B对；
若 ，则 ，又 ，则 ，故C对；
若 ， ， ， ，则 ， ， ，故D错；
故选：BC．
变式1、若＜＜0，给出下列不等式：①＜；②|a|＋b＞0；③a－＞b－；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式
是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】 C
【解析】方法一 因为＜＜0，故可取a＝－1，b＝－2.显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④
错误.综上所述，可排除A，B，D.
方法二 由＜＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，
所以a－＞b－，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋
∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
变式2、已知x，y∈R，且x>y>0，则( )
A．－>0 B．sinx－siny>0
C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0
【答案】 C
【解析】 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，x<y，即x－y<0，故C正确；函数y＝在(0，
＋∞)上为减函数，∴由x>y>0 < －<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不
能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故D错误．
⇒ ⇒
变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4
b bm

C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则a am
【答案】AD
【解析】
ab0 a2 b2
对于A，若 ，根据不等式的性质则 ，故A正确；
a 2 b2 ab44
对于B，当 ， 时， ，显然B错误；
c=0 ac2 bc2
对于C，当 时， ，故C错误；
b bm bamabm bam
  
对于D，a am aam aam，
bam
0
因为 ， ，所以 ， ，所以aam
a b0 m0 ba0 am0b bm b bm
 0 
所以a am ，即a am 成立，故D正确．
故选AD．
方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等
式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的
代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持
不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等.
考向二 不等式的比较大小
例2、设a>b>0，试比较与的大小．
解法一(作差法)：
－＝
＝ ．
因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0．
所以 >0，所以>．
解法二(作商法)：
因为a>b>0，所以>0，>0．
所以＝ ＝＝1＋>1．
所以>．
变式1、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p<q B．p≤q
C．p>q D．p≥q
【答案】： B
【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.
综上，p≤q.故选B.
变式2、已知a>b>0，比较aabb与abba的大小．
(a) a−b
b
【解析】∵ ＝＝ ，
又a>b>0，故>1，a－b>0，
(a) a−b
b
∴ >1，即>1，
又abba>0，∴aabb>abba，
∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.
变式3、设0<x<1，a>0且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小
a a
解法一：当a>1时，由0<x<1知，
log (1－x)<0，log (1＋x)>0，
a a
∴|log (1－x)|－|log (1＋x)|
a a
＝－log (1－x)－log (1＋x)＝－log (1－x2)，
a a a
∵0<1－x2<1，
∴log (1－x2)<0，从而－log (1－x2)>0，
a a
故|log (1－x)|>|log (1＋x)|．
a a
当0<a<1时，同样可得|log (1－x)|>|log (1＋x)|．
a a
解法二(平方作差)：
|log (1－x)|2－|log (1＋x)|2
a a
＝[log (1－x)]2－[log (1＋x)]2
a a
＝log (1－x2)·log
a a
＝log (1－x2)·log >0．
a a
∴|log (1－x)|2>|log (1＋x)|2，
a a
故|log (1－x)|>|log (1＋x)|．
a a
方法总结：比较大小的方法
(1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．
(2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．
(3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小
考向三 运用不等式求代数式的取值范围
例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________.
【答案】[5，10]【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
变式1、设 那么 的取值范围是____________．
【答案】
【解析】：由题设得
∴ ，∴
变式2、(2020·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( )
A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π
C．－<2α－β< D．0<2α－β<π
【答案】C
【解析】：∵－<α<，∴－π<2α<π.
∵－<β<，∴－<－β<，
∴－<2α－β<.
又α－β<0，α<，∴2α－β<.
故－<2α－β<.
方法总结：求代数式的取值范围
一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围
1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数，
，所以 ，故选C．
2、（2016•新课标Ⅰ，理8）若 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， 函数 在 上为增函数，故 ，故 错误，
∵函数 在 上为减函数，故 ，故 ，即 ；故 错误；
∵ ，且 ， ，即 ，即 ．故 错误；
，故 ，即 ，即 ，故 正确；故选
．
3、（2014山东）若 ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以 ，
故选D．
4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
对A，由指数函数的单调性可知，当 ，有 ，故A 正确；
对B，当 时， 不成立，故B错误；对C，当 时， 不成立，故C错误；
对D， 成立，从而有 成立，故D正确；
故选：AD.
5、已知 ， ，则 的取值范围是
【答案】
【解析】令
则 ，
∴ ，
又 ，…∴①
，
∴ …②
∴① ②得 ．
则 ．
6、若 则 的大小关系是________．
【答案】
【解析】：
7、(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤；
(2)已知c>a>b>0，求证：>.
证明 (1)∵bc≥ad，bd>0，∴≥，∴＋1≥＋1，∴≤.
(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.
∵a>b>0，∴<，
又∵c>0，∴<，∴<，
又c－a>0，c－b>0，∴>.
8、已知1<a<4,2<b<8，试求a－b与的取值范围．
【解析】：因为1<a<4,2<b<8，
所以－8<－b<－2.
所以1－8<a－b<4－2，
即－7<a－b<2.
又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
故a－b的取值范围为(－7,2)，的取值范围为.