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考点04不等式及性质（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新

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考点04不等式及性质（解析版）_02高考数学_新高考复习资料_2022年新高考资料_备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）8.2更新
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文档格式
docx
文档大小
0.329 MB
文档页数
11 页
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2026-04-20 03:16:21

文档内容

考点 04 不等式及性质 【命题解读】 不等式的性质是新高考常考查的知识点，主要常见于单选题或者多选题中出现。考查不等式的比较大 小，常用的方法一是运用不等式的性质进行判断，二是运用特殊化进行排除。 【基础知识回顾】 1、两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2、不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒ac； (3)可加性：a>b⇔a＋cb＋c； a > b ， c > d ⇒ a ＋ c > b ＋ d ； (4)可乘性： a > b ， c >0 ⇒ ac > bc; a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；  c<0时应变号． (5)可乘方性：a>b>0⇒anbn(n∈N，n≥1)； (6)可开方性：a>b>0⇒ (n∈N，n≥2)． 3、常见的结论 (1)a>b，ab>0⇒<. (2)a<0b>0,0. (4)0b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)． (2)>；<(b－m>0)． 1、下列四个命题中，为真命题的是( )A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，c>d，则a－c>b－d C．若a>|b|，则a2>b2 D．若a>b，则< 【答案】 C 【解析】 当c＝0时，A不成立；2>1，3>－1，而2－3<1－(－1)，故B不成立；a＝2，b＝－1时，D不 成立；由a>|b|知a>0，所以a2>b2，故选C． 2、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）（多选题）设 ， ，则下列不等式中 恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】 当 ，满足条件．但 不成立，故A错误， 当 时， ，故B错误， ， ，则 ，故C正确， ， ，故D正确. 故选：CD． 3、（2020江苏盐城中学月考）（多选题）下列命题为真命题的是（ ）. 1 1  A．若ab，则b a a b  B．若a b0，cd 0，则d cc c  C．若a b0，且c0，则a2 b2 1 1  D．若ab，且a b ，则ab0 【答案】BCD 【解析】 1 1  选项A：当取a1，b1时，b a ，∴本命题是假命题. 1 1   0 选项B：已知ab0，cd 0，所以 d c ， a b a b    ∴ d c ，故d c ，∴本命题是真命题. 1 1 ab0a2 b2 00  选项C： a2 b2 ， c c  ∵c0，∴a2 b2 ，∴本命题是真命题. 1 1 1 1 ba    0 0 选项D：a b a b ab ， ab ba0 ab0 ∵ ，∴ ，∴ ，∴本命题是真命题. 故选：BCD 4、若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)． 【答案】＜ 【解析】：易知a，b都是正数，＝＝log 9＞1，所以b＞a. 8 5、已知－1y>0，则( ) A．－>0 B．sinx－siny>0 C．x－y<0 D．ln x＋ln y>0 【答案】 C 【解析】 函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，∴当x>y>0时，xy>0 < －<0，故A错误；函数y＝sinx在(0，＋∞)上不单调，当x>y>0时，不 能比较sinx与siny的大小，故B错误；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故D错误． ⇒ ⇒ 变式3、（2020·邵东创新实验学校高三月考）下列不等式成立的是（ ） A．若a＜b＜0，则a2＞b2 B．若ab＝4，则a＋b≥4 b bm  C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若a＞b＞0，m＞0，则a am 【答案】AD 【解析】 ab0 a2 b2 对于A，若 ，根据不等式的性质则 ，故A正确； a 2 b2 ab44 对于B，当 ， 时， ，显然B错误； c=0 ac2 bc2 对于C，当 时， ，故C错误； b bm bamabm bam    对于D，a am aam aam， bam 0 因为 ， ，所以 ， ，所以aam a b0 m0 ba0 am0b bm b bm  0  所以a am ，即a am 成立，故D正确． 故选AD． 方法总结：判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等 式的性质，常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：①不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的 代数式是正数、负数或0；②不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持 不变；③不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等. 考向二 不等式的比较大小 例2、设a>b>0，试比较与的大小． 解法一(作差法)： －＝ ＝ ． 因为a>b>0，所以a＋b>0，a－b>0，2ab>0． 所以 >0，所以>． 解法二(作商法)： 因为a>b>0，所以>0，>0． 所以＝ ＝＝1＋>1． 所以>． 变式1、若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( ) A．pq D．p≥q 【答案】： B 【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b ＝＋＝(b2－a2)· ＝＝， 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0. 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故pb>0，比较aabb与abba的大小． (a) a−b b 【解析】∵ ＝＝ ， 又a>b>0，故>1，a－b>0， (a) a−b b ∴ >1，即>1， 又abba>0，∴aabb>abba， ∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba. 变式3、设00且a≠1，比较|log (1－x)|与|log (1＋x)|的大小 a a 解法一：当a>1时，由00， a a ∴|log (1－x)|－|log (1＋x)| a a ＝－log (1－x)－log (1＋x)＝－log (1－x2)， a a a ∵0<1－x2<1， ∴log (1－x2)<0，从而－log (1－x2)>0， a a 故|log (1－x)|>|log (1＋x)|． a a 当0|log (1＋x)|． a a 解法二(平方作差)： |log (1－x)|2－|log (1＋x)|2 a a ＝[log (1－x)]2－[log (1＋x)]2 a a ＝log (1－x2)·log a a ＝log (1－x2)·log >0． a a ∴|log (1－x)|2>|log (1＋x)|2， a a 故|log (1－x)|>|log (1＋x)|． a a 方法总结：比较大小的方法 (1)作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论． (2)作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论． (3)构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小 考向三 运用不等式求代数式的取值范围 例3、设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________. 【答案】[5，10]【解析】方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. 于是得解得 ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1). 又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10. 变式1、设 那么 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】：由题设得 ∴ ，∴ 变式2、(2020·天津模拟)若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是( ) A．－π<2α－β<0 B．－π<2α－β<π C．－<2α－β< D．0<2α－β<π 【答案】C 【解析】：∵－<α<，∴－π<2α<π. ∵－<β<，∴－<－β<， ∴－<2α－β<. 又α－β<0，α<，∴2α－β<. 故－<2α－β<. 方法总结：求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围 1、（2019年高考全国II卷理数）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【解析】取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取 ，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以 ，故选C． 2、（2016•新课标Ⅰ，理8）若 ， ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ， ， 函数 在 上为增函数，故 ，故 错误， ∵函数 在 上为减函数，故 ，故 ，即 ；故 错误； ∵ ，且 ， ，即 ，即 ．故 错误； ，故 ，即 ，即 ，故 正确；故选 ． 3、（2014山东）若 ， ，则一定有（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以 ， 故选D． 4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）若 ，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 对A，由指数函数的单调性可知，当 ，有 ，故A 正确； 对B，当 时， 不成立，故B错误；对C，当 时， 不成立，故C错误； 对D， 成立，从而有 成立，故D正确； 故选：AD. 5、已知 ， ，则 的取值范围是 【答案】 【解析】令 则 ， ∴ ， 又 ，…∴① ， ∴ …② ∴① ②得 ． 则 ． 6、若 则 的大小关系是________． 【答案】 【解析】： 7、(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：≤； (2)已知c>a>b>0，求证：>. 证明 (1)∵bc≥ad，bd>0，∴≥，∴＋1≥＋1，∴≤. (2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0. ∵a>b>0，∴<， 又∵c>0，∴<，∴<， 又c－a>0，c－b>0，∴>. 8、已知1
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