文档内容
考点 04 函数及其性质（20 种题型 10 个易错考点）
一、 真题多维细目表
考题 考点 考向
2022新高考1，第12题 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求函数值
2022新高考2，第8题 函数奇偶性与周期性 利用周期性求值
2021新高考1，第13题 函数奇偶性与周期性 利用奇偶性求解参数的值
2021 全国乙理，第4题 函数奇偶性与周期性 判断函数奇偶性
2020新高考1，第8题 函数奇偶性与周期性 解不等式
2020 新高考2，第7题 函数单调性与最值 利用单调性求参数的取值范围
二、命题规律与备考策略
本专题一般不会出现单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性，或将函
数的性质融入函数图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式
等知识进行求解。
三、 2022 真题抢先刷，考向提前知
1．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f
（y），f（1）＝1，则 f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
2．（2021•新高考Ⅱ）已知函数f（x）的定义域为R（f（x）不恒为0），f（x+2）为偶
函数，f（2x+1）为奇函数，则（ ）
A．f（﹣ ）＝0 B．f（﹣1）＝0 C．f（2）＝0 D．f（4）＝0
3．（2021•新高考Ⅱ）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f（x）：
．
①f（xx）＝f（x）f（x）；②当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0；③f′（x）是
1 2 1 2
奇函数．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知函数 f（x）＝x3（a•2x﹣2﹣x）是偶函数，则 a＝
．
5．（2021•新高考Ⅰ）函数f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为 ．
四、考点清单
一．函数的概念及其构成要素
初中函数的定义：
设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对
应，那么就说y是x的函数，
学科网（北京）股份有限公司 1x叫自变量，y叫因变量．
高中函数的定义：
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任
意一个数x，在集合中B
都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为A→B从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f（x），x∈A．
其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数
值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集．
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
注意：①值域由定义域和对应关系唯一确定；
②f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f
与x的乘积．在不同的函数中f的具体含义不同，
由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等．函数除了可用符号 f（x）
表示外，还可用g（x），F（x）等表示．
【解题方法点拨】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法．
【命题方向】由于函数是代数的基础部分，能够与高中数学的各个部分相结合，所以高考
中函数命题比较多，以小题与大题出现，
可以考查函数的定义域，值域，具体函数也可以考查抽象函数，函数的性质，与导数相联
系常常是压轴题，难度比较大．
二．判断两个函数是否为同一函数
函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察
两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以
函数是否为相同函数命题比较少．
三．函数的定义域及其求法
【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围．
求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；
②根式（开偶次方）被开方式≥0；
③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；
④指数为零时，底数不为零．
⑤实际问题中函数的定义域；
【解题方法点拨】
求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组．（1）当函数是由解析式给出时，其定
义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域
的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须
为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是
同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）
学科网（北京）股份有限公司 2抽象函数的定义域：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围
是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范
围．
【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题．
四．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换
元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生
具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数
的压轴题中出现，是常考题型．
五．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数
的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，
函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定
系数法．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是
基础题．
六．函数的表示方法
【知识点的认识】1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法
叫列表法．
2、图象法：在坐标平面中用曲线的表示出函数关系．即图象上的任意点的坐标满足函数的
关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫作图象法．
3、解析法：用解析式把把x与y的对应关系表述出来，y＝f（x）；这种方法叫做解析法．
图象法，比较常用，经常和解析式结合起来理解函数的性质．
【解题方法点拨】函数的三种表示方法间具有互补性，因此在实际研究问题时，通常是三
种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，可以根据解析式画出函
数图象，数形结合更清晰、直观，如何画函数图象？列表法，通常取其自变量的部分值，
学科网（北京）股份有限公司 3根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再根据表格，在平面直角坐
标系中描点，形成该函数的图象．
【命题方向】函数的表示方法的选择，与集合以及映射，函数的定义域与值域，考题一般
是基础题．
七．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）
连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应
法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象
有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、
周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点
连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|
x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的
曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
学科网（北京）股份有限公司 4（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利
用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平
移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到
比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性
从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数
求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出
每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函
数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助
我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获
取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
学科网（北京）股份有限公司 5①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋
势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分
析解决问题．
八．分段函数的解析式求法及其图象的作法
【知识点的认识】
分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数．若函数在定义域的不同子集上的对
应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数．已知一个分段函数
在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题．
【解题方法点拨】
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2、换元法或配凑法，已知复合函数f[g（x）]的表达式可用换元法，当表达式较简单时也
可用配凑法；
3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法．分段函数是一类重要
的函数模型．解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题．
【命题方向】
分段函数是今后高考的热点题型．常考题型为函数值的求解，不等式有关问题，函数的图
形相联系的简单问题．
九．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变
量x，x，
1 2
当x＜x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x＜
1 2 1 2 1
x时，都有f（x）＞f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
2 1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）
单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应
用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能
用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x，x∈[a，b]且x≠x，那么
1 2 1 2
① ⇔f（x）在[a，b]上是增函数；
学科网（北京）股份有限公司 6f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x﹣x）[f（x）﹣f（x）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
1 2 1 ⇔ 2
（x
1
﹣x
2
）[f（x
1
）﹣f（x
2
）]＜0 f⇔（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
⇔
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，
课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调
性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答
题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题
在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类
讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单
调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
十．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个
自变量x，x，
1 2
当x＜x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x＞
1 2 1 2 1
x时，都有f（x）＜f（x），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
2 1 2
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格
的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、
指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小
开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、
最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的
取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热
点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调
学科网（北京）股份有限公司 7性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考
查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数
求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重
点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
十一．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调
性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
十二．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高
点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可
得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距
离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视
本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范
围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导
法等．
十三．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
学科网（北京）股份有限公司 8③已知奇函数大于 0的部分的函数表达式，求它的小于 0的函数表达式，如奇函数f
（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣
x2+x
⇒
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题
方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝
f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f
（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查
对偶函数性质的灵活运用．
十四．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f
（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f
（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数
f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，
确保答题的正确率．
十五．奇偶函数图象的对称性
【知识点的认识】
奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点
是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n
时，f（﹣x）＝n．
【解题方法点拨】
由函数图象的对称性可知：①奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函
学科网（北京）股份有限公司 9数的单调性相反．
eg：若奇函数f（x）在区间[1，3]内单调递增，且有最大值和最小值，分别是7和4，求
函数f（x）在区间[﹣3，﹣1]内的最值．
解：由奇函数的性质可知，f（x）在[﹣3，﹣1]上位单调递增函数，
那么最小值为f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣7；最大值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣4
【命题方向】
本知识点是高考的一个重点，同学首先要熟悉奇偶函数的性质并灵活运用，然后要多多总
结，特别是偶函数与周期性相结合的试题，现在的一个命题方式是已知周期偶函数某一小
段内与x轴交点的个数，求在更大范围内它与x轴的交点个数，同学们务必多多留意．
十六．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，
所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在
重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都
有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于
原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总
结，一定要重视这一个知识点．
十七．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它
的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
学科网（北京）股份有限公司 10抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考
中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
十八．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T）
恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无
最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解
题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
十九．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于 0等），此时，函数中的参数成为限
制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此
适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进
行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做
题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a≤ 恒成立
即a≤x+ +2
a≤2 +2
【命题方向】
⇒
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的
考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
二十．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域
一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
学科网（北京）股份有限公司 11①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+ 的最小值，有2x+ ≥2 ＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距
离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，
方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
五、题型方法
一．函数的概念及其构成要素（共2小题）
1．（2023•西宁二模）已知图1对应的函数为y＝f（x），则图2对应的函数是（ ）
A．y＝f（﹣|x|） B．y＝f（﹣x） C．y＝f（|x|） D．y＝﹣f（﹣x）
（多选）2．（2023•福建二模）对任意实数x，记[x]为不超过x的最大整数，并称函数y
＝[x]为高斯函数，又称取整函数．如下m个数：[ ]，[ ]，[ ]，
…，[ ]可组成一个72元集合，则下列m的取值中不满足要求的有（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115
二．判断两个函数是否为同一函数（共1小题）
3．（2022•河东区模拟）下列函数与f（x）＝x+1是同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．g（x）＝elnx+1
三．函数的定义域及其求法（共3小题）
4．（2023•海南一模）函数 的定义域为（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，1）∪（1，2]
C．[1，2] D．（﹣∞，1]
5．（2023•延庆区一模）已知函数 的定义域为A，且﹣3∈A，则a的取值范围是
．
6．（2023•泸县校级模拟）已知函数f（x）＝ 的定义域为R．
（1）求实数m的范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足 + ＝n时，求4a+7b的最小值．
学科网（北京）股份有限公司 12四．函数的值域（共4小题）
7．（2023•全国模拟）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有
“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y＝[x]，[x]表示不超过x的最大整数，例如
[1.1]＝1，[﹣1.1]＝﹣2．已知 ， ，则函数f（x）的值
域为（ ）
A．{4，6，8} B．{4，5，6} C．{4，5，6，7，8} D．{4，8}
（多选）8．（2023•广州二模）已知函数 的定义域是[a，b]（a，
b∈Z），值域为[0，1]，则满足条件的整数对（a，b）可以是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣1，1） C．（0，2） D．（﹣1，2）
9．（2023•南部县校级模拟）设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，
若对任意x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1成立，则称f（x）和g（x）在[a，b]
上是“亲密函数”，区间[a，b]称为“亲密区间”．若f（x）＝x2﹣3x+4与g（x）＝
2x﹣1在[a，b]上是“亲密函数”，则b﹣a的最大值是 ．
10．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数f（x）＝ ，若f（x）在
区间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为 ．
五．函数解析式的求解及常用方法（共3小题）
11．（2023•赤峰模拟）已知函数f（x）的部分图像如图，则函数f（x）的解析式可能为
（ ）
A．f（x）＝（ex﹣e﹣x）sinx B．f（x）＝（ex+e﹣x）sinx
C．f（x）＝（ex﹣e﹣x）cosx D．f（x）＝（ex+e﹣x）cosx
12．（2023•浙江模拟）定义在R上的非常数函数f（x）满足：f（﹣x）＝f（x），且f
（2﹣x）+f（x）＝0．请写出符合条件的一个函数的解析式 f（x）＝
．
学科网（北京）股份有限公司 1313．（2023•武功县校级模拟）已知函数f（x）满足f（x）+2f（ ）＝x，则函数f（x）
的解析式为 ．
六．函数的表示方法（共2小题）
14．（2023•广西模拟）2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，各种用途占比统计
如下面的条形图．后来晓文同学加强了体育锻炼，目前月工资的各种用途占比统计如图
的折线图．已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为
（ ）
A．7000 B．7500 C．8500 D．9500
15．（2023•丽江一模）据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，
如下表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情
况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：
．
七．函数的图象与图象的变换（共2小题）
16．（2023•河南模拟）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣2，2]上的大致图象，
则该函数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 14A．
B．
C．
D．
17．（2023•南宁二模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
八．分段函数的解析式求法及其图象的作法（共1小题）
18．（2022•上虞区模拟）设函数 ，则f[f（1）]＝ ，若
f（a）＞1，则实数a的取值范围是 ．
九．函数的单调性及单调区间（共2小题）
19．（2022•吉林模拟）下列函数在其定义域上单调递增的是（ ）
A．y＝2x﹣2﹣x B．y＝x﹣3 C．y＝tanx D．
20．（2022•黄浦区模拟）已知函数f（x）＝ ．
学科网（北京）股份有限公司 15（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求证：函数f（x）的图象关于直线y＝ x对称；
（3）某同学经研究发现，函数f（x）的图象为双曲线，x＝0和y＝ 为其两条渐近
线，试求出其顶点，焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证．
一十．函数单调性的性质与判断（共2小题）
21．（2023•台州二模）已知函数f（x）同时满足性质：①f（﹣x）＝f（x）；②当
∀x
1
，x
2
∈（0，1）时， ，则函数f（x）可能为（ ）
A．f（x）＝x2 B．
C．f（x）＝cos4x D．f（x）＝ln（1﹣|x|）
22．（2023•泸县校级模拟）函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，
③ ．请写出满足上述条件的一个函数f（x），f（x）＝
．
一十一．复合函数的单调性（共4小题）
23．（2023•济宁一模）若函数f（x）＝log （ax﹣x3）（a＞0且a≠1）在区间（0，1）
a
内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[3，+∞） B．（1，3] C． D．
（多选）24．（2023•渝中区校级模拟）若 ，其中e为自然对数的
底数，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）在（0，+∞）上单调递增
B．f（x）在（0，+∞）上单调递减
C．f（x）的图象关于直线x＝0对称
D．f（x）的图象关于点（0，0）中心对称
25．（2023•重庆模拟）函数 的单调减区间为 ．
学科网（北京）股份有限公司 1626．（2023•安康一模）已知函数 ．
（1）若f（1）＝3，求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，
请说明理由．
一十二．函数的最值及其几何意义（共3小题）
27．（2023•安徽二模）在平面直角坐标系xOy中，定义A（x，y），B（x，y）两点间
1 1 2 2
的折线距离d（A，B）＝|x﹣x|+|y﹣y|，该距离也称曼哈顿距离．已知点M（2，
1 2 1 2
0），N（a，b），若d（M，N）＝2，则a2+b2﹣4a的最小值与最大值之和为（ ）
A．0 B．﹣2 C．﹣4 D．﹣6
28．（2023•广东模拟）若存在常数a，b，使得函数f（x）对定义域内的任意x值均有f
（x）+f（2a﹣x）＝2b，则f（x）关于点（a，b）对称，函数f（x）称为“准奇函
数”．现有“准奇函数”g（x），对于∀x∈R，g（x）+g（﹣x）＝4，则函数h（x）＝
sinx+x+2g（x）﹣1在区间[﹣2023，2023]上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
29．（2023•江西模拟）已知函数 的最小值为m．
（1）求m的值；
（2）若a＞0，b＞0，a+b＝m，求 的最大值．
学科网（北京）股份有限公司 17一十三．奇函数、偶函数（共1小题）
30．（2023•重庆一模）设函数f（x）定义域为R，且f（x）﹣1是奇函数，当0≤x≤2时，
f（x）＝ +1；当x＞2时，f（x）＝2|x﹣4|+1．当k变化时，方程f（x）﹣kx﹣
1＝0的所有根从小到大记为x，x，…，x，则f（x）+f（x）+…+f（x）取值的集
1 2 n 1 2 n
合为（ ）
A．{1，3} B．{1，3，5} C．{1，3，5，7} D．{1，3，5，7，9}
一十四．函数奇偶性的性质与判断（共2小题）
31．（2023•江西模拟）若f（x）是定义在R上的奇函数，则下列函数是奇函数的是（
）
A．y＝f（2x+2﹣x） B．y＝f（2﹣x）
C．y＝f（2x﹣2﹣x） D．y＝f（2x+x）
32．（2023•贵州模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣1，下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）在（0，+∞）上单调递增
C．f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．f（x）的图象与x轴围成的三角形面积为2
一十五．奇偶函数图象的对称性（共1小题）
33．（2023•晋中模拟）已知函数 ，则f（x）的图象（ ）
A．关于直线x＝2对称 B．关于点（2，0）对称
C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称
一十六．奇偶性与单调性的综合（共3小题）
34．（2023•商丘模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）＝0，且f（x）在
（0，+∞）上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣3，0）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
35．（2023•房山区一模）已知函数f（x）同时满足以下两个条件：①对任意实数x，都有
f（x） +f（ ﹣ x） ＝ 0 ； ② 对 任 意 实 数 x ，x ， 当 x+x≠ 0 时 ， 都 有
1 2 1 2
．则函数f（x）的解析式可能为（ ）
A．f（x）＝2x B．f（x）＝﹣2x C．f（x）＝2x D．f（x）＝﹣2x
36．（2023•抚松县校级一模）已知函数f（x）＝1﹣ （a＞0且a≠1）为定义在R
上的奇函数．
（1）利用单调性的定义证明函数f（x）在R上单调递增；
学科网（北京）股份有限公司 18（2）求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集．
（3）若函数g（x）＝kf（x）﹣1有零点，求实数k的取值范围．
一十七．抽象函数及其应用（共3小题）
37．（2023•南宁二模）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，g'（x）为g（x）的导
函数，且f（x）+g'（x）＝2，f（x）﹣g'（4﹣x）＝2，若g（x）为偶函数，则f
（2022）+2＝（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
（多选）38．（2023•湖南模拟）已知函数f（x）满足：①f（a+x）为偶函数；②f
（c+x）+f（c﹣x）＝2d，a≠c．f'（x）是f（x）的导函数，则下列结论正确的是（
）
A．f'（x）关于x＝c对称
B．f（2x）的一个周期为2|c﹣a|
C．f（f（x））不关于（c，d）对称
D．f（f（x））关于x＝a对称
39．（2023•宣威市校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，且对任意实数x，y
满足f（x﹣y）＝f（x）+f（y）+xy﹣1恒成立．
（1）求f（0），f（1）；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若方程f[（f（2x）]＝k恰有两个实数根在（﹣2，2）内，求实数k的取值范围．
一十八．函数的周期性（共2小题）
40．（2023•鞍山一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若
x∈[0，1]，f（x）＝2x，则f（2023）＝（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
41．（2023•新乡模拟）已知函数f（4x+3）的周期为1，则（ ）
A．f（x+2）﹣f（x﹣2）＝0 B．f（x+1）﹣f（x）＝0
C．f（x+2）+f（x﹣2）＝0 D．f（x+1）+f（1﹣x）＝0
一十九．函数恒成立问题（共8小题）
学科网（北京）股份有限公司 1942．（2023•南昌县校级二模）已知函数f（x）＝|x+a|．
（1）当a＝﹣4时，若不等式f（x）≥m﹣|x﹣2|恒成立，求m的取值范围；
（2）当x∈[0，1]，若不等式f（x）≤|x2﹣3|+x2恒成立，求实数a的取值范围．
43．（2023•宜宾模拟）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|x+3|．
（1）求不等式f（x）≤6的解集；
（2）∀x∈[0，2]，f（x）≥a|2x+1|，求实数a的取值范围．
44．（2023•中卫一模）已知关于x的不等式 在（1，e3）上恒成立，
则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
（多选）45．（2023•文昌模拟）记f'（x）、g'（x）分别为函数f（x）、g（x）的导函
数，若存在x∈R，满足f（x）＝g（x）且f'（x）＝g'（x），则称x为函数f
0 0 0 0 0 0
（x）与g（x）的一个“S点”，则下列说法正确的为（ ）
A．函数f（x）＝ex与g（x）＝x+1存在唯一“S点”
B．函数f（x）＝lnx与g（x）＝x﹣2存在两个“S点”
C．函数f（x）＝x与g（x）＝x2+2x﹣2不存在“S点”
D．若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，则
46．（2023•平顶山模拟）已知函数f（x）＝|2x+a|﹣|2x﹣1|．
（1）若a＞0，f（x）的最大值为4，求f（x）＜3的解集；
（2）若x∈（﹣1，0）时，f（x）＞x2成立，求实数a的取值范围．
47．（2023•奉贤区二模）设函数y＝f（x）的定义域是R，它的导数是f'（x）．若存在
常数m（m∈R），使得f（x+m）＝﹣f'（x）对一切x恒成立，那么称函数y＝f（x）具
有性质P（m）．
学科网（北京）股份有限公司 20（1）求证：函数y＝ex不具有性质P（m）；
（2）判别函数y＝sinx是否具有性质P（m）．若具有求出m的取值集合；若不具有请
说明理由．
48．（2023•广西模拟）已知函数 ，
（1）当a＝3时，求f（x）的最小值；
（2）若对∀m∈（0，6），∀x∈R，不等式 恒成立，求a的取值范
围．
49．（2023•丰城市模拟）已知f（x）＝|2x+1|+|x﹣1|．
（1）解不等式f（x）≥6；
（2）对任意x∈[0，3]，都有f（x）≤x2+a+b+c恒成立，求a2+b2+c2的最小值．
二十．函数的值（共3小题）
50．（2023•深圳二模）已知函数 则f（f（2））＝（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
51．（2022•兴庆区校级二模）设 ，那么f（n+1）
﹣f（n）等于（ ）
学科网（北京）股份有限公司 21A． B．
C． D．
52．（2023•黄山模拟）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德•黎曼发现并
提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在 上，其解析式如下：
，定义在实数集上的函数 f（x），g
（x）满足f（﹣x）＝5﹣g（2+x），g（x）＝9+f（x﹣4），且函数g（x）的图象关于
直线 x＝2 对称，g（2）＝2，当 x∈（0，1）时，f（x）＝R（x），则
＝ ．
六、易错分析
易错点1：求函数的单调区间忽视定义域致错
函数y＝的单调递减区间为( )
A. B.
C．[0，＋∞) D．(－∞，－3]
易错点2：判断函数的奇偶性忽视定义域致错
|x+1|
判断函数f(x)＝ 的奇偶性：
易错点3：有关分段函数的不等式问题忽视定义域致错
设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为__________．
易错点4：有关抽象函数的不等式问题忽视定义域致错
设a∈R，已知函数y＝f(x)是定义在[－4,4]上的减函数，且f(a＋1)>f(2a)，则a的取值
范围是( )
A．[－4,1) B．(1,4] C．(1,2] D．C．（1，＋∞)
易错点5：有关分段函数的单调性问题忽视端点值致错
已知函数f(x)＝在R上单调递增，则实数a的取值范围为________．
易错点6：有关奇函数的解析式忽视自变量0的函数值致错
已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为
_______．
易错点7：使用换元法忽视新变量的取值范围致错
若f(2x)＝4x－2x，则f(x)＝________.
学科网（北京）股份有限公司 22易错点8：忽视零点存在性定理前提条件而致错
对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A．方程f(x)＝0一定有实数解 B．方程f(x)＝0一定无实数解
C．方程f(x)＝0一定有两实根 D．方程f(x)＝0可能无实数解
易错点9：搞不清复合函数的自变量而致错
已知f(x2－1)的定义域为[0,3]，则f(2x－1)的定义域是( )
A. B.
[ 3] [ 1 ]
1， 1∪ − ,0
2 2
C. D．
易错点10：搞不清函数图象左右平移规则而致错
将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．
七、刷提分
一．选择题（共8小题）
1．（2023•上饶一模）函数f（x）＝xcosx的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023•建华区模拟）下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的为
（ ）
A．y＝tanx B．y＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x）
C． D．y＝ex﹣e﹣x﹣2x
3．（2023•开封一模）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在[0，+∞）上单调递减，则满
足f（x）＜f（x﹣2）的x的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）
4．（2023•东湖区校级一模）已知函数f（x），g（x），g'（x）的定义域均为R，g'（x）
为g（x）的导函数．若g（x）为偶函数，且f（x）+g'（x）＝1，f（x）﹣g'（4﹣x）＝
学科网（北京）股份有限公司 231．则以下四个命题：①g'（2022）＝0；②g（x）关于直线x＝2对称；③
＝2022；④ ＝2023中一定成立的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④
5．（2023•宛城区校级模拟）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，若 a，
∀
b [0 ， +∞ ） ， 且 a≠ b ， 都 有 成 立 ， 则 不 等 式
∈
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023•长春模拟）已知对于每一对正实数x，y，函数f（x）满足：f（x）+f（y）＝f
（x+y）﹣xy﹣1，若f（1）＝1，则满足f（n）＝n（n N*）的n的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
∈
7．（2023•青海模拟）已知函数f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）在[﹣1，+∞）上单调
递增，则关于x的不等式f（1﹣2x）＜f（﹣7）的解集为（ ）
A．（﹣∞，3） B．（3，+∞） C．（﹣∞，2） D．（2，+∞）
8．（2023•涪城区校级模拟）设偶函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），且满
足f（2）＝0，对于任意x ，x （0，+∞），x ≠x 都有
1 2 1 2
（n N）成立，
∈
∈
（1）不等式 解集为
（2）不等式 解集为
（3）不等式 解集为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
（4）不等式 解集为（﹣2，0）∪（0，2）
其中成立的是（ ）．
A．（1）与（3） B．（1）与（4） C．（2）与（3） D．（2）与（4）
二．填空题（共15小题）
学科网（北京）股份有限公司 249．（2023•酉阳县校级模拟）函数f（x）＝ 的定义域为 ．
10．（2023•泸县校级模拟）函数f（x）满足：①定义域为R，②f（﹣x）+f（x）＝0，
③ ．请写出满足上述条件的一个函数f（x），f（x）＝ ．
11．（2023•万州区校级模拟）已知函数 ，则f（f（﹣
2））＝ ．
12．（2023•鼓楼区校级模拟）设函数f（x）＝ ，若f（x）在区
间[m，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m的取值范围为 ．
13．（2023•天津一模）已知函数 f（x）＝ ，则 ＝
；若 f（x）在 x （a， ）既有最大值又有最小值，则实数 a 的取值范围为
．
∈
14．（2023•清新区模拟）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x [0，+∞）时，f
（x）＝x2+（a﹣1）x+a+1，则f（﹣3）＝ ．
∈
15．（2023•海安市校级模拟）定义在R上的函数f（x），g（x），满足f（2x+3）为偶函
数，g（x+5）﹣1为奇函数，若f（1）+g（1）＝3，则f（5）﹣g（9）＝ ．
16．（2023•德阳模拟）已知函数f（x）＝ 的值为
．
17．（2023•泰和县校级一模）已知函数f（x）＝ ，则f（f（﹣2））
＝ ．
18．（2023•重庆模拟）函数 的单调减区间为 ．
19．（2023•安宁市校级模拟）已知函数f（x）＝ ，则f（f（﹣1））＝
；若f（2a2﹣3）＞f（5a），则实数a的取值范围是 ．
20．（2023•射洪市校级模拟）已知方程sinx+ cosx＝m+1在x [0， ]上有两个不相等的
实数解，则实数m的取值范围是 ．
∈ π
学科网（北京）股份有限公司 2521．（2023•衡水模拟）已知正实数x，y满足lnx＝yex+lny，则x（y﹣x+4）的最大值为
．
22．（2023•丰台区一模）设函数f（x）＝ 若f（x）存在最小值，则a
的一个取值为 ；a的最大值为 ．
23．（2023•山东模拟）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1，g（x）＝ ，用max{m，n}表示
m，n中的最大值，设 （x）＝max{f（x）．g（x）}．若 （x）≥ 在（0，+∞）上
恒成立，则实数a的取值范围为
φ φ
三．解答题（共2小题）
24．（2023•武功县校级模拟）函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x2
﹣2x．
（1）求函数f（x）在x （﹣∞，0）的解析式；
（2）当m＞0时，若|f（m）|＝1，求实数m的值．
∈
25．（2023•浑南区一模）设函数 （a＞0，且a≠1）是定义域为R的
奇函数，且y＝f（x）的图象过点 ．
（Ⅰ）求t和a的值；
（Ⅱ）若 x R，f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）是∀否存∈ 在实数m，使函数g（x）＝22x+2﹣2x﹣mf（x）在区间[1，log
2
3]上的最大值
为1．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
学科网（北京）股份有限公司 26八.刷素养
一．选择题（共4小题）
1．（2023•台州二模）设函数 f（x）＝（x+2sinx）（2﹣x+1），x （0，+∞），则
（ ）
∈
A．函数g（x）＝f（x）﹣x有且仅有一个零点
B．对 a＜0， b＞0，函数g（x）＝f（x）﹣ax﹣b有且仅有一个零点
C． m R，|f（x）﹣2x|≤m恒成立
∀ ∀
D． a，b，m R，|f（x）﹣ax﹣b|≤m恒成立
∃ ∈
2．（2023•万安县校级一模）对于函数y＝f（x），若存在区间[a，b]，当x [a，b]时的值
∃ ∈
域为[ka，kb]（k＞0），则称y＝f（x）为k倍值函数．若f（x）＝ex+2x是k倍值函数，
∈
则实数k的取值范围是（ ）
A．（e+1，+∞） B．（e+2，+∞） C．（e+ ，+∞） D．（e+ ，+∞）
3．（2023•安宁市校级模拟）设函数f（x）的定义域为R，且 ，当x
∈
（﹣1，0]时，f（x）＝x（x+1），若对任意x （﹣∞，m]，都有 ，则实
数m的取值范围是（ ）
∈
A． B． C． D．（﹣∞，3]
4．（2023•南充模拟）设定义在 R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别为f'（x）和
g'（x）．若f（x）﹣g（4﹣x）＝2，g'（x）＝f'（x﹣2），且f（x+2）为奇函数，则下
列说法中一定正确的是（ ）
A． B．
C． x R，f（2+x）+f（﹣x）＝0 D．g（3）+g（5）＝4
二．多选题（共6小题）
∀ ∈
（多选）5．（2023•山西模拟）已知定义在R上的奇函数y＝f（x）对任意的x R有f
（x+2）＝﹣f（x），当﹣1≤x≤1 时，f（x）＝ax（a≥1）．函数 g（x）＝
∈
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f（x）是周期为4的函数
B．函数g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减
C．当a＝1时，方程f（x）＝g（x）在R上有2个不同的实数根
D．若方程f（x）＝g（x）在R上有4个不同的实数根，则a≥ln6
（多选）6．（2023•广州一模）已知函数f（x）＝x2+2（x≥0），g（x）＝ae﹣x（a＞0），
学科网（北京）股份有限公司 27点P，Q分别在函数y＝f（x）的y＝g（x）的图像上，O为坐标原点，则下列命题正确
的是（ ）
A．若关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0在[0，1]上无解，则a＞3e
B．存在P，Q关于直线y＝x对称
C．若存在P，Q关于y轴对称，则0＜a≤2
D．若存在P，Q满足∠POQ＝90°，则
（多选）7．（2023•石家庄模拟）设f（x）是定义域为R的奇函数，且y＝f（2x+2 ）的
π
图象关于直线 对称，若0＜x≤ 时，f（x）＝（ex﹣e ﹣x）cosx，则（ ）
π
A．f（x+ ）为偶函数
π
π
B．f（x）在 上单调递减
C．f（x）在区间[0，2023 ]上有4046个零点
π
D．
（多选）8．（2023•邵阳一模）已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x，y
满足f（x﹣y）＝f（x）g（y）﹣g（x）f（y），且f（﹣2）＝f（1）≠0，则下列说法正
确的有（ ）
A．g（0）＝1
B．函数f（2x﹣1）的图象关于点 对称
C．g（1）+g（﹣1）＝1
D．若 ，则
（多选）9．（2023•重庆二模）已知函数f（x），g（x）的定义域为R，g'（x）为g（x）
的导函数，且f（x）+g'（x）﹣10＝0，f（x）﹣g'（4﹣x）﹣10＝0，若g（x）为偶函数，
则下列一定成立的有（ ）
A．f（2）＝10 B．f（4）＝10
C．f'（﹣1）＝f'（﹣3） D．f'（2023）＝0
（多选）10．（2022秋•兖州区期中）设定义在R上的函数f（x）与g（x）的导函数分别
为f'（x）和g'（x），若f（x+2）﹣g（1﹣x）＝2，f'（x）＝g'（x+1），且g（x+1）为
奇函数，则下列说法中一定正确的是（ ）
A．g（1）＝0
B．函数g'（x）的图像关于x＝2对称
学科网（北京）股份有限公司 28C．
D．
三．填空题（共4小题）
11．（2023•沈阳模拟）已知实数 x，y 满足 x2+y2+xy＝1，则 2x2+y2的最大值为
．
12 ． （ 2023• 江 西 模 拟 ） 若 时 ， 关 于 x 的 不 等 式
恒成立，则正整数 n 的取值集合为 ．（参考数据：
e≈2.718，ln2≈0.693，ln3≈1.099）
13．（2023•湖北模拟）设a＞0且a≠1，若对 x （﹣∞，0）都有 恒成立，
则实数a的取值范围为 ．
∀ ∈
14．（2023•江西模拟）已知a R．设函数 若关于x的不
等式f（f（x））≥0恒成立，则a的取值范围为 ．
∈
四．解答题（共1小题）
15．（2023•重庆模拟）俄国数学家切比雪夫（1821﹣1894）是研究直线逼近函数理论的先
驱．对定义在非空集合I上的函数f（x），以及函数g（x）＝kx+b（k，b R），切比雪
夫将函数y＝|f（x）﹣g（x）|，x I的最大值称为函数f（x）与g（x）的“偏差”．
∈
（1）若f（x）＝x2（x [0，1]），g（x）＝﹣x﹣1，求函数f（x）与g（x）的“偏差”；
∈
（2）若f（x）＝x2（x∈[﹣1，1]），g（x）＝x+b，求实数b，使得函数f（x）与g（x）
的“偏差”取得最小值．
∈
学科网（北京）股份有限公司 29
