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知识点 69：带电粒子在电场的偏转运动
【知识思维方法技巧】
（1）带电粒子在电场中类平抛运动的处理方法：用分解的思想来处理，即将带电粒子的
运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场力方向上的匀速直线运动，根据
运动的合成与分解的知识解决有关问题。
（2）计算粒子打到屏上的位置离屏中心的距离的方法：
①y＝y＋Ltan θ(L为屏到偏转电场的水平距离)；
0
②y＝(＋L)tan θ(l为电场宽度)；
③y＝y＋v·；④根据三角形相似＝.
0 y
考点一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的类平抛运动
【典例1拔尖题】如图所示，一电荷量为q、质量为m的带电粒子以初速度v由P点射入
0
匀强电场，入射方向与电场线垂直。粒子从Q点射出电场时，其速度方向与电场线成30°
角。已知匀强电场的宽度为d，不计重力作用。则匀强电场的场强E大小是( )
A． B． C． D.
【典例1拔尖题对应练习】(多选)四个带电粒子的电荷量和质量分别为(＋q，m)、(＋q，
2m)、(＋3q，3m)、(－q，m)它们先后以相同的速度从坐标原点沿x轴正方向射入一匀强电
场中，电场方向与y轴平行，不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正
确的是( )
题型二：带电粒子在组合电场中的加速+类平抛运动模型
【典例2拔尖题】如图所示，在平面直角坐标系的第一象限内有水平向左的、场强为E的
匀强电场，y轴与直线x＝－d(d>0)区域内有竖直向下的、场强也为E的匀强电场．一个带
电荷量为＋q的粒子(重力不计)从第一象限的S点由静止释放．
1
学科网（北京）股份有限公司(1)若S点的坐标为(，)，求粒子通过x轴时的坐标；
(2)若S点的坐标为(d，d)，求粒子通过x轴时的动能；
(3)若粒子能通过x轴上坐标为(－3d,0)的P点，求释放该粒子的点S的坐标(x，y)应该满足
的条件．
【典例2拔尖题对应练习】在xOy直角坐标系中，三个边长都为2 m的正方形如图11所示
排列，第Ⅰ象限正方形区域ABOC中有水平向左的匀强电扬，电场强度的大小为E ，在第
0
Ⅱ象限正方形COED的对角线CE左侧CED区域内有竖直向下的匀强电场，三角形OEC
区域内无电场，正方形DENM区域内无电场。现有一带电荷量为＋q、质量为m的带电粒
子(重力不计)从AB边上的A点由静止释放，恰好能通过E点。
(1)求CED区域内的匀强电场的电场强度的大小E ；
1
(2)保持第(1)问中电场强度不变，若在正方形区域ABOC中某些点静止释放与上述相同的带
电粒子，要使所有粒子都经过E点，则释放点的坐标值x、y间应满足什么关系；
(3)若CDE区域内的电场强度大小变为E ＝E ，方向不变，其他条件都不变，则在正方形
2 0
区域ABOC中某些点静止释放与上述相同的带电粒子，要使所有粒子都经过 N点，则释放
点的坐标值x、y间又应满足什么关系。
考点二：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
题型一：带电粒子在平行板电容器中的类平抛运动
【典例1拔尖题】静电喷漆原理如图所示，A、B为两块足够大的平行金属板，间距为d，
两板间存在匀强电场。在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪 P，油漆喷枪的半
球形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒。若油漆微粒的初速度大小均为v，质量
0
为m、电荷量为－q，电场强度大小为E＝，微粒所受重力、空气阻力、微粒间相互作用力
均不计，试求：
(1)微粒打在B板时的动能E ；
k
(2)微粒到达B板上O点所需的时间t；
2
学科网（北京）股份有限公司(3)微粒最后落在B板上所形成的图形形状及其面积S。
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，带等量异种电荷的A、B两板水平放置，在A、B间
形成竖直向下的匀强电场。a、b两质量相等的粒子从A板左侧边缘处以相同的速度先后飞
入电场，粒子a从A、B两板右端连线的中点飞离匀强电场，粒子b从B板右侧边缘处飞
离匀强电场，不计粒子重力，下列说法中正确的是( )
A．粒子a、b的带电荷量之比为1∶2
B．电场力对a、b粒子做功之比为1∶2
C．粒子a、b离开电场时的速度大小之比为1∶2
D．粒子a、b离开电场时的速度与水平方向之间夹角之比为1∶2
题型二：带电粒子在组合平行板电容器中的加速+类平抛运动（示波器模型）
【典例2拔尖题】如图所示为一真空示波管的示意图，电子从灯丝K发出(初速度可忽略不
计)，经灯丝与A板间的电压U 加速，从A板中心孔沿中心线KO射出，然后进入两块平
1
行金属板M、N形成的偏转电场中(偏转电场可视为匀强电场)，电子进入M、N间电场时
的速度与电场方向垂直，电子经过电场后打在荧光屏上的P点．已知M、N两板间的电压
为U ，两板间的距离为d，板长为L，电子的质量为m，电荷量为e，不计电子受到的重力
2
及它们之间的相互作用力．
（1）求电子穿过A板时速度的大小；
（2）求电子从偏转电场射出时的侧移量；
（3）若要电子打在荧光屏上P点的上方，可采取哪些措施？
【典例2拔尖题对应练习】如图所示，A、B是竖直放置的中心带有小孔的平行金属板，两
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学科网（北京）股份有限公司板间的电压为U＝100 V，C、D是水平放置的平行金属板，板间距离为d＝0.2 m，板的长
1
度为L＝1 m，P是C板的中点，A、B两板小孔连线的延长线与C、D两板的距离相等，
将一个负离子从板的小孔处由静止释放，求：
(1)为了使负离子能打在P点，C、D两板间的电压应为多少？哪板电势高？
(2)如果C、D两板间所加的电压为4 V，则负离子还能打在板上吗？若不能打在板上，它
离开电场时发生的侧移为多少？
考点三：带电粒子在匀强电场（径向电场）中的偏转运动
题型一：带电粒子在匀强电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在电场类斜抛运动的处理方法：
（1）常规分解法：将带电粒子的运动分解为沿电场力方向上的匀加速直线运动和垂直电场
力方向上的匀速直线运动，根据运动的合成与分解的知识解决有关问题．
（2）逆向思维法：把带电粒子的运动看做从最高点开始的反向的类平抛运动。类斜抛运动
可以从最高点分段研究，后半段相当于类平抛运动，前半段相当于反向的类平抛运动，且
两段运动时间、位移和速度具有对称性．
【典例1拔尖题】在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以 O为圆心、半径为R的圆，
AB为圆的直径，如图所示，质量为m、电荷量为 的带电粒子在纸面内自A点先
后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒
子，自圆周上的C点用以速率v 穿出电场，AC与AB的夹角 ，运动中粒子仅受电
0
场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）从A点射入的粒子速率取某一值时，粒子穿过电场时动能的增量最大，求动能增量
的最大值；
（3）为使粒子穿出电场的位移最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
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学科网（北京）股份有限公司【典例1拔尖题】在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O为圆心，半径为R的
圆，AB为圆的直径，如图所示。质量为m，电荷量为q(q>0)的带电粒子在纸面内自A点先
后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒
子，自圆周上的C点以速率v 穿出电场，AC与AB的夹角θ= 。运动中粒子仅受电场力
0
作用。求：
(1)从圆周上的B点穿出电场的粒子，进入电场时速度应为多大？
(2)为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子穿出电场时的动能为多大？
(3)粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv ，则粒子穿出电场时的动能为多大？
0
题型二：带电粒子在径向电场中的偏转运动
【典例2拔尖题】（多选）如图为某一径向电场示意图，电场强度大小可表示为E＝， a
为常量．比荷相同的两粒子在半径r不同的圆轨道运动．不考虑粒子间的相互作用及重力，
则( )
A．轨道半径r小的粒子角速度一定小
B．电荷量大的粒子的动能一定大
C．粒子的速度大小与轨道半径r一定无关
D．当加垂直纸面磁场时，粒子一定做离心运动
考点四：带电粒子在交变电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
带电粒子在交变电场中运动的处理技巧：分段研究，化变为恒．
（1）粒子做偏转运动：一般根据交变电场特点分段研究，应用牛顿运动定律结合运动学公
式或者动能定理等求解。
（2）当粒子垂直于电场方向射入时，沿初速度方向的分运动为匀速直线运动，沿电场力方
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学科网（北京）股份有限公司向的分运动可能具有周期性.
（3）可以作出粒子在某一方向上的v－t图象，借助图象、结合轨迹，使运动过程更直观。
转换思路如下：――→a－t图象――→v－t图象
题型一：带电粒子在方波电场中的偏转运动
【典例1拔尖题】在图甲所示的极板A、B间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变
化的交变电压，其周期为T，现有一电子以平行于极板的速度v从两板中央OO′射入．
0
已知电子的质量为m，电荷量为e，不计电子的重力，问：
(1)若电子从t＝0时刻射入，在半个周期内恰好能从A板的边缘飞出，则电子飞出时速度的
大小为多少？
(2)若电子从t＝0时刻射入，恰能平行于极板飞出，则极板至少为多长？
(3)若电子恰能从OO′平行于极板飞出，电子应从哪一时刻射入？两极板间距至少为多大？
【典例1拔尖题对应练习】如图甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，OO为
1
中轴线，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场。当两板间加电压U ＝U 时，某一带
MN 0
负电的粒子从O 点以速度v 沿OO方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子
1 0 1
重力忽略不计。
(1)求带电粒子的比荷；
(2)若M、N间加如图乙所示的交变电压，其周期T＝，从t＝0开始，前时间内U ＝2U，
MN
后时间内U ＝－U，大量的上述粒子仍然以速度v 沿OO方向持续射入电场，最终所有
MN 0 1
粒子恰好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值。
题型二：带电粒子在锯齿波（正弦波）电场中的偏转运动
【知识思维方法技巧】
对于锯齿波和正弦波等电压产生的交变电场，一般来说题中会直接或间接提到“粒子在其
中运动时电场为恒定电场”，故带电粒子穿过电场时可认为是在匀强电场中运动．
【典例2拔尖题】如图甲所示，A、B为两块平行金属板，极板间电压为U＝1 125 V，两板
中央各有小孔O和O′。现有足够多的电子源源不断地从小孔O由静止进入A、B之间。在
B板右侧，平行金属板M、N长L ＝4×10－2 m，板间距离d＝4×10－3 m，在距离M、N右
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学科网（北京）股份有限公司侧边缘L ＝0.1 m处有一荧光屏P，当M、N之间未加电压时电子沿M板的下边沿穿过，
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打在荧光屏上的″点并发出荧光。现在金属板 M、N之间加一个如图乙所示的变化电压
u，在t＝0时刻，M板电势低于N板电势。已知电子质量为m＝9.0×10－31 kg，电荷量为e
e
＝1.6×10－19 C。
(1)每个电子从B板上的小孔O′射出时的速度为多大？
(2)电子打在荧光屏上的范围是多少？
(3)打在荧光屏上的电子的最大动能是多少？
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