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第16 讲 带电粒子在电场中的运动
【模型一 平行板电容器 】
类型1 平行板电容器的动态分析
类型2 观察电容器的充、放电现象
【模型二 带电粒子在电场中的运动 】
类型1 带电粒子在电场中的直线运动
类型2 带电粒子在电场中的偏转
类型3.带电粒子在交变电场中的运动
类型4.带电体在等效场中的运动
本讲内容是新高考卷的常考内容。本类试题主要考查电容器动态分析及电容器充放电试题; 对带电粒
子在电场中运动几乎每年都考，并且与磁场相结合，考查电磁组合场和叠加场问题，题目难度相对较大,带
电粒子在电场中的偏转是计算题的高频考点
处理带电粒子在匀强电场中的偏转运动，一般将运动分解为垂直电场方向的匀速直线运动和沿电场方
向的匀加速直线运动，明确两个分运动的独立性和等时性，结合动能定理分析带电粒子偏转过程中的能量
变化，准确计算电场力做功（W=qEy 或W=qUa˚其中Ua 为粒子沿电场方向的电势差），并通过W=ΔEk 求解
粒子射出电场时的动能或速度大小。
【模型一 平行板电容器】
类型1.平行板电容器动态分析
1．电容器
(1)组成：由两个彼此绝缘又相距很近的导体组成．
(2)带电荷量：一个极板所带电荷量的绝对值．
1
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(3)电容器的充、放电：
①充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
②放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．电容
(1)定义：电容器所带的电荷量与电容器两极板之间的电势差之比．
(2)定义式：C＝.
(3)单位：法拉(F)、微法(μF)、皮法(pF).1 F＝106 μF＝1012 pF.
(4)意义：表示电容器容纳电荷本领的高低．
(5)决定因素：由电容器本身物理条件(大小、形状、极板相对位置及电介质)决定，与电容器是否带
电及电压无关．
3．平行板电容器的电容
（1）决定因素：两极板的正对面积、电介质的相对介电常数、两板间的距离．
（2）决定式：C＝.
（3）平行板电容器动态的分析思路
4.平行板电容器的动态分析问题的两种情况
(1)平行板电容器充电后,保持电容器的两极板与电池的两极相连接:
(2)平行板电容器充电后,切断与电池的连接:
2
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【典例1】（2025·江苏·高考真题）如图所示，平行金属板与电源连接。一点电荷由a 点移动到b
点的过程中，电场力做功为W。现将上、下两板分别向上、向下移动，使两板间距离增大为原来的2 倍，
再将该电荷由a 移动到b 的过程中，电场力做功为（ ）
A．
B．W
C．
D．
【变式1-1】（2025·江西·高考真题）超级电容器可集成到太阳能发电系统中，通过超级电容器储
存和释放能量，优化功率输出，提升电网稳定性。关于超级电容器储存能量过程中所带电荷量Q 和两极板
间电压U 的变化，下列说法正确的是（ ）
A．Q 增大，U 增大
B．Q 减小，U 减小
C．Q 减小，U 增大
D．Q 增大，U 减小
【变式1-2】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结
构是模仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F 的过程中，F 较小时弹性结构易被压缩，极板间距d
容易减小；F 较大时弹性结构闭合，d 难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U 与F 的关系
曲线可能正确的是（ ）
A．
B．
3
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C．
D．
【变式1-3】（2024·浙江·高考真题）图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，
保持电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则 （ ）
A．极板间电势差减小
B．电容器的电容增大
C．极板间电场强度增大
D．电容器储存能量增大
【变式1-4】（（2024·甘肃·高考真题）一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S 接1，电源E
给电容器C 充电；开关S 接2，电容器C 对电阻R 放电。下列说法正确的是（ ）
A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增加
B．充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由M 点流向N 点
C．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流减小
D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R 的电流由N 点流向M 点
【变式1-5】（2024·江西·高考真题）蜡烛火焰是一种含有电子、正离子、中性粒子的气体状物质,
将其置于电压恒定的两平行金属板间, 板间电场视为匀强电场, 如图所示. 若两金属板间距减小, 关于火
焰中电子所受的电场力, 下列说法正确的是 （ ）
4
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A．电场力增大，方向向左
B．电场力增大，方向向右
C．电场力减小，方向向左
D．电场力减小，方向向右
【变式1-6】（2024·辽宁·高考真题）某种不导电溶液的相对介电常数
与浓度
的关系曲线如图
（a）所示，将平行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源，电流表等构成如图（b）所示的
电路，闭合开关S 后，若降低溶液浓度，则（ ）
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
【变式1-7】（多选）如图所示，A、B 为两块平行、正对的水平金属板，金属板A 带正电并接地，一
带电微粒恰好悬浮在两板之间静止不动。下列说法正确的是（ ）
A. 若仅将B 板竖直向上缓慢平移一小段距离，微粒将向下运动
B. 若仅将A 板水平向左缓慢平移一小段距离，微粒将向上运动
C. 若仅将B 板竖直向上缓慢平移一小段距离，微粒的电势能不变
D. 若仅将A 板水平向左缓慢平移一小段距离，微粒的电势能将增大
【变式1-8】（多选）2024 年8 月我国科学家狄增峰团队成功研制出一种人造蓝宝石作为绝缘介质的
晶圆。这种材料具有卓越的绝缘性能，即使在厚度仅为1 纳米时也能有效阻止电流泄露，为开发低功耗芯
片提供了重要的技术支撑。如图所示，直流电源与一平行板电容器、理想二极管连接，电容器A 板接地。
闭合开关，电路稳定后，一带电油滴位于电容器中的P 点恰好处于静止状态。下列说法正确的是（ ）
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A. 该带电油滴带负电
B. B 板下移，油滴将继续保持静止状态
C. 减小极板间的正对面积，P 点处的电势升高
D. 若两板间插入人造蓝宝石，则电容器的电容增大
【变式1-9】如图甲所示，某计算机键盘的每个按键下方是由水平、间距为d 的活动金属片和固定金
属片组成的电容式传感器，相关电路如图乙所示。若开始时两金属片间的P 点有一静止的带电尘埃，现轻
按按键A，两金属片的间距减小了
，则下列说法正确的是（ ）
A. 电容器的电容变为原来的
B. 两金属片间电场的电场强度大小变为原来的4 倍
C. P 点的电势变为原来的
倍
D. 该尘埃在P 点的电势能比原来的大
【变式1-9】（2025·全国卷·高考真题）电容器的形状变化会导致其电容变化，这一性质可用于设
计键盘，简化原理图如图所示。键盘按键下的装置可视为平行板电容器，电容器的极板面积为、间距为
，电容
（
为常量）。按下键盘按键时，极板间的距离变为按压前的
倍；撤去按压，按键在弹
力作用下复位。电容器充电后：
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(1)若按压按键不改变电容器所带的电荷量，则按压后极板间的电压变为按压前的多少倍？
(2)若按压按键不改变电容器极板间的电压，则按压后极板间的电场强度大小变为按压前的多少倍？
类型2 观察电容器的充、放电现象
实验电路
实验过程
（1）观察电容器充电现象：充电电流由电源
的正极流向电容器的正极板，同时，电流从电容器
的负极板流向电源的负极，电流表示数逐渐变小，
最后为0。
（2）观察电容器的放电现象：放电电流由电
容器的正极板经过电流表流向电容器的负极板，放
电电流逐渐减小，最后为0。充、放电电流的变化
是极短暂的。
数据处理
误差分析
（1）整个图像与横轴所围的面积的物理意义是整个充电或放
电时间内通过电流表的电荷量，也等于充满电后或放电开始时
电容器极板上的电荷量。
（1）电流测量和读数
不准确带来误差；
（2）利用I－t 图像
进行数据处理时也会
造成误差。
（2）估算电容器充电或放电过程中电荷量的方法是：先算出一个小方格代表的电荷
量，然后数出整个图像与横轴所围的面积中的方格数（大于半个的按一个方格计算，
小于半个的舍弃）。电容器充电或放电过程中电荷量为一个小方格代表的电荷量乘以
方格数。
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【典例2】（2024·广西·高考真题）某同学为探究电容器充、放电过程，设计了图甲实验电路。器
材如下：电容器，电源E（电动势6V，内阻不计），电阻R1 = 400.0Ω，电阻R2 = 200.0Ω，电流传感器，
开关S1、S2，导线若干。实验步骤如下：
(1)断开S1、S2，将电流传感器正极与a 节点相连，其数据采样频率为5000Hz，则采样周期为 s；
(2)闭合S1，电容器开始充电，直至充电结束，得到充电过程的I—t 曲线如图乙，由图乙可知开关S1
闭合瞬间流经电阻R1的电流为 mA（结果保留3 位有效数字）；
(3)保持S1闭合，再闭合S2，电容器开始放电，直至放电结束，则放电结束后电容器两极板间电压为
V；
(4)实验得到放电过程的I—t 曲线如图丙，I—t 曲线与坐标轴所围面积对应电容器释放的电荷量为
0.0188C，则电容器的电容C 为 μF。图丙中I—t 曲线与横坐标、直线t = 1s 所围面积对应电容器释
放的电荷量为0.0038C，则t = 1s 时电容器两极板间电压为 V（结果保留2 位有效数字）。
【变式2-1】（2023·福建·高考真题）某同学用图（a）所示的电路观察矩形波频率对电容器充放电
的影响。所用器材有：电源、电压传感器、电解电容器C（
，
），定值电阻R（阻值
）、
开关S、导线若干。
（1）电解电容器有正、负电极的区别。根据图（a），将图（b）中的实物连线补充完整 ；
（2）设置电源，让电源输出图（c）所示的矩形波，该矩形波的频率为
；
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（3）闭合开关S，一段时间后，通过电压传感器可观测到电容器两端的电压
随时间周期性变化，
结果如图（d）所示，A、B 为实验图线上的两个点。在B 点时，电容器处于 状态（填“充电”或
“放电”）在 点时（填“A”或“B”），通过电阻R 的电流更大；
（4）保持矩形波的峰值电压不变，调节其频率，测得不同频率下电容器两端的电压随时间变化的情
况，并在坐标纸上作出电容器上最大电压
与频率f 关系图像，如图（e）所示。当
时电容器所
带电荷量的最大值
C（结果保留两位有效数字）；
（5）根据实验结果可知，电容器在充放电过程中，其所带的最大电荷量在频率较低时基本不变，而
后随着频率的增大逐渐减小。
【变式2-2】如图1 所示，运用此电路图研究电容器的电学特征。已知电源使用了
的干电池（内
阻可忽略不计）；灵敏电流表（
，内阻可忽略不计）、电压表（内阻为
）、电阻
（阻值为
）和电容器
。
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（1）下列操作和现象描述正确的是___________。
A. 开关接1，对电容器充电，电流表示数瞬间增大后逐渐减小为零
B. 开关接1，电压表示数逐渐增大，电路稳定后示数约为
C. 开关接1，待电路稳定后断开开关，电压表示数不变
（2）开关接1，待电路稳定后迅速接2，电压表、电流表示数随时间
变化关系如图2 所示。已知时
间轴与电流图线所围图形的格子数约为230 小格，由此可知电容器充电后，存储电荷量为___________C。
电容器的电容为___________F（结果均保留2 位有效数字）。
（3）通过本实验，如何确定电容是电容器的固有属性，请把你对这一问题的见解填写在空格线上
___________。
【变式2-3】用如图a 所示电路观察电容器的充放电现象，所用器材如下：电源（
，内阻不
计）、电容器
，两个完全相同的电压传感器（内阻无穷大）、计算机、定值电阻
、单刀双掷
开关、导线若干，将实验器材按下图正确连接。
（1）将单刀双掷开关连接1，经过足够长的时间，通过电压传感器1 传入计算机画出的
曲线如
图
中的曲线①，则通过电压传感器2 传入计算机的
曲线正确的是___________（填曲线对应标号）；
（2）将单刀双掷开关连接2，通过电压传感器2 传入计算机画出的
曲线如图
中的曲线
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___________（填曲线对应标号），该过程为电容器___________（选填“充电”或“放电”），根据图像
可估算，电容器储存的电荷量为___________
（保留2 位有效数字）；
（3）若将电路中的定值电阻换成一阻值更大的电阻，先将单刀双掷开关连接1，经过足够长的时间，
然后将单刀双掷开关连接2，通过电压传感器1 在图
中画出一条新的
曲线，新曲线与（2）中通过
电压传感器2 传入计算机画出的
曲线对比，与坐标轴围成的面积___________（选填“更大”“更
小”或“相等”）。
【模型二 带电粒子在电场中的运动 】
类型1 带电粒子在电场中的直线运动
1.带电粒子（体）在电场中运动时重力的处理
2.电场中带电粒子做直线运动的条件
（1）粒子所受合外力F 合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动。
（2）匀强电场中，粒子所受合外力F 合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速
直线运动或匀减速直线运动。
3.用动力学和功能观点分析问题
（1）用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v0
2＝2ad(匀强电场)。
（2）用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv0
2。
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1。
4.带电粒子（体）在电场中直线运动的分析方法
基本粒子
如电子、质子、α 粒子、离子等，除有说明或
明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略
质量）
带电体
如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或有
明确的暗示以外，一般都不能忽略重力
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【典例3】（2025·海南·高考真题）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为
，空间中存在沿斜面向
下的匀强电场，电场强度为
。质量为m 的物块M、N 用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M 带正
电，电荷量为q，N 不带电，N 一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力
作用使M 静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M 从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。
则（ ）
A．释放时M 的加速度为
B．M 下滑的最大速度为
C．M 下滑的最大距离为
D．M 下滑的距离为
时，所用时间为
【变式3-1】（2024·辽宁·高考真题）在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作
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用下于竖直面（纸面）内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线，若小球的初速
度方向垂直于虚线，则其从O 点出发运动到O 点等高处的过程中（ ）
A．动能减小，电势能增大
B．动能增大，电势能增大
C．动能减小，电势能减小
D．动能增大，电势能减小
【变式3-2】（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量
均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q 和Q。在图示
的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从
处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两
点电荷的电势能
（r 为两点电荷之间的距离，k 为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力
f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x 的区间是
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D．若在最低点能返回，则初始电势能
【变式3-3】（2025·四川·高考真题）如图所示，真空中固定放置两块较大的平行金属板，板间距
为d，下极板接地，板间匀强电场大小恒为E。现有一质量为m、电荷量为q（
）的金属微粒，从两极
板中央O 点由静止释放。若微粒与极板碰撞前后瞬间机械能不变，碰撞后电性与极板相同，所带电荷量的
绝对值不变。不计微粒重力。求：
(1)微粒第一次到达下极板所需时间；
(2)微粒第一次从上极板回到O 点时的动量大小。
【变式3-4】（2025·广东·高考真题）如图是研究颗粒碰撞荷电特性装置的简化图。两块水平绝缘
平板与两块竖直的平行金属平板相接。金属平板之间接高压电源产生匀强电场。一带电颗粒从上方绝缘平
板左端A 点处，由静止开始向右下方运动，与下方绝缘平板在B 点处碰撞，碰撞时电荷量改变，反弹后离
开下方绝缘平板瞬间，颗粒的速度与所受合力垂直，其水平分速度与碰前瞬间相同，竖直分速度大小变为
碰前瞬间的k 倍（
）。已知颗粒质量为m，两绝缘平板间的距离为h，两金属平板间的距离为d，B 点
与左平板的距离为l，电源电压为U，重力加速度为g。忽略空气阻力和电场的边缘效应。求：
(1)颗粒碰撞前的电荷量q。
(2)颗粒在B 点碰撞后的电荷量Q。
(3)颗粒从A 点开始运动到第二次碰撞过程中，电场力对它做的功W。
类型2 带电粒子在电场中的偏转
1.带电粒子在电场中的偏转规律
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2.两个结论
（1）速度偏角正切值tan θ 是位移偏角正切值tan α 的2 倍。
（2）粒子经电场偏转后射出时，瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中
点，即该交点到偏转电场边缘的距离为l
2。
3.利用功能关系分析带电粒子的偏转
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解，qUy＝1
2mv2－1
2mv0
2，其中Uy＝U
d y，指
初、末位置间的电势差。
【典例4】（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所
示的矩形区域OMPQ 内分布有平行于OQ 的匀强电场，N 为QP 的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b 分别从
Q 点和O 点垂直于OQ 同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，K 为轨迹交点。忽略粒子所受重力
和粒子间的相互作用，则可推断a、b（ ）
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N 的速度大小相等
D．到达K 所用时间之比为
【变式4-1】（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如
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图1 所示。从离子源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为
的电场加速后，沿
方向射入电压为
的电场（
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，
关系如图2 所示。长度为a
的样品垂直放置在距
极板L 处，样品中心位于
点。假设单个离子在通过
区域的极短时间内，电压
可视为不变，当
时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列
说法正确的是（ ）
A．
的最大值
B．当
且
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大
D．在
和
时刻射入
的离子，有可能分别打在A 和B 点
【变式4-2】（2024·浙江·高考真题）如图所示，金属极板M 受到紫外线照射会逸出光电子，最大
速率为
。正对M 放置一金属网N，在M、N 之间加恒定电压U。已知M、N 间距为d（远小于板长），电子
的质量为m，电荷量为e，则（ ）
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A．M、N 间距离增大时电子到达N 的动能也增大
B．只有沿x 方向逸出的电子到达N 时才有最大动能
C．电子从M 到N 过程中y 方向位移大小最大为
D．M、N 间加反向电压
时电流表示数恰好为零
【变式4-3】（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两
个相同的带正电粒子a、b 同时从O 点以初速度
射出，速度方向与水平方向夹角均为
。已知粒子的质量
为m。电荷量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1) a 运动到最高点的时间t；
(2) a 到达最高点时，a、b 间的距离H。
【变式4-4】（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图
所示。仅含有一个A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为
。当液滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴分别带上正、负电荷，
电荷量均为
。随后，液滴以
的速度竖直进入长度为
的电极板间，板
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间电场均匀、方向水平向右，电场强度大小为
。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下
方
处的A、B 收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B 细胞收集管的间距。
【变式4-5】（2023·北京·高考真题）某种负离子空气净化原理如图所示。由空气和带负电的灰尘
颗粒物（视为小球）组成的混合气流进入由一对平行金属板构成的收集器。在收集器中，空气和带电颗粒
沿板方向的速度
保持不变。在匀强电场作用下，带电颗粒打到金属板上被收集，已知金属板长度为L，
间距为d、不考虑重力影响和颗粒间相互作用。
（1）若不计空气阻力，质量为m、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
（2）若计空气阻力，颗粒所受阻力与其相对于空气的速度v 方向相反，大小为
，其中r 为颗
粒的半径，k 为常量。假设颗粒在金属板间经极短时间加速达到最大速度。
a、半径为R、电荷量为
的颗粒恰好全部被收集，求两金属板间的电压
；
b、已知颗粒的电荷量与其半径的平方成正比，进入收集器的均匀混合气流包含了直径为
和
的两种颗粒，若
的颗粒恰好100%被收集，求
的颗粒被收集的百分比。
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类型3.带电粒子在交变电场中的运动
交变电场中的直线运动处理方法
1.三种常见题型
（1）粒子做单向直线运动（一般用牛顿运动定律求解）。
（2）粒子做往返运动（一般分段研究）。
（3）粒子做偏转运动（一般根据交变电场的特点分段研究）。
2.两条分析思路
一是力和运动的关系，根据牛顿第二定律及运动学规律分析；二是功能关系（机械能守恒、动能定理、
能量守恒）。
3.两个运动特征
分析受力特点和运动规律，抓住粒子的运动具有周期性和空间上具有对称性的特征，求解粒子运动过
程中的速度、位移等，并确定与物理过程相关的边界条件。
4.交变电场中的直线运动
U-t 图像
v-t 图像
轨迹图
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交变电场中的偏转处理方法
U-t 图
轨迹图
[来源:Zxxk.Com]
vy-t 图
【典例5】（2025·江西·高考真题）精密条纹相机通过将时域信号转换成空间信息可实现超短激光
脉冲持续时间的测量，其简化原理如图所示。某个待测激光脉冲的持续时间为
，经过狭缝和聚焦透镜入
射至真空条纹管的光电阴极中心。由于光电效应，产生与输入激光脉冲持续时间相同的电子脉冲。电子脉
冲先后经加速和偏转等过程打到荧光屏上。阳极与光电阴极间的加速电压为
，距离为
。偏转极板间距
v0
v0
v0
v0
v0
t
O
vy
v0
T/2
T
单向直线运动
A
B
速度不反向
t
O
vy
v0
往返直线运动
A
B
速度反向
T
T/2
-v0
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和长度分别为
和
，其左端与阳极的距离为
，右端与荧光屏的距离为
。光电效应产生电子的初速
度忽略不计，电子不会打到偏转极板上。电子质量为m，电荷量为e，不考虑电场力和相对论效应，以及电
子之间相互作用。所有元件的中心在同一条直线上，并以荧光屏中心O 为原点、竖直方向为y 轴建立坐标
系。（普朗克常量
，光速
）
(1)现有多碱、
和
三种常用的光电阴极材料，它们的逸出功分别约为
。若要
使波长范围为
的入射激光都能打出光电子，请通过定量分析确定应选用哪种光电阴极材料。
(2)当偏转极板间电压U 为常数时，求电子打在荧光屏上的位置。
(3)真实情况下，偏转极板间电压U 与时间t 的关系为
（
和k 为大于零的常数），其零
时刻与激光脉冲刚入射至光电阴极的时刻相同。
①求最后进入偏转极板间的电子离开偏转极板时y 方向速度的大小：
②若
小且
，此时可忽略不同时刻电子在偏转极板间y 方向位移的差别，求电子脉冲在荧光屏
上的空间宽度
与激光脉冲持续时间
的关系。
【变式5-1】A、B 是一对平行的金属板，一电子静止在两板中间，t =0时刻在两极板间加上如下图所示的
交变电压，电子的运动情况为（ ）
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A．电子一直向A 板运动
B．电子一直向B 板运动
C．电子先向A 板运动，然后向B 板运动，再返回出发点做周期性来回运动
D．电子先向B 板运动，然后向A 板运动，再返回出发点做周期性来回运动
【变式5-2】粒子直线加速器原理示意图如图甲所示，它由多个横截面积相同的同轴金属圆筒依次组成，
序号为奇数的圆筒与序号为偶数的圆筒分别和交变电源相连，交变电源两极间的电压变化规律如图乙所示。
在t =0时，奇数圆筒比偶数圆筒电势高，此时和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）的中央有一自由电
子由静止开始发射，之后在各狭缝间持续加速。若电子质量为m，电荷量为e，交变电源电压为U，周期
为T。不考虑电子的重力和相对论效应，忽略电子通过圆筒狭缝的时间。下列说法正确的是（ ）
A．电子在圆筒里做加速运动
B．要实现加速，电子在圆筒运动时间必须为T
C．第n 个圆筒的长度应满足L=√
neU
m ⋅T
2
D．如果要加速质子，圆筒的长度要变短，可以在T
4
到3T
4
时间内从圆板处释放
【变式5-3】 如图甲所示，某装置由直线加速器和偏转电场组成。直线加速器序号为奇数和偶数的圆筒分
别和交变电源的两极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示；在t＝0 时，奇数圆筒相对偶数
圆筒的电势差为正值，位于金属圆板（序号为0）中央的电子由静止开始加速，通过可视为匀强电场的圆
筒间隙的时间忽略不计，偏转匀强电场的A、B 板水平放置，长度均为L，相距为d，极板间电压为U，电
子从直线加速器水平射出后，自M 点射入电场，从N 点射出电场。若电子的质量为m，电荷量为e，不计
电子的重力和相对论效应。下列说法正确的是（ ）
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A. 电子在第3 个与第6 个金属筒中的动能之比
B. 第2 个金属圆筒的长度为
C. 电子射出偏转电场时，速度偏转角度的正切值
D. 若电子通过圆筒间隙的时间不可忽略，且圆筒间隙的距离均为d，在保持圆筒长度、交变电压的变化规
律和图乙中相同的情况下，该装置能够让电子获得的最大速度为
类型4.带电体在等效场中的运动
1.等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图所示，则F 合为等效重力场中的“重力”，g'＝F合
m 为等效重力场中的
“等效重力加速度”，F 合的方向为等效“重力”的方向，即在等效重力场中的“竖直向下”方向。
2.等效最高点与几何最高点
在“等效重力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题。小
球能维持圆周运动的条件是能过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是等效最高点（如图
所示）。
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【典例6】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，光滑绝缘水平面AB 与竖直面内光滑绝缘半圆形轨
道BC 在B 点相切，轨道半径为r，圆心为O，O、A 间距离为
。原长为
的轻质绝缘弹簧一端固定于O 点，
另一端连接一带正电的物块。空间存在水平向右的匀强电场，物块所受的电场力与重力大小相等。物块在
A 点左侧释放后，依次经过A、B、C 三点时的动能分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一
带电小球，在竖直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。
当小球运动到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间
的电势差为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
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【变式6-2】如图所示，平行板电容器倾斜放置，与水平面夹角为θ =30°。质量为m、电荷量为q 的
带正电微粒从上极板CD 左侧C 点进入电容器，沿水平直线运动到下极板的B 点时速度恰好为0，重力加速
度为g，极板长为L，极板间电场视为匀强电场，下列说法正确的是（ ）
A．微粒在极板间做匀速运动
B．CD 极板带正电荷
C．匀强电场的场强大小为2mg
q
D．粒子进入电容器时的速度大小为2√3 gL
3
【变式6-3】如图甲所示，虚线表示竖直平面内的匀强电场中的等势面，等势面与水平地面平行。电量为
q、质量为m 的带电小球以一定初速度沿虚线方向抛出，以抛出点为坐标原点沿竖直向下方向建立y 轴，
运动过程中小球的动能和机械能随坐标y 的变化关系如图乙中图线a、b 所示，图中E0为已知量，重力加
速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
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A. 小球初速度大小
B. 电场强度大小为
C. 小球抛出时重力势能为E0
D. 小球加速度大小为
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