文档内容
第 38 讲 带电粒子在电场中运动的综合问题
目录
01、考情透视，目标导
航
02、知识导图，思维引航.............................................................................................1
03、考点突破，考法探究.............................................................................................2
考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动....................................................................................2
知识点1．等效重力场...........................................................................................................3
知识点2.方法应用..................................................................................................................3
知识点3．物体做圆周运动的物理最高点...........................................................................3
考向1 等效场中的“绳球”模型.......................................................................................3
考向2 等效场中的“杆球”模型.......................................................................................4
考点二 示电场中的力电综合问题....................................................................................................7
知识点1.动力学的观点..........................................................................................................7
知识点2.能量的观点..............................................................................................................7
知识点3.动量的观点..............................................................................................................7
04、真题练习，命题洞见...........................................................................................................11
2024·河北·高考物理第14题
考情 2024·江西·高考物理第10题
分析 2023·福建·高考物理第16题
2022·全国·高考物理第8题
目标1.掌握带电粒子在电场和重力场的复合场中的运动规律。
复习
目标 目标2.知道“等效重力场”的概念。
目标3.会用动力学观点和能量观点分析电场中的力电综合问题。考点一 带电粒子在电场和重力场中的运动
知识点1．等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对于处在匀强电场和重力场中物体的运动问题就
会变得复杂一些。此时可以将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为
“等效重力场”。
知识点2.方法应用
(1)求出重力与静电力的合力，将这个合力视为一个等效重力。
(2)将a＝视为等效重力加速度。
(3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该点在同一直径的点为“等效最
高点”。
注意：这里的最高点不一定是几何最高点。(4)将物体在重力场中的运动规律迁移到“等效重力场”中分析求解。
知识点3．物体做圆周运动的物理最高点
考向1 等效场中的“绳球”模型
1．(多选)如图所示，带电小球(可视为质点)用绝缘细线悬挂在O点，在竖直平面内做完整的变速圆周运动，
小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大。已知小球运动所在的空间存在竖直向下的匀强电场，电场强
度大小为E，小球质量为m、带电荷量为q，细线长为l，重力加速度为g，则( )
A．小球带正电
B．静电力大于重力
C．小球运动到最低点时速度最大
D．小球运动过程最小速度至少为v＝
【答案】BD
【解析】： 因为小球运动到最高点时，细线受到的拉力最大，可知重力和静电力的合力(等效重力)方向
向上，则静电力方向向上，且静电力大于重力，小球带负电，故A错误，B正确；因重力和静电力的合力
方向向上，可知小球运动到最高点时速度最大，故 C错误；由于等效重力竖直向上，所以小球运动到最低
点时速度最小，最小速度满足qE－mg＝m，即v＝，故D正确。
考向2 等效场中的“杆球”模型
2．如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，O是圆心，AB
是竖直方向的直径。一质量为 m、电荷量为＋q(q＞0)的小球套在圆环上，并静止在 P点，OP与竖直方向的夹角θ＝37°。不计空气阻力，已知重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)电场强度E的大小；
(2)若要使小球从P点出发能做完整的圆周运动，小球初速度的大小应满足的条件。
【答案】：(1) (2)不小于
【解析】：(1)当小球静止在P点时，小球的受力情况如图所示
则有＝tan θ，所以E＝。
(2)小球所受重力与电场力的合力F＝＝mg。当小球做圆周运动时，可以等效为在一个“重力加速度”为g
的“重力场”中运动。若要使小球能做完整的圆周运动，则小球必须能通过图中的 Q点。设当小球从P点
出发的速度为v 时，小球到达Q点时速度为零，在小球从P运动到Q的过程中，根据动能定理有－mg·2r
min
＝0－mv 2，解得v ＝，即小球的初速度大小应不小于。
min min
3.空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度E＝。绝缘圆形轨道竖直放置，O点是它的圆心、半径为R，
A、C为圆轨道的最低点和最高点，B、D为与圆心O等高的两点，如图所示。在轨道A点放置一质量为
m，带电荷量为＋q的光滑小球。现给小球一初速度v(v≠0)，重力加速度为g，则下列说法正确的是(
0 0
)
A．无论v 多大，小球不会脱离轨道
0
B．只有v≥，小球才不会脱离轨道
0
C．v 越大，小球在A、C两点对轨道的压力差也越大
0
D．若将小球无初速度从D点释放，小球一定会沿轨道经过C点
【答案】 D
【解析】由题意可知小球所受静电力与重力的合力方向竖直向上，大小为 F＝qE－mg＝2mg，若要使小球
不脱离轨道，设其在A点所具有的最小速度为v ，根据牛顿第二定律有F＝m，解得v ＝，所以只有当
min minv≥时，小球才不会脱离轨道，故A、B错误；假设小球可以在轨道中做完整的圆周运动，在 C点的速度
0
大小为v ，根据动能定理有mv2－mv2＝F·2R，在A、C点小球所受轨道的支持力大小分别为F 和F ，根
1 1 0 0 1
据牛顿第二定律有F ＋F＝m，F －F＝m，联立以上三式解得ΔF＝F －F ＝6F＝12mg，根据牛顿第三定律
0 1 1 0
可知小球在A、C两点对轨道的压力差等于12mg，与v 的大小无关，故C错误；若将小球无初速度从D点
0
释放，由于F向上，所以小球一定能沿DC轨道经过C点，故D正确。
4.(多选)如图所示，质量为m、带电荷量为＋q的小圆环套在半径为R的光滑绝缘大圆环上，大圆环固定在
竖直平面内，O为环心，A为最低点，B为最高点，在大圆环所在的竖直平面内施加水平向右、电场强度
大小为(g为重力加速度)的匀强电场，并同时给在A点的小圆环一个向右的水平初速度v(v 未知)，小圆环
0 0
恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，则小圆环运动过程中( )
A．动能最小与最大的位置在同一等势面上
B．电势能最小的位置恰是机械能最大的位置
C．在A点获得的初速度为
D．过B点受到大环的弹力大小为mg
【答案】 BC
【解析】 由于匀强电场的电场强度为，即静电力与重力大小相等，作出小圆环的等效物理最低点 C与等
效物理最高点位置D，如图所示，
小圆环在等效物理最低点速度最大，动能最大，在等效物理最高点速度最小，动能最小，根据沿电场线电
势降低，可知φ >φ ，可知其不在同一等势面上，A错误；小圆环在运动过程中，只有电势能、动能与重
D C
力势能的转化，即只有电势能与机械能的转化，则电势能最小的位置恰是机械能最大的位置，B正确；小
圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，即小圆环通过等效物理最高点D的速度为0，对圆环分析有
－qERsin 45°－mg(R＋Rcos 45°)＝0－mv2，
0
解得v＝，C正确；
0
小圆环从A运动到B过程有
－mg·2R＝mv 2－mv2，
B 0
在B点有F ＋mg＝m，
N解得F ＝(2－3)mg<0，
N
可知，小圆环过B点受到大环的弹力大小为
(3－2)mg，D错误。
考点二 电场中的力电综合问题
要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加速和偏转的模型，能够从带电粒子受力与运
动的关系、功能关系和能量关系等多角度进行分析与研究。
知识点1.动力学的观点
(1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用正交分解法。
(2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分析要全面，特别注意重力是否需要考虑。
知识点2.能量的观点
(1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所有力做的功，判断是对分过程还是对全过程
使用动能定理。
(2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现。
知识点3.动量的观点
(1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维情况下，各个矢量必须选同一个正方向。
(2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢量式，还要注意题目表述是否在某方向上动
量守恒。
1.如图，质量为9m的靶盒(可视为质点)带正电，电荷量为q，静止在光滑水平面上的O点。O点右侧存在
电场强度大小为E、方向水平向左的匀强电场。在O点左侧有一质量为m的子弹，以速度v 水平向右打入
0
靶盒后与靶盒一起运动。已知子弹打入靶盒的时间极短，子弹不带电，且靶盒带电荷量始终不变，不计空
气阻力。
(1)求子弹打入靶盒后的瞬间，子弹和靶盒共同的速度大小v；
1
(2)求子弹打入靶盒后，靶盒向右离开O点的最大距离s；
(3)若靶盒回到O点时，第2颗完全相同的子弹也以v 水平向右打入靶盒，求第2颗子弹对靶盒的冲量大小
0
I。
【答案】 (1)0.1v (2) (3)mv
0 0
【解析】 (1)子弹打入靶盒过程中，由动量守恒定律得mv＝10mv
0 1解得v＝0.1v。
1 0
(2)靶盒向右运动的过程中，由牛顿第二定律得
qE＝10ma
又v＝2as
解得s＝。
(3)第1颗子弹打入靶盒后，靶盒将向右减速后反向加速，返回O点时速度大小仍为v ，设第2颗子弹打入
1
靶盒后速度为v，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv－10mv＝11mv
2 0 1 2
解得v＝0
2
以靶盒与第1颗子弹为整体，由动量定理得
I＝0－(－10mv)
1
解得I＝mv。
0
2.如图所示，不带电物体A和带电的物体B用跨过定滑轮的绝缘轻绳连接，A、B的质量分别为2m和m，
劲度系数为k的轻弹簧一端固定在水平面上，另一端与物体A相连，倾角为θ的斜面处于沿斜面向上的匀
强电场中，整个系统不计一切摩擦。开始时，物体B在一沿斜面向上的外力F＝3mgsin θ的作用下保持静
止且轻绳恰好伸直，然后撤去外力F，直到物体B获得最大速度，且弹簧未超过弹性限度(已知弹簧形变量
为x时弹性势能为kx2)，重力加速度为g，则在此过程中( )
A．物体B带负电，受到的静电力大小为mgsin θ
B．物体B的速度最大时，弹簧的伸长量为
C．撤去外力F的瞬间，物体B的加速度大小为3gsin θ
D．物体B的最大速度为gsin θ
【答案】 D
【解析】 假设B所受静电力沿斜面向下，当施加外力时，对B分析可知F－mgsin θ－F ＝0，解得F
电 电
＝2mgsin θ，假设成立，故B带负电，故A错误；当B受到的合力为零时，B的速度最大，由kx＝F ＋
电
mgsin θ，解得x＝，故B错误；当撤去外力瞬间，弹簧弹力还来不及改变，即弹簧的弹力仍为零，对物体
A、B分析可知F ＝F ＋mgsin θ＝(m＋2m)a，解得a＝gsin θ，故C错误；设物体B的最大速度为v ，
合 电 m
由功能关系可得×3mv 2＋kx2＝mgxsin θ＋F x，解得v ＝gsin θ，故D正确。
m 电 m
3.如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面上，一光滑绝缘轻杆左端固定在
电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，
套在杆上质量为m的带电环以某一初速度由小孔进入电容器后，最远能到达距离右极板为 d的位置。底座
解除锁定后，将两极板间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能到达的位
置距离右极板( )A.d B．d C.d D.d
【答案】 C
【解析】 设带电环所带电荷量为q，初速度为v，底座锁定时电容器极板间电场强度为E，则由功能关系
0
有qEd＝mv2，底座解除锁定后，两极板间距离变为原来的 2倍，极板间电场强度大小不变，电容器及底
0
座在带电环作用下一起向左运动，当与带电环共速时，带电环到达进入电容器最远位置，整个过程满足动
量守恒，则有mv＝3mv，再由功能关系有qEd′＝mv2－×3mv2，联立解得 d′＝d，故选C。
0 1 0 1
4.19世纪末美国物理学家密立根进行了多次试验，比较准确地测定了电子的电荷量。如图所示，用喷雾器
将油滴喷入电容器的两块水平的平行电极板之间时，油滴经喷射后，一般都是带电的。设油滴可视为球体，
密度为ρ，空气阻力与油滴半径平方、油滴运动速率成正比。实验中观察到，在不加电场的情况下，半径
为r的小油滴1以速度v匀速降落；当上下极板间间距为d、加恒定电压U时，该油滴以速度0.5v匀速上升。
已知重力加速度为g，试求：
(1)此油滴带什么电？带电荷量多大？
(2)当保持极板间电压不变而把极板间距增大到4d，发现此油滴以另一速度v 匀速下落，求v 与v的比值；
1 1
(3)维持极板间距离为d，维持电压U不变，观察到另外一个油滴2，半径仍为r，正以速度0.5v匀速下降，
求油滴2与油滴1带电荷量之比。
【答案】 (1)带负电 (2) (3)1∶3
【解析】 (1)由题意得，油滴带负电，m＝ρπr3
不加电场匀速下降，有mg＝kr2v
当油滴以0.5v匀速上升，由平衡条件
mg＋kr2·0.5v＝q
1
故q＝。
1
(2)d增大到4倍，根据平衡条件得
mg＝q＋f，f＝kr2v
1 1 1 1
解得＝。
(3)设油滴2的电荷量为q，由平衡条件得
2
mg＝q＋kr2·0.5v
2
解得q∶q＝1∶3。
2 1
5.如图所示，长s＝0.5 m的粗糙水平面AB上有一水平向右的匀强电场E ＝60 V/m。一电荷量q＝＋0.02
1
C、质量m ＝0.2 kg的物块从A点由静止开始运动，从B点飞入竖直向下的匀强电场E ，并恰好落在质量
1 2
m＝0.3 kg的绝缘篮中，与绝缘篮粘在一起。绝缘篮通过长L＝0.1 m的轻绳(不可伸长)与一质量m＝0.5 kg
2 3
的滑块相连，滑块套在一水平固定的光滑细杆上，可自由滑动。已知物块与水平面 AB间的动摩擦因数μ＝0.2，绝缘篮距B点的竖直距离y＝0.1 m，水平距离x＝0.2 m，重力加速度g取10 m/s2，物块、绝缘篮、滑
块均可视为质点。求：
(1)物块从B点飞出时的速度大小；
(2)竖直匀强电场E 的大小；
2
(3)轻绳再次摆到竖直位置时绳对篮子的拉力大小。
【答案】 (1)2 m/s (2)100 N/C (3)10.2 N
【解析】 (1)物块从A滑行到B过程，根据动能定理可得qEs－μm gs＝mv
1 1 1
解得物块从B点飞出时的速度大小为v ＝2 m/s。
B
(2)物块飞入竖直电场中做类平抛运动，水平方向有x＝v t
B
竖直方向有y＝at2，a＝
联立解得E＝100 N/C。
2
(3)物块飞入篮中与绝缘篮组成的系统在水平方向动量守恒，则有mv ＝(m＋m)v
1 B 1 2 1
解得v＝0.8 m/s
1
绝缘篮与物块摆到一定高度再落回最低点过程中，绝缘篮、物块和滑块组成的系统在水平方向动量守恒，
则有
(m＋m)v＝(m＋m)v＋mv
1 2 1 1 2 2 3 3
根据能量守恒定律可得
(m＋m)v＝(m＋m)v＋mv
1 2 1 2 3
联立解得v＝0，v＝0.8 m/s
2 3
轻绳再次摆到竖直位置时，物块和绝缘篮相对滑块的速度大小为v ，对物块和绝缘篮根据牛顿第二定律可
3
得
T－(m＋m)g－qE＝(m＋m)
1 2 2 1 2
解得T＝10.2 N。
1．（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电
荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小
球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从 处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为
g。关于小球甲，下列说法正确的是（ ）
A．最低点的位置
B．速率达到最大值时的位置
C．最后停留位置x的区间是
D．若在最低点能返回，则初始电势能
【答案】BD
【详解】A．全过程，根据动能定理
解得
故A错误；
B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有
解得
故B正确；
C．小球甲最后停留时，满足
解得位置x的区间故C错误；
D．若在最低点能返回，即在最低点满足
结合动能定理
又
联立可得
故D正确。
故选BD。
2．（2022·全国·高考真题）地面上方某区域存在方向水平向右的匀强电场，将一带正电荷的小球自电场中
Р点水平向左射出。小球所受的重力和电场力的大小相等，重力势能和电势能的零点均取在Р点。则射出
后，（ ）
A．小球的动能最小时，其电势能最大
B．小球的动能等于初始动能时，其电势能最大
C．小球速度的水平分量和竖直分量大小相等时，其动能最大
D．从射出时刻到小球速度的水平分量为零时，重力做的功等于小球电势能的增加量
【答案】BD
【详解】A．如图所示
故等效重力 的方向与水平成 。
当 时速度最小为 ，由于此时 存在水平分量，电场力还可以向左做负功，故此时电势能不是最大，故A错误；
BD．水平方向上
在竖直方向上
由于
，得
如图所示，小球的动能等于末动能。由于此时速度没有水平分量，故电势能最大。由动能定理可知
则重力做功等于小球电势能的增加量， 故BD正确；
C．当如图中v 所示时，此时速度水平分量与竖直分量相等，动能最小，故C错误；
1
故选BD。
3．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直
平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A
点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为 、质量为m，A、B两点间的电势差为
U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E的大小。
（2）小球在A、B两点的速度大小。
【答案】（1） ；（2） ，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A到B过程根据动能定理得
联立解得4．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电
荷量分别为 和 。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空
间存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均
为 。 时，A以初速度 向右运动，B处于静止状态。在 时刻，A到达位置S，速度为 ，此时弹
簧未与B相碰；在 时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为 ；在细杆与B碰前的瞬间，A
的速度为 ，此时 。 时间内A的 图像如图（b）所示， 为图线中速度的最小值， 、 、
均为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等
效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限
度内。
（1）求 时间内，合外力对A所做的功；
（2）求 时刻A与B之间的距离；
（3）求 时间内，匀强电场对A和B做的总功；
（4）若增大A的初速度，使其到达位置S时的速度为 ，求细杆与B碰撞前瞬间A的速度。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【详解】（1） 时间内根据动能定理可知合外力做的功为
（2）由图（b）可知 时刻A的加速度为0，此时滑块A所受合外力为0，设此时A与B之间的距离为
r，根据平衡条件有
0其中
联立可得
（3）在 时刻，A的速度达到最大，此时A所受合力为0，设此时A和B的距离为r，则有
1
且有
，
联立解得
时间内，匀强电场对A和B做的总功
（4）过S后，A、B的加速度相同，则A、B速度的变化相同。设弹簧的初始长度为 ；A在S位置时，
此时刻A、B的距离为 ，A速度最大时，AB距离为 ，细杆与B碰撞时，A、B距离为 。
A以 过S时，到B与杆碰撞时，A增加的速度为 ，则B同样增加速度为 ，设B与杠相碰时，B向左
运动 。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动 。对A根据动能定理有
对B有
当A以 过S时，设B与杆碰撞时，A速度为 ，则B速度为 ，设B与杠相碰时，B向左运动 。
设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动 。
对A根据动能定理有
对B
联立解得
5．（2023·全国·高考真题）密立根油滴实验的示意图如图所示。两水平金属平板上下放置，间距固定，可
从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b在重力和空气阻力的作用下竖直向下匀速运动，速率分别为v、 ；两板间加上电压后（上板为正
0
极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与
油滴半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a和油滴b的质量之比；
（2）判断油滴a和油滴b所带电荷的正负，并求a、b所带电荷量的绝对值之比。
【答案】（1）8:1；（2）油滴a带负电，油滴b带正电；4:1
【详解】（1）设油滴半径r，密度为ρ，则油滴质量
则速率为v时受阻力
则当油滴匀速下落时
解得
可知
则
（2）两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很快达到相同的速率 ，可知油滴a做减速运动，
油滴b做加速运动，可知油滴a带负电，油滴b带正电；当再次匀速下落时，对a由受力平衡可得
其中
对b由受力平衡可得其中
联立解得
6．（2022·辽宁·高考真题）如图所示，光滑水平面 和竖直面内的光滑 圆弧导轨在B点平滑连接，导
轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度
大小为 ，之后沿轨道 运动。以O为坐标原点建立直角坐标系 ，在 区域有方向与x轴夹
角为 的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为 。小球在运动过程中电荷量保持不变，
重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）小球从A到B，根据能量守恒定律得
（2）小球从B到O，根据动能定理有
解得
（3）小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有竖直方向有
解得
，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，
即做类平抛运动，则有
，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程
7．（2022·广东·高考真题）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的
诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央
有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为 、位于
同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离 。此时给两极板加上电压U（上极板接
正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离
，随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的
空气阻力大小为 ，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，重力
加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离 电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【答案】（1） ；（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量 ，电势能的变化
量 ；（3）见解析
【详解】（1）未加电压时，油滴匀速时的速度大小
匀速时又
联立可得
（2）加电压后，油滴A的速度不变，可知油滴A不带电，油滴B最后速度方向向上，可知油滴B所受电
场力向上，极板间电场强度向下，可知油滴B带负电，油滴B向上匀速运动时，速度大小为
根据平衡条件可得
解得
根据
又
联立解得
（3）油滴B与油滴A合并后，新油滴的质量为 ，新油滴所受电场力
若 ，即
可知
新油滴速度方向向上，设向上为正方向，根据动量守恒定律
可得
新油滴向上加速，达到平衡时解得速度大小为
速度方向向上；
若 ，即
可知
设向下为正方向，根据动量守恒定律
可知
新油滴向下加速，达到平衡时
解得速度大小为
速度方向向下。
8．（2021·福建·高考真题）如图（a），同一竖直平面内A、B、M、N四点距O点的距离均为 ，O为
水平连线 的中点，M、N在 连线的中垂线上。A、B两点分别固定有一点电荷，电荷量均为Q（
）。以O为原点，竖直向下为正方向建立x轴。若取无穷远处为电势零点，则 上的电势 随位置
x的变化关系如图（b）所示。一电荷量为Q（ ）的小球 以一定初动能从M点竖直下落，一段时间
后经过N点，其在 段运动的加速度大小a随位置x的变化关系如图（c）所示。图中g为重力加速度大
小，k为静电力常量。
（1）求小球 在M点所受电场力大小。
（2）当小球 运动到N点时，恰与一沿x轴负方向运动的不带电绝缘小球 发生弹性碰撞。已知 与
的质量相等，碰撞前、后 的动能均为 ，碰撞时间极短。求碰撞前 的动量大小。
（3）现将 固定在N点，为保证 能运动到N点与之相碰， 从M点下落时的初动能须满足什么条件？【答案】（1） ；（2） ；（3）
【详解】（1）设A到M点的距离为 ，A点的电荷对小球 的库仑力大小为 ，由库仑定律有
①
设小球 在 点所受电场力大小为 ，由力的合成有
②
联立①②式，由几何关系并代入数据得
③
（2）设O点下方 处为 点， 与 的距离为 ，小球 在 处所受的库仑力大小为 ，由库仑定律
和力的合成有
④
式中
设小球 的质量为 ，小球 在 点的加速度大小为 ，由牛顿第二定律有
⑤
由图（c）可知，式中
联立④⑤式并代入数据得
⑥
设 的质量为 ，碰撞前、后 的速度分别为 ， ， 碰撞前、后的速度分别为 ， ，取竖直向
下为正方向。由动量守恒定律和能量守恒定律有⑦
⑧
设小球S 碰撞前的动量为 ，由动量的定义有
2
⑨
依题意有
联立⑥⑦⑧⑨式并代入数据，得
⑩
即碰撞前 的动量大小为 。
（3）设O点上方 处为D点。根据图（c）和对称性可知， 在D点所受的电场力大小等于小球的重力
大小，方向竖直向上， 在此处加速度为0； 在D点上方做减速运动，在D点下方做加速运动，为保证
能运动到N点与 相碰， 运动到D点时的速度必须大于零。
设M点与D点电势差为 ，由电势差定义有
设小球 初动能为 ，运动到D点的动能为 ，由动能定理⑪有
⑫
由对称性，D点与C点电势相等，M点与N点电势相等，⑬依据图（b）所给数据，并联立⑥ 式可得
⑪⑫⑬
⑭
