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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块10 磁发明各模块大招
第07 讲 复合场模型
（解析版）
目录
【内容一】 洛伦兹力、重力并存模型..............................................................................................................1
【内容二】 电场力、洛伦兹力并存模型..........................................................................................................3
【内容三】 电场力、洛伦兹力、重力并存模型..............................................................................................5
【内容四】 有约束情况下的运动模型..............................................................................................................6
技巧总结
复合场模型
技巧总结
Ⅰ：叠加场
电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．
Ⅱ：无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，
故机械能守恒，由此可求解问题．
③若沿固定的轨道运动，带电粒子还要受到其它力的作用。可根据带电粒子运动形式
以及涉及的物理量，选择相对应的办法求解。
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子以大小和方向都唯一确定的速度做匀速直线
运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子做复杂的曲线运动。涉及时间的问题只可
粗解。不涉及时间的问题，因洛伦兹力不做功，只有电场力做功，故利用动能和电势
能之和守恒或动能定理可详解．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若电场力、洛伦兹力和重力三个力平衡，带电粒子做匀速直线运动。此时这三个力
不在一条直线上，三个力可围成一个三角形。利用解三角形的方法可求解。
②若重力和电场力平衡，带电粒子所受的洛伦兹力提供向心力，带电粒子做匀速圆周
运动。即：
，
③若电场力、洛伦兹力和重力三个力合力不为零，带电粒子做复杂的曲线运动。涉及
时间的问题只可粗解。不涉及时间的问题，因洛伦兹力不做功，只有电场力和重力做
功，故利用机械能和电势能之和守恒或动能定理可详解。
④若沿固定的轨道运动，带电粒子还要受到其它力的作用。可根据带电粒子运动形式
1
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以及涉及的物理量，选择相对应的办法求解。当带电粒子运动形式是直线运动时，根
据涉及的物理量可利用动力学的三大规律求解。当带电粒子做圆周运动时，通常利用
向心力公式和动能定理求解。
Ⅲ：有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有
直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛
伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
模型1：有特殊装置
当重力和洛伦兹力并存
如图所示为一个质量为m、电荷量为+q 的圆环,可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑
动,细杆处于磁感应强度为B 的匀强磁场中,不计空气阻力,现给圆环向右的初速度v0,在
以后的运动过程中,圆环运动的速度图像可能是图中的
破解：带电圆环在磁场中运动时受到竖直向上的洛伦兹力,当重力与洛伦兹力相等时,圆
环将做匀速直线运动,A 正确。当洛伦兹力大于重力时,圆环受到摩擦力的作用,并且随着
速度的减小而减小,圆环将做加速度减小的减速运动,最后做匀速直线运动,D 正确。如果
重力大于洛伦兹力,圆环也受摩擦力作用,且摩擦力越来越大,圆环将做加速度增大的减
速运动,故B、C 错误。
模型2：当电场力和洛伦兹力并存（不计带电粒子的重力）
如图所示,质量为m、电荷量为q 的带电粒子,以初速度v 沿垂直磁场方向射入磁感应强
度为B 的匀强磁场,在磁场中做匀速圆周运动。不计带电粒子所受重力。
(1)求粒子做匀速圆周运动的半径R 和周期T;
(2)为使该粒子做匀速直线运动,还需要同时存在一个与磁场方向垂直的匀强电场,求电场
强度E 的大小。
2
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破解：(1)洛伦兹力提供向心力,有
带电粒子做匀速圆周运动的半径
匀速圆周运动的周期
(2)粒子受电场力
,洛伦兹力
,粒子做匀速直线运动,则
电场强度的大小
.
模型3：电场力、洛伦兹力和重力并存
如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里。一质量为
、带
电荷量为
的微粒以速度
与磁场垂直、与电场成
角射入复合场中，恰能做匀速直
线运动，已知重力加速度为
。
（1）请判断微粒的带电性质 正电荷
（2）求电场强度
和磁感应强度
的大小
模型4：电场力、洛伦兹力和重力并存
小球
套在很长的绝缘直棒上，可在棒上滑动，将此棒竖直放在如图所示的匀强
电场
和匀强磁场
中，动摩擦因数为
，请定性描述小球的运动过程，并求小球由
静止沿棒下落的最大加速度和最大速度。
3
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破解：小球从静止开始做加速度逐渐减小的加速运动，最后保持匀速运动状态
最大加速度出现在
时，
最大速度出现在
时，
若电场反向，情况如何？
小球从静止开始先做加速度逐渐增大的加速运动，加
速度最大为
，然后做加速度逐渐减小的加速运动，
最后
，小球保持匀速直线运动状态。
最大加速度出现在洛伦兹力与电场力等大反向
时，
，此时小球所受的摩擦为
.
加速度
时出现最大速度，
模型5：有轨道约束的叠加场问题
带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下,除受场力外,可能还受弹
力、摩擦力作用,常见的运动形式有直线运动和圆周运动,此时解题要通过受力分析明确
变力、恒力做功情况,并注意洛伦兹力不做功的特点,运用动能定理、能量守恒定律、牛
顿运动定律等求出结果。
如图所示,质量为m、带电荷量为+q 的带电圆环套在足够长的绝缘杆上,杆与环之间的
动摩擦因数为μ,杆处于正交的匀强电场和匀强磁场中,杆与水平电场的夹角为θ,若环能
从静止开始下滑,则以下说法正确的是 ( )
A.环在下滑过程中,加速度不断减小,最后为零B.环在下滑过程中,加速度先增大后减小,
最后为零
C.环在下滑过程中,速度不断增大,最后匀速D.环在下滑过程中,速度先增大后减小,最后
4
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为零
对环进行受力分析,可知环受重力、电场力、洛伦兹力、杆的弹力和摩擦力作用,
由牛顿第二定律可知,加速度
,当速度
增大时,加速度也增大,当速度
增大到弹力反向后,加速度
,随速度
的增大而减小,当加
速度减为零时,环做匀速运动,B、C 正确。
模型6：斜面约束
如图所示,带电荷量为+q、质量为m 的物块从倾角为θ=37°的光滑绝缘斜面顶端由静止
开始下滑,磁感应强度为B 的匀强磁场垂直纸面向外,求物块在斜面上滑行的最大速度和
在斜面上运动的最大位移。(斜面足够长,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
破解：对物块进行受力分析可知,物块沿斜面运动过程中加速度不变,但随速度的增大,
物块所受支持力逐渐减小,最后离开斜面,所以当物块对斜面的压力刚好为零时,物块沿
斜面滑行的速度达到最大,同时位移达到最大。
当物块的速度达到最大时,有
①
物块沿斜面下滑过程中,由动能定理得
②
5
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由①②两式联立得
、
。
模型7：圆管约束
如图所示,一个绝缘且内壁光滑的环形细圆管固定于竖直平面内,环的半径为
(比细圆
管的内径大得多)。在圆管的最低点有一个直径略小于细圆管内径的带正电小球处于静
止状态,小球的质量为
,带电荷量为
,重力加速度为
。空间存在一磁感应强度大小
未知(不为零),方向垂直于环形细圆管所在平面向里的匀强磁场。某时刻,给小球一方向
水平向右、大小为
的初速度,则以下判断正确的是
A.无论磁感应强度大小如何,获得初速度后的瞬间,小球在最低点一定受到管壁的弹力作
用
破解：小球在轨道最低点时受到的洛伦兹力方向竖直向上,若洛伦兹力和重力的合力恰
好提供小球所需要的向心力,则在最低点时小球不会受到管壁弹力的作用
公式：
可见只要
满足
,支持力
为0.
B.无论磁感应强度大小如何,小球一定能到达环形细圆管的最高点,且小球在最高点一定
受到管壁的弹力作用
破解：小球运动的过程中, 洛伦兹力不做功, 小球的机械能守恒, 则有
,解得小球运动至最高点时的速度
.可知小球受到
竖直向下的洛伦兹力的同时必然受到与洛伦兹力等大反向的圆管对小球的弹力,B 选项
6
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正确
C.无论磁感应强度大小如何,小球一定能到达环形细圆管的最高点,且小球到达最高点时
的速度大小都相同
D.小球从环形细圆管的最低点运动到所能到达的最高点的过程中,水平方向分速度的大
小一直减小
破解：小球从最低点运动到最高点的过程中,小球在下半圆管内上升的过程中,水平分速
度向右且减小,到达与圆心等高的点时,水平分速度为零,而运动至上半圆管后水平分速
度向左且不为零,所以水平分速度一定有增大的过程,D 选项错误。
方法技巧
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
例题演练
例1．如图所示，两竖直平行虚线边界内，匀强电场方向竖直（平行纸面）向下，匀
强磁场方向垂直纸面向里，一带负电小球从P 点以某一速度垂直边界进入，恰好沿水
7
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平方向做直线运动，若仅减小小球从P 点进入的速度大小，则在小球进入的一小段时
间内（ ）
A．小球做匀变速曲线运动
B．小球的电势能增大
C．小球的机械能减小
D．小球的电势能和动能之和减小
解：A．仅减小小球从P 点进入的速度大小，由于小球的速度会变，合外力会变，则
小球不会做匀变速曲线运动，A 错误；
BC．仅减小小球从P 点进入的速度大小时，洛伦兹力减小，则电场力和重力不变，小
球将向上偏转，电场力和重力的合力向上，且它们的合力对小球做正功，小球动能增
大，小球的机械能增大，电场力对小球做正功，电势能减小，重力对小球做负功，重
力势能增大，BC 错误；
D．由于电势能减小，重力势能增大，动能增大，减小电势能转化为动能和重力势能，
故小球的电势能和动能之和减小，D 正确。故选D。
例2．我国空间站的建成，在全球引起了强烈的反响。宇航员在进入太空前在地球上
要进行模拟实验，可将其简化为如图所示，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电
场方向竖直向上（与纸面平行），磁场方向垂直于纸面向里，三个带正电的微粒a、
b、c 电荷量相等，质量分别为ma、mb、mc，已知在该区域内，a 在纸面内向右做匀速
直线运动，b 在纸面内向左做匀速直线运动，c 在纸面内做匀速圆周运动，下列选项正
确的是（ ）
A．ma>mc>mb
B．mb>ma>mc
C．mc>ma>mb
D．mc>mb>ma
解：带正电的微粒a 向右做匀速直线运动，电场力竖直向上，左手定则判断洛伦兹力
竖直向上，重力竖直向下，平衡条件得
得
8
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带正电的微粒b 向左做匀速直线运动，电场力竖直向上，左手定则判断洛伦兹力竖直
向下，重力竖直向下，平衡条件得
得
带正电的微粒c 在纸面内做匀速圆周运动，必有
则有
故选A。
例3．如图所示，在真空中竖直平面（纸面）内边长为a 的正方形ABCD 区域，存在方
向沿CB（水平）的匀强电场和方向垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球
以速率
（g 为重力加速度大小）从A 点沿AC 方向射入正方形区域，恰好能沿直线
运动。下列说法正确的是（ ）
A．该小球带负电 B．磁场的磁感应强度方向垂直纸面向外
C．若该小球从C 点沿CA 方向以速率
射入正方形区域，则小球将做直线运动
D．若电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上，该小球仍从A 点沿AC 方向以速
率
射入正方形区域，则小球将从D 点射出
解：AB．小球做直线运动，说明小球受力平衡，小球重力方向竖直向下，小球带正电，
受电场力水平方向向左，洛伦兹力方向垂直AC 斜向上，则磁场的磁感应强度方向垂直
纸面向里，AB 错误；
C．若该小球从C 点沿CA 方向以速率
射入正方形区域，则小球的合力不为零，速
度会变化，洛伦兹力也会变化，小球将做曲线运动，C 错误；
D．电场水平向左，由物体的平衡条件有
（其中
）
电场的电场强度大小不变、方向变为竖直向上后，电场力与重力平衡，小球沿逆时针
方向做匀速圆周运动，设轨道半径为r，有
解得
小球将从D 点射出，
D 正确。
例4．如图所示，空间某处存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一
9
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个带负电的金属小球从M 点水平射入场区，经一段时间运动到N 点，关于小球由M 到
N 的运动，下列说法正确的是（ ）
A．小球可能做匀变速运动
B．小球的电势能可能减少
C．小球动能可能不变
D．小球机械能可能增加
解：A．小球从M 到N，在竖直方向上发生了偏转，所以受到的竖直向下的洛伦兹力、
竖直向下的重力和竖直向上的电场力的合力不为零，并且速度方向变化，则洛伦兹力
方向变化，所以合力方向变化，故不可能做匀变速运动，一定做变加速运动，A 错误；
B．小球从M 到N 过程中电场力的做负功，电势能必然增加，B 错误；
C．若电场力和重力等大反向，则运动过程中电场力和重力做功之和为零，而洛伦兹力
不做功，所以小球的动能可能不变，C 正确；
D．沿电场方向有位移，电场力一定做负功，机械能转化为电势能，故小球的机械能
减小不可能增加，D 错误。故选C。
例5．如图甲所示，一个带正电的物块m 由静止开始从斜面上A 点下滑，滑到水平面
BC 上的D 点停下来，已知物块与斜面及水平面间的动摩擦因数相同，且不计物块经过
B 处时的机械能损失。若在空间分别加竖直向下的匀强电场和匀强磁场如图乙、丙所
示，仍让物块m 从A 点由静止开始下滑，物体始终与地面接触，则以下说法中正确的
是（ ）
A．当加如图乙所示匀强电场时物块最后停在D 点左侧
B．当加如图乙所示匀强电场时物块最后停在D 点右侧
C．当加如图丙所示匀强磁场时物块最后停在D 点左侧
D．当加如图丙所示匀强磁场时物块最后停在D 点右侧
解：设AB 之间的距离为
，斜面的夹角为
，接触面的摩擦因数为
，甲的受力情况
如图所示
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设BD 之间的距离为
，根据动能定理可得
解得
AB．当加如图乙所示匀强电场时，物体的受力情况如图所示
设物体停下时与B 点的距离为
，根据动能定理可得
解得
由此可知
即加如图乙所示匀强电场时物块最后停在D 点，
AB 错误；
CD．当加如图丙所示匀强磁场时，物体受力如图所示
在斜面上和水平面运动时受到的摩擦力
，
丙图情况下，物体在斜面上运动时，克服摩擦力做的功更少，由此可知物体到达B 点
时的速度大于甲图时到达B 点的速度，丙图在水平面上运动时，物体运动的初速度大，
减速的加速度更小，因此运动的距离更远，即
即加如图丙所示的磁场时物块最后停在D 点的右侧，C 错误，D 正确。故选D。
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例6．重力不计的带电粒子以初速度
先后穿过宽度相同且相邻的有明显边界的匀强
电场E 和匀强磁场B，如图甲所示，电场和磁场对粒子总共做功
；若把电场和磁场
正交叠加，如图乙所示，粒子仍以
的初速度穿过叠加场区，电场和磁场对粒子总共
做功
，比较
、
的大小（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
解：根据左手定则判断可知，洛伦兹力有与电场力的方向相反的分力，而在甲图中带
电粒子在电场中只受电场力qE，而在乙图中带电粒子受洛伦兹力与电场力，由于不知
道两个力的大小，故不能确定
、
的大小。故选D。
例7．如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和
匀强磁场中，电场强度大小为
，磁感应强度大小为B，一质量为m，电荷量
为q 的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ，现使圆环以初速度v0向下
运动，经时间t0，圆环回到出发点，若圆环回到出发点之前已经开始做匀速直线运动，
不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
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A．环经过最低点时加速度大小为g B．环的最大加速度为
C．环在t0时间内损失的机械能为
D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等
解：A．在最低点时，受到向上的电场力和向下的重力作用，根据牛顿第二定律可知
解得a=g 方向向上，选项A 正确；
B．环向下运动时竖直方向受到重力、向上的电场力、向上的摩擦力，设加速度大小为
a1，则
因此速度的减小，导致洛沦兹力减小，则摩擦力会减小，因此环做加速度减小的减速
运动，当环回头时，环的加速度大小
随着速度增大，开始做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动；圆环在运动过
程中，向下运动时，加速度大于向上运动的加速度，而向下运动摩擦力越大，则加速
度越大，因此环刚开始运动时，加速度最大，最大加速度
故B 错误；
C．圆环从出发到回到出发点过程中，重力势能变化为零，那么机械能的损失，即为动
能的减小，根据能量关系则有
而
，
因此损失的机械能为
故C 正确；
D．因环下降过程经过某点的速度大于上升过程通过同一点的速度，根据
可知，下降过程中摩擦力的平均值较大，则下降过程因摩擦产生的热较大，故D 错误；
故选AC。
例8．如图所示，等腰直角三角形abc 区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，直角边
ac 长度为l，磁感应强度大小为B。在c 点有一粒子源，可沿纸面内各个方向射出质量
为m、电荷量为+q 的粒子，所有粒子不计重力、速度大小均为v0。其中从c 点沿cb 方
向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab 射出磁场。若在该平面内再加上一个
沿ca 方向的匀强电场，电场强度为E。关于粒子的运动下列说法正确的是（ ）
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A．粒子速度v0的大小满足
B．不加电场时，从a 点射出磁场的粒子在c 点的速度方向与bc 夹角为30°
C．不加电场时，与bc 夹角为45°的入射粒子在磁场中的运动时间为
D．加上电场后，所有粒子飞出场区时动能的最大值为
解：A．从c 点沿cb 方向射入磁场的粒子，运动轨迹恰好垂直于边界ab 射出磁场，可
知粒子运动的轨道半径为l，根据
可得粒子的速度
选项A 正确；
B．不加电场时，从a 点射出磁场的粒子的轨道半径为l，则在c 点的速度方向与bc 夹
角为60°，选项B 错误；
C．不加电场时，与bc 夹角为45°的入射粒子在磁场中转过的角度小于90°，则运动时
间
选项C 错误；
D．加上电场后，因电场力方向竖直向上，则从a 点飞出的粒子电场力做功最大，则所
有粒子飞出场区时动能的最大值为
选项D 正确。故选
AD。
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例9．如图所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，上端开口、下端封闭的玻璃管竖直放
置，玻璃管内壁光滑，管底有一带正电的小球，在外力作用下，玻璃管垂直进入磁场
并保持速度不变，小球最终从上端管口飞出．从进入磁场到小球飞出玻璃管的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．洛伦兹力对小球做正功
B．小球的机械能增加
C．小球的运动轨迹是一条抛物线 D．小球在玻璃管中的运动时间与玻璃管速度无关
解：A．洛伦兹力的方向与速度方向垂直，永远不做功，故A 错误；
B．设小球竖直分速度为vy、水平分速度为v，小球受力如图所示，玻璃管对带电小球
的弹力水平向右，小球的速度方向斜向右上方，弹力对小球做正功，小球的机械能增
加，故B 正确；
C．小球随玻璃管在水平方向做匀速直线运动，小球在竖直方向所受的洛伦兹力
F1=qvB
是恒力，在竖直方向，由牛顿第二定律得vBq-mg=ma
解得小球的加速度大小
小球的加速度不随时间变化，恒定不变，小球在竖直方向做匀加速直线运动，合运动
为匀变速曲线运动，运动轨迹是一条抛物线，故C 正确；
D．小球在竖直方向做匀加速运动，根据
可知
则小球在玻璃管中的运动时间与玻璃管速度有关，选项D 错误。故选BC。
例10．如图所示，倾角为θ 的光滑斜面上设置有AB 和CD 两个粗糙的缓冲区，且
AB=BC=CD=l。整个空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场。一带负电的物块（视为质
点）从斜面顶端O 由静止释放，其与缓冲区动摩擦因数为μ，通过AB 段与通过CD 段
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的时间相等，运动到D 点时的速度为v。已知重力加速度为g，则（ ）
A．物块通过AB 段时可能做加速运动
B．物体通过AB 段的时间大于通过BC 段的时间
C．物块通过AB 段时克服摩擦力所做的功大于通过BC 段时重力所做的功
D．斜面OA 段长度为
解：A．AB 与CD 段时间相同，说明A 点与C 点速度应该相同，这样AB 与CD 段运
动规律相同，所以才会有时间相同，故只能AB 段减速，BC 段匀加速，CD 段减速，A
错；
B．洛伦兹力垂直斜面向下，故AB 段速度减小时，洛伦兹力减小，支持力减小，摩擦
力减小，做加速度减小的减速运动，AB 段的初末速度与BC 段的末初速度相等，根据
v-t 图象可以分析出AB 段平均速度比BC 段小，在相同位移下，AB 段时间更长，B 对；
C．从A 到C，根据前面的分析可知初末动能不变，则克服摩擦力做的功等于AC 段重
力做的功，所以大于BC 段重力做的功，C 对；
D．B 点速度即D 点速度v，B 到C 由运动学公式
C 点速度就是A 点速度，O 到A 再用运动学公式
故
故D
正确。
对应题型精炼
1．如图所示的平行板器件中，存在相互垂直的匀强磁场和匀强电场，一带电粒子从P
点射入平行板间，沿中线PQ 做直线运动，则该粒子（ ）
A．一定带正电
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B．
C．若
，则该粒子做类平抛运动
D．若该粒子从右端进入，仍做直线运动
【答案】B
【详解】A．根据平衡条件和左手定则可知，粒子带正电和负电均可，故A 错误；
B．根据平衡条件
得
故B 正确；
C．若
，则粒子受到的洛伦兹力大于电场力，使粒子偏转，做曲线运动，但洛伦
兹力方向不断变化，故合力不恒定，不是类似平抛运动，故C 错误；
D．此粒子从右端沿虚线方向进入，电场力与洛伦兹力在同一方向，不能做直线运动，
故D 错误。
故选B。
2．电场强度为E 的匀强电场方向斜向右上与水平方向成30°角，匀强磁场与匀强电场
垂直，磁感应强度大小为B，方向如图所示。一带电小球M 竖直向上做直线运动，该
小球运动的速度大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】根据题意可得，带电小球竖直向上做匀速直线运动，小球带正电，根据左手
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定则可知洛伦兹力水平向左，根据力的平衡有
解得
故选B。
3．如图所示，一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O 点，另一端系一带负电的小球，
置于水平向左的匀强电场和垂直纸面里的匀强磁场中。已知绳长L，小球质量为m，电
荷量为q，磁感应强度大小为
，现把小球从A 点静止释放，刚好沿着圆弧AB
到达最高点B 处，其中
，重力加速度为g，已知
，则小球（ ）
A．从A 到B 的过程中，小球的机械能一直增大
B．小球所受的电场力是重力的
倍
C．从A 到B 过程中，小球的最大速度为
D．从A 到B 过程中，绳子的最大拉力为重力的
倍
【答案】AC
【详解】A．从A 到B 过程中，电场力对小球一直做正功，则小球机械能一直增大，
电势能一直减小，故A 正确；
B．根据动能定理
得
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故B 错误；
C．小球所受重力和电场力的合力为
方向与竖直方向夹角
，所以当绝缘细线运动到此位置时，小球速度最大，根据动能
定理
得
故C 正确；
D．根据
从A 到B 过程中，绳子的最大拉力
故D 错误。
故选AC。
4．如图所示，两个半径相同的半圆形光滑轨道置于竖直平面内，左右两端点等高，分
别处于沿水平方向的匀强电场和匀强磁场中。两个相同的带正电小球同时从两轨道左
端最高点由静止释放。M、N 为轨道的最低点，则下列说法中正确的是（ ）
A．两个小球到达轨道最低点的速度
B．两个小球第一次经过轨道最低点时对轨道的压力
C．小球第一次到达M 点的时间小于小球第一次到达N 点的时间
D．在电场和磁场中小球均能到达轨道的另一端最高处
【答案】BC
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【详解】A．对匀强磁场中的小球有
可得
对匀强电场中的小球有
可得
所以
故A 错误；
B．对匀强磁场中的小球，在最低点有
可得
对匀强电场中的小球，在最低点有
可得
所以
故B 正确；
C．因小球第一次到达M 点的过程中，只有重力做正功，平均速率大，时间短；而小
球第一次到达N 点的过程中，重力做正功，电场力做负功，平均速率小，时间长，故
C 正确；
D．根据能量守恒，在磁场中的小球上升到最高点时重力势能转化为重力势能，能上
升到同高度，而电场中的小球上升到最高点时重力势能有一部分转化为电势能，所以
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末状态的重力势能小于初状态的重力势能，不能上升到原高度，故D 错误。
故选BC。
5．如图所示， 倾角
的固定光滑绝缘斜面上长度为L 的直导体棒MN（图中只
画出了M 端）中通有从M 到N（即水平向里）的电流，电流的大小为I，MN 的质量
为m，MN 紧靠垂直于斜面的绝缘挡板放置。在MN 的中点系一轻质绝缘细线，细线的
另一端系一质量为m、电荷量为q 的带正电小球（可视为质点）， 斜面的右侧空间存
在磁感应强度大小
（g 为重力加速度的大小）、方向水平向里的匀强磁场。
MN 处在另一匀强磁场中（图中未画出）。将小球拉到图中P 点，细线OP 段与水平方
向的夹角也为θ，且OP 段的长度为L， 将小球由静止释放，小球运动的过程中通电直
导体棒MN 始终处于静止状态。重力加速度大小为g。空气阻力和所有摩擦阻力均不计，
求：
（1）小球运动到O 点正下方时对细线拉力的大小；
（2）小球运动到O 点正下方时与绝缘斜面竖直边发生碰撞，不考虑碰撞过程中机械能
损失，求碰后瞬间小球对细线拉力的大小；
（3） MN 所处位置的磁场的磁感应强度最小值。
及磁感应强度的方向。
【答案】（1）3mg；（2）mg；（3）
，垂直斜面向下
【详解】（1）设小球运动到O 点时的速度大小为v，由动能定理有
小球运动到O 点正下方时，受到的洛伦兹力大小为
设小球运动到O 点正下方时，所受细线的拉力大小为F，有
解得
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由牛顿第三定律可得
（2）小球运动到O 点正下方时与绝缘斜面竖直边发生碰撞，不考虑碰撞过程中机械能
损失，即碰后小球速度大小不变，方向相反。这时小球受的洛伦兹力方向向上，设所
受细线的拉力大小为F1，有
得
（3）经分析可知，当MN 所处位置的磁场的磁感应强度方向垂直斜面向下时，MN 所
受安培力方向沿斜面向下，此时所处位置的磁场的磁感应强度最小。由力的平衡条件
有
上式中
解得
6．如图所示，竖直平面内有一坐标系
，在
的空间内存在沿
轴正方向的匀
强电场，在
且
区域内存在着彼此垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强电
场平行
轴向上，匀强磁场垂直纸面向里，两区域电场的电场强度大小相等。一质量
为
、电荷量为
的带电小球（可视为质点）从
点由静止开始运动，
经过坐标原点
进入第四象限，且恰好没有从
射出电磁复合场区域，已知重力加
速度为
，求：
（1）匀强电场的电场强度大小及匀强磁场的磁感应强度大小；
（2）小球从离开
点到其第3 次经过
轴所经历的时间。
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【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）在小球从
点向
点运动的过程中，重力与电场力的合力沿
方向，
有
解得
设小球从
点进入磁场时，速度大小为
，由动能定理得
解得
方向与
轴成
角斜向下；由于
，所以小球进入电磁复合场后在洛伦兹力作
用下做匀速圆周运动，有
由几何关系，可得
联立解得
（2）小球从
点运动到
点，由竖直方向的分运动，可得
小球从
点到再次经过
轴的时间为圆周运动的
个周期，时间
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小球第2 次经过
轴后做斜抛运动至第3 次经过
轴，有
故小球从离开
点到其第3 次经过
轴所经历的时间
联立解得
7．如图所示，竖直面内两极板间有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。
质量为
的带正电小球从
点由静止释放，从上极板的小孔进入两极板之间，
恰能从下极板的边缘水平飞出极板。已知
点与上极板的距离
，两极板之间
的距离为
，极板长
，小球带电荷量
，电场强度
，重力加速度
取
，取
。求：
（1）匀强磁场的磁感应强度
的大小；
（2）带电小球从释放到离开极板的总时间（保留3 位有效数字）。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）小球到达小孔时，由动能定理
在极板间
故小球在极板间做匀速圆周运动
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由几何关系知
解得
（2）由
得小球进入极板前运动时间
小球在磁场中运动的周期
在磁场中运动的时间
总时间
8．如图所示，竖直面内有一固定轨道
与
相切于
点，小滑块与
段的
动摩擦因数为
段是半径为
的光滑圆弧，
连线水平。轨道所在处有
垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小
。将一个质量为
、带电量为
的绝缘小滑块自图中
点以水平速度
向右抛出，刚好可以无碰撞地
进入斜面
。已知斜面倾角
，小滑块在进入
轨道前已匀速运动，重力加速
度
取
。求：
（1）
与
之间的水平距离；
（2）小滑块在
点时的速度大小
；
（3）小滑块在轨道最低点
时对轨道的压力。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向竖直向下
【详解】（1）在
点，对小滑块分析
所以
与
的水平距离为
（2）小滑块匀速运动时受力分析，垂直于斜面方向
沿斜面方向
解得
由动能定理知
（3）从
到
，由动能定理
在
点
解得
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由牛顿第三定律得知小滑块在
点对轨道的压力大小为
，方向竖直向下。
9．如图所示，在竖直平面内的直角坐标系xOy 中，y 轴竖直，第一象限内有竖直向上
的匀强电场E1、垂直于xOy 平面向里的匀强磁场B1=4T；第二象限内有平行于xOy 平
面且方向可以调节的匀强电场E2；第三、四象限内有垂直于纸面向外的匀强磁场B2=
T。x、y 轴上有A、B 两点，OA=(2+
）m，OB=1m。现有一质量
，
电荷量q=10-3C 的带正电小球，从A 点以速度v0垂直x 轴进入第一象限，做匀速圆周运
动且从B 点离开第一象限。小球进入第二象限后沿直线运动到C 点，然后由C 点进入
第三象限。已知重力加速度为
，不计空气阻力。求：
（1）第一象限内电场的电场强度E1与小球初速度v0的大小；
（2）第二象限内电场强度E2的最小值和E2取最小值时小球运动到C 点的速度vc；
（3）在第（2）问的情况下，小球在离开第三象限前的最大速度vm。
【答案】（1）40N/C，2m/s；（2）20N/C，2
m/s；（3）4
m/s，方向水平向左
【详解】（1）小球由A 点进入第一象限后，所受电场力与重力平衡
E1q=mg
解得
E1=40N/C
由几何关系得
r+
=OA
解得
r=2m
小球做匀速圆周运动
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解得
v0=2m/s
（2）由几何关系得：BC 与竖直方向夹角为
θ=30°
小球由B 到C 做直线运动，则电场力与重力的合力与vB均沿BC 方向，当电场力与BC
垂直时，电场力有最小值
qE2min=mgsinθ
解得
E2min=20N/C
对小球有
mgcosθ=ma
根据几何关系
xBC=
m
根据速度位移关系式
vC
2-v0
2=2axBC
代入数据得
a=5
m/s2
vC=2
m/s
（3）小球进入第三象限后，在重力、洛伦兹力作用下做变加速曲线运动，把初速度vC
分解为v1和v2，其中v1满足
Bqv1=mg
解得
v1=
=2
m/s
方向水平向左
则
v2=2
m/s
方向与x 轴正方向夹角为60°
小球的实际运动可以分解为
运动一：速度为v1=2
m/s，水平向左，合力为
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B2qv1-mg=0
的匀速直线运动。
运动二：速度为v2=2
m/s，顺时针旋转，合力为
F 洛=B2qv2
的匀速圆周运动。当v1和v2的方向相同时合运动的速度最大，最大速度
vm=v1+v2=4
m/s
方向水平向左。
10．如图甲所示，边长为L 的正方形区域abcd 位于竖直平面内，ab 边水平。该区域内
有周期性变化的匀强电场和匀强磁场，以平行ad 向下为电场的正方向，垂直纸面向里
为磁场的正方向，电场强度E 和磁感应强度B 随时间变化的图像分别如图乙和图丙所
示，图中
、
、T 均未知。质量为m、带电量为
的带电颗粒（可视为质点）源源
不断地从ad 边中点O 以某一恒定初速度沿水平方向射入电场，若
时刻射入电场的
颗粒，经
时间后从c 点离开电场，
时刻射入电场的颗粒，在电磁场中做匀速圆
周运动，
时刻射入电场的颗粒从dc 边射出电磁场时到c 点的距离为
。颗粒
重力不能忽略，不计颗粒之间的相互作用，重力加速度为g。求：
（1）颗粒射入电场时的初速度
大小；
（2）
的大小。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）由
时刻射入电场的颗粒，在电磁场中做匀速圆周运动说明颗粒重力
与电场力大小相等，方向相反，即
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在
范围内颗粒在电场力的作用下做类平抛运动，则
，
根据牛顿第二定律可知，颗粒的加速度
解得
（2）
时刻射入电场的颗粒，在电场中运动的时间为
，根据匀变速直线运动的
规律可知颗粒在
时刻（
点）竖直方向运动的位移
符合
解得
即与
边界的距离为
如图所示：
点的水平位移为
根据类平抛运动规律可知
点处速度与水平方向夹角
的正切值是位移与水平夹角
正切值的2 倍，即
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则
点处速度的大小为
到
的过程中颗粒做匀速圆周运动根据几何关系可知
点与运动轨迹圆心的连线
与水平方向夹角为
，则根据勾股定理
同时，根据磁场中的圆周运动规律可知
方程联立解得
11．如图所示，匀强电场方向水平向右，匀强磁场方向垂直于纸面向里。一质量为
、
带电量为
的微粒以速度与磁场垂直、与电场成
角射入复合场中，恰能做直线运动。
（1）求电场强度
和磁感应强度
的大小；
（2）通过只改变电场的方向和场强的大小，使微粒做匀速圆周运动，求改变后的电场
强度
的大小和方向。
【答案】（1）
，
；（2）
，竖直向上
【详解】（1）微粒恰能做直线运动，则对微粒受力分析如下图所示
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根据受力分析可得，微粒只能带正电荷，微粒做匀速直线运动，即微粒受力平衡，则
有
则电场强度大小为
磁感应强度大小为
（2）要使微粒做匀速圆周运动，则合力为洛伦兹力提供向心力，此时的重力和电场力
为一对平衡力，则有
则改变后的电场强度大小为
由于微粒带正电荷，则改变后的电场强度方向竖直向上。
12．如图所示，直角坐标系xOy 位于竖直平面内，在第Ⅳ象限存在匀强磁场和匀强电
场，磁场的磁感应强度为
、方向垂直于xOy 平面向外，电场
平行于y 轴；在
第Ⅲ象限存在沿x 轴正方向的匀强电场
，已知场强
、
的大小相等。一可视为
质点、比荷为
的带正电的小球，从y 轴上的
点以初速度
水平向
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右抛出，经过x 轴上的
点进入第Ⅳ象限，在第Ⅳ象限恰能做匀速圆周运动。
不计空气阻力，重力加速度
，
。求：
（1）小球从A 点抛出的初速度大小
；
（2）小球在第Ⅳ象限的运动的半径；
（3）小球从A 点出发到第二次经过y 轴负半轴所用的总时间；
（4）小球从A 点出发到第四次经过y 轴的纵坐标。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【详解】（1）小球在第I 象限做平抛运动，由运动学规律得
可得
，
（2）设小球平抛到M 点时的速度大小为v，方向与x 轴正方向夹角为
，竖直分速度
为
，则
解得
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在第IV 象限，洛仑兹力提供向心力，故
解得轨道半径
（3）小球第一次在第IV 象限运动的时间为
接着，小球沿与y 轴成夹角
方向进入第III 象限，由于电场力和重力大小相等，其
合力恰与小球进入第III 象限的初速度v 方向相反，故小球在第III 象限做类竖直上抛运
动，则由牛顿第二定律可得
由运动规律可知
则小球从A 点出发到第二次经过y 轴负半轴所用的总时间为
（4）根据轨迹图可知
第三次经过y 轴J 点后进入第三象限，速度与合力垂直，第四次到y 轴，水平方向
竖直方向
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第四次到y 轴纵坐标
=2.4m
13．如图所示，水平地面上方MN 边界左侧存在垂直纸面向里的匀强磁场和沿竖直方
向的匀强电场（图中未画出），磁感应强度
，边界MN 右侧离地面高
处固定光滑绝缘平台上有一带正电的小球，质量
、电量
，
以初速度
水平向左垂直MN 边界进入后恰好做匀速圆周运动，小球视为质
点，
，求：
（1）电场强度的大小和方向；
（2）小球落地点距地面上N 点多远？（小数点后保留两位有效数字）
【答案】（1）
，竖直向上；（2）0.78m
【详解】（1）小球通过
边界后恰好做匀速圆周运动，则
解得
方向竖直向上。
（2）由题意作出轨迹图如图所示
由洛伦兹力提供向心力
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解得
根据
可得
设小球落地点距地面N 点距离为x，由几何关系可得
解得
14．如图所示，在xOy 平面内，有两个半圆形同心圆弧，与坐标轴分别交于a、b、c
点和a＇、b＇、c＇点，其中圆弧a＇b＇c＇的半径为R．两个半圆弧之间的区域内分
布着辐射状的电场，电场方向由原点O 向外辐射，两圆弧间的电势差为U．圆弧a＇b
＇c＇上方圆周外区域，存在着上边界为
的垂直纸面向里的足够大匀强磁场，
圆弧abc 内无电场和磁场。O 点处有一粒子源，在xOy 平面内向x 轴上方各个方向射出
质量为m、电荷量为q 的带正电的粒子，带电粒子射出时的初速度大小均为
，
被辐射状的电场加速后进入磁场。不计粒子的重力以及粒子之间的相互作用，不考虑
粒子从磁场返回圆形区域边界后的运动．
（1）求粒子经辐射电场加速后进入磁场时的速度大小；
（2）要有粒子能够垂直于磁场上边界射出磁场，求磁场的磁感应强度的最大值
，及
此时从磁场上边界垂直射出的粒子在磁场中运动的时间t；
（3）当磁场中的磁感应强度大小变为第（2）问中
的
倍，且磁场上边界调整为y
＝1.6R 时，求能从磁场上边界射出粒子的边界宽度L。
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【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）设粒子被电场加速后速度为v，由动能定理得
解得
（2）垂直磁场上边界射出的粒子的圆心O＇必在磁场上边界上，设该粒子做匀速圆周
运动的轨道半径为r，满足磁感应强度有最大值，即r 有最小值，又因为
当r 有最小值时，OO＇取最小值，OO＇最小值为O 点到磁场上边界的距离
，
故
由以上各式可得
设此时粒子进入磁场时速度方向与y 轴正方向的夹角为
，则
故
由于带电粒子在磁场中的运动周期
此时垂直于磁场上边界射出磁场的粒子在磁场中运动的时间
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（3）当
时，根据
可得带电粒子在磁场中的运动半径
当粒子与磁场上边界相切时，切点为粒子能够到达上边界的最左端，由几何关系可知，
粒子能够到达上边界的最左端与y 轴的距离为
其中r＇为粒子圆周运动的圆心到O 点的距离满足
粒子能够到达上边界的最右端与y 轴的距离为
所以
【点睛】本题考查带电粒子在复合场中的运动结合几何关系进行求解。
15．某实验装置的基本原理如图所示，平行正对放置半径均为R、间距为d 的圆形金
属板M、N 的圆心分别为
、
，位于
处的粒子源能向两板间各个方向发射质量
为m、电荷量为q 的带正电的粒子，不计粒子重力及相互间作用，忽略边缘效应。
（1）仅在两板间加电压U，两板间产生方向沿
方向的匀强电场。求粒子源发射出
的粒子速度大小满足什么条件时能全部击中N 板；
（2）仅在两板间加沿
方向的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B，求粒子源发射
出的方向与
连线成
（
）角的粒子速度大小满足什么条件时能全部击
中N 板；
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（3）若两板间同时存在方向都沿
方向的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度大小为
B，粒子源发射出速度大小均为v，方向垂直于
连线的粒子，全部落在半径为
的圆周上（
），求电场强度的大小。
【答案】（1）速度应小于等于
；（2）
；（3）
。
【详解】（1）速度与场强垂直的粒子击中N 板，则全部击中N 板
其中
解得
所以，速度应小于等于
。
（2）粒子源发射出的方向与
连线成
（
）角的粒子，做螺旋等距运动，
根据洛伦兹力提供向心力
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根据题意可知
解得
（3）设粒子在两板间运动时间为t，在磁场中周期为T，则应该满足
根据
其中
且粒子圆周运动周期
联立解得
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