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2024 年高考物理一轮复习模型及秒杀技巧一遍过
模块5 动量各模块大招
第01 讲 完全
弹性
、
非弹性、完全非弹性碰撞模型
（解析版）
目录
【内容一】 弹性碰撞模型...................................................................................................................................1
【内容二】 “动碰静模型”弹性碰撞的结论................................................................................................2
【内容三】 非弹性碰撞模型..............................................................................................................................3
【内容四】 完全非弹性碰撞（动碰动）模型..................................................................................................3
技巧总结
秒杀技巧
一
：
完全
弹性碰撞模型
技巧总结
弹性碰撞模型如下：
内容一： 弹性碰撞
发生弹性碰撞的两个物体碰撞前后动量守恒，动能守恒，若两物体质量分别为
和
，碰前速度为
，
，碰后速度分别为
ˊ，
ˊ，则有：
联立（1）、（2）解得：
，
特殊情况： 若
，
，
（速度交换） .
1
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内容二： “动碰静模型”弹性碰撞的结论
两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和机械能守恒。以质量为
、速度为
的小球与
质量为
的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有
解得：
，
结论：(1)当
时，
，
(质量相等，速度交换)
(2)当
时，
，
，且
(大碰小，一起跑)
(3)当
时，
，
(小碰大，要反弹)
(4)当
时，非弹性碰撞、完全非弹性碰撞模型如下：
内容三：非弹性碰撞
介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。动量守恒，碰撞系统动能损失。
根据动量守恒定律可得：
损失动能
根据机械能守恒定律可得：
内容四： 完全非弹性碰撞（动碰动）
碰后物体的速度相同， 根据动量守恒定律可得：
完全非弹性碰撞系统损失的动能最多，损失动能：
联立（1）、（2）解得：
；
2
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，
(极大碰极小，大不变，小加倍)
(5)当
时，
，
(极小碰极大，小等速率反弹，大不变)
例题演练
例1．如图所示，用长
的轻绳将小球a 悬挂在O 点，从图示位置由静止释放，当
小球a 运动至最低点时与静止在水平面上的物块b 发生弹性碰撞，且碰撞时间极短，
碰撞后b 滑行的最大距离
。若小球a 的质量
，物块b 的质量
，
物块b 与水平面间的动摩擦因数
，取重力加速度大小
，小球a 和物块
b 均可视为质点，则刚释放小球a 时，轻绳与竖直方向的夹角的余弦值为（ ）
A．0.8
B．0.6
C．0.5
D．0.2
解：物体ab 发生弹性碰撞，则有
，
解得
，
根据牛顿第二定律可知
解得
根据速度位移公式则有
解得
所以
由动能定理得
解得
故ABC 错误，D 正确。故选D。
例2．如图所示，水平面上AB 两处有甲、乙两个可视为质点的小滑块处于静止状态，
B 点右侧水平面粗糙，左侧水平面光滑。若甲在水平向右的拉力
的作用下由静止
向右运动，当
时撒去拉力F，紧接着甲与乙发生弹性正碰，其中乙滑行
后停
下。已知乙的质量为
，甲、乙与粗糙水平面间的动摩擦因数均为0.5，取
，则（ ）
3
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A．
内，拉力F 的冲量为
B．撤去拉力F 时甲的速度大小为
C．两个滑块碰撞后瞬间乙的速度是
D．甲停止运动时甲、乙相距
解：A．F 与t 线性关系，力F 对甲的冲量为I，
故A 错误。
C．对乙碰撞后的过程中利用动能定理得
，
故C 正确。
BD．设甲的质量为m1，碰前速度为v0，碰后速度为v1，根据动量守恒得
根据机械能守恒得
，
联立得
，
，
甲乙碰后做减速运动，加速度均为a=μg=5m/s2对甲停止运动时
甲运动时间为
此时乙的位移
即甲停止运动时甲、乙相距
B 正确，D 错误。故选BC。
例3．如图所示，水平面上A、B 两处有甲、乙两个可视为质点的小滑块处于静止状态，
B 点右侧水平面粗糙，左侧水平面光滑。若甲在水平向右的拉力F=3t 的作用下由静止
向右运动，当t=2s 时撤去拉力F，紧接着甲与乙发生弹性正碰，其中乙滑行1.6m 后停
下，已知乙的质量为1kg，乙与粗糙水平面间的动摩擦因数为0.5，取g=10m/s2，则（
）
A．0—2s 内，拉力F 的冲量为12N·s B．撤去拉力F 时甲的速度大小为3m/s
C．两个滑块碰撞以后乙的速度是1m/s D．甲的质量为2kg
解：A．F 与t 线性关系，力F 对甲的冲量为I，
故A 错误。
4
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C．对乙碰撞后的过程中利用动能定理得
，
故C 错误。
BD．设甲的质量为m1，碰前速度为v0，碰后速度为v1，根据动量守恒得
根据机械能守恒得
，
联立得
BD 正确。故选BD。
例4．水平面右端固定一个半径为3.2m 的四分之一圆弧形滑槽，滑槽内壁光滑，一个
可看成质点的滑块A 从滑槽最高点无初速滑下，滑到粗糙的水平面上减速运动的位移
为3.75m 时与水平面上静止的滑块B 发生弹性正碰，已知AB 两滑块质量相等，与水
平面动摩擦因数均为0.2，取g=10m/s2，则（ ）
A．滑块A 运动的最大速度为8m/s B．碰前滑块A 速度大小为7m/s
C．碰后滑块A 速度大小为8m/s D．碰后滑块B 运动时间为4s
解：A．滑块A 沿滑槽下滑过程中由动能定理，可得
解得
故A 正确；
B．滑块A 在水平面上减速运动过程中，由动能定理可得
解得
故B 正确；
C．滑块A 与滑块B 发生弹性正碰，由于A、B 两滑块质量相等，所以交换速度，碰后
瞬间滑块A 速度为0，滑块B 的速度与v1相等，故C 错误；
D．碰后滑块B 运动时间为
故D 错误；故选AB。
例5．水平面右端固定一半径R=3.2 m 的四分之一圆弧形滑槽，滑槽内壁光滑、下端与
水平面平滑连接。一个可视为质点的滑块A 从滑槽最高处由静止释放，滑到水平面上
减速运动L=3.75 m 时与水平面上静止的滑块B 发生弹性正碰，已知A、B 两滑块质量
相等，与水平面间的动摩擦因数均为μ=0.2，取重力加速度g=10 m/s2，则（ ）
5
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A．滑块A 运动的最大速度为8 m/s
B．碰前瞬间滑块A 的速度为7 m/s
C．碰后瞬间滑块A 的速度为8 m/s
D．碰后滑块B 运动时间为4s
解：A．滑块A 沿滑槽下滑过程中由动能定理，可得
解得
故A 正确；
B．滑块A 在水平面上减速运动过程中，由动能定理可得
解得
故B 正确；
C．滑块A 与滑块B 发生弹性正碰，由于A、B 两滑块质量相等，所以交换速度，碰后
瞬间滑块A 速度为0，滑块B 的速度与v1相等，故C 错误；
D．碰后滑块B 运动时间为
故D 错误。故选AB。
例6．足够长的斜面被固定在水平面上，斜面倾角为30o，底端有一固定弹性挡板，挡
板垂直斜面，A、B 两可视为质点的物块静止在斜面上，与斜面的摩擦因数都是
，
B 的质量为M，初始B 离挡板的距离为
m，A 的质量为kM，现给A 沿斜面向下的初
速度v0，所有的碰撞都是弹性正碰，且碰撞时间极短，g=10m/s2，求：
（1）A、B 第一次碰后瞬间的速度vA、vB（本问不用说明方向）
（2）当k 不小于1 时，B 和挡板相碰时，A 距离挡板范围。
（3）若v0=10m/s，k 为多少A、B 第二次相遇时，相遇位置离挡板最远，在这种情况
下A、B 第一次和第二次相遇的时间间隔是多少？
解：（1）对A 应用牛顿第二定律
可解得a1=0 即A 向
下做匀速运动
6
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A、B 发生弹性正碰，由动量守恒可得
由能量守恒可得
可解得
，
（2）设B 初始离挡板的距离为s，A、B 碰后到B 和挡板相碰时A 的位移为sA
对A
对B
代入数据可解得
由
可得
设B 和挡板相碰时A 与挡板距离为d，则有
（3）当A 与B 碰后，A 被反弹上升且A、B 第二次相遇时速度均减0 时，相遇位置离
挡板最远，A、B 向上运动时具有共同的加速度a，应用牛顿第二定律
又
所以当A 反弹后速度变为0 时将静止在斜面上。
碰后A 向上匀减速，B 先向下匀速，原速率反弹后再匀减速有
代入数据可解得k=0.5，
对B 在A、B 第一次和第二次相遇之间应用运动学公式有
代入数据可解得
例7．竖直面内一倾角为30°的倾斜轨道与一足够长的水平轨道通过一小段光滑圆弧平
滑连接，质量
的小物块A 在距离地面高为
处，A 在外力作用下处于静
止状态。质量为
的小物块B 静止于水平轨道的最左端，如图所示。撤掉作用
在A 上的作用力，A 由静止开始下滑，A 与B 发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知
斜面光滑，B 与水平面间的动摩擦因数
，重力加速度g=10m/s2。求：
（1）第一次碰后瞬间B 的速度；
（2）碰后迅速拿掉A，求碰撞后B 的位移。
7
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解：（1）A 自斜面下滑，到碰撞前瞬间，根据机械能守恒定律
解得
碰撞时，动量守恒
机械能守恒
解得
，
（2）B 在水平面上运动的加速度
B 的位移为
例8．如图所示，光滑水平直轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA=m、
mB=2m、mC=4m，开始时均静止。先让滑块A 以初速度v0与滑块B 发生碰撞并粘在一
起，然后又一起与滑块C 发生碰撞并粘在一起，则前后两次碰撞中损失的动能之比为
（ ）
A．1:4
B．4:1
C．7:2
D．2:7
解：取向右方向为正方向，设A、B 粘在一起后向右运动的速度为
，A、B、C 粘在
一起后向右运动的速度为
，则第一次碰撞过程中，系统的动量守恒．则有
得
动能的损失为
第二次碰撞过程中，系统的动量守恒，则有
得
动能的损失为
故前后两次碰撞中损失的动能之比
故选C。
例9．如图所示，小物块A 通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止。从
发射器（图中未画出）射出的小物块B 沿水平方向与A 相撞，碰撞前B 的速度大小为
v，碰撞后二者粘在一起，并摆起一个较小角度。已知A 和B 的质量均为m，绳长为
L，重力加速度大小为g，碰撞时间极短且忽略空气阻力。下列选项正确的是（ ）
8
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A．B 与A 碰撞过程满足动量守恒、机械能守恒
B．AB 一起上摆的过程中，轻绳拉力做负功，AB 动能减小
C．碰撞后AB 再次回到最低点时对绳的拉力大小为
D．碰撞后AB 一起上升的最大高度为
解：A．由题意知B 与A 碰撞后粘在一起，属于完全非弹性碰撞，碰撞过程中动量守
恒，机械能不守恒，故A 错误；
B．AB 一起上摆的过程中，任意时刻，轻绳拉力方向和速度方向都是垂直的，所以轻
绳拉力不做功，故B 错误；
C． AB 一起上摆的过程中，A、B 整体机械能守恒，再次回到最低点时，速度大小仍
为碰后A、B 速度的大小，设为
，碰撞过程由动量守恒定律得
解得
在最低点，对A、B 整体由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律得A、B 对绳子的拉力为
，故C 错误；
D．设碰撞A、B 一起上升的最大高度为h，则有机械能守恒定律得
解得
故D 正确。故选D。
例10．如图所示，带有四分之一光滑圆弧轨道的斜劈A 和滑块B、C 均静止在光滑水
平地面上，斜劈A 的末端与水平地面相切。一滑块D 从斜劈A 的圆弧轨道的最高点由
静止释放，滑块D 滑到水平地面后与滑块B 碰撞并粘在一起向前运动，再与滑块C 碰
撞又与C 粘在一起向前运动。已知斜劈A 和三个滑块的质量均为m，斜劈A 的圆弧轨
道半径为R，重力加速度大小为g。滑块B、C、D 均可视为质点，则下列说法正确的
是（ ）
9
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A．滑块D 在圆弧轨道上滑动的过程中对斜劈A 做的功为0
B．与滑块B 碰撞前瞬间，滑块D 的速度大小为
C．滑块B 与滑块C 碰撞后的速度大小为
D．滑块D 与滑块B 碰撞过程中损失的机械能为
解：A．D 在A 上滑动时，A 与D 组成的系统水平方向上动量守恒，且系统机械能守
恒，则当D 滑到水平地面上时
且
两式联立解得A、D 分离时的速度为
即A 与D 的速度大小相等，方向相反，下滑过程对A 由动能定理得
解得
故A 错误；
B．D 与B 碰撞前的速度即为A、D 分离时D 的速度大小，为
，故B 错误；
C．B 与C 碰撞过程中，B、C、D 组成的系统动量守恒，有
则B 与C 碰撞后的速度大小为
故C 错误。
D．D 与B 碰撞过程动量守恒，有
则碰撞后B、D 整体的速度大小为
损失的机械能
计算可得滑块D 与滑块B 碰撞过程中损失的机
械能
故D 正确。故选D。
例11．如图所示，竖直平面内的四分之一光滑固定圆弧轨道下端与光滑水平桌面相切，
10
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小滑块B 静止在圆弧轨道的最低点。现将小滑块A 从圆弧轨道的最高点无初速度释放。
已知圆弧轨道半径R＝1.8 m，小滑块的质量关系是
，A、B 滑块均可看成质点，
重力加速度g＝10 m/s2。则碰后小滑块B 的速度大小可能是（ ）
A．5 m/s
B．4 m/s
C．1.3 m/s
D．1 m/s
解：滑块A 下滑过程，由机械能守恒定律得
解得
若两滑块发生的是弹性碰撞，取向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
，
解得
若两滑块发生的是完全非弹性碰撞，由动量守恒定律得
解得
所以碰后滑块B 的速度大小范围为
故B 可能，ACD 不
可能。
例12．如图所示，质量m1=0.5kg 的物块A 以初速度v0=5.0m/s 在光滑水平地面上向右
运动，与静止在前方、质量m2=2.0kg 的B 发生正碰，B 的左端有一小块质量可以忽略
的橡皮泥，碰撞过程持续了0.1s，碰撞结束后AB 一起运动，以v0方向为正方向，下列
说法中正确的是（ ）
A．碰撞过程中A 受到的冲量为2.0N·s
B．碰撞过程中A 的平均加速度为40m/s2
C．碰撞过程中B 受到的平均作用力为20N
D．A、B 碰撞结束后A 的动量为
2.5kg·m/s
解：A．A、B 碰撞过程，根据动量守恒定律有
代入数据解得
以v0方向为正方向，根据动量定理，碰撞过程中A 受到的冲量为
11
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所以A 错误；
B．碰撞过程中A 的平均加速度为
所以B 错误；
C．碰撞过程中B 受到的平均作用力为
所以C 正确；
D． A、B 碰撞结束后A 的动量为
所以D 错误；
选C。
对应题型精炼
一、多选题
1．如图所示，光滑水平面上放置滑块A 和左侧固定轻质竖直挡板的木板B，滑块C 置
于B 的最右端，三者质量分别为mA=2kg、mB=3kg、mC=1kg。开始时B、C 静止，A 以
v0=7.5m/s 的速度匀速向右运动，A 与B 发生正撞（碰撞时间极短），经过一段时间，
B、C 达到共同速度一起向右运动，且此时C 再次位于B 的最右端。已知所有的碰撞均
无机械能损失，木板B 的长度为L=0.9m，B、C 之间的动摩擦因数为μ，取g=10m/s2，
下列说法正确的是（ ）
A．A 与B 碰撞后瞬间，B 的速度大小为5m/s
B．A 与B 碰撞后瞬间，B 的速度大小为6m/s
C．C 与B 左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C 对B 摩擦力的冲量水平向左
D．μ=0.75
【答案】BD
【详解】AB．规定向右为正方向，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
解得
故A 错误，B 正确；
C．C 与B 左侧的挡板相撞后的一小段时间内，C 的速度大于B 的速度，C 对B 的摩擦
力水平向右，此时C 对B 摩擦力的冲量水平向右，故C 错误；
D．由动量守恒定律和机械能守恒定律得
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解得
故D 正确。
故选BD。
2．如图所示，光滑水平桌面距离水平地面的高度为H，质量为m2、半径为R 的光滑四
分之一圆弧槽B 静止放在桌面上，质量为m1的小球A 从与圆弧槽圆心等高处由静止滑
下，与静止在桌面上的质量为m3的小球C 发生弹性正碰，最后两小球落到水平地面上
的M、N 两点，已知H=0.8m，R=0.9m，m1=2kg，m2=2kg，m3=1kg，重力加速度
g=10m/s2，两球视为质点，不计空气阻力，下列选项正确的是（ ）
A．小球A 从圆弧槽滑离时的速度为3m/s B．小球A 与小球C 碰撞后，小球C 的
速度为2m/s
C．M、N 两点的距离为1.2m
D．小球A 可能落在N 点
【答案】AC
【详解】设
球滑离圆弧槽时的速度为
，圆弧槽的速度为
，取向右为正方向，此
过程由水平方向动量守恒和机械能守恒得
解得
假设
与
碰撞后的速度为
，由动量守恒和机械能守恒得
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解得
假设两球从桌面平抛运动时间为，由
A 球的水平位移
球的水平位移
MN 两点的距离
因为
，所以A 球落在M 点。
故选AC。
3．如图所示，用不可伸长的轻绳将质量为
的小球悬挂在O 点，绳长
，轻
绳处于水平拉直状态。现将小球由静止释放，下摆至最低点与静止在A 点的小物块发
生碰撞，碰后小球向左摆的最大高度
，小物块沿水平地面滑到B 点停止运动。
已知小物块质量为
，小物块与水平地面间的动摩擦因数
，A 点到B 点的距离
，重力加速度
，则下列说法正确的是（ ）
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A．小球与小物块质量之比
B．小球与小物块碰后小物块速率
C．小球与小物块碰撞是弹性碰撞
D．小球与小物块碰撞过程中有机械能损
失
【答案】BC
【详解】B．根据牛顿第二定律
可知小物块的加速度
根据匀变速运动公式
解得小球与小物块碰后小物块速率
B 正确；
A．设小球碰撞前的速度为
，碰撞后的速度为
，根据动能定理
解得
以向右为正方向，根据动量守恒定律
解得
A 错误；
CD．碰撞前动能
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碰撞后动能
碰撞前后动能相等，所以小球与小物块碰撞是弹性碰撞，无机械能损失，C 正确，D
错误。
故选BC。
4．如图所示，质量为M 的物块静止在光滑水平地面上，其左侧是光滑四分之一圆弧，
左端底部恰好与地面相切。两小球的质量分别为m1=2kg、m2=3kg，m1的初速度为v0，
m2保持静止。已知m1与m2发生弹性碰撞，下列说法正确的是（ ）
A．m1与m2碰撞后的速度方向与v0方向相同
B．m2在圆弧轨道上滑动时，二者组成的系统动量不守恒
C．m2从圆弧轨道上滑下时，速度方向一定向右
D．要使m1与m2发生两次碰撞，M 可能为6kg
【答案】BD
【详解】A．m1与m2发生第一次弹性碰撞后，设m1与m2的速度分别为v1、v2，则由动
量守恒定律有
对系统由机械能守恒定律有
解得
，
由于m1小于m2，m1与m2碰撞后的速度方向与v0方向相反，A 错误；
B．m2在圆弧轨道上滑动时，二者组成的系统只在水平方向动量守恒，B 正确；
C．m2进入四分之一圆弧轨道，当m2离开圆弧轨道时，设m2的速度为v'2，解得
当m2小于M 时，m2从圆弧轨道上滑下时，速度方向向左，C 错误；
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D．要使m1与m2发生两次碰撞，则
，联立解得
D 正确。
故选BD。
5．如图所示，小球1 从固定光滑斜面上某处由静止释放，滑过光滑水平桌面后，落在
水平地面上的N 点。若在水平桌面的边缘处放置另一小球2，再将小球1 从斜面上同一
位置由静止释放，使两小球发生弹性正碰，两小球在地面上的落点分别为M、P 点。
已知小球1 的质量为
，小球2 的质量为
，且
，O 点为桌面边缘在地面上
的投影，不计转弯处的机械能损失，两小球均可视为质点。下列说法正确的是
（ ）
A．碰撞后小球1 的落点为M 点
B．碰撞后小球1 的落点为P 点
C．图中点间距离满足的关系为
D．图中点间距离满足的关系为
【答案】BC
【详解】AB．设小球1 碰撞前的速度为
，取水平向右为正方向，因为球1 质量较小，
可知小球1 与小球2 碰撞后，球1 反向，设碰撞后球1 和球2 速度大小分别为
、
，
根据动量守恒和能量守恒有
解得
，
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根据题意
，可得
，斜面光滑，小球1 反向到达最高点回到抛出点时速度
大小等于
，两球在做平抛运动的时间相等，故可知小球1 的水平位移较大，即碰撞
后小球1 的落点为P 点，A 错误，B 正确；
CD．当小球1 单独释放时有
小球1 与小球2 碰撞后有
，
可得
C 正确，D 错误。
故选BC。
二、单选题
6．如图所示，小桐和小旭在可视为光滑的水平地面上玩弹珠游戏。小桐瞬间将弹珠甲
对着小旭脚边的静止弹珠乙弹出，甲以
的速度与乙发生了弹性正碰，已知弹珠可以
视为光滑，则（ ）
A．若碰后甲乙同向运动，则甲的质量一定大于乙的质量
B．若碰后甲反弹，则甲的速率可能为
C．碰后乙的速率可能为
D．若碰后甲反弹，则甲的速率不可能大于乙的速率
【答案】A
18
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【详解】A．甲乙弹珠碰撞瞬间动量守恒，机械能守恒，设弹珠甲乙的质量分别为
、
，碰后甲的速度为
，乙的速度为
，则有
联立解得
，
若碰后甲乙同向运动，则
可知甲的质量一定大于乙的质量，故A 正确；
B．若碰后甲反弹，且甲的速率为
，则有
解得
质量不能为负值，则可知，若碰后甲反弹，则甲的速率不可能为
，故B 错误；
C．若碰后乙的速率为
，则有
解得
质量不能为负值，则可知，碰后乙的速率不可能为
，故C 错误；
D．若碰后甲反弹，且甲的速率大于乙的速率，则有
可知，只要
19
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即
就可满足碰后甲反弹，且甲的速率大于乙的速率，故D 错误。
故选A。
7．大小相同的两个小球a、b 并排静止在光滑水平面上，距小球b 右侧l 处有一竖直墙
面，墙面垂直于两小球连线，如图所示。小球a 的质量为
，小球b 的质量为m。现
给小球a 一沿连线向右的初速度，忽略空气阻力及所有碰撞过程中的动能损失，小球a
与小球b 发生第二次碰撞时距竖直墙面的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】a 球与b 球发生弹性碰撞，设a 球碰前的初速度为
，碰后a、b 的速度为
、
，取向右为正，由动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
，
设小球a 与小球b 发生第二次碰撞时距竖直墙面的距离为
，则
满足
解得
故选C。
8．图为丁俊晖正在准备击球，设丁俊晖在某一杆击球过程中，白色球（主球）和花色
球碰撞前后都在同一直线上运动，碰前白色球A 的动量
，花色球B 静止，
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碰后花色球B 的动量变为
，则两球质量
与
间的关系可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】碰撞过程系统动量守恒，以白色球的初速度方向为正方向，由动量守恒定律
得
解得
根据碰撞过程总动能不增加，则有
解得
碰后，两球同向运动，A 的速度不大于B 的速度，则
解得
综上可知
故选C。
9．某次冰壶运动训练中，甲壶与静止的乙壶发生正碰。已知冰面粗糙程度处处相同，
不计空气阻力，两壶完全相同且均可视为质点，碰撞时间极短可不计，碰撞前、后两
壶运动轨迹始终在同一水平直线上。从开始碰撞到两壶都静止过程中，测得乙壶位移
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是甲壶位移的k 倍，则（ ）
A．k<1
B．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越大
C．k 值越大，两壶碰撞过程中损失机械能越小
D．碰撞后瞬时，乙壶速度为零
【答案】C
【详解】A．甲乙碰撞瞬间动量守恒，即
且有
所以
故A 错误；
BC．两壶碰撞过程中损失的机械能为
变形可得
由此可知，当k=1 时，损失的机械能达到最大，随着k 增大，损失的机械能减小，故B
错误，C 正确；
D．由于两壶完全相同，所以碰撞后瞬时乙壶速度一定大于零，故D 错误。
故选C。
三、解答题
10．如图所示，质量为
的小球A 用长为的细绳悬挂在
点，质量为
的滑板
C 放置在光滑水平面上，滑板的左端放置一质量为
的物块B，物块位于
点正下方
处，离滑板右端
处有一竖直固定挡板
。把小球拉起到细绳水平且恰好伸直的位置，
由静止释放小球A，小球A 与物块B 发生弹性碰撞（作用时间极短），之后物块B 在
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滑板C 上滑行。已知小球A、物块B 均可视为质点，物块B 与滑板C 间的动摩擦因数
为0.5，重力加速度为
，不计空气阻力，滑板与挡板
碰撞前后没有机械能损失。
（1）求小球A 与物块B 碰后B 的速度大小
（2）求滑板C 与挡板
碰撞的瞬间物块B 的速度大小；
（3）要使物块B 始终留在滑板上，求滑板C 长度的最小值。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）根据题意可知，小球A 运动到最低点过程中，由机械能守恒定律有
解得
小球A 与物块B 发生弹性碰撞，则有
解得
，
（2）根据题意，由牛顿第二定律，对物块B 有
解得
对滑板C 有
解得
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设B、C 共速所用时间为，则有
解得
则滑板C 运动的距离为
可知，滑板C 与挡板
碰撞前滑板C 与物块B 未共速，设滑板C 与挡板
碰撞前滑板
的运动时间为
，则有
解得
则此时，物块B 的速度为
（3）设滑板C 与挡板
碰撞前，滑板C 的速度为
，则有
滑板C 与挡板
碰撞前，物块B 与滑板C 的相对位移为
滑板C 与挡板
碰撞后，滑板C 速度大小不变，方向反向，当物块B 滑到滑板C 右端
时，物块B 与滑板C 恰好共速，取向右为正反向，则有
解得
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则有
则滑板C 长度的最小值
11．如图所示，长为
的传送带以
逆时针匀速转动，左端连接半径为
的四分之一圆弧，右端连接倾角为
，高为
的斜面，斜面顶部
连接水平面。传送带和斜面粗糙，其他接触面均光滑。可视为质点的物块B 静止在圆
弧底端，物块A 在圆心等高处静止释放，在底端与物块B 发生弹性碰撞后立马撤走
A。已知物块A 和B 的质量分别为
和m 且
，B 与传送带和斜面间的动
摩擦因数分别为
和
，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g 取
10m/s2，求：
（1）A 与B 碰前瞬间的速度和所受支持力的大小；
（2）k 为多少时，B 刚好能滑上平台；
（3）k 取不同值时，物块B 从滑上传送带到第一次离开传送带过程中传送带对B 做的
功。
【答案】（1）
，方向水平向右；
（2）
；（3）当
时，
；
时为
，
时，
【详解】（1）设A 与B 碰前瞬间的速度为
，从A 到B 根据动能定理
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解得
方向水平向右。
根据牛顿第二定律
解得
（2）设B 碰后瞬间的速度为
，根据动量守恒和机械能守恒得
解得
B 从碰完到刚好能滑上平台，到根据动能定理
联立解得
（3）当物块B 恰好到达传送带右侧时，根据动能定理
解得
所以当
时，物块B 能在传动带右侧离开，传送带对B 做的功
当
时，物块B 不能到达传动带右侧，在传动带上先向右减速到零再向左加速，当
物体进入传送带的速度和传送带的速度恰好相等时
，此时物体速度大小不变离
开传送带，即当
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当
时物体返回离开传送带的速度为
，此时传送带对物体做功为
12．用一根轻弹簧竖直悬挂一物块A，静止时弹簧伸长了
。现将该弹簧左端固定在
墙上，右端与一直角三棱体B 的侧面接触（不粘连），先将弹簧压缩
，然后让物
块A 从离地面高度为x 处由静止释放，发现A 沿斜面下滑时B 刚好保持静止。若A 离
开斜面滑到水平地面时无能量损失，当B 速度最大时，A 恰好与水平面上的小物块C
发生弹性碰撞，碰后A 和B 距离不变。已知水平地面光滑，斜面倾角为
，A 和B 的
质量相等，已知弹簧振子的振动周期公式为
弹簧弹性势能
与形变量
的
关系为
，重力加速度为g。求：
（1）物块A 在斜面上下滑时的加速度大小和物块A 与斜面之间的动摩擦因数；
（2）碰后A 与B 斜面底端的距离；
（3）A 和C 的质量比。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【详解】（1）由题可知
由物块A 在斜面上的受力可知
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将AB 看成整体，由受力可知
联立解得
（2）根据动能定理可知
当B 速度最大时，弹簧刚好恢复原长，即物块B 与弹簧组成的系统运动了
，故
碰后A 与B 斜面底端的距离为
（3）A 与水平面上的小物块C 发生弹性碰撞，则
解得
当B 速度最大时，弹簧刚好恢复原长，即
联立解得
13．如图所示，质量为1 kg 的物块A 静止在半径
的四分之一光滑圆轨道的最
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高点，A 的正上方O 点用长
的轻绳悬挂一质量为3 kg 的物块B。将物块B 向
左拉起使轻绳与竖直方向成60°角后由静止释放，之后B 在O 点正下方与A 发生弹性
碰撞。轻绳始终处于拉直状态，A、B 均可视为质点，重力加速度g 取
，求：
（1）碰后瞬间物块A 对圆弧轨道的压力大小；
（2）物块A 离开圆弧轨道时的速率。
【答案】（1）7.5 N；（2）
【详解】（1）设A 的质量为
，B 的质量为
，物块B 向下运动的过程中，重力势
能转化为动能，设B 与A 碰撞前瞬间的速度为
，则由机械能守恒定律可得
A、B 发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律可得
对碰后瞬间的A 进行受力分析，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可得A 对圆弧轨道的压力大小为
（2）设A 离开轨道时所在位置P 与圆心
的连线与竖直方向的夹角为α，此时物块A
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的速度为
，则只有重力沿径向的分力提供向心力，有
物块A 从开始运动到P 的过程中机械能守恒，有
解得
14．如图所示，半径为
的光滑半圆弧轨道固定在竖直面内，水平面与圆弧轨
道最低点A 相切，AB 垂直水平面。质量为
的物块a 放在水平面上的P 点，质量
为
的物块b 放在水平面上的Q 点，
，
，C 为PQ 的中点，给物块
b 一个水平向右的恒定推力，当物块通过C 点后的某位置撤去恒力，此后物块b 与a 发
生弹性碰撞，a 进入圆弧轨道后从B 点飞出，恰好落在Q 点，两物块大小不计，与水
平面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取
，求（结果可带分式或根号）：
（1）b 与a 碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小；
（2）作用在物块b 上推力的大小范围。
【答案】（1）
；（2）
【详解】（1）a 进入圆弧轨道后从B 点飞出，恰好落在Q 点，设物块a 在B 点的速度
大小为
；物块a 在空中做平抛运动，则有
，
联立解得
，
设碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小为
，物块a 从碰撞后到B 的过程，根据动能定
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理可得
解得碰撞后一瞬间，物块a 的速度大小为
（2）设物块b 碰撞前瞬间速度为
，碰撞后瞬间速度为
，碰撞过程根据动量守恒和
机械能守恒可得
解得
，
设推力的作用距离为
，物块b 从Q 点到P 点碰撞前过程，根据动能定理可得
根据题意有
联立解得作用在物块b 上推力的大小范围为
15．质量为m1的A 球从高度为H 处由静止开始沿曲面下滑，与静止在水平面上质量为
m2的B 球发生正碰，两球大小相同，碰撞时间极短，碰撞过程中没有动能损失。不计
一切摩擦，重力加速度为g。
（1）根据动能定理和重力做功与重力势能的关系，证明A 球沿曲面下滑过程机械能守
恒；
（2）两球发生第一次碰撞后各自的速度大小vA、vB；
（3）为了能发生第二次碰撞，两球质量m1、m2间应满足什么条件？
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【答案】（1）见解析；（2）
；
；（3）m2>3m1
【详解】（1）A 球沿曲面下滑过程只有重力做功，根据动能定理
WG＝Ek2－Ek1
根据重力与重力势能关系
WG＝Ep1－Ep2
由以上两式得
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2
即
Ek2+Ep2＝Ek1+Ep1
（2）A 下滑过程机械能守恒
得
A、B 碰撞过程系统动量守恒，机械能守恒
得
（3）为了能发生第二次碰撞，第一次碰后A 应反向，且A 的速度大于B 的速度，因
此应有
m2－m1>2m1
得
m2>3m1
16．如图所示，水平面上
点左边粗糙右边光滑，物体甲放在距
点
的A 处，
甲与粗糙水平面间动摩擦因数
。质量
的物体乙静止在距
点
的
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处。现给甲一个初速度
，运动到
点与乙发生弹性碰撞，碰后甲恰好能返
回出发点A，重力加速度
取
，两物体均可视为质点，求：
（1）物体甲向右从
到
点所用的时间；
（2）物体甲的质量。
【答案】（1）0.5s；（2）1kg
【详解】（1）甲从A 到
点是匀减速运动，由牛顿运动定律
所以摩擦力产生加速度大小
设到
点的速度为，由运动学公式
解得
甲在
段做匀速直线运动
解得物体甲向右从
到
点所用的时间
（2）物体甲在
段匀速返回，到
段匀减速停止在A 点，由运动学公式
解得
设速度向右为正，甲、乙碰撞过程动量守恒和能量守恒得
解得
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解得物体甲的质量
17．如图所示，滑块A、木板C 分别静止在光滑水平平台和粗糙水平地面上，C 的左
端与平台上表面相切，滑块B 静止在C 上，且至C 左端的距离为x0=1m，A、B、C 的
质量分别为mA=2kg，mB=1kg，mC=3kg。t=0 时刻，对A 施加一水平向右的作用力F，
F 随时间t 的变化关系为
，A 运动2s 后撤去F，此时A 恰好滑上木板C；
一段时间后，A 与B 发生弹性碰撞（碰撞时间极短），最终B 静止在C 的右端。已知
A 与木板C 之间的动摩擦因数为μA=0.2，B 与C 之间的动摩擦因数为μB=0.5，C 与地面
之间的动摩擦因数为μC=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，A、B 均可视为质点，取
g=10m/s2。求：
（1）A 刚滑上C 时的速度大小；
（2）A、B 碰后瞬间A 的速度大小；
（3）木板C 的长度和运动的位移大小。
【答案】（1）
；（2）2m/s；（3）6.7m；0.83m
【详解】（1）撤去F 之前2s 内F 的冲量
由动量定理
解得
（2）A 滑上C 时，A 的加速度
此时A 对C 的滑动摩擦力为
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地面对C 的最大静摩擦力为
可知木板C 静止，则当A 将要与B 相碰时的速度
AB 碰撞过程由动量守恒和能量关系
解得
v2=2m/s
v3=8m/s
（3）AB 沿木板向右运动时，B 对C 的滑动摩擦力
此时木板C 开始向右加速滑动，C 的加速度
物块B 减速的加速度
当AC 相对静止时
解得
此过程中C 的位移
C 的速度
B 的位移
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B 的速度
以后C 减速的加速度
当BC 共速时
解得
此时C 的位移
B 的位移
因此时A 恰到达C 的右端，则B 相对C 运动的距离
即木板C 长度为
共速后木板C 减速的加速度
则运动距离
则木板的总位移
18．如图所示，半径为0.5m 的光滑圆弧曲面与倾角为
足够长的固定粗糙斜面MN
在N 点平滑相接，质量为0.04kg 的小物块B 恰好静止在斜面上，此时物块B 与N 点的
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距离为0.25m。另一质量为0.2kg 的小物块A 从与圆心等高处由静止释放，通过N 点滑
上斜面，与物块B 发生弹性碰撞。已知物块A 与斜面间的动摩擦因数为0.5，重力加速
度g 取
，两物块均可视为质点，碰撞时间极短
，
。求：
（1）物块A 运动到N 点时对曲面的压力；
（2）从物块A 与B 第一次碰撞到两物块再次碰撞经历的时间。
【答案】（1）
，与竖直方向夹角
斜向下；（2）
【详解】（1）物块A 从静止开始下滑到底端的过程中，由机械能守恒得
设物块A 运动到N 点时受到曲面的支持力为
，由牛顿第二定律得
联立解得
由牛顿第三定律得曲面受到的压力
与竖直方向夹角
斜向下;
（2）滑上斜面后，对物块A，设加速度为a，与物块B 碰撞前速度为v，由牛顿第二
定律可得
由运动运动学公式可得
联立解得
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物块A 与物块B 发生弹性碰撞，碰撞后物块A 速度为
，物块B 速度为
，满足动量
守恒、动能守恒，即
联立解得
因为物块B 恰好静止在斜面上，碰撞后物块B 匀速运动，物块A 与物块B 碰后，物块
A 以加速度a 匀加速运动，设经时间t 第二次碰撞，由运动学公式可得
解得
19．如图所示，质量
的滑块与质量
的带挡板的木板用弹簧拴接在一起，
起初弹簧处于原长，它们一起以
的速度在足够大的水平地面上向右运动，之
后木板与静止的、质量
的小球发生弹性碰撞，碰撞时间极短，此后弹簧被压
缩过程中，弹簧始终处于弹性限度内，忽略一切摩擦。求：
（1）碰后小球的速度大小v；
（2）弹簧第一次压缩至最短过程中弹簧对木板的冲量I；
（3）弹簧被压缩过程中，所具有的最大弹性势能
。
【答案】（1）
；（2）
，方向水平向右；（3）
【详解】（1）设木板与小球碰撞后的速度大小为
，则有
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解得
，
（2）设弹簧压缩至最短时滑块和木板的速度均为
，则有
解得
根据动量定理可得
解得
方向水平向右。
（3）滑块、弹簧和木板组成的系统动量守恒、机械能守恒
联立解得
20．如图，竖直平面内的四分之一圆弧轨道下端与水平桌面相切，小滑块A 和B 分别
静止在圆弧轨道的最高点和最低点。现将A 无初速度释放，A 与B 发生弹性碰撞。已
知A 的质量mA=2kg，B 的质量mB=1kg，圆弧轨道的半径R=0.8m，圆弧轨道光滑，A
和B 与桌面之间的动摩擦因数均为μ=0.4，取重力加速度g=10m/s2。求：
（1） A 滑到圆弧轨道正中间位置时对轨道的压力大小；
（2）碰撞后瞬间A 和B 的速度大小；
（3）最终A 和B 静止时的距离L。
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【详解】（1）A 从初始位置下滑到圆弧正中间位置时，由机械能守恒定律
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由牛顿第二定律
解得
由牛顿第三定律可知A 滑到圆弧轨道正中间位置时对轨道的压力大小
（2）对A、B 组成的系统，因为是弹性碰撞，在碰撞过程中，动量守恒，机械能守恒
解得
，
（3）A 和B 在桌面上做匀减速直线运动，由运动学公式可得
所以最终A 和B 静止时的距离
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