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高考力学压轴题模型解读与针对性训练
专题7 碰撞模型
【碰撞模型解读】
1. 碰撞
2. 碰撞问题遵守的三条原则
(1)动量守恒：p1＋p2＝p1′＋p2′。
(2)动能不增加：Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′。
(3)速度要符合实际情况
①碰前两物体同向运动，若要发生碰撞，则应有v 后＞v 前；碰后原来在前的物体速度一定
增大，则应有v 前′＞v 前；若碰后两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′。
②碰前两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变。
3. 弹性碰撞
弹性碰撞的特点：碰撞瞬间系统内无机械能损失。
弹性碰撞的结论
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生弹性碰撞为例，则
有
m1v1＝m1v1′＋m2v2′
m1v＝m1v1′2＋m2v2′2
联立解得v1′＝v1，v2′＝v1
讨论：(1)若m1＝m2，则v1′＝0，v2′＝v1(速度交换，动量和动能全部转移)。
(2)若m1＞m2，则v1′＞0，v2′＞0(碰后两物体沿同一方向运动)。
(3)若m1≫m2，则v1′≈v1，v2′≈2v1。
(4)若m1＜m2，则v1′＜0，v2′＞0(碰后两物体沿相反方向运动)。
(5)若m1≪m2，则v1′≈－v1，v2′≈0。
4.非弹性碰撞
碰撞结束后，动能有部分损失。
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′
m1v＋m2v＝m1v1′2＋m2v2′2＋ΔEk 损
5.完全非弹性碰撞
碰撞结束后，两物体合二为一，以同一速度运动，动能损失最大。
m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v
m1v＋m2v＝(m1＋m2)v2＋ΔEk 损max
结果：v＝
ΔEk 损max＝(v1－v2)2
6.静止物体被撞后的速度范围
运动物体A 以速度v0与静止的物体B 发生碰撞：
①当发生弹性碰撞时，物体B 获得的速度最大：vBmax＝v0。
②当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物体B 获得的速度最小：vBmin＝v0。
③当发生非弹性碰撞时，碰后物体B 的速度范围为：v0＜vB＜v0。
【典例剖析】
【典例1】．（2025 年1 月浙江选考）一游戏装置的竖直截面如图所示。倾斜直轨道AB、
半径为R 的竖直螺旋轨道、水平轨道BC 和
、倾角为
的倾斜直轨道EF 平滑连接成
一个抛体装置。该装置除EF 段轨道粗糙外，其余各段均光滑，F 点与水平高台GHI 等高。
游戏开始，一质量为m 的滑块1 从轨道AB 上的高度h 处静止滑下，与静止在C 点、质量
也为m 的滑块2 发生完全非弹性碰撞后组合成滑块3，滑上滑轨。若滑块3 落在GH 段，反
弹后水平分速度保持不变，竖直分速度减半；若滑块落在H 点右侧，立即停止运动。已知
，EF 段长度
，FG 间距
，GH 间距
，HI 间距
，EF 段
。滑块1、2、3 均可视为质点，不计
空气阻力，
，
。
（1）若
，求碰撞后瞬间滑块3 的速度大小
；
（2）若滑块3 恰好能通过圆轨道
，求高度h；
（3）若滑块3 最终落入I 点的洞中，则游戏成功。讨论游戏成功的高度h。
【答案】（1）
（2）2m （3）2.5m 或2m
【解析】（1）对滑块1 由动能定理
解得滑块1 与滑块2 碰前的速度大小为
滑块1 与滑块2 碰撞过程中，由动量守恒定律
解得碰撞后瞬间滑块3 的速度大小为
（2）在轨道D 点，由牛顿第二定律
解得
滑块3 从D 点到C＇点，由机械能守恒定律
解得
结合
，
联立解得
（3）滑块3 从C＇点到F 点的过程中，由动能定理
若滑块3 直接落入洞中，则竖直方向
水平方向
结合
，
联立解得
若经一次反弹落入洞中，则
水平方向
结合
，
联立解得
【典例2】（2025 高考海南卷）足够长的传送带固定在竖直平面内，半径
，圆
心角
的圆弧轨道与平台平滑连接，平台与顺时针匀速转动的水平传送带平滑连接，
工件A 从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与B 碰成一整体，B 随后滑上传送带，已知
，
，A、B 可视为质点，AB 与传送带间的动摩擦因数恒定，在传送带上
运动的过程中，因摩擦生热
，忽略轨道及平台的摩擦，
(1)A 滑到圆弧最低点时受的支持力；
(2)A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能；
(3)传送带的速度大小。
【答案】(1)
，方向竖直向上；
(2)
(3)
或
【解析】（1）A 从开始到滑到圆弧最低点间，根据机械能守恒
解得
在最低点根据牛顿第二定律
解得
，方向竖直向上；
（2）根据题意AB 碰后成一整体，根据动量守恒
解得
故A 与B 整个碰撞过程中损失的机械能为
（3）第一种情况，当传送带速度小于
时，AB 滑上传送带后先减速后匀速运动，设
AB 与传送带间的动摩擦因数为
，对AB 根据牛顿第二定律
设经过时间
后AB 与传送带共速，可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
联立解得
，另一解大于
舍去；
第二种情况，当传送带速度大于
时，AB 滑上传送带后先加速后匀速运动，设经过时
间
后AB 与传送带共速，同理可得
该段时间内AB 运动的位移为
传送带运动的位移为
故可得
解得
，另一解小于
舍去。
【典例3】(2023·重庆卷，14)如图5 所示，桌面上固定有一半径为R 的水平光滑
圆轨道，M、N 为轨道上的两点，且位于同一直径上，P 为MN 段的中点。在P
点处有一加速器(大小可忽略)，小球每次经过P 点后，其速度大小都增加v0。
质量为m 的小球1 从N 处以初速度v0沿轨道逆时针运动，与静止在M 处的小球
2 发生第一次弹性碰撞，碰后瞬间两球速度大小相等。忽略每次碰撞时间。求：
图5
(1)球1 第一次经过P 点后瞬间向心力的大小；
(2)球2 的质量；
(3)两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间。
答案 (1)4m (2)3m (3)
解析 (1)球1 第一次经过P 点后瞬间速度变为2v0，
所以Fn＝m＝4m。
(2)球1 与球2 发生弹性碰撞，且碰后速度大小相等，说明球1 碰后反弹，则
m·2v0＝－mv＋m′v
m(2v0)2＝mv2＋m′v2
联立解得v＝v0，m′＝3m。
(3)设两球从第一次碰撞到第二次碰撞所用时间为Δt，则
球1 回到P 点所需时间t1＝
此后到两球再次相碰，有v0t2＋2v0t2＝πR
所以Δt＝t1＋t2＝。
【针对性训练】
1. (山东青岛2025 年高三年级第三次适应性检测) 物体间发生碰撞时，因材料不同，机械
能损失程度不同，该性质可用碰撞后二者相对速度大小与碰撞前二者相对速度大小的比值
e 来描述，称之为恢复系数。现有运动的物块A 与静止的物块B 发生正碰，关于A、B 间
的碰撞，下列说法正确的是（ ）
A. 若e=0，则碰撞后A、B 均静止
B. 若e=1，则碰撞后A、B 交换速度
C. 若e=1，则碰撞前后A、B 总动能相等
D. 若e=0.5，A、B 质量相同，则A、B 碰后速度大小之比为1：3
【答案】CD
【解析】．若e=0，则碰撞后二者相对速度为零，即碰撞后两物体速度相同，但不一定均
静止，故A 错误；
BC．设A、B 的质量分别为
、
，碰前物体A 的速度为
，碰后物体A、B 的速度分
别为
和
，若
则
根据动量守恒定律，有
即
两式相乘可得
即碰撞前后系统动能相等，两物体发生弹性碰撞，若
则可解得
，
此时两物体发生速度交换。所以两物体不一定发生速度交换，故B 错误，C 正确；
D．若
即
根据动量守恒定律，有
因
，所以上式变为
两式联立得
，
即A、B 碰后速度大小之比为1：3，故D 正确。
2. （2025 年5 月山东省模拟演练）如图，半径为R 的圆环水平放置并固定，圆环内有质量
为mA和mB的小球A 和B（mA>mB）。初始时小球A 以初速度v0沿圆环切线方向运动，与
静止的小球B 发生碰撞。不计小球与圆环之间的摩擦，两小球始终在圆环内运动。
（1）若小球A 与B 碰撞后结合在一起，求碰撞后小球组合体的速度大小及做圆周运动所
需向心力的大小；
（2）若小球A 与B 之间为弹性碰撞，且所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，
求小球的质量比
。
（3）若小球A 与B 之间为非弹性碰撞，每次碰撞后的相对速度大小为碰撞前的相对速度
大小的e 倍（0<e<1） ，求第1 次碰撞到第2n+1 次碰撞之间小球B 通过的路程。
【答案】（1）
，
；（2）
或
；
（3）
【解析】（1）有题意可知A、B 系统碰撞前后动量守恒,设碰撞后两小球的速度大小为v，
则根据动量守恒有
可得
碰撞后根据牛顿第二定律有
可得
（2）若两球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为vA，vB，则碰后动量和能量守恒有
联立解得
，
因为所有的碰撞位置刚好位于等边三角形的三个顶点，如图
①若第二次碰撞发生在图中的b 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程
之比为
，则有
联立解得
由于两质量均为正数，故k1=0，即
对第二次碰撞，设A、B 碰撞后的速度大小分别为
，
，则同样有
联立解得
，
，故第三次碰撞发生在b 点、第四次碰撞发生在c 点，以此类推，
满足题意。
②若第二次碰撞发生在图中的c 点，则从第一次碰撞到第二次碰撞之间，A、B 通过的路程
之比为
；所以
联立可得
因为两质量均为正数，故k2=0，即
根据①的分析可证
，
，满足题意。
综上可知
或
。
（3）第一次碰前相对速度大小为v0，第一次碰后的相对速度大小为
，第一次碰
后与第二次相碰前B 球比A 球多运动一圈，即B 球相对A 球运动一圈，有
第一次碰撞动量守恒有
且
联立解得
B 球运动的路程
第二次碰撞
相对速度大小为
第二次碰撞有
且
联立可得
所以B 球运动的路程
一共碰了2n 次，有
3. （湖南娄底市2025 届高三4 月教学质量检测）如图所示为一缓冲机构工作的原理示意图。
两滑块A、B 可在光滑水平面上做直线运动，
，
，滑块B 中贯穿一轻质
摩擦杆，靡擦杆和滑块B 之间的滑动摩擦力可以通过改变滑块B 中安装的液压装置所提供
的压力进行调节，摩擦杆前端固定一劲度系数为
的轻质弹簧，当A 挤压弹簧达到一定压
缩量时可以导致摩擦杆与B 之间达到最大静摩擦力，并出现相对运动，某次实验时，调节
B 与摩擦杆之间的压力使得它们之间的最大静摩擦力大小为
（
为重力加速度
的值），弹簧左端与B 的左端距离为
初始时静止，滑块A 位于滑块B 的左侧，给滑
块A 一向右的初始速度正对B 做直线运动，当A 与弹簧接触时缓冲机构开始工作。已知弹
签的弹性势能
为弹簧的形变量若膝擦杆与滑块B 之间的最大静摩擦力等于滑动
摩擦力。求：
（1）若摩擦杆与B 刚好出现相对运动时所对应A 的初速度的值以及此条件下A、B 分离后
的速度；
（2）若A 的初始速度大小为
的右端与B 的左端的最小距离以及A、B 分离后
的速度
【答案】（1）
，
，
（2）
，
，
【解析】（1）若摩擦杆与B 刚好出现相对运动时所对应的A 的初速度为
，弹簧的最大
压缩量为
。此时弹簧弹力：
且A 与B 速度刚好相同。根据动量守恒定律以及机械能守恒定律可得
联立可得：
从A 与B 开始接触到分离的过程可以视为发生一次弹性碰撞，设分离后速度分别为
和
，
根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得：
，
解得：
（2）若A 的初始速度大小为
，当弹簧压缩至
时，设A、B 的速度分别为
和
，由动量守恒和机械能守恒可得：
且
解得：
此后A 与B 在摩擦力的作用下分别做匀减速和匀加速直线运动。
根据牛顿第二定律：对A、B 分别有
、
当速度变为相同时
其相对位移：
从接触弹簧开始A 相对于B 的位移为
则A 与B 的最近距离为
当A 与B 共速时，根据动量守恒定律：
此时弹性势能仍为
由此状态到A 与B 分离，设A、B 分离的速度分别为
和
。由动量守恒定律以及机械
能守恒定律可得
、
联立解得
4. （山东省临沂2025 年普通高中学业水平等级测评试题三模）如图所示，小滑块1、2 质
量分别为
和
，滑块1 在半径为
的四分之一光滑圆弧最高点A 处，滑块2 置于粗糙
水平轨道端点
处，
间距为L。C 点正下方
处固定一劲度系数为
的轻弹簧，弹簧
右端固定一质量为
的滑块，置于光滑水平面上。静止释放滑块1，1 与2 发生弹性
碰撞后恰好静止于
点。滑块2 被碰后做平抛运动的同时给滑块
一个向右的初速度
，滑块2 与运动中的
在平衡位置相碰后竖直向上运动至与
等高的
点。
已知所有的碰撞时间极短，质量为
的弹簧振子振动周期为
，重力加速度为
，求：
（1）滑块1 与水平面BC 间的动摩擦因数
；
（2）
点与滑块
高度差；
（3）滑块2 与
第二次碰撞后弹簧振子的振幅A。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）设滑块1 与2 碰前速度为
，由动能定理
碰后两者速度分别为
和
，由于弹性碰撞，则动量守恒和机械能守恒
解得
，
碰后滑块1 恰滑动后能静止在
点，滑块1 只能从
点向左匀减速运动至
，由动能定理
得
联立以上各式得
，
（2）滑块2 与振子
在平衡位置相碰，由于
，滑块2 只能与向左运动的
相碰才
能碰后竖直向上运动，则碰前运动时间满足
所求高度为
解得
（3）滑块2 与
碰撞过程水平方向动量守恒，第1 次碰撞后
的速度设为
，则
代入
得
设第一次碰撞过程中滑块2 与
接触时间为
，则在
时间内滑块2 与
间为滑动摩
擦力，因为滑块2 离开
瞬间是相对运动的。滑块2 从竖直上抛后落下与
发生第二次
碰撞前运动时间为
，滑块运动
时间正好在平衡位置向左运动时与滑块2 相撞。
假设第二次碰撞过程中滑块2 离开
前能共速，则
解得
由于第一次碰撞摩擦力对滑块的冲量大小
第二次碰撞摩擦力对滑块的冲量大小
由于
第二次滑动摩擦力作用的时间
则假设成立。滑块2 离开
后，振子
的速度为
。设所求振幅A 为
解得
5.（河南商丘2025 年5 月考前冲刺）如图所示，质量
的物块A 沿水平桌面以
的速度匀速运动，与静止在桌面右端的物块B 发生弹性碰撞，B 飞离桌面后
恰由P 点沿切线落入竖直固定的圆弧轨道PQ，圆弧轨道的半径
，圆心角
，最低点Q 与水平传送带平滑连接。传送带以
的速率顺时针匀速转动，
右端与水平地面平滑连接，物块B 与竖直固定的挡板M 每次碰后速率均变为碰前速率的
。
已知物块B 的质量
，传送带两端点的距离
，物块B 与传送带间的动摩擦
因数
，其他摩擦均不计，A、B 均可视为质点，取
。求：
（1）A 与B 碰后瞬间物块B 的速度大小；
（2）物块B 到达P 点时对轨道的压力大小；
（3）物块B 与传送带摩擦产生的总热量。
【答案】（1）
（2）26N （3）65J
【解析】(1) 物块AB 发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律，有
，
联立解得
(2)物块B 到达
点时的速度大小为
在
点由牛顿第二定律，得
联立解得
由牛顿第三定律可知，物块B 在
点对轨道的压力大小为
(3)物块B 由
点运动到
点，由动能定理得
解得
因
，则
在传送带上先加速，有
，
解得
此过程产生的热量为
物块B 第1 次与挡板M 碰后，有
,
第1 次碰后到第2 次碰前与传送带的相对路程为
整理得
物块B 第2 次与挡板M 碰后，有
,
第2 次碰后到第3 次碰前与传送带的相对路程为
整理得
同理可得
……
全程摩擦生热为
整理得
解得
