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高考力学压轴题模型解读与针对性训练
专题5 小球-弹簧模型
【小球-弹簧模型解读】
【典例剖析】
【典例1】．（2025 高考山东卷17 题）（14 分）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体
置于光滑水平面上，P、Q 分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P 处轨道的切线沿水平
方向，Q 处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b 用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b 被锁
定。一质量
的小球自Q 点正上方
处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并
从P 点水平抛出，恰好击中a，与a 粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到
时，b 解
除锁定开始运动。已知a 的质量
，b 的质量
，方形物体的质量
，
重力加速度大小
，弹簧的劲度系数
，整个过程弹簧均在弹性限度内，
弹性势能表达式
（x 为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P 点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小
、
；
(2)弹簧弹性势能最大时，b 的速度大小
及弹性势能的最大值
。
【答案】(1)
，水平向左，
，水平向右
(2)
，水平向左，
【解析】（1）根据题意可知，小球从开始下落到
处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有
联立解得
，
即小球速度为
，方向水平向左，大物块速度为
，方向水平向右。（6 分）
（2）由于小球落在物块a 正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块
水平方向上动量守恒，则有
解得
设当弹簧形变量为
时物块
的固定解除，此时小球和物块
的速度为
，根据胡克定律
系统机械能守恒
联立解得
，
固定解除之后，小球、物块
和物块
组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性
势能最大，由动量守恒定律有
解得
，方向水平向左。
由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
（8 分）
【典例2】.[2022 全国乙]如图（a），一质量为m 的物块A 与轻质弹簧连接，静止在光滑水
平面上；物块B 向A 运动，t＝0 时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，
A、B 的v－t 图像如图（b）所示.已知从t＝0 到t＝t0 时间内，物块A 运动的距离为
0.36v0t0.A、B 分离后，A 滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B 再次碰撞，
之后A 再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同.斜面倾角为θ（sinθ＝0.6），与水平面
光滑连接.碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内.求
（1）第一次碰撞过程中，弹簧弹性势能的最大值；
（2）第一次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值；
（3）物块A 与斜面间的动摩擦因数.
图（a） 图（b）
答案 （1）0.6mv0
2 （2）0.768v0t0 （3）0.45
解析 （1）水平面光滑，故在水平面上两物块碰撞过程动量守恒，从B 与弹簧接触到弹簧
第一次压缩到最短过程中有
mBv1＝（mB＋mA）v0
其中v1＝1.2v0
可得mB＝5m
该过程中机械能守恒，设弹簧最大弹性势能为Ep，得
Ep＋1
2（mA＋mB）v0
2＝1
2mBv1
2
由上式得Ep＝0.6mv0
2
（2）由图像知0～t0内物块B 与物块A 的位移差等于弹簧的最大压缩量，也就是题图中该
段时间物块A、B 图像所夹面积，物块A 在0～t0时间内的位移SA＝0.36v0t0，即为0～t0内，
v－t 图像中A 线与t 轴所夹面积.
解法1
在压缩弹簧的过程中，物块A、B 所受弹簧弹力大小相等，方向相反，则物块A 的加速度
始终是物块B 加速度的5 倍，有aA＝5aB
若两者均做初速度为零的变速运动，则两者的位移满足SA＝5S'B
在图1 中深灰色阴影面积为SA，浅灰色阴影面积为S'B.
最大压缩量为X＝1.2v0t0－SA－S'B＝0.768v0t0
图1 图2
解法2
0～t0过程，由动量守恒定律有
mvA＋5mvB＝（m＋5m）v0
结合运动学知识有mSA＋5mSB＝6mv0t0
解得SB＝1.128v0t0（B 在0～t0内的位移）
最大压缩量为X＝SB－SA＝1.128v0t0－0.36v0t0＝0.768v0t0
（3）设物块A 第一次从斜面滑到平面上时的速度为vx，物块A（含弹簧）回到水平面，第
二次与B 相互作用过程系统机械能守恒、动量守恒.则有
mBv2－mAvx＝mBv3＋mA·2v0
1
2mBv2
2＋1
2mAv x
2＝1
2mBv3
2＋1
2mA（2v0）2
其中v2＝0.8v0
可得vx＝v0（另一解舍去）
物块A 第一次从斜面底端滑到最高点的过程，由动能定理有－mgμscosθ－mgssinθ＝0－1
2m
（2v0）
2
物块A 第一次从最高点滑到水平面的过程，由动能定理有－mgμscosθ＋mgssinθ＝1
2mv0
2－0
由上式得μ＝0.45.
【针对性训练】
1. (湖北省2025 届八校三统联考)如图所示，光滑水平面上有两个质量均为m 的物体A、
B，B 上连接一劲度系数为k 的轻弹簧。物体A 以初速度v0向静止的物体B 运动。从A 接
触弹簧到第一次将弹簧压缩到最短的时间为
，弹簧弹性势能为
（x
为弹簧的形变量），弹簧始终处于弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A. 弹簧的最大压缩量为
B. 弹簧的最大压缩量为
C. 从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体A 的位移为
D. 从开始压缩弹簧到弹簧第一次压缩最短的过程中，物体B 的位移为
【答案】BD
【解析】．弹簧压缩到最大时，A、B 的速度相同，以A 初速度方向为正方向，根据动量
守恒定律可得
根据能量守恒定律可得
解得
根据弹性势能公式可得
故A 错误，B 正确；
CD．由动量守恒定律可得
则有
故
由AB 选项分析可知
联合解得
故C 错误，D 正确。
2. 如图甲所示，一个轻弹簧的两端与质量分别为m1和m2的两物块A、B 相连接并静止在光
滑的水平地面上.现使A 以3m/s 的速度向B 运动压缩弹簧，速度—时间图像如图乙，则有
（ CD ）
A.在t1、t3时刻两物块达到共同速度1m/s，且弹簧都处于压缩状态
B.从t3到t4时刻弹簧由压缩状态恢复原长
C.两物块的质量之比为m1：m2＝1：2
D.在t2时刻A 与B 的动能之比Ek1：Ek2＝1：8
解析 由题图乙可知t1、t3时刻两物块达到共同速度1 m/s，且此时系统动能最小，
根据系统机械能守恒可知，此时弹性势能最大，t1时刻弹簧处于压缩状态，而t3时刻
处于伸长状态，故A 错误；结合图像弄清两物块的运动过程，开始时A 逐渐减速，B
逐渐加速，弹簧被压缩，t1时刻二者速度相同，系统动能最小，势能最大，弹簧被
压缩到最短，然后弹簧逐渐恢复原长，B 仍然加速，A 先减速为零，然后反向加速，
t2时刻，弹簧恢复原长状态，由于此时两物块速度相反，因此弹簧的长度将逐渐增
大，两物块均减速，在t3时刻，两物块速度相等，系统动能最小，弹簧最长，因此
从t3到t4过程中弹簧由伸长状态恢复原长，故B 错误；根据动量守恒定律，可知t＝0
时刻和t＝t1时刻系统总动量相等，有m1v1＝(m1＋m2)v2，其中v1＝3 m/s，v2＝1 m/s，
解得m1：m2＝1：2，故C 正确；在t2时刻A 的速度为vA＝-1 m/s，B 的速度为vB＝2
m/s，根据m1：m2＝1：2，求出Ek1：Ek2＝1：8，故D 正确.
3. （2024 山东济南期末）如图甲所示，物块A、B 用轻弹簧拴接，放在光滑水平面上，B
左侧与竖直墙壁接触。物块C 以速度
向左运动，与A 相碰后立即粘在一起后不分开并开
始计时。A、B 运动的
图像如图乙所示，
、
分别表示
到
时间内A、B 的
图线与坐标轴所围面积的大小。已知三个物块质量均为
，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
内墙对B 的冲量大小为
D. 在
时刻弹簧的弹性势能为
【参考答案】BC
【名师解析】
二者碰撞过程中动量守恒，可得
解得
在
内对AC 研究，设水平向左为正方向，由动量定理可得
而B 处于静止状态，墙壁对B 的冲量大小等于弹簧弹力对A 的冲量大小，故
内墙对
B 的冲量大小为
，故C 正确；
图线与坐标轴所围的面积表示速度的变化量，AC 物体初速度为v，根据对称性可知，
时刻AC 的速度为v，AC 的加速度为0，此时弹簧恢复原长，B 开始离开墙壁，到
时
刻加速度均达到最大，此时弹簧的伸长量达到最大，速度相同，即
，
，
故
，故B 正确；
A 的加速度为
时弹簧压缩量最大，即
解得
根据牛顿第二定律可得
在
时，三者共速，则根据能量守恒定律可知
解得
解得
根据牛顿第二定律可得
故
，故A 错误；
B 离开墙壁后整体机械能守恒，则
故在
时刻，根据能量守恒定律可知
解得
，故D 错误。
4. 如图所示，一木板放在光滑水平面上，木板的右端与一根沿水平方向放置的轻质弹簧相
连，弹簧的自由端在Q 点.木板的上表面左端点P 与Q 点之间是粗糙的，P、Q 之间的距离
为L，Q 点右侧表面是光滑的.一质量为m＝0.2kg 的滑块（可视为质点）以水平速度v0＝
3m/s 从木板的左端沿板面向右滑行，压缩弹簧后又被弹回.已知木板质量M＝0.3kg，滑块
与木板表面P、Q 之间的动摩擦因数为μ＝0.2，g＝10m/s2.
（1）若L＝0.8m，求滑块滑上木板后的运动过程中弹簧的最大弹性势能；
（2）要使滑块既能挤压弹簧，最终又没有滑离木板，则木板上P、Q 之间的距离L 应在什
么范围内？
答案 （1）0.22J （2）0.675m≤L＜1.35m
解析 （1）滑块滑上木板后将弹簧压缩到最短时，弹簧具有最大弹性势能，此时滑块、木
板共速，取向右为正方向，由动量守恒定律得mv0＝（m＋M）v 共
由能量守恒定律得Ep＝1
2mv0
2－1
2（m＋M）v共
2 －μmgL
解得Ep＝0.22J
（2）滑块最终没有离开木板，滑块和木板具有共同的末速度，设为u，滑块与木板组成的
系统动量守恒，有
mv0＝（m＋M）u
设共速时滑块恰好滑到Q 点，由能量守恒定律得
μmgL1＝1
2mv0
2－1
2（m＋M）u2
解得L1＝1.35m
设共速时滑块恰好回到木板的左端P 点处，由能量守恒定律得2μmgL2＝1
2mv0
2－1
2（m＋
M）u2
解得L2＝0.675m
所以P、Q 之间的距离L 应满足0.675m≤L＜1.35m.
5．（15 分）（无锡市2024 年秋学期高三期中教学质量调研）如图甲所示，上表面光滑的
固定平台上有A、B 两物体，A 与一轻弹簧相连，以初速度
向B 运动．从弹簧接触B 到
与B 分离过程A、B 的
图像如图乙所示．已知从
到
时间内，A 运动的距离为
．完全分离后B 滑上静止在光滑地面上与平台等高的木板C，C 由水平粗糙轨道和
1/4 光滑圆弧轨道组成、两者相切，圆弧轨道半径
，水平轨道长度
．已知
B、C 质量均为m，A、B 可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g．求：
图甲
图乙
（1）A 物体质量
；
（2）为使B 物体能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离C，则B 与C 的水平轨道间的动摩
擦因数μ 满足的条件；
（3）A、B 碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
．
【解析】：（1）A、B 碰撞，系统动量守恒，由图乙有
（2 分）
解得：
（1 分）
（2）从弹簧接触B 到与B 分离，设分离时A 物体速度
物体速度
，有
解得：
（2 分）
若B 物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对B 与C 整体由水平方向动量
守恒
（1 分）
由能量守恒定律
（1 分）
解得：
若B 物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对B 与C 整体由水平方向
动量守恒
（1 分）
由能量守恒定律
（1 分）
解得：
综上所述B 与C 的水平轨道间的动摩擦因数μ 的取值范围为
（1 分）
（3）弹簧接触B 后，弹簧压缩过程中，A、B 动量守恒，有
（1 分）
对方程两边同时乘以时间
，有
（1 分）
之间，根据位移等于速度在时间上的累积，可得
（1 分）
将
代入，得
（1 分）
则弹簧压缩量的最大值
． （1 分）
6. （2024 年11 月河北保定期中）如甲图所示，两个物体A、B（均可视为质点）中间用劲
度系数为20 N/m 的轻质弹簧连接，静置于水平地面上，物体B 与P 点左侧地面间动摩擦因
数为0.1，与P 点右侧的摩擦可忽略不计。t = 0 时刻开始，物体A 受水平向右的拉力F，F
与物体A 的位移关系如乙图所示。1 s 后撤去拉力F，此时物体B 刚好开始运动，整个过程
中物体A、B 的速度与时间关系如丙图所示。物体B 质量为10 kg，最大静摩擦力等于滑动
摩擦力，g = 10 m/s2。求：
（1）物体B 刚开始运动时弹簧的形变量；
（2）t = 1 s 时，物体A、B 及弹簧系统的机械能；
（3）弹簧第一次恢复原长时，物体A、B 的速率。
【答案】（1）x = 0.5 m
（2）E = 3.5 J
（3）1.5 m/s，0.5 m/s
【解析】
（1）物体B 刚开始运动时，对B 进行受力分析，弹簧弹力等于最大静摩擦力
可得弹簧的形变量
（2）由图乙可知，x = 0 时，F0 = 2 N，由牛顿第二定律得
由图丙可知，0 ~ 1 s 内物体A 做初速度为0 的匀加速直线运动，则有
解得
x = 0.5 m 时
解得
由功能关系，A、B 及簧系统的机械能E 等于F 做的功
由图像可得
则系统机械能
（3）t = 1 s 时，物体A、B 的速度分别为
1 s 后撤去F，设弹簧第一次恢复原长时，物体A、B 的速度分别为vA′、vB′，A、B 及弹簧
系统动量守恒
机械能守恒
计算得出物体A、B 的速度可能的两组解
或
由丙图可知，弹簧第一次恢复原长时，物体B 的速率为正值，所以舍去第二组解，故弹簧
第一次恢复原长时，物体A、B 的速率分别为1.5 m/s，0.5 m/s。
7. （2024 年10 月华师大附中质检）如图所示，内壁粗糙、半径
的四分之一圆
弧轨道AB 在最低点B 与足够长光滑水平轨道BC 相切。质量
的小球b 左端连
接一轻质弹簧，静止在光滑水平轨道上，另一质量
的小球a 自圆弧轨道顶端由静
止释放，运动到圆弧轨道最低点B 时，对轨道的压力为小球a 重力的两倍。忽略空气阻力，
重力加速度g 取
。
（1）求小球a 由A 点运动到B 点的过程中，摩擦力做功
。
（2）求小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的过程中，弹簧的最大弹性势能
；
（3）求小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的整个过程中，弹簧对小球b 的冲量I 的大小。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）小球由A 静止释放运动到最低点B 的过程中，根据动能定理有
小球在最低点，根据牛顿第三定律可知，小球受到轨道的支持力
根据牛顿第二定律
联立，代入相关已知数据求得
（2）小球a 与小球b 通过弹簧相互作用，达到共同速度
过程中，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律可得
联立代入相关已知数据求得：小球a 通过弹簧与小球b 相互作用的过程中，弹簧的最大弹
性势能
（3）小球a 与小球b 通过弹簧相互作用的整个过程中，设a 后来速度为
，b 后来速度为
，由动量守恒定律可得
由能量转化和守恒定律有
对b，根据动量定理有
联立代入相关已知数据可得
