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高考电学压轴题模型解读与针对性训练
专题23 带电小球在电场中的运动
【带电小球在电场中运动模型解读】
1. 带电体在电场中的直线运动的一般分析步骤
2.等效重力场
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是物体处在匀强电场和
重力场中的运动就会变得复杂一些.此时可以将重力场与电场“合二为一”，用
一个全新的“复合场”来代替，可形象称之为“等效重力场”.
等效重力场的相关知识点及解释
等效重力场⇔重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力⇔重力、电场力的合力
等效重力加速度⇔等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”⇔物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”⇔物体做圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
等效重力场的情景举例
3. 等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路
（1）.求出重力与电场力的合力F 合，将这个合力视为一个“等效重力”.
（2）.将a＝F合
m 视为“等效重力加速度”.
（3）.找出等效“最低点”和等效“最高点”.
（4）.将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.
4 电场中的力电综合问题的解题关键
通过审题抓住受力分析和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各
力做功的特点来选择相应规律求解.动能定理和能量守恒定律在处理电场中的能
量问题时仍是首选的方法.
（1）用正交分解法处理带电粒子的复杂运动问题：可以将复杂的运动分解为两
个互相正交的比较简单的直线运动.
（2）用能量观点处理带电粒子在电场中的运动问题：对于受变力作用的带电粒
子的运动问题，必须借助于能量观点来处理；即使是受恒力作用的运动问题，
用能量观点处理常常也更加简便.
5 .用能量观点处理带电粒子的运动问题
（1）用动能定理处理
思维顺序一般为：①弄清研究对象，明确所研究的物理过程.
②分析粒子在所研究过程中的受力情况，弄清哪些力做功，做正功还是负功.
③弄清所研究过程的始、末状态（主要指动能）.
④根据W＝ΔEk列出方程求解.
（2）用包括电势能和内能在内的能量守恒定律处理
列式的方法常有两种：
①利用初、末状态的总能量相等（即E1＝E2）列方程.
②利用某些能量的减少量等于另一些能量的增加量列方程.
（3）两个结论
①若带电粒子只在电场力作用下运动，其动能和电势能之和保持不变.
②若带电粒子只在重力和电场力作用下运动，其机械能和电势能之和保持不变.
【高考真题】
【典例1】． （2023 全国高考新课程卷）（14 分）密立根油滴实验的示意图如图所示。
两水平金属平板上下放置，间距固定，可从上板中央的小孔向两板间喷入大小不同、带电
量不同、密度相同的小油滴。两板间不加电压时，油滴a、b 在重力和空气阻力的作用下竖
直向下匀速运动，速率分别为v0、v0
4 ；两板间加上电压后（上板为正极），这两个油滴很
快达到相同的速率v0
2 ，均竖直向下匀速运动。油滴可视为球形，所受空气阻力大小与油滴
半径、运动速率成正比，比例系数视为常数。不计空气浮力和油滴间的相互作用。
（1）求油滴a 和油滴b 的质量之比；
（2）判断油滴a 和油滴b 所带电荷的正负，并求a、b 所带电荷量的绝对值之比。
【名师解析】（1）根据题述f=kvr。
设a 油滴质量为m1，a 油滴以速度v0向下匀速运动，由平衡条件，
m1g=kv0r1，m1=
（2 分）
设b 油滴质量为m2，b 油滴以速度
v0向下匀速运动，由平衡条件，
m2g=k
v0r2，m2=
（2 分）
联立解得：油滴a 和油滴b 的质量之比
=
（2 分）
（2）当在上下极板加恒定电压（上极板高电势），这两个油滴均以
v0向下匀速运动，
a 油滴速度减小，说明a 油滴受到了向上的电场力，则a 油滴带负电荷；
b 油滴速度增大，说明b 油滴受到了向下的电场力，则b 油滴带正电荷。（2 分）
由
=8 和m1=
，m2=
可知，a、b 两油滴的半径之比为
=2，
由f=kvr 可知两个油滴均以
v0向下匀速运动，所受阻力之比为
=
=2 （1 分）
设b 油滴以速度
v0向下匀速运动，所受阻力为f= m2g，
由f=kvr 可知b 油滴以
v0向下匀速运动，所受阻力f2=2f=2m2g，
a 油滴以
v0向下匀速运动，所受阻力f1=2f2=4m2g，（2 分）
设a 油滴电荷量为q1，由平衡条件，m1g=q1E+f1，
设b 油滴电荷量为q2，由平衡条件，m2g+q2E=f2， （2 分）
联立解得：a、b 所带电荷量的绝对值之比为
=
（1 分）
【典例2】．（2023 年6 月高考浙江选考科目）AB、CD 两块正对的平行金属板与水平面
成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为
、质量为
的小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点。闭合开关S，小球静止时，细线
与AB 板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD 板上的M 点（未标出），则（ ）
A．MC 距离为
B．电势能增加了
C．电场强度大小为
D．减小R 的阻值，MC 的距离将变大
【参考答案】B
【名师解析】小球用长为5cm 的绝缘细线悬挂于A 点，小球静止时，细线与AB 板夹角
为30°，细线与竖直方向夹角为30°，小球所受电场力方向垂直极板AB，与竖直线方向夹
角为30°，可知电场力F=FT，2Fcos30°=mg，解得F=
=
N，电场强度大小为
F/q=
=
，C 错误；剪断细线，小球沿与CD 板夹角为30°的方向加速直
线运动到M 点，由tan30°=d/MC 解得MC=10
cm，A 错误；小球运动到CD 板上的M 点，
克服电场力做功W=F（d-lsin30°）=
×0.075J=
，B 正确；减小R 的阻
值，两块正对的平行金属板之间电压不变，MC 的距离不变，D 错误。
【针对性训练】
1. （2025 年5 月四川宜宾市三模）某静电除尘装置的原理截面图如图，一对间距为
，极
板长为
的平行金属板，下板中点为
，两板接多挡位稳压电源；均匀分布在
、
两点
间的
个（数量很多）带负电灰尘颗粒物，均以水平向右的初速度
从左侧进入两板间。
颗粒物可视为质点，其质量均为
，电荷量均为
，板间视为匀强电场。若不计重力、
空气阻力和颗粒物之间的相互作用力，且颗粒物能够全部被收集在下极板，则（ ）
A. 上极板带正电
B. 电源电压至少为
C. 电源电压为
时，净化过程中电场力对颗粒物做的总功为
D.
点左侧和右侧收集到的颗粒数之比可能为1∶4
【答案】C
【解析】．颗粒物要被下板收集，则所受电场力方向必向下，因其带负电，故场强方向向
上，故上板应带负电，故A 错误；
电源电压最小时，沿上板边缘进入的颗粒物恰好落到下板右端，设其在板间运动的时间为
t，加速度大小为a，则沿极板方向有
垂直极板方向有
又
联立解得
，故B 错误；
因初始时刻颗粒物均匀分布，由
可得净化过程中电场力对颗粒物做的总功为
，故C 正确；
电源电压最小时，O 点左侧和右侧收集到的颗粒数之比最小，沿极板方向由
可知，落到O 点和下板右端的颗粒在板间运动的时间之比为
垂直极板方向，由
，可知，落到O 点和下板右端的颗粒的初始高度之比为
因初始时刻颗粒物均匀分布，故O 点左侧和右侧收集到的颗粒数之比最少为
故D 错误。
2. （2025 年5 月广州高三综合测试） 如图，虚线
下方存在与竖直方向成
角斜向
左上方的匀强电场，在
上、下方各划定一个边长为
的正方形区域
、
.
区域内曲线I 上的点满足这样的条件：任一点到
边的距离
和到
边的距离
满足
（
，
均为变量）.第一次试验：将一质量为
、带电量为
（
）的
小球
在曲线I 上任意一点静止释放，
仅在重力作用下竖直下落通过
边，发现进入
电场后
的加速度水平向左，最终离开
区域.第二次试验：将
从曲线I 上距离
边为
的点静止释放，进入电场后，当
到达
边界某点时，另一沿着
边做
减速运动、质量为
（
）的小球
恰好运动到该点，且到达该点时速度为零，
与
在该点发生弹性正碰（时间极短）.已知碰后
的电荷量变为
、质量不变，
离开
边界后便不再与
相互作用，重力加速度为
，求
（1）电场强度
的大小；
（2）第一次试验中，
释放后离开
区域时的点与
的距离；
（3）第二次试验中，
从与
发生碰撞到离开
区域经历的时间.
【答案】（1）
（2）
（3）
或
【解析】（1）题意知粒子第一次进入电场后合力（或加速度）方向水平向左，则有
解得
（2）设
到达虚线
边时速度为
，从
边经过时间到达
边，进入电场后加速
度大小为
，由动能定理有
进入电场后，小球做类平抛，则有
竖直方向
水平方向
又
联立可得
故在任一点释放
均从
点离开，与
点距离为
。
（3）设
到
点的水平速度和竖直速度分量分别为
、
，有
故
到达
点速度大小为
沿
方向，设碰后
、
速度大小分别为
和
，由动量守恒有
由机械能守恒
解得
碰后
受到电场力大小为
故
受到的合力也沿着
方向如图，且大小为
。
（i）若
，
直接从
点离开，即经历时间
；
（ii ）若
，碰后
反弹，
沿着
反向减速为零时位移为
，有
解得
可知
球不能到达
点，将经历先减速后加速的过程从
点离开，由动量定理有
解得
3. （2025 年5 月北京朝阳二模）大气电场强度是大气电学领域的基本参数，监测大气电场
强度对研究大气物理变化、灾害天气预防具有重大意义。通常情况下，地面附近的电场分
布如图1 所示，低空大气与地球表面可视为平行板电容器。已知静电力常量为k。
（1）空气中平行板电容器的电容为
，其中S 表示电容器极板的正对面积，d 表
示板间的距离。
a.若地表单位面积上的电荷量为
，请推导地球表面电场强度
；
b.地面附近某空间的电场强度
，已知地球半径
，静电力常量
。请结合a 中结论，估算地球表面带电量的数量级。
（2）电场强度计能够探测大气电场强度的变化，其结构可简化为图2：平行且靠近的动片
和定片中心在一条竖直轴上，动片在上、定片在下，动片接地且与定片绝缘。动片和定片
形状相同，均由4 个扇形金属片构成，每个扇形金属片的面积为
。
定片保持静止，动片由马达驱动，以角速度
匀速转动，使得定片被交替地遮挡。定片未
被遮挡部分处于大气电场中，由于静电感应，其上产生均匀分布的感应电荷。
a.求定片被交替遮挡的周期
；
b.定片上感应电荷随时间的变化会产生周期性的电流，这一电流通过测量仪器就能显示大
气电场强度E 的数值。从定片被动片完全遮挡开始计时，结合（1）a 中结论，推导电流强
度1 与大气电场强度E 的大小关系，并在图3 中画出大气电场强度恒定时电流强度I 与时间
t 的图像。
【答案】（1）见解析；
（2）
；见解析
【解析】(1)设地球表面积为，则
由电容的定义式
在匀强电场中
结合
可得地球表面附近的电场强度
公式变形得
代入公式
解得
可得地表面的电荷量的数量级为
。
(2)由题意可得
定片被动片交替遮挡的过程中周期性充、放电。由于匀速转动，定片处于大气电场中的面
积均匀减小或均匀增加，使得定片上的电荷量均匀减小或均匀增加，故产生的电流大小恒
定。
设在极短时间
内，定片的一个扇形从动片下方露出或遮住的面积为
，且此变化面积
上的电荷量为
，单位面积上的电荷量为
，则有
从零时刻开始，定片的一个扇形露出或者遮挡的面积最大为
，则有
结合（1）可得
电流强度
与时间的图像如图所示。
4. （江西吉安一中2025 学年度下学期全真模拟考试）空间有一水平向右的匀强电场，一
质量为
、带电量为
的正电小球用一绝缘轻绳悬挂于
点。若将小球拉到最低点，并给
小球垂直纸面向里的初速度
，发现小球恰好沿一倾斜平面做匀速圆周运动，其圆心
与
悬挂点
的连线与竖直方向成
角，如题图所示。已知重力加速度为
，小球可视为质
点，忽略空气阻力，
，求：
（1）电场强度的大小；
（2）绝缘轻绳的长度；
（3）小球从倾斜圆轨道的最低点
到最高点
的过程中，小球机械能的变化量。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由题意可知，小球做圆锥摆运动，则运动平面与重力和电场力的合力垂直，
因此重力和电场力的合力沿OP 方向，故
解得
（2）小球做匀速圆周运动的合力指向圆心，大小为
根据向心力公式有
联立上式得
又由几何关系可得绝缘轻绳的长度
（3）从A 点到B 点的过程中，电场力对小球做的功为
由功能关系可得小球机械能的变化量
。
5. (2025 届广州天河区普通高中毕业班综合测试（三）)如图甲所示，用虚线将粗糙绝缘水
平面上的空间划分为左右两个区域。两个区域分别加上方向相反、大小相等的水平电场，
电场强度大小均为E。将质量为m 的不带电金属小滑块B 静置于粗糙绝缘水平面上与虚线
交界处。质量也为m、带电荷量为+2q 的金属小滑块A 从距虚线边界距离s 处无初速度释放
（A、B 均可以视为质点），一段时间后A、B 发生弹性正碰，且碰撞时间极短。碰后A、
B 所带电荷量相等，碰后金属小滑块A 的最大速度恰好与碰前的最大速度大小相等，已知
小滑块A 运动时的
关系图像如图乙所示（
为未知量）。金属小滑块A、B 与水平
面间的滑动摩擦力均为qE，且A、B 之间的库仑力可用真空中点电荷的相互作用力计算，
静电力常量为k，求：
（1）弹性正碰前瞬间金属小滑块A 的速度大小；
（2）金属小滑块A 碰撞后的速度最大时，金属小滑块B 的速度大小；
（3）金属小滑块A、B 碰撞分离至A 速度达到最大的过程中，A、B 间的库仑力对A、B
做的总功。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）对A 受力分析有
根据动能定理得
所以
（2）A、B 碰撞，根据动量守恒有
弹性碰撞机械能守恒，有
解得
，
碰撞后A、B 所带电荷量均分，A、B 构成的系统所受外力之和为零，系统动量守恒，有
解得
（3）设A、B 的距离为d 时，A 受合力为0 时速度最大，有
解得
A、B 碰后到距离为d 的过程中，设库仑力做的总功为W，由动能定理得
解得
6. （河北名校联考普通高中2025 届高三年级适应性演练）如图所示，在水平向右的匀强
电场中有一个倾角为30°的挡板，一质量为
，带电量为
的小球以初速度
斜向上抛出，
初速度与水平方向的夹角为60°。已知空气阻力忽略不计，重力加速度为
，匀强电场的电
场强度
。求：
（1）小球离挡板的最大距离；
（2）小球落到挡板上的时间和发生位移的大小。
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）将物体的受力和运动均沿挡板分解和垂直挡板分解，如图
根据牛顿第二定律，可知垂直挡板分解可得其加速度
则小球离挡板的最大距离
联立解得
（2）结合以上分析可知，小球离挡板的最大距离时用时
对称性可知小球落到挡板上的时间
根据牛顿第二定律，可知沿挡板方向的加速度
则小球落到挡板上时发生位移的大小
联立解得
7. （北京通州区2025 年高三年级模拟考试）目前正在运转的我国空间站天和核心舱，搭
载了一种全新的推进装置——离子推进器，这种引擎不需要燃料，也无污染物排放。该装
置获得推力的原理如图所示，进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B 之
间的匀强电场（初速度忽略不计），A、B 间电压为
，使正离子加速形成离子束，在加
速过程中引擎获得恒定的推力。已知每个离子质量为
、电荷量为
，单位时间内飘入的
正离子数目为
。将该离子推进器固定在地面上进行试验。
（1）求正离子经过电极B 时的速度
的大小；
（2）求推进器获得的平均推力
的大小；
（3）加速正离子束所消耗的功率
不同时，引擎获得的推力
也不同，试推导
的表达
式，并指出为提高能量的转换效率，要使
尽量大可以采取的两条措施。
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】（1）正离子
A、B 之间加速过程，根据动能定理，有
解得
（2）设正离子束所受的电场力为
，根据牛顿第三定律，有
以很短时间
时间内飘入电极间的
个正离子为研究对象，以离子喷出时的速度方向为正
方向，根据动量定理，有
其中
解得
（3）设正离子束所受的电场力为
，由正离子束在电场中做匀加速直线运动，有
则
根据
的表达式可知，为增大
可用比荷较小的离子（质量大，带电量小的离子）、或
减小加速电压。
8. （2024 陕西商洛尖子生学情诊断） 如图所示，光滑水平面内固定着半径
的
三分之二光滑圆弧轨道ABC，空间有水平向右的匀强电场，电场强度
，以圆心
O 为原点建立沿电场线方向的坐标轴x，其中A 点和C 点关于x 轴对称，OA 和OC 均与x
轴间夹角为
，一带正电小球从x 轴上M 点垂直x 轴方向以速度
沿水平面方向抛出，
小球恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，已知小球电荷量
、质量
，以下
说法正确的是（ ）
A. 小球初速度
大小为4m/s
B. M 点坐标为
C. 小球对轨道的最大压力为24N
D. 小球运动具有周期性
【答案】CD
【解析】小球先做类平抛运动，有
解得
，
故A 错误；
根据几何关系可知M 点坐标
故B 错误；
小球到达B 点时速度最大，小球对轨道压力最大，由动能定理，有
由牛顿第二定律，有
解得
故C 正确；
小球达到C 点时速度大小与在A 点时相等，小球从C 点离开轨道后做类斜上抛运动，恰好
再经过M 点并恢复初始状态，故小球运动具有周期性，故D 正确。
9. （2024 黑龙江重点高中3 月质检）如右图所示，固定于同一条竖直线上的A、B 是两个
带等量异种电荷的点电荷，电荷量分别为
和
，A、B 相距为2d，MN 是竖直放置的
光滑绝缘细杆，另有一个穿过细杆的带电小球p，质量为m、电荷量为+q（可视为点电荷，
不影响电场的分布），现将小球p 从与点电荷A 等高的C 处由静止开始释放，小球p 向下
运动到距C 点距离为d 的O 点时，速度为v0；已知MN 与AB 之间的距离为d，静电力常量
为k，重力加速度为g，求：
（1）C、O 间的电势差
；
（2）在O 点处的电场强度E 的大小；
（3）小球p 经过与点电荷B 等高的D 点时的速度vD大小。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）小球p 从C 到O 根据动能定理有
解得
（2）A 点电荷和B 点电荷在O 点的电场强度均为
E＝
其中
r＝AO＝BO＝
所以
根据对称性可知，两点电荷场强在水平方向的分场强抵消，合场强为
（3）从C 到D 点，由于电场线的对称性
UCD＝2UCO
则根据动能定理有
解得
10. （2024 陕西渭南一模） 如图，平面直角坐标系xOy 的y 轴沿竖直方向，x 轴沿水平方
向，在y≥h 的区域存在平行于纸面的匀强电场，其它区域无电场。现将一质量为m、电荷
量为q（q>0）的可视为质点的带电小球从y 轴上y=2h 无初速释放，不计阻力，重力加速度
大小为g，带电小球做加速度大小为g 的匀加速直线运动，运动方向与y 轴负方向成60°。
求：
（1）电场强度大小和方向；
（2）小球从释放到经过x 轴的运动时间及小球经过x 轴的位置坐标。
【答案】（1）
，方向与x 轴正方向成30°斜向上；（2）
，3h
【解析】（1）带电小球在y≥h 区间做匀加速运动，受力如图所示由
牛顿第二定律得
F 合=ma
由题知
a=g
则由图可见
F 电=mg
又
F 电=qE
解得
电场方向与x 轴正方向成30°斜向上。
（2）由题图可知，小球经过y=h 水平线时x 坐标
①小球在2h≥y≥h 区间运动有
解得
又
解得
②小球在0≤y<h 区间运动：
，
水平方向做速度为v1x匀速直线运动，有
x2=v1xt2
竖直方向做初速为v1y，加速度为g 的匀加速直线运动，有
联立解得
，
小球从释放到x 轴的运动时间
小球经过x 轴的位置坐标
11.（10 分）（2024 山西太原高二期末）如图所示，匀强电场水平向右，将一带正电的小
球从A 点竖直上抛，小球经M 点后运动至B 点。M 为轨迹最高点，A、B 两点在同一水平
线上。小球抛出时动能为2024J，在M 点动能也为2024J，不计空气阻力。求：
（1）小球水平位移x1与x2的比值；
（2）小球从A 点运动到B 点过程中的最小动能Ek。
【解析】.（10 分）
（1）带电小球水平方向只受电场力做初速度为零的匀加速直线运动、竖直方向只受重力做
竖直上抛运动，从A 到M 的时间与从M 到B 的时间相等
（2）合运动与分运动具有等时性，小球所受的电场力为qE、重力为mg
小球从A 到M
求得
由图可知
，
小球从A 运动到B 的过程中，速度与合外力
垂直时可取最小值
12. （2024 北京东城期末）如图所示，在竖直向上，场强大小为E 的匀强电场中，一个质
量为m、带电荷量为＋q 的绝缘物块B 静止于竖直方向的轻弹簧上端，另一个质量也为
m、不带电的绝缘物块A 由静止释放，下落高度H 后与物块B 相碰，碰后二者粘在一起又
下落h 后到达最低点。整个过程中不计空气阻力，不计电荷量的损失，弹簧始终在弹性限
度内，重力加速度为g，两物块均可视为质点，针对上述过程，求：
（1）A 与B 碰后的速度大小v；
（2）电势能的增加量
；
（3）弹簧弹性势能的增加量
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）设物块A 下落高度H 时的速度为
，根据机械能守恒
可得
物体A 与B 碰撞过程，动量守恒
A 与B 碰后的速度大小为
（2）A、B 碰后到最低点的过程中，静电力做功
电势能的增加量
（3）A、B 碰后至最低点的过程中，由动能定理
解得
弹性势能的增加量为
13．(2024 年10 月吉林期中)（13 分）如图所示，
为竖直放置的光滑绝缘细管道，
其中
部分是半径为
的
圆弧形管道，
部分是固定的水平管道，两部分管
道恰好相切于
。水平面内的
、
、
三点连线构成边长为
的等边三角形，
连线过
点且垂直于
。两个带等量异种电荷的点电荷分别固定在
、
两点，电荷量分别为
和
。现把质量为
、电荷量为
的小球（小球直径略小
于管道内径，小球可视为点电荷），由管道的
处静止释放，已知静电力常量为
，
重力加速度为
。求：
（1）小球运动到
处时受到电场力的大小；
（2）小球从
运动到
处的时间；
（3）小球运动到圆弧最低点
处时，管道对小球的弹力大小。
【解析】．（13 分）(1)设小球在
处分别受到
和
的库仑力分别为
和
。根据库
仑定律有
（1 分）
电场力
（2 分）
(2)
到
，根据机械能守恒有
（2 分）
到
匀速，则有
（2 分）
得
（1 分）（注意其他表达形式只要正确均给分）
(3)水平方向，根据平衡条件有
（1 分）
竖直方向，根据牛顿第二定律有
（2 分）
根据力的合成原理，可得弹力
（1 分）
得
（1 分）
