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知识点 72：在电场中运动带电连接体的力与功能关系的
问题
考点一：带电轻绳连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻绳连接体在竖直匀强电场中的运动
【典例1基础题】如图所示，在竖直向上的匀强电场中，一根不可伸长的绝缘细绳的一
端系着一个带电小球，另一端固定于O点，小球在竖直平面内做匀速圆周运动，最高
点为a，最低点为B．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A. 小球带负电
B. 静电力与重力平衡
C. 小球在从a点运动到b点的过程中，电势能减小
D. 小球在运动过程中机械能守恒
【典例1基础题】【答案】B
【解析】由于小球在竖直平面内做匀速圆周运动，所以重力与静电力的合力为0，即静
电力与重力平衡，知静电力方向竖直向上，所以小球带正电，A错误，B正确；从
a→b，静电力做负功，电势能增大，C错误；由于静电力对小球做功，故小球在运动
过程中机械能不守恒，D错误．
题型二：带电轻绳连接体在水平匀强电场中静止释放运动模型
【典例2基础题】如图所示，真空中存在一个水平向左的匀强电场，场强大小为E，一根
不可伸长的绝缘细线长度为l，细线一端拴一个质量为m、电荷量为q的带负电小球，另一
端固定在O点。把小球拉到使细线水平的A点，由静止释放，小球沿弧线运动到细线与水
平方向成θ＝60°角的B点时速度为零。以下说法中正确的是( )
1
学科网（北京）股份有限公司A．小球在B点处于平衡状态
B．小球受到的重力与电场力的关系是 qE＝mg
C．小球将在A、B之间往复运动，且幅度将逐渐减小
D．小球从A运动到B的过程中，电场力对其做的功为－qEl
【典例2基础题】【答案】D
【解析】根据动能定理得：mglsinθ－qEl(1－cosθ)＝0，解得：qE＝mg，故B错误；tan α
＝＝，解得：α＝30°<θ，在B点电场力与重力的合力和细线拉力不共线，所以小球在B点
不是处于平衡状态，故A错误；类比单摆，小球将在A、B之间往复运动，能量守恒，幅
度不变，故C错误；小球从A运动到B的过程中电场力做功：W＝－qEl(1－cos θ)＝－
qEl，故D正确。
【典例2基础题对应练习】(多选)如图所示，在竖直平面内有一匀强电场，其方向与水平
方向成α＝30°角斜向上，在电场中有一质量为m，带电荷量为q的带电小球，用长为L不
可伸长的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线恰好水平，位置如图中M点。现用外
力将小球拉到最低点P，然后无初速度释放，重力加速度为g，则以下判断正确的是( )
A.小球能上升的最大高度在O点正上方L高度处
B.小球从P到M过程中，静电力对它做功为mgL
C.小球从P运动到M时，绝缘细线对小球的拉力为mg
D.小球从P到M过程中，机械能增加了(＋1)mgL
【典例2基础题对应练习】【答案】AD
【解析】当小球静止于M点时，细线恰好水平，说明重力和静电力的合力方向水平向右，
M点为等效最低点，OP方向与OM方向垂直，由对称性可知，小球能上升的最大高度在O
点正上方L高度处，故A正确；在M点，静电力与重力的合力为F ＝＝mg，小球在合力
合
方向上位移为L，由动能定理知动能增加量为mgL，重力势能增加量为mgL，则机械能的
增加量为(＋1)mgL，由功能关系知，机械能增加量即为静电力做的功，故 B错误，D正确；
小球从P运动到M的过程，根据动能定理得mgL＝mv，设小球从P运动到M时，绝缘细
线对小球的拉力为F，则由牛顿第二定律得F－mg＝m，联立解得F＝3mg，故C错误。
题型三：带电轻绳连接体水平匀强电场中作完整圆周运动的问题
【知识思维方法技巧】
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学科网（北京）股份有限公司带电轻绳连接体在水平匀强电场中作完整圆周运动的处理方法：等效方法
（1）等效最“高”点与最“低”点的寻找：
确定重力和电场力的合力的大小和方向，然后过圆周圆心作等效重力作用线的反向延长线
反向延长线交圆周上的那个点即为圆周的等效最“高”点，延长线交圆周的那个点为等效
最“低”点。
（2）带电体在等效最“高”点运动情况，用类比“绳球”“杆球”模型临界值的情况进行
分析解答。
【典例3基础题】（多选）如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场
中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球．小
球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆
时针方向做圆周运动，重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A．匀强电场的电场强度E＝
B．小球动能的最小值为E ＝
k
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【典例3基础题】【答案】AB
【解析】小球静止时悬线与竖直方向成θ角，对小球受力分析，小球受重力、拉力和电场
力，三力平衡，根据平衡条件，有：mgtan θ＝qE，解得E＝，选项A正确；
小球恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，在等效最高点A速度最小，根据牛顿第二定律，
有：＝m，则最小动能E ＝mv2＝，选项B正确；小球的机械能和电势能之和守恒，则小球
k
运动至电势能最大的位置机械能最小，小球带负电，则小球运动到圆周轨迹的最左端点时
机械能最小，选项C错误；小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场
力先做正功，后做负功，再做正功，则其电势能先减小后增大，再减小，选项D错误．
【典例3基础题对应练习】(多选)如图所示，可视为质点的质量为 m且电荷量为q的带电
小球，用一绝缘轻质细绳悬挂于O点，绳长为L，现加一水平向右的足够大的匀强电场，
电场强度大小为E＝，小球初始位置在最低点，若给小球一个水平向右的初速度，使小球
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学科网（北京）股份有限公司能够在竖直面内做圆周运动，忽略空气阻力，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A.小球在运动过程中机械能守恒
B.小球在运动过程中机械能不守恒
C.小球在运动过程的最小速度至少为
D.小球在运动过程的最大速度至少为
【典例3基础题对应练习】【答案】BD
【解析】小球在运动的过程中，电场力做功，机械能不守恒，故A错误，B正确；如图所
示，小球在电场中运动的等效最高点和最低点分别为A点和B点，等效重力G′＝mg，小
球在最高点的最小速度v 满足G′＝m，得v ＝，故C错误；小球由最高点运动到最低点，
1 1
由动能定理有G′·2L＝mv－mv，解得v＝，故D正确。
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考点二：带电轻杆连接体的力与功能关系的问题
题型一：带电轻杆连接体的转动模型
【典例1基础题】如图所示，在竖直面内，长为L的轻杆一端用铰链固定在O点，另一端
连接带正电的小球M，与O点等高的N、P两点到O点的距离均为L，在N点固定带正电
的小球，轻杆初始时与水平方向夹角为30°。小球M由静止释放，运动到Q点速度为零。
小球M由静止向Q点运动的过程中，下列说法正确的是( )
A.小球M的电势能先减小后增大
B.小球M运动到P点时动能最大
C.小球M的机械能先增大后减小
D.小球M到最低点时重力功率最大
【典例1基础题】【答案】AC
【解析】小球M由静止到Q点的运动过程中，电场力先做正功后做负功，小球的电势能先
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学科网（北京）股份有限公司减小后增大，机械能先增大后减小，选项A、C正确；小球运动到P点时，加速度有竖直
向下的分量，小球M的速度继续增大，选项B错误；小球M运动到最低点时，重力的功
率为零，选项D错误。
题型二：带电轻杆连接体的平动模型
【典例2基础题】在光滑绝缘的水平面上，用长为2L的绝缘轻杆连接两个质量均为m的
带电小球A和B.A球的带电荷量为＋2q，B球的带电荷量为－3q，组成一带电系统，如图
所示，虚线MP为A、B两球连线的垂直平分线，虚线NQ与MP平行且相距5L.最初A和
B分别静止于虚线MP的两侧，距MP的距离均为L，且A球距虚线NQ的距离为4L.若视
小球为质点，不计轻杆的质量，在虚线MP、NQ间加上水平向右、场强大小为E的匀强电
场后，试求：
(1)B球刚进入电场时，带电系统的速度大小；
(2)带电系统向右运动的最大距离；
(3)带电系统从开始运动到速度第一次为零时，B球电势能的变化量．
【典例2基础题】【答案】(1) (2)3L (3)6qEL
【解析】(1)设B球刚进入电场时，系统的速度为v，
1
对A、B系统应用动能定理：2qEL＝×2mv，则v＝.
1
(2)设球A向右运动s时，系统速度为零，由动能定理，得：2qEs＝3qE(s－L)，则s＝3L.
(3)带电系统的速度第一次为零时，B球克服电场力做功W ＝6qEL，
FB
则B球电势能增加了6qEL.
考点三：带电轻弹簧连接体的力与功能关系的问题
题型一：弹簧伸长模型
【典例1基础题】如图所示，一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上,上端连接一带正电小
球P,小球所处的空间存在着竖直向上的匀强电场，小球平衡时,弹簧恰好处于原长状态：现
给小球一竖直向上的初速度，小球最高能运动到M点，在小球从开始运动至达到最高点M
的过程中,以下说法正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．小球机械能的改变量等于电场力做的功
B．小球电势能的减少量大于小球重力势能的增加量
C．弹簧弹性势能的增加量等于小球动能的减少量
D．小球动能的减少量等于电场力和重力做功的代数和
【典例1基础题】【答案】C
【解析】小球除受重力外,还受电场力和弹簧弹力,小球机械能的改变量等于电场力和弹力做
的功,A错；由于弹簧一开始恰好处于原长,说明电场力等于重力,电场力做的功等于克服重
力做的功,B错；由动能定理：W －W －W ＝ΔE ,由于W ＝W ,所以C对,D错.
电 G 弹 k 电 G
题型二：弹簧压缩模型
【典例2基础题】如图所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧直立于地面上，上面
放一个质量为m的带正电的小球，小球与弹簧不连接．现将小球向下压到某位置后由静止
释放，若小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力和电场力对小球做功的大小分别
为W 和W，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中( )
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A．带电小球电势能增加W
2
B．弹簧弹性势能最大值为W＋mv2
1
C．弹簧弹性势能减少量为W＋W
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D．带电小球和弹簧组成的系统机械能增加W
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【典例2基础题】【答案】D
【解析】电场力对小球做了W 的正功，根据功能关系可知，小球的电势能减少了W，选
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项A错误；对于小球在上述过程中，有W＋W －W＝mv2，根据功能关系可知，弹簧弹
2 弹 1
性势能最大值为W＋mv2－W，选项B、C错误；根据功能关系知，选项D正确．
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