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知识点 41：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE ＝ΔE ，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
减 增
加量。E ＝E ，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
初 末
③有外力做功的表达式：W ＝ΔE，ΔE为能量的增加量。
F
考点一：轻弹簧释放物体模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
（1）从动力学角度分析：
用胡克定律F＝kx结合牛顿第二定律F ＝ma分析加速度和运动过程，注意弹力是变力，
合
且注意三个位置：自然长度位置、平衡位置（a＝0，v最大）、形变量最大（伸长最长或
压缩最短）的位置。
（2）从功能关系的角度分析：
轻弹簧问题一般根据能量守恒定律或动能定理列方程分析，弹力做功与弹性势能的关系：
W ＝－ΔE ，轻弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相
弹 p
同的速度，弹性势能最大。对同一根轻弹簧而言，无论是处于伸长状态还是压缩状态，只
要在弹性限度内形变量相同，其储存的弹性势能就相同，轻弹簧先后经历两次相同的形变的
过程中，弹性势能的变化相同。
题型一：轻弹簧释放物体+直线运动模型
【典例1基础题】（多选）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为
弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最
远到达B点。在从A到B的过程中，物块( )
A．加速度先减小后增大 B．经过O点时的速度最大
C．所受弹簧弹力始终做正功 D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
【典例1基础题】【答案】AD
【解析】对物块受力分析，当弹簧处于压缩状态时，由牛顿第二定律可得kx－f＝ma，x减
1
学科网（北京）股份有限公司小，a减小，当a＝0时，物块速度最大，此时，物块在O点左侧，选项B错误；从加速度
a＝0处到O点过程，由牛顿第二定律得f－kx＝ma，x减小，a增大，当弹簧处于伸长状态
时，由牛顿第二定律可得kx＋f＝ma，x增大，a继续增大，可知物块的加速度先减小后增
大，选项A正确；物块所受弹簧的弹力对物块先做正功，后做负功，选项C错误；从A到
B的过程，由动能定理可得W －W＝0，选项D正确。
弹 f
题型二：轻弹簧释放物体+直线运动+曲线模型
【典例2基础题】轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量
为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 l.现将该弹簧水平放置，一
端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径
为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩
擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后释放，P开始沿轨道运动，重
力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位
置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
【典例2基础题】【答案】(1) 2l (2)m≤m μm g·4l，P 最多到 C 点且不脱轨，E ≤μm g·4l＋m gl，则
p P p P P
m≤m μmg，故A错误；全过程小物块的路程为2 s，所以
弹
全过程中克服摩擦力做的功为：μmg·2s，故B正确；小物块从弹簧压缩最短处到A点由能
量守恒得：E ＝μmgs，故C正确；小物块从A点返回A点由动能定理得：－μmg·2s＝0
Pmax
－mv，解得：v＝2，故D错误．
0
题型二：物体压轻弹簧+直线运动+曲线运动模型
【典例2基础题】如图所示，轻质弹簧一端固定在墙壁上的O点，另一端自由伸长到A点，
OA之间的水平面光滑，固定曲面在B处与水平面平滑连接．AB之间的距离s＝1 m．质量
m＝0.2 kg的小物块开始时静置于水平面上的B点，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.4.
现给物块一个水平向左的初速度v＝5 m/s，g取10 m/s2.
0
(1)求弹簧被压缩到最短时所具有的弹性势能E ；
p
(2)求物块返回B点时的速度大小；
(3)若物块能冲上曲面的最大高度h＝0.2 m，求物块沿曲面上滑过程所产生的热量．
【典例2基础题】【答案】(1)1.7 J (2)3 m/s (3)0.5 J
【解析】(1)对小物块从B点至压缩弹簧最短的过程，由动能定理得，－μmgs－W ＝0－
克弹
mv，W ＝E ，代入数据解得E ＝1.7 J
克弹 p p
(2)对小物块从B点开始运动至返回B点的过程，由动能定理得，－μmg·2s＝mv－mv代入
数据解得v ＝3 m/s
B
(3)对小物块沿曲面的上滑过程，由动能定理得－W －mgh＝0－mv，产生的热量Q＝W
克f 克
＝0.5 J.
f
【典例2基础题对应练习】如图所示，半圆形光滑轨道竖直固定在AB杆上，杆长L＝1
m，半圆与水平方向相切于B点，半径R＝0.5 m，距其右侧一定水平距离处固定一个斜面
体．斜面C端离地高度h＝0.8 m，E端固定一轻弹簧，弹簧原长为DE，DE＝0.375 m，斜
面CD段粗糙而DE段光滑．现将一质量为1 kg的物块(可看作质点)从圆轨道某处静止释放，
离开最低点B后恰能落到斜面顶端C处，且速度方向恰好平行于斜面，物块沿斜面下滑压
缩弹簧后又沿斜面向上返回，第一次恰能返回到最高点 C.斜面倾角θ＝53°，重力加速度g
4
学科网（北京）股份有限公司＝10 m/s2.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
(1)物块运动到B点时对轨道的压力大小；
(2)物块在粗糙斜面CD段上能滑行的总路程s.
【典例2基础题对应练习】【答案】(1)14.5 N (2)3.25 m
【解析】(1)物块从B到C做平抛运动，则有v2＝2g(L－h)，在C点时有tan θ＝，代入数
y
据解得v ＝1.5 m/s，在B点对物块进行受力分析得F－mg＝m，解得F＝14.5 N，根据牛顿
B
第三定律知物块对轨道的压力大小F′＝F＝14.5 N
(2)物块在C点的速度为v ＝＝2.5 m/s，物块从C点下滑到返回C点的过程，根据动能定理
C
得－μmgcos θ×2x ＝0－mv 2，x ＝＝1 m，x ＝x －x ，代入数据解得μ＝，最终物块
CD C CE CD CE DE
在DE段来回滑动，从C到D，根据动能定理得：mgx sin θ－μmgcos θ×s＝0－mv 2，解
CD C
得s＝3.25 m.
考点三：轻弹簧连接体模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体在水平面运动模型
【典例1基础题】如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放
在水平地面上，Р通过一根水平轻绳连接到墙上。P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因
数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。用水平拉力将 Q向右缓慢拉开一段距离，撤去拉
力后，Q恰好能保持静止。弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k，重力加速
度大小为g。若剪断轻绳，Р在随后的运动过程中相对于其初始位置的最大位移大小为(
)
A. B. C. D.
【典例1基础题】【答案】C
【解析】Q恰好能保持静止时，设弹簧的伸长量为x，满足kx＝2μmg，若剪断轻绳后，物
块P与弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧的最大压缩量也为 x，因此Р相对于其初始位置
的最大位移大小s＝2x＝，故选项C正确。
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学科网（北京）股份有限公司题型二：轻弹簧连接体在杆上运动模型
【典例2基础题】如图所示，一根轻弹簧一端固定在O点，另一端固定一个带有孔的小球，
小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点
由静止释放，小球向下运动，经过与A点关于B点对称的C点后，小球能运动到最低点D
点，OB垂直于杆，则下列结论正确的是( )
A．小球从A点运动到D点的过程中，其最大加速度一定小于重力加速度g
B．小球从B点运动到C点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大
C．小球运动到C点时，重力对其做功的功率最大
D．小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大
【典例2基础题】【答案】D
【解析】在B点时，小球的加速度为g，在BC点间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除
受重力外还有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到D点的过程中，其
最大加速度一定大于重力加速度g，故A错误；由机械能守恒可知，小球从B点运动到C
点的过程，小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一
定减小，故B错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G，所以小球
从C点往下还会加速一段，所以小球在C点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故
C错误；小球从A点运动到D点的过程中，只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守
恒，D点为小球运动的最低点，则在D点时，小球的速度为零，即动能为零，重力势能最
小，所以小球在D点时弹簧的弹性势能最大，故D正确．
【典例2基础题对应练习】如图所示，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆
环与一橡皮绳相连，橡皮绳的另一端固定在地面上的A点，橡皮绳竖直时处于原长h.让圆
环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中( )
A．圆环机械能守恒
B．橡皮绳的弹性势能一直增大
C．橡皮绳的弹性势能增加了mgh
D．橡皮绳再次达到原长时圆环动能最大
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学科网（北京）股份有限公司【典例2基础题对应练习】【答案】C
【解析】圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和橡皮
绳的拉力，所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和橡皮绳组成的系统作为研究对象，则
系统的机械能守恒，故A错误；橡皮绳的弹性势能随橡皮绳的形变量的变化而变化，由题
图知橡皮绳先变松弛后被拉伸，故橡皮绳的弹性势能先不变再增大，故 B错误；根据系统
的机械能守恒，圆环的机械能减少了mgh，那么圆环的机械能的减少量等于橡皮绳的弹性
势能增加量，为mgh，故C正确；在圆环下滑过程中，橡皮绳再次达到原长时，该过程中
动能一直增大，但不是最大，沿杆方向合力为零的时刻，圆环的动能最大，故D错误．
考点四：轻弹簧连接体+组合模型的力与能量问题
题型一：轻弹簧连接体+直接接触体组合模型
【典例1基础题】（多选）如图所示，在升降机内固定一光滑的斜面体，一轻弹簧的一端
连在位于斜面体上方的固定木板B上，另一端与质量为m的物块A相连，弹簧与斜面平行．
整个系统由静止开始加速上升高度h的过程中( )
A．物块A的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块A的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
C．物块A的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的拉力对其做功的和
D．物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和 B对弹簧的拉力做
功的和
【典例1基础题】【答案】CD
【解析】当物块具有向上的加速度时，弹簧弹力在竖直方向上的分力和斜面的支持力在竖
直方向上的分力的合力大于重力，所以弹簧的弹力比物块静止时大，弹簧的伸长量增大，
物块A相对于斜面向下运动，物块 A上升的高度小于 h，所以重力势能的增加量小于
mgh，故A错误；对物块A由动能定理有物块A的动能增加量等于斜面的支持力、弹簧的
拉力和重力对其做功的和，故B错误；物块A机械能的增加量等于斜面支持力和弹簧弹力
做功的和，故C正确；物块A和弹簧组成系统的机械能增加量等于斜面对物块的支持力和
B对弹簧的拉力做功的和，故D正确．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：轻弹簧连接体+轻绳连接体组合模型
【典例2基础题】(多选)如图所示，物体A、B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物
体A、B的质量分别为2m、m.开始时细绳伸直，用手托着物体A使弹簧处于原长且A与地
面的距离为h，物体B静止在地面上．放手后物体A下落，与地面即将接触时速度大小为
v，此时物体B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为g，则下
列说法中正确的是( )
A．物体A下落过程中，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒
B．弹簧的劲度系数为
C．物体A着地时的加速度大小为
D．物体A着地时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
【典例2基础题】【答案】AC
【解析】由题意知， 物体A下落过程中，B一直静止不动，对于物体A和弹簧组成的系统，
只有重力和系统内弹力做功，则物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，故A正确；物体A
即将着地时， 物体B对地面的压力恰好为零，故弹簧的弹力为T＝mg，开始时弹簧处于原
长， 由胡克定律知T＝kh, 则弹簧的劲度系数为k＝，故B错误；物体A着地时，细绳对A
的拉力也等于mg，对A，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝2ma，则a＝，故C正确；物体
A与弹簧组成的系统机械能守恒，有2mgh＝E ＋×2mv2, 则E ＝2mgh－mv2，故D错误．
p弹 p弹
【典例2基础题对应练习】（多选）如图，劲度系数为100 N/m的轻弹簧下端固定于倾角
为θ＝53°的光滑斜面底端，上端连接物块Q，Q同时与和斜面平行的轻绳相连，轻绳跨过
固定在斜面顶端O点的定滑轮与套在光滑竖直杆上的物块P连接，图中O、B两点等高，
间距d＝0.3 m。初始时在外力作用下，P在A点静止不动，A、B间距离h＝0.4 m，此时
轻绳中张力大小为50 N。已知P质量为0.8 kg，Q质量为5 kg。现将P由静止释放(不计
滑轮大小及摩擦，取g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，下列说法正确的是(
)
A．P位于A点时，弹簧的伸长量为0.1 m
B．P上升至B点时的速度大小为m/s
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学科网（北京）股份有限公司C．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对其所做的功为6 J
D．P上升至B点的过程中，轻绳拉力对P做的功等于Q机械能的减少量
【典例2基础题对应练习】【答案】AD
【解析】物块P位于A点时，假设弹簧伸长，则有T＝m g sin θ＋kx ，代入数据解得x
Q 1 1
＝0.1 m，假设正确，则P位于A点时，弹簧的伸长量为0.1 m，选项A正确。
P上升至B点时，轻绳与竖直杆垂直，P沿轻绳方向的分速度为零，即此时物块Q的速度
为0，由几何关系可知Q下降的距离为Δx＝OP－OB＝0.5 m－0.3 m＝0.2 m，此时弹簧的
压缩量为x＝0.2 m－0.1 m＝0.1 m，则可知P由A到B的过程中弹簧的弹性势能不变。P
2
上升至B点的过程中，对物块P、Q及弹簧组成的系统，根据能量守恒有m g·Δx sin θ－
Q
m gh＝m v 2，代入数据解得v ＝2 m/s，对物块P有W －m gh＝m v 2，代入数据解得轻绳
P P P P T P P P
拉力对其所做的功为W ＝8 J，物块Q机械能的减少量ΔE＝m gΔx sinθ＝5×10×0.2×0.8 J
T Q
＝8 J，则有W ＝ΔE，选项B、C错误，D正确。
T
题型三：轻弹簧连接体+轻杆连接体组合模型
【典例3基础题】某缓冲装置的理想模型如图4所示，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆
相连，轻杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为 f。轻杆向右移动不超过l时，
装置可安全工作。一质量为m的小车若以速度v撞击弹簧，可使轻杆向右移动了。轻杆与
0
槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且不计小车与地面的摩擦。
(1)若弹簧劲度系数为k，求轻杆开始移动时，弹簧的压缩量x；
(2)求小车离开弹簧瞬间的速度v；
(3)在轻杆运动的过程中，试分析小车的运动是不是匀变速运动？如果不是请说明理由，如
果是请求出加速度a。
【典例3基础题】【答案】(1) (2) (3)见解析
【解析】(1)对轻杆有f＝kx，得x＝。
(2)根据能量守恒有mv＝＋mv2，得出小车反弹离开弹簧瞬间的速度v＝。
(3)因为轻杆运动时弹力始终和摩擦力相等，则对小车所受的弹力保持不变，所以小车做匀
减速运动。根据牛顿第二定律有kx＝f＝ma，得出a＝。
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学科网（北京）股份有限公司
