文档文本内容
知识点 64：已知场源模型分析计算电场力与能的性质
【知识思维方法技巧】
（1）电场力做功的四种计算方法：
（2）电势的计算：
①任何电场φ＝（将q、E 的大小、正负号一起代入公式进行计算）
p
②点电荷产生的电势φ＝k（将Q正负号代入公式计算）
③标量求和法比较电势的高低
（3）电势能的计算：
①任何电场中的电势能E ＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
p
②点电荷电场中的电势能E ＝k，将q、Q的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
p
考点一：场源是点电荷模型
题型一：场源是一个点电荷模型
类型一：平面模型
【典例1a提高题】（多选）如图所示，ABC为等边三角形，电荷量为＋q的点电荷固定在
A点。先将一电荷量也为＋q的点电荷Q 从无穷远处(电势为0)移到C点，此过程中，电场
1
力做功为－W。再将Q 从C点沿CB移到B点并固定。最后将一电荷量为－2q的点电荷Q
1 2
从无穷远处移到C点。下列说法正确的有( )
A．Q 移入之前，C点的电势为
1
B．Q 从C点移到B点的过程中，所受电场力做的功为0
1
C．Q 从无穷远处移到C点的过程中，所受电场力做的功为2W
2
D．Q 在移到C点后的电势能为－4W
2
【典例1a提高题】【答案】ABD
【解析】根据电场力做功与电势能的变化关系知Q 在C点的电势能E ＝W，根据电势的定
1 p
义知C点电势φ＝＝，A正确；在A点的点电荷产生的电场中，B、C两点处在同一等势面
上，Q 从C移到B的过程中，电场力做功为0，B正确；单独在A点固定电荷量为＋q的
1
点电荷时，C点电势为φ，单独在B点固定点电荷Q 时，C点电势也为φ，两点电荷都存
1
在时，C点电势为2φ，Q 从无穷远移到C点时，具有的电势能E ′＝－2q×2φ＝－4W，电
2 p
场力做功W′＝－E ′＝4W，C错误，D正确。
p
1
学科网（北京）股份有限公司【典例1a提高题对应练习】(多选)如图，∠M是锐角三角形PMN最大的内角，电荷量为
q(q>0)的点电荷固定在P点。下列说法正确的是( )
A．沿MN边，从M点到N点，电场强度的大小逐渐增大
B．沿MN边，从M点到N点，电势先增大后减小
C．正电荷在M点的电势能比其在N点的电势能大
D．将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为负
【典例1a提高题对应练习】【答案】BC
【解析】如图所示，找出Q点，使Q点与P点的距离等于M点与P点的距离，L点为MN
上到P点距离最短的点，根据三角形边角关系、点电荷的电场强度公式E＝k和正点电荷
形成电场中的电势特点可知，沿着MN边，从M点到N点，
到P点的距离r先减小后增大，电场强度先增大后减小，电势也先增大后减小，选项 B正
确，A错误；根据电势能与电势的关系E ＝qφ可知，正电荷在M点的电势能比在N点的
p
电势能大，故将正电荷从M点移动到N点，电场力所做的总功为正，选项C正确，D错误。
类型二：三维空间模型
【典例1b提高题】如图所示，空间有一正三棱锥OABC，点A′、B′、C′分别是三条棱的中
点。现在顶点O处固定一正的点电荷，则下列说法中正确的是( )
A．A′，B′，C′三点的电场强度相同
B．△ABC所在平面为等势面
C．将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′移到B′点，静电力对该试探电荷先做正功
2
学科网（北京）股份有限公司后做负功
D．若A′点的电势为φ ，A点的电势为φ ，则A′A连线中点D处的电势φ 一定小于
A′ A D
【典例1b提高题】【答案】D
【解析】A′、B′、C′三点到O点的距离相等，根据点电荷的场强公式E＝k分析可知，A′、
B′、C′三点的电场强度大小相等。但方向不同，故 A错误。A、B、C的三个点到场源电荷
的距离相等，在同一等势面，但其他点到场源电荷的距离与 A、B、C三点到场源电荷的距
离不等，故△ABC所在平面不是等势面，故B错误；将一正的试探电荷从A′点沿直线A′B′
移到B′点，电势先升高后降低，电势能先增大后减小，则静电力对该试探电荷先做负功后
做正功，故C错误。由于A′D间场强大于DA间场强，由U＝Ed知，A′、D间的电势差大
于DA间的电势差，则有：φ ′－φ ＞φ －φ ，则φ ＜(φ ＋φ )，由于正点电荷电场中电势
A D D A D A A′
大于零，因此φ ＜(φ ＋φ )，故D正确。
D A A′
题型二：场源是等量异种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例2a提高题】（多选）如图所示，在xOy坐标系中，x轴上关于y轴对称的A、C两
点固定等量异种点电荷＋Q、－Q，B、D两点分别位于第二、四象限，ABCD为平行四边
形，边BC、AD分别与y轴交于E、F，以下说法正确的是( )
A．E、F两点电势相等
B．B、D两点电场强度相同
C．试探电荷＋q从B点移到D点，电势能增加
D．试探电荷＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同
【典例2a提高题】【答案】ABD
【解析】等量异种点电荷＋Q、－Q连线的垂直平分线是一条等势线，所以y轴是一条等势
线，E、F的电势相等，故A正确；根据电场线的分布情况和对称性可知，B、D两点电场
强度相同，故B正确；根据顺着电场线电势降低可知，B点的电势高于D点的电势，而正
电荷在电势高处电势能大，所以试探电荷＋q从B点移到D点，电势能减小，故C错误；
由上述分析可知，B、E间的电势差等于F、D间的电势差，根据电场力做功公式W＝qU
得知＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同，故D正确．
【典例2a提高题对应练习】(多选)如图所示，正六边形的两个顶点F、D上固定等量异号
电荷，则下列说法正确的是( )
3
学科网（北京）股份有限公司A．C点电场强度大于B点电场强度
B．若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，其加速度先变大后变小
C．将一个正电荷从A点移到C点电场力做功等于将其从A点移到E点电场力做功的2倍
D．将一个正电荷从B点移到O点电场力做功小于将其从B点移到E点电场力做的功
【典例2a提高题对应练习】【答案】AC
【解析】等量异种电荷电场线如图所示 ，由图可知越靠近电荷的地方电场线越密，电
场强度越大，由图可知，C点离电荷的距离小于B点到电荷的距离，故C点电场强度大于
B点电场强度，故A正确；若带正电的粒子仅在电场力作用下沿直线从F运动到D，由图
可知，电场线先变疏后变密，电场强度先减小后增大，故加速度先变小后变大，故 B错误；
连接BE、AC，因为BE为AC的中垂线，A、C点关于BE对称，则有U ＝2U ，根据W
AC AE
＝qU可知，W ＝2W ，故C正确；因为B、O、E三点均在同一等势面上，根据W＝qU
AC AE
可知W ＝W ，故D错误。
BO BE
类型二：三维空间模型
【典例2b提高题】如图所示，有一正方体空间ABCDEFGH，则下面说法正确的是( )
A．若只在A点放置一正点电荷，则电势差U ＜U
BC HG
B．若只在A点放置一正点电荷，则B、H两点的电场强度大小相等
C．若只在A、E两点处放置等量异种点电荷，则C、G两点的电势相等
4
学科网（北京）股份有限公司D．若只在A、E两点处放置等量异种点电荷，则D、F两点的电场强度大小相等
【典例2b提高题】【答案】D
【解析】若只在A点放置一正点电荷，由图中的几何关系可知，BC之间的电场强度要大
于HG之间的电场强度，结合它们与A之间的夹角关系可得电势差U ＞U ，故A错误；
BC HG
若只在A点放置一正点电荷，由于B与H到A的距离不相等，则B、H两点的电场强度大
小不相等，故B错误；若只在A、E两点处放置等量异种点电荷，则AE连线的垂直平分平
面是等势面，等势面两侧的点，一定具有不同的电势，则C、G两点的电势一定不相等，
故C错误；若只在A、E两点处放置等量异种点电荷，等量异种点电荷的电场具有对称性，
即上下对称，左右对称，D与H上下对称，所以电场强度大小相等；H与F相对于E点一
定位于同一个等势面上，所以H与F两点的电势相等，则D、F两点的电场强度大小相等，
故D正确．
【典例2b提高题】(多选)如图所示，等量异种点电荷固定放置，O是两电荷连线的中点，
以O为圆心，在垂直于两电荷连线的平面内作圆，A、B是圆上两点，且AB连线不过圆心
O，则下列说法正确的是( )
A．A、B两点的电场强度不同
B．A点的电势比B点的电势高
C．将一个电荷沿圆弧从A点移到B点，电场力不做功
D．将一个电荷沿直线从A点移到B点，电荷受到的电场力先增大后减小
【典例2b提高题】【答案】CD
【解析】根据等量异种点电荷的场强分布可知，A、B两点的电场强度大小和方向均相同，
选项A错误；因A、B所在的圆面电势均为零，则A点的电势等于B点的电势，若将一个
电荷沿圆弧从A点移到B点，电势能的变化为零，则电场力不做功，选项B错误，C正确；
因在此圆面上离O点越近的位置场强越大，则将一个电荷沿直线从 A点移到B点，电荷与
O点的距离先减小后增加，则受到的电场力先增大后减小，选项D正确．
【典例2b提高题对应练习】（多选）如图，电荷量分别为q和－q(q>0)的点电荷固定在正
方体的两个顶点上，a、b是正方体的另外两个顶点。则( )
A．a点和b点的电势相等 B．a点和b点的电场强度大小相等
C．a点和b点的电场强度方向相同 D．将负电荷从a点移到b点，电势能增加
【典例2b提高题对应练习】【答案】BC
5
学科网（北京）股份有限公司【解析】b点距q近，a点距－q近，则b点的电势高于a点的电势，A错误；如图所示，
a、b两点的电场强度可视为E 与E 、E 与E 的合场强。其中E ∥E ，E ∥E ，且知E ＝
3 4 1 2 1 3 2 4 1
E ，E ＝E ，故合场强E 与E 大小相等、方向相同，B、C正确；由于φ ＜φ ，负电荷从
3 2 4 a b a b
低电势移至高电势过程中，电场力做正功，电势能减少，D错误。
题型三：场源是等量同种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例3a提高题】如图所示，在x轴上关于O点对称的A、B两点分别放有等量正电荷，
M、N是x轴上的两点，且OM＝MN，P点在第一象限且PM垂直于x轴，则( )
A.P点电势比M点电势高
B.O、M两点间电势差大于M、N两点间电势差
C.M点场强比N点场强大
D.在M点静止释放一带正电粒子，该粒子将在x轴上做往返运动
【典例3a提高题】【答案】D
【解析】由等量同种正电荷等势线分布可知，M点电势比P点电势高，A错误；O、M间
电场线比M、N间电场线分布稀疏，O、M两点间电势差小于M、N两点间电势差，N点
场强大于M点场强，B、C错误；根据对称性，在M点静止释放的带正电粒子会以O点为
中点做往返运动，D正确。
【典例3a提高题对应练习】（多选）两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q两点，
MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点．一带负电的试探电荷q，从
A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则( )．
6
学科网（北京）股份有限公司A．q由A向O的运动是匀加速直线运动
B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小
C．q运动到O点时的动能最大
D．q运动到O点时的电势能为零
【典例3a提高题对应练习】【答案】BC
【解析】根据等量同种电荷形成的电场的特点、力与运动的关系、功能关系解决问题．等
量同种电荷的电场线如图所示，负试探电荷q在A点由静止释放，在电场力的作用下从A
向O做变加速直线运动，且电场力做正功，电势能减小，A错误，B正确；负试探电荷q
通过O点后在电场力的作用下向下做变减速运动，因此q运动到O点时的速度最大，动能
最大，选项C正确；因无限远处的电势为零，则O点的电势φ≠0，所以q在O点的电势能
不为零，选项D错误．
类型二：三维空间模型
【典例3b提高题】如图所示，真空中电荷量均为Q的两正点电荷，固定于一绝缘正方体框
架的两侧面ABB A 和DCC D 中心连线上，且两电荷关于正方体中心对称，则( )
1 1 1 1
A．A、B、C、D四个点的电势相同
B．A 、B 、C 、D 四个点的电场强度相同
1 1 1 1
C．负检验电荷q在A点的电势能小于在C 点的电势能
1
D．正检验电荷q从C点移到C 点过程电场力对其做正功
1
【典例3b提高题】【答案】A
【解析】A和B、C和D都位于同一个等势面上，所以A和B电势相等，CD电势相等，又
由于A、B、C、D四个点关于两正点电荷连线的中垂面对称，所以四个点电势相同，故 A
正确；由于A 、B 、C 、D 四个点关于两点电荷连线的中垂面对称，场强大小相等，但方
1 1 1 1
向不同，所以场强不同，故B错误；由A项同理可知A点的电势与C 点电势相同，所以负
1
7
学科网（北京）股份有限公司检验电荷q在A点的电势能等于在C 点的电势能，故C错误；由于C点和C 点位于同一
1 1
等势面上，所以正检验电荷q从C点移到C 点过程电场力对其不做功，故D错误．
1
【典例3b提高题对应练习】如图所示，处于真空中的正方体存在着电荷量为＋q或－q的
点电荷，点电荷位置图中已标明，则a、b两点电场强度和电势均相同的图是( )
【典例3b提高题对应练习】【答案】D
【解析】根据点电荷的电场强度公式E＝k，可得点电荷在正方体的顶点的电场强度大小，
可计算得a、b两点电场强度大小相等，根据正电荷的受力判断 a、b两点场强的方向相反，
故A错误．根据点电荷的电场强度公式E＝k，可求得各个点电荷在a、b两点的电场强度
大小，再根据矢量的合成，可得a、b两点的电场强度大小不等，故B不正确．根据点电荷
的电场强度公式E＝k，得a、b两点的电场强度大小相等，再根据矢量合成，求出合场强
大小相等，再根据正电荷的受力判断场强的方向不同，故C错误．根据点电荷的电场强度
公式E＝k，可得各个点电荷在a、b两点的电场场强大小相等，再根据矢量合成，求出合
场强大小相等，再根据正电荷的受力判断场强的方向相同．再根据U＝Φ －Φ ，U＝Ed得，
2 1
Φ－Φ＝Ed可判断a、b两点电势相等，故D正确．
2 1
题型四：场源是不等量点电荷模型
【典例4提高题】在真空中A、B两点分别放有异种点电荷－Q和＋2Q，以A、B连线中
点O为圆心作一圆形路径acbd，如图所示，下列说法正确的是( )
A．场强大小关系有E ＝E 、E＝E
a b c d
B．电势高低关系有φ>φ、φ>φ
a b c d
C．将一负点电荷沿圆弧由a运动到b的过程中电场力做正功
D．将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能始终不变
【典例4提高题】C
【解析】对比等量异种点电荷的电场分布可知，题图中场强大小关系有E >E ，E＝E ，选
b a c d
项A错误；因沿着电场线方向电势逐渐降低，可知φ<φ，再由对称性可知φ＝φ，选项B
a b c d
8
学科网（北京）股份有限公司错误；由于a点电势低于b点电势，将负点电荷由a沿圆弧运动到b，电场力做正功，选项
C正确；因沿直线由c到d过程中电势先升高再降低，所以将一正点电荷沿直线由c运动到
d的过程中电势能先增大再减小，选项D错误。
【典例4提高题】图中a、b两点有两个点电荷，它们的电荷量分别为 Q 、Q ，MN是ab
1 2
连线的中垂线，P是中垂线上的点．下列哪种情况能使P点场强方向指向MN的右侧( )
A．Q、Q 都是正电荷，且Q<Q
1 2 1 2
B．Q 是正电荷，Q 是负电荷，且Q>|Q|
1 2 1 2
C．Q 是负电荷，Q 是正电荷，且<Q
1 2 2
D．Q、Q 都是负电荷，且电荷量相等
1 2
【典例4提高题】【答案】B
【解析】当两点电荷均为正电荷时，若电荷量相等，则它们在P点的电场强度方向沿MN
竖直向上，当Q<Q 时，则b处点电荷在P点的电场强度比a处点电荷在P点的电场强度
1 2
强，所以电场强度合成后，方向偏左，故A错误；当Q 是正电荷，Q 是负电荷时，b处点
1 2
电荷在P点的电场强度方向沿Pb连线方向，而a处点电荷在P点的电场强度方向沿aP连
线方向，则它们在P点的合电场强度方向偏右，不论它们的电荷量大小关系如何，合电场
强度方向仍偏右，故B正确；当Q 是负电荷，Q 是正电荷时，b处点电荷在P点的电场强
1 2
度方向沿bP连线方向，而a处点电荷在P点的电场强度方向沿Pa连线方向，则它们在P
点的合电场强度方向偏左，不论它们的电荷量大小关系如何，合电场强度方向仍偏左，故
C错误；当Q 、Q 是负电荷且电荷量相等时，则它们在P点的合场强方向竖直向下，故D
1 2
错误．
题型五：场源是多个点电荷模型
【典例5提高题】如图所示，在等边三角形的三个顶点A、B、C上固定三个带电荷量相等
的点电荷，其中A、B处的点电荷均带正电，C处的点电荷带负电，D、E、F分别为AB、
BC、CA边的中点，O为三角形中心，则下列说法正确的是( )
A．三角形中心O点的电场强度为零
B．E、F两点电场强度相同
9
学科网（北京）股份有限公司C．D点的电势高于O点的电势
D．把一正点电荷从O点移到E点，该电荷的电势能增大
【典例5提高题】【答案】C
【解析】根据点电荷的场强特点可得A、B、C三个点电荷在O点的场强如图所示：可知O
点的合场强不为零，故A错误；A处点电荷在E点产生的场强沿AE的连线指向右上方，B
处点电荷在E点产生的场强沿BE的连线指向左上方，C处点电荷在E点产生的场强沿EC
的连线指向左上方，则E点的合场强指向左上方，同理F点合场强指向右上方，故B错误；
电场线方向从D指向C，根据沿着电场线电势逐渐降低可知，D点的电势高于O点的电势，
故C正确；在直线AOE上B、C处点电荷产生的合场强方向与直线AOE垂直，而A处点
电荷产生的场强方向沿AE方向由A指向E，故把一正点电荷从O点移到E点，仅有A处
点电荷对它的电场力做正功，该电荷的电势能减小，故D错误．
【典例5提高题对应练习】（多选）在正方形的四个顶点上分别固定有带电荷量绝对值均
为Q的点电荷，其带电性如图所示．正方形的对角线交点为 O，在两条对角线上分别取点
A、B、C、D且OA＝OB＝OC＝OD.不计电子重力．则( )
A．C、D两点的电场强度相同，A、B两点的电场强度不同
B．C、D两点电势相等，A、B两点电势不相等
C．电子从C点沿直线运动到D点，电势能先增加后减少
D．电子从O点沿直线运动到B点，电势能先增加后减少
【典例5提高题对应练习】【答案】BC
【解析】根据点电荷形成的电场的场强的计算公式和矢量的叠加原理可知，C、D两点的
电场强度大小相等，方向不同，A、B两点的电场强度大小不等，方向相同，故A选项错
误；根据等量同种电荷和等量异种电荷形成的电场中电势高低的特点可知，C、D两点的
电势相等，A点的电势高于B点电势，故B选项正确；电子从C点适动到O点的过程中，
电子所受电场力的方向与电子的速度方向的夹角为钝角，则电子所受电场力对电子做负功
故电子的电势能增加，而电子从O点运动到D点的过程中，电子所受电场力的方向与电子
的速度方向的夹角为锐角，则电子所受电场力对电子做正功，则电子的电势能减少，则电
子从C点运动到D点的过程中，电势能先增加后减少，故C选项正确；电子从O点运动到
10
学科网（北京）股份有限公司B点的过程中，电子所受电场力的方向与电子的速度方向相反，即电场力一直做负功，则
电势能一直增加，故D选项错误．
考点二：场源是其他电荷模型
题型一：场源是匀强电场模型
【典例1提高题】(多选)如图，正方形abcd处于匀强电场中，电场方向与此平面平行。一
质子由a点运动到b点，电场力做功为W，该质子由a点运动到d点，克服电场力做功为
W。已知W＞0，则( )
A.电场强度的方向沿着ab方向
B.线ac是一条等势线
C.c点的电势高于b点的电势
D.电子在d点的电势能大于在b点的电势能
【典例1提高题】【答案】BC
【解析】根据公式W＝qU可知U ＝－U ，又根据几何关系知，b、d两点关于ac连线轴
da ba
对称，所以ac是此匀强电场中的一条等势线，B正确；由于质子由a点运动到b点，电场
力做正功，所以φ＝φ>φ，所以电场强度的方向为垂直于ac线，指向b点，A错误，C正
c a b
确；负电荷在电势低的地方电势能大，即电子在 d点的电势能小于在b点的电势能，D错
误。
题型二：场源是其他带电体模型
【典例2提高题】如图，四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长
边a、b、c、d上。移去a处的绝缘棒，假定另外三根绝缘棒电荷分布不变。关于长方体几
何中心O点处电场强度方向和电势的变化，下列说法正确的是（ ）
A．电场强度方向垂直指向a，电势减小 B．电场强度方向垂直指向c，电势减小
C．电场强度方向垂直指向a，电势增大 D．电场强度方向垂直指向c，电势增大
【典例2提高题】【答案】A
【解析】四根完全相同的均匀带正电绝缘长棒对称放置在长方体的四条长边上，根据对称
11
学科网（北京）股份有限公司性可知O点场强为零，且b棒和d棒由于对称性，在O点产生的合场强为0，故a棒与c
棒在O点产生的合场强也为0。因此移去a棒后，O点的场强可以认为是由c棒单独产生。
c棒带正电，且由对称性可知，其在O点的场强应垂直指向a。电势是标量，若以无穷远处
为电势零点，四根带正电的绝缘棒周围的电势均大于 0，O点的电势等于所有棒在O点激
发的电势的代数和，故移去a棒后O点的电势减小，故A正确，BCD错误。
【典例2提高题对应练习】(多选)离子陷阱是一种利用电场或磁场将离子俘获并囚禁在一
定范围内的装置．如图所示为最常见的“四极离子陷阱”的俯视示意图，四根平行细杆与
直流电压和叠加的射频电压相连，相当于四个电极，相对的电极带等量同种电荷，相邻的
电极带等量异种电荷．在垂直于四根杆的平面内四根杆的连线是一个正方形abcd，A、C
是a、c连线上的两点，B、D是b、d连线上的两点，A、C、B、D到正方形中心O的距离
相等．下列判断正确的是( )
A．D点的电场强度为零
B．A、B、C、D四点电场强度相等
C．A点电势比B点电势高
D．O点的电场强度为零
【典例2提高题对应练习】【答案】CD
【解析】根据电场的叠加原理，a、c两个电极带等量正电荷，其中点O的合场强为零，
b、d两个电极带等量负电荷，其中点O的合场强为零，则O点的合场强为零，D正确；同
理，D点的场强水平向右，A错误；A、B、C、D四点的场强大小相等，方向不同，B错
误；由电场特点知，A点电场方向由A指向O，B点电场方向由O指向B，故φ >φ ，
A O
φ >φ ，则φ >φ ，C正确．
O B A B
12
学科网（北京）股份有限公司
