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知识点 73：电场中带电体的动量和能量问题
【知识思维方法技巧】
带电体在约束轨道上碰撞问题的处理技巧：
（1）解决带电体在约束轨道上的碰撞运动，要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电
体在电场中运动的模型，能够灵活应用动力学观点、能量观点和动量观点等多角度进行分
析与研究：
（2）动量观点和能量观点在力学和电场中应用时的“三同一异”
（3）分析方法：先分析受力情况，再分析运动状态和运动过程(平衡、加速或减速，轨迹
是直线还是曲线)，然后选用恰当的规律如牛顿运动定律、运动学公式、动能定理、能量守
恒定律解题．
考点一：带电体间的碰撞运动问题
题型一：点电荷电场中带电体间碰撞直线运动模型
【典例1拔尖题】如图所示，LMN是竖直平面内固定的光滑绝缘轨道，MN水平且足够长，
LM下端与MN相切。质量为m的带正电小球B静止在水平面上，质量为2m的带正电小
球A从LM上距水平面高为h处由静止释放，在A球进入水平轨道之前，由于A、B两球
相距较远，相互作用力可认为零，A球进入水平轨道后，A、B两球间相互作用视为静电作
用，带电小球均可视为质点。已知A、B两球始终没有接触。重力加速度为g。求：
(1)A球刚进入水平轨道的速度大小；
(2)A、B两球相距最近时，A、B两球系统的电势能E ；
p
(3)A、B两球最终的速度v、v的大小。
A B
【典例1拔尖题对应练习】如图所示，一竖直固定且光滑绝缘的直圆筒底部放置一可视为
点电荷的场源电荷A，其电荷量Q＝＋4×10－3 C，场源电荷A形成的电场中各点的电势表
达式为φ＝，其中k为静电力常量，r为空间某点到场源电荷A的距离。现有一个质量为m
＝0.1 kg的带正电的小球B，它与A球间的距离为a＝0.4 m，此时小球B处于平衡状态，
且小球B在场源电荷A形成的电场中具有的电势能的表达式为E ＝k，其中r为A与B之
p
间的距离。另一质量为m的不带电绝缘小球C从距离B的上方H＝0.8 m处自由下落，落
1
学科网（北京）股份有限公司在小球B上立刻与小球B粘在一起以2 m/s的速度向下运动，它们到达最低点后又向上运
动，向上运动到达的最高点为P(g取10 m/s2，k＝9×109 N·m2/C2)。求：
（1）小球C与小球B碰撞前的速度v的大小？小球B的电荷量q为多少？
0
（2）小球C与小球B一起向下运动的过程中，最大速度为多少？
题型二：匀强电场中带电体间的碰撞直线运动问题
【典例2拔尖题】如图所示，在一光滑绝缘水平面上，静止放着两个可视为质点的小球，
两小球质量均为m，相距l，其中A球带正电，所带电荷量为q，小球B不带电。若开始向
右侧区域加一水平向右的匀强电场，场强为E，A球受到电场力的作用向右运动与B球碰
撞。设每次碰撞为弹性碰撞，碰撞前后两球交换速度，且碰撞过程无电荷转移。求：
（1）小球A在电场中的加速度大小和第一次与B碰撞前的速度；
（2）若两小球恰在第二次碰撞时离开电场，求电场在电场线方向上的宽度；
（3）若两小球恰在第三次碰撞时离开电场，求电场在电场线方向上的宽度及小球A从进
入电场到离开电场的过程中电势能的变化量。
【典例2拔尖题对应练习】密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获
得了1923年的诺贝尔奖。图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的
足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部
分油滴带上了电荷。有两个质量均为m、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间
0
t内都匀速下落了距离h，此时给两极板加上电压U(上极板接正极)，A继续以原速度下落，
1
B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h(h≠h)，随后与A
2 2 1
合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻
力大小为f＝kmv，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率，不计空气浮力，
重力加速度为g。求：
(1)比例系数k；
2
学科网（北京）股份有限公司(2)油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h 电势能的变化量；
2
(3)新油滴匀速运动速度的大小和方向。
题型三：带电体间的碰撞直线+曲线运动问题
【典例3拔尖题】如图所示，空间有一水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E＝
1.0×104 V/m。该空间有一个半径为R＝2 m的竖直光滑绝缘圆环的一部分，圆环与光滑水
平面相切于C点，A点所在的半径与竖直直径BC成37°角。质量为m＝0.04 kg、电荷量为
q＝ ＋6×10－5 C的带电小球2(可视为质点)静止于C点。轻弹簧一端固定在竖直挡板上，
另一端自由伸长时位于P点。质量也为m＝0.04 kg的不带电小球1挨着轻弹簧右端，现用
力缓慢压缩轻弹簧右端到P点左侧某点后释放。小球1沿光滑水平面运动到C点与小球2
发生碰撞，碰撞时间极短，碰后两小球黏合在一起且恰能沿圆弧到达A点。P、C两点间距
离较远，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
（1）黏合体在A点的速度大小；
（2）弹簧的弹性势能；
（3）小球黏合体由A点到达水平面运动的时间。
考点二：带电连接体间的碰撞运动问题
题型一：轻弹簧连接体碰撞模型
【典例1拔尖题】如图所示，水平绝缘轨道左侧存在水平向右的有界匀强电场，电场区域
宽度为L，右侧固定一轻质弹簧，电场内的轨道粗糙，与物体间的动摩擦因数为μ＝0.5，
电场外的轨道光滑，质量为m、带电荷量为＋q的物体A从电场左边界由静止释放后做加
速运动，离开电场后与质量为2m的物体B碰撞并粘在一起运动，碰撞时间极短，开始B
靠在处于原长的轻弹簧左端但不拴接，(A、B均可视为质点)，已知匀强电场强度大小为.求：
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)整个过程A在电场中运动的总路程．
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学科网（北京）股份有限公司题型二：板块连接体碰撞模型
【典例2拔尖题】如图，一带电的平行板电容器固定在绝缘底座上，底座置于光滑水平面
上，一光滑绝缘轻杆左端固定在电容器的左极板上，并穿过右极板上的小孔，电容器极板
连同底座总质量为2m，底座锁定在水平面上时，套在杆上质量为m的带电环以某一初速
度由小孔进入电容器后，最远能达到距离右极板为 d的位置。底座解除锁定后，将两极板
间距离变为原来的2倍，其他条件不变，则带电环进入电容器后，最远能达到的位置距离
右极板( )
A．d B．d C．d D．d
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