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知识点 64：已知场源模型分析计算电场力与能的性质
【知识思维方法技巧】
（1）电场力做功的四种计算方法：
（2）电势的计算：
①任何电场φ＝（将q、E 的大小、正负号一起代入公式进行计算）
p
②点电荷产生的电势φ＝k（将Q正负号代入公式计算）
③标量求和法比较电势的高低
（3）电势能的计算：
①任何电场中的电势能E ＝qφ，将q、φ的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
p
②点电荷电场中的电势能E ＝k，将q、Q的大小、正负号一起代入公式进行计算判断。
p
考点一：场源是点电荷模型
题型一：场源是一个点电荷模型
类型一：平面模型
【典例1a拔尖题】(多选)如图所示，在真空中某点电荷的电场中，将两个电荷量相等的试
探电荷分别置于M、N两点时，两试探电荷所受电场力相互垂直，且 F ＝3F (不计试探电
2 1
荷间的相互作用力)，下列说法中正确的是( )
A．这两个试探电荷的电性一定相反
B．M、N两点可能在同一等势面上
C．若将电子沿MN连线从M点移到N点，电子电势能一定先增大后减小
D．若点M处电场强度大小为E，则M、N连线上的最大电场强度大小为4E
【典例1a拔尖题】【答案】AD
【解析】将F 和F 的作用线延长相交，交点即为点电荷的位置，可知，点电荷对M处试
2 1
探电荷有排斥力，对N处试探电荷有吸引力，所以这两个试探电荷的电性一定相反，故 A
1
学科网（北京）股份有限公司正确．由于F ＝3F ，可知M、N到点电荷的距离不等，不在同一等势面上，故B错误．
2 1
若点电荷带正电，则把电子从M点移到N点，电场力先做正功后做负功，电子电势能先减
小后增大，故C错误．由于F ＝3F ，若点M处电场强度大小为E，则点N处场强为3E；
2 1
根据E＝，则＝·，O点到MN的最短距离为＝ sin60°＝，则E ＝＝＝＝4E，故D正确．
P
类型二：三维空间模型
【典例1b拔尖题】如图所示，空间有一正三棱锥P－ABC，D点是BC边上的中点，O点
是底面ABC的中心，现在顶点P点固定一负的点电荷，则下列说法正确的是( )
A．A、B、C三点的电场强度相同
B．底面ABC为等势面，所以沿该面移动电荷静电力不做功
C．将一正的点电荷从A点沿直线移到D点过程中，该试探电荷电势能先减少后增加
D．若B、C、D三点的电势为φ 、φ 、φ ，则有φ －φ ＝φ －φ
B C D B D D C
【典例1b拔尖题】【答案】C
【解析】A、B、C三点到P点距离相同，故三点电场强度大小相等，但方向不同，故 A、
B、C三点的电场强度不相同，故A错误；O到P点距离比A、B、C三点到P点距离短，
故电势比A、B、C三点电势低，又O点为底面ABC上的一点，故底面ABC不是等势面，
故B错误；O到P点距离比A、D两点到P点距离短，故电势比A、D两点电势低，则电
势能先减小后增大，故C正确；B、C两点到P点距离相等，两点电势相等，则φ －φ ＝
B D
φ －φ ，故D错误．
C D
【典例1b拔尖题对应练习】如图所示，空间有一圆锥OBD，点A、E分别是两母线的中点．
现在顶点O处固定一正的点电荷，下列说法中正确的是( )
A．B、D两点的电场强度相同
B．平行于底面的圆心为O 的截面为等势面
1
C．将一负的试探电荷从A点沿直径移到E点，试探电荷的电势能先增大后减小
D．若O 点的电势为φ，O 点的电势为φ，则O、O 中点的电势小于
1 1 2 2 1 2
【典例1b拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】点B、D到O点的距离相等，根据点电荷的场强公式E＝k 分析可知，B、D两点
2
学科网（北京）股份有限公司的电场强度大小相等，但方向不同，故A错误；点电荷的等势面是以点电荷为球心的一簇
球面，平行于底面的圆心为O 的截面上各个点到O点的距离不等，故不是等势面，故B错
1
误；将一负的试探电荷从A点沿直径移到E点，电势先升高后降低，电势能先减小后增大，
C错误；设O 、O 的中点为P，由于OP间场强大于PO 间场强，由U＝Ed知，OP间的
1 2 1 2 1
电势差大于PO 间的电势差，则有：φ－φ >φ －φ，则φ <，故D正确．
2 1 P P 2 P
题型二：场源是等量异种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例2a拔尖题】如图所示为等边三角形ABC，在A、B两点放等量异种点电荷，已知
A、B连线中点处的电场强度和电势分别为E、φ，则C点的场强和电势分别为( )
A.E、φ B.E、φ
C.E、φ D.E、φ
【典例2a拔尖题】【答案】A
【解析】设等边三角形的边长为L，A、B两点的电荷量大小为Q，A、B连线中点处的电
场强度为E＝2＝，C点的电场强度为E ＝cos 60°＝E，等量异种点电荷连线的中垂线是一
C
条等势线，则有φ ＝φ，故A正确，B、C、D错误。
C
【典例2a拔尖题对应练习】(多选)如图所示，带电荷量为＋q和－q的点电荷分别位于绝缘
薄圆盘中心轴线上，两电荷到圆心 O的距离相等。A点位于圆盘边缘，B点为某半径的中
点，关于A、B、O三点电场强度E的大小和电势φ的高低关系判断正确的是( )
A.E ＜E ＜E B.E ＝E ＝E
A B O A B O
C.φ ＞φ ＞φ D.φ ＝φ ＝φ
A B O A B O
【典例2a拔尖题对应练习】【答案】AD
【解析】根据等量异种点电荷中垂面上电场线分布的特点可知，圆心O处场强最大，离圆
心越远，电场线越稀疏，场强越小，即E ＜E ＜E ，故A正确，B错误；圆盘处在等量异
A B O
3
学科网（北京）股份有限公司种电荷的中垂面上，所以此圆盘是一个等势体，薄圆盘表面是一个等势面，即 φ ＝φ ＝
A B
φ ，故C错误，D正确。
O
题型三：场源是等量同种点电荷模型
类型一：平面模型
【典例3a拔尖题】如图，两个带等量正电的点电荷，分别固定在绝缘水平桌面上的 A、B
两点，一绝缘圆形细管水平固定在桌面A、B两点间，且圆形细管圆心O位于A、B连线
的中点。细管与A、B连线及中垂线交点分别为C、E、D、F。一个带负电的小球在细管
中按顺时针方向做完整的圆周运动。不计一切摩擦，下列说法正确的是( )
A．小球从C运动到D的过程中，速度先减小后增大
B．在两个带正电的点电荷产生的电场中，C点的电势比F点的电势低
C．小球在C、E两点的速度大小相等，有相同的电势能
D．小球在D、F两点所受的电场力相同
【典例3a拔尖题】【答案】C
【解析】由两正点电荷电场线的分布特点知，φ ＝φ >φ ＝φ ，B错误；因φ ＝φ ，故小球
C E D F C E
在C、E两点的电势能相等，动能相等，速度大小相等，C正确；小球从C点运动到D点
的过程中，电势能增加，动能减小，A错误；小球在D、F两点所受的电场力方向相反，D
错误。
【典例3a拔尖题对应练习】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等．
一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态．
过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，
如图所示．以下说法正确的是( )
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
4
学科网（北京）股份有限公司D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【典例3a拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】作出两个固定点电荷分别在O点附近的电场线，由题意知，O点的场强E ＝0，
O
则两点电荷分别在O点处产生电场的电场线疏密相同，进而推知O点左侧的电场方向向右，
O点右侧的电场方向向左．可以判定：a点电势高于O点，b点电势低于c点，故A错误，
B正确；由E ＝φq可知，a点的电势高于b点，试探电荷(带负电)在a点的电势能比b点小，
p
故C错误；c点电势高于d点，试探电荷(带负电)在c点的电势能小于d点，故D正确．
类型二：三维空间模型
【典例3b拔尖题】如图所示，a、b、c、d、e、f是以O为球心的球面上的点，平面aecf与
平面bedf垂直，分别在b、d两点处放有等量同种点电荷＋Q，取无穷远处电势为零，则下
列说法正确的是( )
A．a、e、c、f四点电场强度相同
B．a、e、c、f四点电势不同
C．电子沿球面曲线a→e→c运动过程中，静电力先做正功后做负功
D．电子沿直线由a→O→c运动过程中，电势能先减少后增加
【典例3b拔尖题】【答案】D
【解析】等量同种点电荷中垂面上，关于O点对称的点的电场强度大小相等，方向相反，
故A错误；a、e、c、f四点在同一等势线上，电势相同，故 B错误；电子沿球面曲线
a→e→c运动过程中，电势处处相同，静电力不做功，故C错误；电子沿直线a→O→c运
动过程中，电势先升高后降低，电势能先减少后增加，故D正确．
题型四：场源是不等量点电荷模型
【典例4拔尖题】如图，真空中电荷量为2q和－q(q>0)的两个点电荷分别位于M点与N点，
形成一个以MN延长线上O点为球心，电势为零的等势面(取无穷远处电势为零)，P为MN
连线上的一点，S为等势面与直线MN的交点，T为等势面上的一点，下列说法正确的是(
)
5
学科网（北京）股份有限公司A．P点电势低于S点电势
B．T点电场强度方向指向O点
C．除无穷远处外，MN直线上还存在两个电场强度为零的点
D．将正试探电荷q 从T点移到P点，静电力做正功
0
【典例4拔尖题】【答案】B
【解析】在直线MN上，左边正电荷在M点右侧电场强度水平向右，右边负电荷在直线
MN上电场强度水平向右，根据电场的叠加可知MN间的电场强度水平向右，沿着电场线
电势逐渐降低，可知P点电势高于等势面与MN交点处电势，则P点电势高于S点电势，
故A错误；由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知在 N点之间的左侧电场强度不可
能为零，设M、N之间的距离为L，在N点右侧与N点距离为d的点电场强度为零，则有
＝，可知除无穷远处外，直线MN上电场强度为零的点只有一个，故C错误；由A选项分
析可知：T点电势低于P点电势，则正电荷在T点的电势能低于在P点的电势能，将正试
探电荷q 从T点移到P点，电势能增加，静电力做负功，故D错误；由于电场强度方向垂
0
直等势面，可知T点的电场强度方向必过等势面的球心O，根据异种电荷的电场线分线情
况可知，N、S间电场线方向由S指向N，则φ >φ ，由于φ ＝φ ，则φ >φ ，故T点电场
S O T S T O
强度方向指向O点，故B正确．
【典例4拔尖题对应练习】(多选)真空中有两个固定的带正电的点电荷，电荷量不相等。
一个带负电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态。
过O点作两正电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，
如图所示。以下说法正确的是( )
A．a点电势低于O点
B．b点电势低于c点
C．该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D．该试探电荷在c点的电势能小于在d点的电势能
【典例4拔尖题对应练习】【答案】BD
【解析】由题意可知O点场强为零，所以a、O两点间场强方向是由a指向O的，所以
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学科网（北京）股份有限公司φ>φ ，A 项错误；同理，φ>φ ，O 点与 b 点间的电场强度有竖直向上的分量，所以
a O c O
φ >φ ，则φ>φ ，B项正确；同理，φ>φ ，φ>φ ，又带负电的试探电荷在电势高处电势能
O b c b a b c d
小，所以C项错误，D项正确。
题型五：场源是多个点电荷模型
【典例5拔尖题】（多选）如图，两对等量异号点电荷＋q、－q(q>0)固定于正方形的4个
顶点上．L、N是该正方形两条对角线与其内切圆的交点，O为内切圆的圆心，M为切点．
则( )
A．L和N两点处的电场方向相互垂直
B．M点的电场方向平行于该点处的切线，方向向左
C．将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做正功
D．将一带正电的点电荷从L点移动到N点，电场力做功为零
【典例5拔尖题】【答案】AB
【解析】两个正点电荷在N点产生的电场强度方向由N指向O，N点处于两负点电荷连线
的中垂线上，则两负点电荷在N点产生的电场强度方向由N指向O，则N点的合电场强度
方向由N指向O，同理可知，两个负点电荷在L处产生的电场强度方向由O指向L，L点
处于两正点电荷连线的中垂线上，两正点电荷在L处产生的电场强度方向由O指向L，则
L处的合电场强度方向由O指向L，由于正方形两对角线垂直平分，则 L和N两点处的电
场方向相互垂直，故A正确；正方形底边的一对等量异号点电荷在M点产生的电场强度方
向向左，而正方形上方的一对等量异号点电荷在 M点产生的电场强度方向向右，由于M
点离上方一对等量异号点电荷距离较远，则M点的电场方向向左，故B正确；
由题图可知，M和O点位于两等量异号点电荷的等势线上，即M和O点电势相等，所以
将一带正电的点电荷从M点移动到O点，电场力做功为零，故C错误；由题图结合等量异
号点电荷模型可知，L点的电势低于N点电势，则将一带正电的点电荷从L点移动到N点，
电场力做功不为零，故D错误．
【典例5拔尖题对应练习】（多选）如图所示，空间中固定的四个点电荷分别位于正四面
体的四个顶点处，A点为对应棱的中点，B点为右侧面的中心，C点为底面的中心，D点为
正四面体的中心(到四个顶点的距离均相等)．则下列判断正确的是( )
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学科网（北京）股份有限公司A．将电子从A点移动到B点，电势能增加 B．B点电势高于C点电势
C．A点电势等于D点电势 D．A点电势等于C点电势
【典例5拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】两个等量异种点电荷，其电场线和等势面关于其连线中垂面对称，由题目描述知
A、D既在b、d的等势面上，又在a、c的等势面上，故两点电势相等且都为零，故C正确；
A、B、C、D在b、d电荷产生电场的同一等势面上，由图可知，a、c两电荷的电场线方向
由B指向C一侧，依据沿电场线方向电势降低，由几何关系可知 φ ＞φ ，φ ＞φ ，φ ＞
B C B A D
φ ，故B正确，D错误．由上分析可知φ ＞φ ，将电子从A点移动到B点，电场力做正功，
C B A
电势能减少，故A错误．
考点二：场源是其他电荷模型
题型一：场源是匀强电场模型
【典例1拔尖题】（多选）如图，圆心为O的圆处于匀强电场中，电场方向与圆平面平行，
ab和cd为该圆直径．将电荷量为q(q＞0)的粒子从a点移动到b点，电场力做功为2W(W＞
0)；若将该粒子从c点移动到d点，电场力做功为W.下列说法正确的是( )
A．该匀强电场的场强方向与ab平行
B．将该粒子从d点移动到b点，电场力做功为0.5W
C．a点电势低于c点电势
D．若只受电场力，从d点射入圆形电场区域的所有带电粒子都做曲线运动
【典例1拔尖题】【答案】AB
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学科网（北京）股份有限公司【解析】由于该电场为匀强电场，可采用矢量分解的思路，沿cd方向建立x轴，垂直于cd
方向建立y轴如图所示，在x方向有W ＝ E q2R，在y方向有2W ＝ EqR ＋ E qR，经过
x y x
计算有E ＝ ，E＝，E ＝，tan θ＝＝，由于电场方向与水平方向成60°，则电场与ab
x y
平行，且沿a指向b，A正确；该粒子从 d点运动到 b点，电场力做的功为 W′＝Eq＝
0.5W，B正确；沿电场线方向电势逐渐降低，则a点的电势高于c点的电势，C错误；若
粒子的初速度方向与ab平行则粒子做匀变速直线运动，D错误．
题型二：场源是其他带电体模型
【典例2拔尖题】电子焊接机中的电场线如图中虚线所示．圆弧形极板K为阴极，A为阳
极，两极之间的距离为d，在两极之间加上高压U，有一电子在K极由静止被加速；不考
虑电子重力，元电荷为e，则下列说法正确的是( )
A. 由K到A电势逐渐降低
B. A和K之间的电场强度大小为
C. A点与KA中点的电势差大于
D. 电子由K运动到A的过程中，其电势能增加了eU
【典例2拔尖题】【答案】C
【解析】沿着电场线的方向电势降低，由K到A为逆着电场线方向，因此电势升高，A错
误；A和K之间的电场为非匀强电场，B错误；从A到K电势降低，若KA之间为匀强电
场，则A点与KA中点的电势差为U＝ U，由题图可知，越靠近A端电场线密度越大，
1
即越靠近A端电场强度越大，则A点与KA中点的电势差大于 ，C正确；电子由K运动
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学科网（北京）股份有限公司到A的过程中，静电力做正功，电势能减少了eU，D错误．
10
学科网（北京）股份有限公司
